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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

M5 G - Zahlen unter Null entdecken

Einleitung

M5 G - Zahlen unter Null entdecken führt Dich in einen neuen Zahlenbereich: Zahlen kleiner als $0$ . Solche negativen Zahlen kennst Du bereits aus dem Alltag, zum Beispiel von Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, aus Tiefgaragen oder bei Höhen unter dem Meeresspiegel. In diesem aiMOOC entdeckst Du, wie der bekannte Zahlenstrahl nach links zur Zahlengerade erweitert wird, wie Du negative Zahlen liest, einträgst und vergleichst und warum zum Beispiel $- 5 < 0 < 3$ gilt.

Der Schwerpunkt liegt auf Anschauen, Ordnen, Verschieben und Begründen. Du brauchst zunächst keine schwierigen Rechenregeln. Wichtig ist die Grundidee: Auf der Zahlengeraden liegt die kleinere Zahl weiter links und die größere Zahl weiter rechts.

Das kennst Du schon	Das kommt neu dazu
$0, 1, 2, 3, \dots$	$\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots$
Zahlenstrahl startet bei $0$	Zahlengerade geht links und rechts weiter
$2 < 5$	$- 5 < - 2$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du negative Zahlen in vertrauten Situationen erkennen, auf einer Zahlengeraden darstellen und einfache Vergleiche sicher begründen.

Ich kann ...	Beispiel
negative Zahlen erkennen	$- 7$ ist kleiner als $0$
eine Zahlengerade lesen	$- 3$ liegt drei Schritte links von $0$
Zahlen vergleichen	$- 5 < 0 < 3$
negative Zahlen ordnen	$- 6 < - 2 < 1 < 4$
Alltag und Mathematik verbinden	$- 2^{\circ} C$ bedeutet zwei Grad unter $0^{\circ} C$

Negative Zahlen im Alltag

Temperatur: unter null

Ein Thermometer ist fast wie eine senkrechte Zahlengerade. Oberhalb von $0^{\circ} C$ stehen positive Temperaturen, unterhalb von $0^{\circ} C$ negative Temperaturen.

Freies Schaubild von Wikimedia Commons, CC0.

Situation	Temperatur	Mathematische Zahl
milder Tag	$8^{\circ} C$	$8$
Gefrierpunkt von Wasser ungefähr	$0^{\circ} C$	$0$
Frost	$- 3^{\circ} C$	$- 3$
starker Frost	$- 1 2^{\circ} C$	$- 12$

Beobachtung: $- 3^{\circ} C$ ist wärmer als $- 1 2^{\circ} C$ . Deshalb gilt $- 12 < - 3$ .

Ein hilfreiches Denkbild ist:

$kälter ⟵ - 12 - 8 - 4 0 4 8 ⟶ wärmer$

Stockwerke: Tiefgarage und Erdgeschoss

In vielen Gebäuden werden Stockwerke unter dem Erdgeschoss mit negativen Zahlen bezeichnet. Das Erdgeschoss kann als Bezugsebene $0$ gedacht werden.

Wikimedia Commons, Tony Webster, CC BY 2.0.

Stockwerk im Modell	Zahl	Lage
3. Obergeschoss	$3$	über dem Erdgeschoss
1. Obergeschoss	$1$	über dem Erdgeschoss
Erdgeschoss	$0$	Bezugsebene
1. Untergeschoss	$- 1$	unter dem Erdgeschoss
3. Untergeschoss	$- 3$	noch weiter unten

Wenn Du vom Erdgeschoss drei Etagen nach unten fährst, erreichst Du im Zahlenmodell $- 3$ . Auf der Zahlengeraden bedeutet „nach unten“ hier dasselbe wie „nach links“.

Höhe: über und unter dem Meeresspiegel

Auch Höhen brauchen einen Bezugspunkt. Häufig wird der Meeresspiegel als $0 m$ verwendet. Orte oberhalb des Meeresspiegels erhalten positive Höhenwerte, Orte darunter können mit negativen Höhenwerten beschrieben werden.

Wikimedia Commons, Berthold Werner, gemeinfrei.

Lage zum Meeresspiegel	Beispielwert
oberhalb	$+ 120 m$
genau auf Bezugshöhe	$0 m$
unterhalb	$- 35 m$

Ein Höhenprofil zeigt, wie die Höhe entlang eines Weges steigt und fällt.

Wikimedia Commons, MartinThoma, CC0.

Aufgabe zum Bild: Suche im Profil einen besonders hohen Abschnitt. Überlege dann, wie ein Profil aussehen müsste, das auch unter die Bezugshöhe $0$ fällt.

Ein gemeinsames Muster

Thermometer, Aufzüge und Höhenangaben sehen verschieden aus. Mathematisch steckt aber dasselbe Muster dahinter: Es gibt eine Bezugsebene oder einen Nullpunkt.

Alltag	Bezugspunkt $0$	negative Richtung	positive Richtung
Temperatur	$0^{\circ} C$	kälter	wärmer
Gebäude	Erdgeschoss	Untergeschosse	Obergeschosse
Höhe	Meeresspiegel	darunter	darüber

Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden

Der bekannte Zahlenstrahl

Von den natürlichen Zahlen kennst Du den Zahlenstrahl:

$0 1 2 3 4 5 ⟶$

Er beginnt bei $0$ und läuft nach rechts weiter. Für Temperaturen unter null oder Untergeschosse reicht das nicht.

Erweiterung nach links

Wir verlängern den Zahlenstrahl über die $0$ hinaus nach links. So entsteht eine Zahlengerade.

Wikimedia Commons, CC0.

Als mathematisches Modell:

$⟵ - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ⟶$

Merksatz: Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Je weiter rechts sie liegt, desto größer ist sie.

Interaktive Zahlengerade: selbst verschieben

Verschiebe Punkte und beobachte, was links und rechts von $0$ passiert. Das folgende GeoGebra-Material ist für die Schulstufe 5–6 zum Übergang vom Zahlenstrahl zur Zahlengerade angelegt.

Beobachte besonders:

Nullpunkt: Die $0$ trennt negative und positive Zahlen.
Richtung: Nach links werden die Zahlen kleiner, nach rechts größer.
Abstand: $- 4$ und $4$ sind gleich weit von $0$ entfernt.

Negative Zahlen erkennen

Eine negative Zahl trägt ein Minuszeichen als Vorzeichen:

$- 1, - 2, - 3, - 10, - 25$

Die $0$ ist weder positiv noch negativ. Eine positive Zahl kann mit einem Pluszeichen geschrieben werden, meist lässt man es aber weg:

$+ 4 = 4$

Zahl	Einordnung
$- 8$	negativ
$0$	weder positiv noch negativ
$5$	positiv
$+ 12$	positiv

Video: Negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Im Video wird der Einstieg über negative Zahlen und den Zahlenstrahl noch einmal visuell erklärt.

Beobachtungsauftrag: Notiere während des Videos eine Alltagssituation, in der eine Zahl kleiner als $0$ vorkommt, und zeichne die passende Stelle auf einer Zahlengerade.

Negative Zahlen vergleichen

Links ist kleiner

Bei positiven Zahlen ist $2 < 5$ . Dasselbe Prinzip gilt auf der ganzen Zahlengerade: Die weiter links liegende Zahl ist kleiner.

$⟵ - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 ⟶$

Daraus folgen zum Beispiel:

$- 7 < - 3$

$- 5 < 0 < 3$

$- 2 < 4$

$- 1 > - 6$

Achtung: Bei zwei negativen Zahlen wirkt der Vergleich manchmal ungewohnt. $- 2$ ist größer als $- 8$ , weil $- 2$ weiter rechts liegt.

Schritt für Schritt vergleichen

Nutze immer dieselbe Bildidee.

Schritt	Beispiel $- 5$ und $- 2$
1. Beide Zahlen markieren	$- 5$ und $- 2$
2. Positionen vergleichen	$- 5$ liegt links von $- 2$
3. Zeichen setzen	$- 5 < - 2$
4. In Worten sprechen	„Minus fünf ist kleiner als minus zwei.“

Noch ein Beispiel mit drei Zahlen:

$- 5 0 3$

Von links nach rechts gelesen:

$- 5 < 0 < 3$

Ein einfacher Zeichen-Trick

Die Spitze des Zeichens $<$ zeigt zur kleineren Zahl.

$- 8 < - 3$

Die offene Seite zeigt zur größeren Zahl. Prüfe trotzdem immer zuerst auf der Zahlengerade, statt nur einen Merkspruch auswendig zu lernen.

Interaktiv: Zahlen eintragen und ordnen

Hier kannst Du negative Zahlen in Aufgaben der Schulstufe 5–6 erkunden.

Mini-Auftrag: Stelle nacheinander $- 4$ , $0$ und $3$ dar. Lies anschließend die Ordnung von links nach rechts.

Interaktiv: Skalen ergänzen

Nicht jede Zahlengerade zeigt jeden einzelnen Wert. Manchmal musst Du zuerst herausfinden, wie groß ein Schritt ist.

Beispiel:

$- 10, - 5, 0, 5, 10$

Hier beträgt die Schrittweite $5$ .

Video: Ganze Zahlen ordnen

Die Animation zeigt, wie die Zahlengerade beim Vergleichen und Ordnen ganzer Zahlen hilft.

Stopp-Auftrag: Pausiere vor einem Ergebnis und entscheide selbst, welche Zahl weiter links liegt.

Gegenzahlen und Abstand zur Null

Gleich weit von null entfernt

Die Zahlen $- 4$ und $4$ liegen auf verschiedenen Seiten der $0$ , aber gleich weit entfernt.

$- 4 \overset{4}{\leftarrow} 0 \overset{4}{\to} 4$

Sie heißen Gegenzahlen.

Zahl	Gegenzahl	Abstand zu $0$
$3$	$- 3$	$3$
$- 5$	$5$	$5$
$9$	$- 9$	$9$

Für dieses Kapitel genügt: Gegenzahlen haben denselben Abstand von $0$ , aber unterschiedliche Vorzeichen.

Zahlengerade als Spiegelbild

Stell Dir bei $0$ einen Spiegel vor:

$\dots - 3 - 2 - 1 | 0 | 1 2 3 \dots$

Paare wie $- 1$ und $1$ oder $- 3$ und $3$ liegen spiegelbildlich.

Visuelle Trainingsrunde

Temperatur ablesen

Eine Wetterstation meldet:

Uhrzeit	Temperatur
08:00	$- 4^{\circ} C$
12:00	$1^{\circ} C$
18:00	$- 2^{\circ} C$

Von links nach rechts geordnet:

$- 4 < - 2 < 1$

Daher ist $- 4^{\circ} C$ die kälteste der drei Temperaturen.

Aufzug bewegen

Ein Aufzug startet bei $0$ . Die Zielknöpfe lauten $- 3$ , $- 1$ , $2$ und $5$ .

$⟵ - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 ⟶$

Frage: Welches Ziel liegt am tiefsten? Antwort: $- 3$ , denn es liegt am weitesten links beziehungsweise im Stockwerksmodell am weitesten unter $0$ .

Höhenprofil lesen

Ein vereinfachtes Geländeprofil hat die Höhen:

$30 m, 10 m, 0 m, - 15 m, 20 m$

Die niedrigste Stelle ist $- 15 m$ . Für die Reihenfolge gilt:

$- 15 < 0 < 10 < 20 < 30$

Fehlerdetektiv

Prüfe die folgenden Aussagen.

Aussage	Richtig oder falsch?	Begründung
$- 6 > - 2$	falsch	$- 6$ liegt weiter links
$- 3 < 0$	richtig	jede negative Zahl liegt links von $0$
$4 > - 1$	richtig	$4$ liegt rechts von $- 1$
$- 2 < - 7$	falsch	$- 2$ liegt weiter rechts

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist negativ? (-4) (!0) (!3) (!12)

Welche Aussage ist richtig? (-5 ist kleiner als 0) (!0 ist kleiner als -5) (!3 ist kleiner als -2) (!-1 ist kleiner als -6)

Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? (-8) (!-3) (!0) (!2)

Welche Zahl ist größer? (-2) (!-7) (!-9) (!-12)

Was beschreibt die Zahl 0 auf einer Zahlengeraden? (den Nullpunkt zwischen negativen und positiven Zahlen) (!die kleinste Zahl) (!die größte Zahl) (!immer eine negative Zahl)

Welche Ordnung ist richtig? (-5 dann 0 dann 3) (!3 dann 0 dann -5) (!0 dann -5 dann 3) (!-5 dann 3 dann 0)

Welche Zahl passt zu drei Stockwerken unter dem Erdgeschoss? (-3) (!3) (!0) (!30)

Welche Temperatur ist am kältesten? (-9 Grad Celsius) (!-2 Grad Celsius) (!0 Grad Celsius) (!4 Grad Celsius)

Welche Zahl ist die Gegenzahl von 6? (-6) (!0) (!6) (!12)

Welche Aussage über negative Zahlen stimmt? (Sie liegen links von 0) (!Sie sind immer größer als 0) (!Sie haben kein Vorzeichen) (!Sie liegen immer rechts von positiven Zahlen)

Memory

Negative Zahl	Zahl kleiner als 0
Nullpunkt	trennt negative und positive Zahlen
Zahlengerade	geht nach links und rechts weiter
Minuszeichen	Vorzeichen einer negativen Zahl
Gegenzahl	gleicher Abstand zur 0 auf der anderen Seite
Untergeschoss	Alltagsbeispiel für einen negativen Wert
Meeresspiegel	möglicher Bezugspunkt für Höhen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
negative Zahl	kleiner als null
positive Zahl	größer als null
Null	weder positiv noch negativ
weiter links	kleinere Zahl
weiter rechts	größere Zahl

Kreuzworträtsel

Nullpunkt	Wie heißt die Stelle, an der auf der Zahlengeraden die 0 liegt?
Vorzeichen	Wie heißt das Zeichen vor einer positiven oder negativen Zahl?
Zahlengerade	Wie heißt die nach links und rechts unbegrenzt gedachte Zahlendarstellung?
Thermometer	Welches Messgerät zeigt Temperaturen an?
Untergeschoss	Wie heißt ein Stockwerk unter dem Erdgeschoss?
Gegenzahl	Wie heißt eine Zahl mit gleichem Abstand zur 0 auf der anderen Seite?

LearningApps

Lückentext

Eine Zahl kleiner als null heißt

.

Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen

von der null.

Die Zahl

ist weder positiv noch negativ.

Bei Temperaturen zeigt ein Minuszeichen Werte

null Grad Celsius an.

Das Erdgeschoss kann in einem Stockwerksmodell als

verwendet werden.

Die Zahl

- 5

liegt weiter links als

- 2

und ist deshalb

.

Die Zahlen

- 4

und

4

heißen

.

Von links nach rechts werden die Zahlen auf der Zahlengeraden

.

Beim Vergleich

- 5 < 0 < 3

ist

- 5

die

Zahl.

Ein Höhenwert mit Minuszeichen kann eine Lage

des Meeresspiegels beschreiben.

Offene Aufgaben

Leicht

Thermometer-Protokoll: Zeichne ein Thermometer von $- 1 0^{\circ} C$ bis $1 0^{\circ} C$ , markiere fünf Temperaturen und schreibe zu jeder Temperatur einen passenden Vergleich mit $0$ .
Tiefgarage: Entwirf ein Parkhaus mit den Ebenen $- 3$ bis $4$ . Markiere Erdgeschoss, tiefste und höchste Ebene und erkläre die Reihenfolge.
Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $- 10$ bis $10$ . Setze die Zahlen $- 7, - 2, 0, 3, 8$ ein und ordne sie mit $<$ .
Fotomathematik: Suche in Deiner Umgebung oder in frei nutzbaren Bildern nach einem Beispiel für eine Skala mit Zahlen unter null und beschreibe den Nullpunkt.

Standard

Wetterdaten: Erstelle für sieben erfundene Wintertage eine Tabelle mit positiven und negativen Temperaturen. Ordne die Werte und gestalte daraus ein einfaches Diagramm.
Aufzugsgeschichte: Schreibe eine kurze Geschichte über eine Aufzugfahrt, in der mindestens vier verschiedene Stockwerkszahlen vorkommen. Zeichne daneben die passende Zahlengerade.
Höhenprofil: Erfinde einen Weg mit fünf Höhenangaben, von denen mindestens zwei unter $0 m$ liegen. Zeichne ein Höhenprofil und erkläre die niedrigste Stelle.
Erklärvideo: Plane ein einminütiges Erklärvideo zur Frage „Warum ist $- 2 > - 7$ ?“. Verwende eine selbst gezeichnete Zahlengerade als Hauptbild.

Schwer

Fehleranalyse: Eine Person behauptet: „ $- 9$ ist größer als $- 4$ , weil $9 > 4$ .“ Widerlege die Aussage mit zwei verschiedenen Darstellungen.
Alltagsmodelle vergleichen: Vergleiche Temperatur, Stockwerke und Meereshöhe. Erkläre, was in allen drei Modellen gleich ist und worin sie sich unterscheiden.
Interaktive Zahlengerade: Erstelle mit GeoGebra eine Zahlengerade, auf der ein Punkt zwischen $- 10$ und $10$ verschoben werden kann. Baue eine Anzeige ein, ob der Punkt negativ, null oder positiv ist.
Mathe-Interview: Befrage zwei Personen, wo ihnen negative Zahlen im Alltag begegnen. Prüfe die Beispiele mathematisch und fasse Gemeinsamkeiten in einer Tabelle zusammen.

Lernkontrolle

Begründen mit der Zahlengeraden: Erkläre ohne bloßes Auswendiglernen, warum $- 6 < - 2$ gilt. Nutze eine Skizze und einen Satz.
Transfer Temperatur und Stockwerke: Erkläre, warum $- 4^{\circ} C$ zu $- 4$ auf der Zahlengeraden passt und welches Stockwerk im vereinfachten Modell dieselbe Zahl tragen könnte.
Fehler finden: Jemand ordnet $- 1, - 5, 0, 3$ als $- 1 < - 5 < 0 < 3$ . Finde den Fehler, korrigiere die Reihenfolge und begründe die Änderung.
Bezugsgröße wählen: Eine Höhenskala verwendet den Meeresspiegel als $0$ . Erkläre, wie sich die Vorzeichen ändern könnten, wenn ein anderer Bezugspunkt gewählt wird.
Darstellungen verknüpfen: Erstelle zu $- 3 < 0 < 4$ drei passende Darstellungen: eine Zahlengerade, ein Temperaturbeispiel und ein Stockwerksbeispiel.
Eigenes Beispiel prüfen: Erfinde drei ganze Zahlen mit mindestens einer negativen Zahl. Ordne sie, zeichne sie ein und erkläre, wie Du Deine Ordnung kontrolliert hast.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M5 G - Zahlen unter Null entdecken solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Zeichen erkennst, sondern die Zahlengerade als Modell verstanden hast.

Negative Zahlen erkennen: Du erkennst Zahlen kleiner als $0$ und liest ihr Vorzeichen richtig.
Zahlengerade darstellen: Du kannst den Zahlenstrahl nach links erweitern und negative Zahlen an passenden Stellen eintragen.
Vergleichen und Ordnen: Du nutzt sicher die Idee „weiter links = kleiner“ und kannst Vergleiche wie $- 5 < 0 < 3$ begründen.
Null verstehen: Du weißt, dass $0$ weder positiv noch negativ ist.
Gegenzahlen erkennen: Du findest einfache Gegenpaare wie $- 4$ und $4$ .
Alltag übertragen: Du deutest negative Zahlen bei Temperatur, Stockwerken und Höhen.
Darstellungen wechseln: Du übersetzt zwischen Text, Tabelle, Zahlengerade und mathematischer Schreibweise.
Begründungen geben: Du kannst erklären, warum ein Vergleich stimmt, statt nur ein Ergebnis zu nennen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel bietet eine weiterführende Übersicht zu positiven und negativen Zahlen.

Freie und interaktive Medien

Die im Lerntext eingesetzten Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenziert oder gemeinfrei. Die GeoGebra-Materialien dienen als interaktive Ergänzung zum Erkunden der Zahlengeraden.