M5 G - Zahlenmuster entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

M5 G - Zahlenmuster entdecken

Zielgruppe: Klasse 5, G-Niveau

Du lernst, einfache Regelmäßigkeiten zu erkennen, Zahlenfolgen fortzusetzen und die Regel mit eigenen Worten zu beschreiben. Dabei arbeitest Du mit Zahlen, Pfeilen, Punktebildern, Zahlengeraden, Animationen und interaktiven Mustern.

Start	1. Sprung	2. Sprung	3. Sprung	Nächste Zahl
$2$	$\stackrel{+3}{⟶}5$	$\stackrel{+3}{⟶}8$	$\stackrel{+3}{⟶}11$	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{14}}

Eine Zahlengerade hilft Dir, gleich große Sprünge zu sehen.

Einleitung

Ein Muster ist eine erkennbare Regelmäßigkeit. Eine mathematische Folge ist eine geordnete Auflistung von Gliedern. Bei einer Zahlenfolge sind diese Glieder Zahlen. In diesem aiMOOC untersuchst Du vor allem einfache Muster mit natürlichen Zahlen.

Dein Muster-Detektivplan:

Schritt	Was Du tust	Beispiel
1. Schauen	Vergleiche zwei Nachbarzahlen.	$7,11$
2. Rechnen	Berechne den Sprung.	$11-7=4$
3. Prüfen	Prüfe den nächsten Sprung.	$15-11=4$
4. Sagen	Formuliere die Regel.	„Ich addiere immer $4$.“
5. Fortsetzen	Wende die Regel erneut an.	$15+4=19$

Merksatz: Eine gefundene Regel muss zu allen gegebenen Übergängen passen. Bei wenigen Startzahlen können manchmal mehrere Regeln möglich sein. In Schulaufgaben ist meist die einfache, durchgehend passende Regel gemeint. Deshalb ist Deine Beschreibung wichtig.

Lernziele

1. Zahlenfolgen erkennen: Du erkennst einfache Plus-, Minus- und Mal-Muster.
2. Zahlenfolgen fortsetzen: Du berechnest passende nächste Folgenglieder.
3. Regeln beschreiben: Du erklärst die Regel in einem vollständigen Satz.
4. Figurenmuster untersuchen: Du übersetzt wachsende Figuren in Zahlen.

Zahlenfolgen mit Plus-Regel

Sieh Dir die Folge an:

$6,10,14,18,\dots$

Die Sprünge sind:

$6\stackrel{+4}{⟶}10\stackrel{+4}{⟶}14\stackrel{+4}{⟶}18$

Also gilt:

$\text{nächste Zahl}=\text{vorherige Zahl}+4$

Die Fortsetzung lautet:

$18+4=22,22+4=26$

Regel in eigenen Worten: „Ich beginne bei $6$ und addiere immer $4$.“

Addition als Sprung auf der Zahlengeraden

Dynamische Zahlengerade: Verändere den Sprung und beobachte, wohin der Pfeil führt.

Zahlenfolgen mit Minus-Regel

Folge	Sprung	Fortsetzung	Regel
$50,45,40,35,\dots$	$-5$	$30,25$	Immer $5$ abziehen.
$100,90,80,70,\dots$	$-10$	$60,50$	Immer $10$ abziehen.

Wichtig: Beim Rückwärtszählen wird der Wert kleiner. Prüfe zum Beispiel:

$45-5=40$

Zahlenfolgen mit Mal-Regel

Nicht jede Folge wächst durch Addieren. Manchmal wird immer mit derselben Zahl multipliziert.

$3,6,12,24,\dots$

Schritt für Schritt:

$3\cdot 2=6$

$6\cdot 2=12$

$12\cdot 2=24$

Also:

$24\cdot 2=48$

Regel: „Ich verdopple jede Zahl.“

Ein Stellenwertmuster entsteht bei einer Mal-Regel mit $10$:

Zahl	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
$9$	0	0	0	9
$90$	0	0	9	0
$900$	0	9	0	0
$9000$	9	0	0	0

Hier wird aus jeder Zahl durch $\cdot 10$ die nächste Zahl.

Sprünge auf der Zahlengeraden sehen

Eine Zahlengerade macht gleiche Abstände sichtbar. Bei der Folge

$1,4,7,10,13,\dots$

gehst Du immer drei Schritte nach rechts:

$1\stackrel{+3}{⟶}4\stackrel{+3}{⟶}7\stackrel{+3}{⟶}10\stackrel{+3}{⟶}13$

Datei:Walk the Line Addition.webm

Mini-Aufgabe aufklappen: Welche zwei Zahlen folgen auf $13$?

$13+3=16$ und $16+3=19$. Die Folge geht mit $16,19$ weiter.

Figurenmuster: Aus Bildern werden Zahlen

Auch Figuren können wachsen. Zähle dabei Punkte, Plättchen oder Kästchen. So entsteht aus einem Figurenmuster eine Zahlenfolge.

Quadratmuster:

$1,4,9,16,25,\dots$

Diese Zahlen passen zu Quadraten aus $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$, $4\times 4$ und $5\times 5$ Punkten.

Quadratzahlen als Punktebilder

Animation: Wachsende Quadratzahlen

Die Abstände ändern sich:

$1\stackrel{+3}{⟶}4\stackrel{+5}{⟶}9\stackrel{+7}{⟶}16\stackrel{+9}{⟶}25$

Du musst hier also nicht immer dieselbe Zahl addieren. Stattdessen werden die Plus-Schritte selbst regelmäßig größer.

Dreiecksmuster:

$1,3,6,10,15,\dots$

Dreieckszahlen als Punktebilder

Animation: Wachsende Dreieckszahlen

Die Schritte lauten:

$+2,+3,+4,+5,\dots$

Interaktive Figurenmuster: Ziehe, ordne und setze Muster fort.

Muster mit Material legen

Du kannst Muster mit Plättchen, Legesteinen oder Streichhölzern bauen. Wichtig ist nicht nur das fertige Bild, sondern die Frage: Was kommt bei jedem Schritt neu dazu?

Legematerial für eigene geometrische Muster

Streichholzformen als Anregung zum genauen Hinsehen

Beispiel für eine gedachte Kette aus Quadraten: Das erste Quadrat braucht $4$ Stäbchen. Jedes weitere Quadrat teilt eine Seite mit dem vorherigen Quadrat und braucht deshalb nur $3$ neue Stäbchen.

$4,7,10,13,16,\dots$

Regel:

$\text{Immer }+3$

Wiederholende und wechselnde Muster

Bei manchen Mustern wiederholt sich nicht ein einzelner Sprung, sondern eine kleine Sprungfolge.

Beispiel:

$2,5,7,10,12,15,\dots$

Die Sprünge sind:

$+3,+2,+3,+2,+3,\dots$

Die Regel in Worten lautet: „Ich addiere abwechselnd $3$ und $2$.“

Tipp für wechselnde Muster

Schreibe die Sprünge über die Pfeile. Prüfe dann, ob sich eine kurze Folge wie $+3,+2$ wiederholt.

Fehlerdetektiv

Jemand hat diese Folge notiert:

$4,8,12,17,20$

Die behauptete Regel lautet: „Immer $+4$.“

Prüfe:

$8-4=4$

$12-8=4$

$17-12=5$

Hier passt die Regel nicht mehr.

Lösung anzeigen

Statt $17$ müsste dort $16$ stehen. Dann wäre die Folge $4,8,12,16,20$.

Satzstarter für Deine Regel

Wenn Du ...	kannst Du sagen ...
immer addierst	„Ich starte bei ... und addiere immer ...“
immer subtrahierst	„Ich starte bei ... und ziehe immer ... ab.“
immer multiplizierst	„Ich multipliziere jedes Folgenglied mit ...“
zwei Schritte abwechselst	„Ich rechne abwechselnd ... und ...“
ein Figurenmuster beschreibst	„In jedem neuen Bild kommen ... Elemente dazu.“

Video: Muster erkennen und Folgen fortsetzen

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Achte beim Video besonders darauf, wie die Rechenoperation zwischen benachbarten Folgengliedern erkannt und in Worten beschrieben wird.

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Stoppe vor der Lösung und versuche die nächsten Folgenglieder zuerst selbst zu bestimmen.

Interaktive Fortsetzungen

Übung für Zahlenmuster: Finde Regeln mit Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division und setze die Folge fort.

Entdeckungen mit Quadratzahlen und Dreieckszahlen:

Entdecker-Ecke: Fibonacci-Muster

Diese Folge ist etwas schwieriger:

$1,1,2,3,5,8,13,\dots$

Hier entsteht die nächste Zahl aus der Summe der beiden vorherigen Zahlen:

$1+1=2$

$1+2=3$

$2+3=5$

$3+5=8$

Fibonacci-Zahlen als Größen von Quadraten

Diagramm der ersten Fibonacci-Zahlen

Diese Regel ist ein Beispiel dafür, dass Zahlenmuster auch anders funktionieren können als „immer denselben Schritt rechnen“.

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Bilder, SVGs, GIFs und das WebM stammen aus Wikimedia Commons, wo die jeweilige Dateibeschreibungsseite Autorenschaft und freie Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit dokumentiert. Maßgeblich sind jeweils die Angaben auf der Commons-Dateiseite.

1. Simple number line.svg – gemeinfrei.
2. Number line with addition of 1 and 2.svg – CC BY 3.0.
3. Walk the Line Addition.webm – CC BY-SA 3.0.
4. SquareNumbers.svg – freie Creative-Commons-Lizenz laut Dateiseite.
5. TriangleNumbers.svg – freie Lizenz laut Dateiseite.
6. Polygonal Number 4.gif und Polygonal Number 3.gif – CC BY-SA 3.0.
7. Fibonacci blocks.svg – gemeinfrei.
8. First members of Fibonacci sequence.svg – CC0.
9. Pattern Blocks and Deci-Blocks.jpg – CC BY-SA 4.0.
10. Matchstick puzzle examples.svg – freie Lizenz laut Dateiseite.

Die YouTube-Videos werden nur eingebettet; die Rechte am Video verbleiben bei den jeweiligen Rechteinhabern.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Regel passt zu der Folge 4, 7, 10, 13? (Immer 3 addieren) (!Immer 4 addieren) (!Immer 3 subtrahieren) (!Immer verdoppeln)

Welche Zahl folgt auf 25, 20, 15? (10) (!5) (!20) (!30)

Welche Zahl folgt auf 3, 6, 12, 24? (48) (!30) (!36) (!42)

Was hilft als erster Schritt beim Erkennen einer einfachen Zahlenfolge? (Benachbarte Zahlen vergleichen) (!Nur die größte Zahl ansehen) (!Die Zahlen rückwärts aufschreiben) (!Eine Zahl zufällig auswählen)

Was bedeutet die Schrittweite bei einer einfachen Plus-Folge? (Der Abstand von einem Folgenglied zum nächsten) (!Die Anzahl aller Ziffern) (!Die größte Zahl der Folge) (!Die Position der Null)

Welche Zahl folgt bei den Quadratzahlen 1, 4, 9, 16? (25) (!20) (!24) (!32)

Welche Zahl folgt bei den Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10? (15) (!12) (!14) (!16)

Welche Zahl ist in der Folge 6, 10, 14, 19, 22 falsch, wenn immer 4 addiert werden soll? (19) (!6) (!10) (!22)

Wie beschreibst Du die Regel von 50, 45, 40, 35 am besten? (Immer 5 subtrahieren) (!Immer 5 addieren) (!Immer mit 5 multiplizieren) (!Immer durch 5 teilen)

Welche Zahl folgt in der Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5? (8) (!6) (!7) (!10)

Memory

Zahlenfolge	Geordnete Reihe von Zahlen
Schrittweite	Abstand zwischen benachbarten Folgengliedern
Plusregel	Dieselbe Zahl wird jeweils addiert
Minusregel	Dieselbe Zahl wird jeweils subtrahiert
Malregel	Mit derselben Zahl wird jeweils multipliziert
Figurenmuster	Folge aus wachsenden Formen oder Punktebildern

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Additionsmuster	Gleiche Zahl wird jeweils addiert
Subtraktionsmuster	Gleiche Zahl wird jeweils abgezogen
Verdopplungsmuster	Jedes Glied ist doppelt so groß wie das vorherige
Wiederholmuster	Eine feste Abfolge kehrt immer wieder
Figurenmuster	Eine Form wächst nach einer sichtbaren Bauidee

...

Kreuzworträtsel

Muster	Wie nennt man eine erkennbare Regelmäßigkeit?
Schrittweite	Wie heißt der Abstand zwischen benachbarten Gliedern einer einfachen Plus-Folge?
Folgenglied	Wie heißt eine einzelne Zahl in einer Zahlenfolge?
Quadrat	Welche Form passt zu den Zahlen 1, 4, 9 und 16 als Punktebild?
Dreieck	Welche Form passt zu den Zahlen 1, 3, 6 und 10 als Punktebild?
Regel	Welches Wort bezeichnet die Vorschrift, nach der ein Muster fortgesetzt wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine geordnete Reihe von Zahlen nennt man .

Um eine einfache Regel zu finden, vergleichst Du zuerst .

Bei $4,7,10,13$ beträgt die Schrittweite .

Wenn dieselbe Zahl immer dazukommt, nutzt Du eine .

Wenn dieselbe Zahl immer abgezogen wird, nutzt Du eine .

Bei $3,6,12,24$ wird jedes Folgenglied .

Ein Muster aus Punkten oder Formen heißt .

Die Zahlen $1,4,9,16$ heißen .

Eine gefundene Regel muss zu allen gegebenen passen.

Eine gute Regel kannst Du mit eigenen erklären.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlenfolge: Erfinde eine Zahlenfolge mit der Regel „immer $+2$“. Schreibe sechs Folgenglieder auf und markiere die Sprünge.
2. Zahlengerade: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $30$ und trage die Folge $3,8,13,18,23,28$ mit gleich großen Sprüngen ein.
3. Regelbeschreibung: Nimm eine Sprachnachricht oder ein kurzes Audio auf, in dem Du die Regel von $40,35,30,25,\dots$ in eigenen Worten erklärst.
4. Figurenmuster: Lege mit Münzen, Knöpfen oder Plättchen drei Bilder eines wachsenden Musters und notiere darunter jeweils die Anzahl der Teile.

Standard

1. Fehleranalyse: Untersuche $5,9,13,18,21$. Finde den Fehler, korrigiere ihn und begründe Deine Entscheidung.
2. Mustervergleich: Vergleiche $2,6,10,14,\dots$ mit $2,4,8,16,\dots$. Erkläre, warum beide Folgen wachsen, aber nach unterschiedlichen Regeln.
3. Digitale Mathematik: Nutze eine der eingebetteten GeoGebra-Übungen, löse fünf Muster und dokumentiere für jedes Muster die Regel in einem Satz.
4. Alltagsmathematik: Fotografiere oder zeichne ein regelmäßiges Muster aus Deiner Umgebung, zum Beispiel Fliesen, Sitzreihen oder Treppen. Beschreibe, wie daraus eine Zahlenfolge entstehen kann.

Schwer

1. Figurierte Zahl: Untersuche die Quadratzahlen $1,4,9,16,25$. Notiere die Abstände und erkläre, welches Muster Du in den Abständen erkennst.
2. Fibonacci-Folge: Setze $1,1,2,3,5,8,\dots$ um mindestens fünf Glieder fort und erkläre die Regel ohne Fachwörter.
3. Mehrdeutigkeit von Mustern: Erfinde zwei verschiedene Regeln, die mit denselben ersten drei Zahlen beginnen. Erkläre, warum man bei kurzen Folgen seine Regel immer dazusagen sollte.
4. Mathematikprojekt: Produziere ein einminütiges Erklärvideo mit einer Zahlenfolge, einem sichtbaren Rechenweg und einer Regelbeschreibung. Lass am Ende eine Folge offen, damit andere sie fortsetzen können.

Lernkontrolle

1. Muster übertragen: Die Folge beginnt mit $14,19,24,29$. Setze sie fort, beschreibe die Regel und zeichne die ersten sechs Folgenglieder auf einer Zahlengeraden ein.
2. Regeln vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen den Regeln „immer $+6$“ und „immer $\cdot 2$“. Erfinde zu jeder Regel eine passende Folge mit derselben Startzahl.
3. Figurenfolge deuten: Ein Muster beginnt mit $4$ Stäbchen und erhält in jedem neuen Bild $3$ Stäbchen mehr. Bestimme die Anzahl im siebten Bild und erkläre Deinen Rechenweg.
4. Fehler begründen: Eine Person setzt $30,25,20,15$ mit $11$ fort. Erkläre, warum das nicht zur naheliegenden Regel passt, und korrigiere die Zahl.
5. Muster erfinden: Erstelle eine eigene Folge mit mindestens sechs Gliedern, bei der sich zwei Rechenschritte abwechseln. Tausche sie mit einer anderen Person und prüft gegenseitig Eure Regeln.
6. Darstellungen verbinden: Wähle eine Zahlenfolge und stelle sie auf drei Arten dar: als Zahlenreihe, mit Pfeilen und als Punkte- oder Figurenmuster. Erkläre, was in allen drei Darstellungen gleich bleibt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erkennst bei einfachen Folgen, ob immer dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert wird.
2. Du erkennst einfache Mal-Muster wie Verdoppeln oder Verzehnfachen.
3. Du setzt eine Zahlenfolge mit mehreren passenden Folgengliedern fort.
4. Du beschreibst die Regel in eigenen Worten und kannst sie an mindestens zwei Übergängen prüfen.
5. Du findest Fehler in einer falsch fortgesetzten Folge und begründest die Korrektur.
6. Du kannst ein einfaches Figurenmuster in eine Zahlenfolge übersetzen.
7. Du kannst Deine Lösung mit einer Zahlengeraden, Pfeilen, einer Tabelle oder einem Punktebild verständlich darstellen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel erklärt den allgemeinen mathematischen Begriff der Folge. Für Klasse 5 brauchst Du daraus vor allem die Idee einer geordneten Folge von Gliedern.

Ergänzend zu figurierten Zahlen:

Verknüpfte Lernbereiche

Zahlenmuster Natürliche Zahlen Zahlenfolge Zahlengerade Addition Subtraktion Multiplikation Quadratzahl Dreieckszahl Figurierte Zahl Fibonacci-Folge