M5 G - Winkelarten erkennen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, rechte, spitze und stumpfe Winkel sicher zu erkennen. Du brauchst dafür zunächst keine komplizierte Rechnung. Deine wichtigste Vergleichsgröße ist der rechte Winkel:

$90^{\circ }$

Stell Dir $90^{\circ }$ wie die Ecke eines Blattes, eines Buches oder eines rechteckigen Tisches vor. Dann vergleichst Du andere Winkel mit diesem Referenzwinkel.

Winkelart	Mathematische Beschreibung	So kannst Du ihn erkennen
Spitzer Winkel	$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$	kleiner geöffnet als ein rechter Winkel
Rechter Winkel	$\alpha =90^{\circ }$	genau so weit geöffnet wie eine rechteckige Ecke
Stumpfer Winkel	$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$	weiter geöffnet als ein rechter Winkel

Merksatz: Vergleiche jeden Winkel zuerst mit $90^{\circ }$: kleiner = spitz, gleich = recht, größer = stumpf.

Was ist ein Winkel?

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen an einem gemeinsamen Punkt beginnen. Die Strahlen heißen Schenkel. Der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitel.

Begriff	Bedeutung
Scheitel	gemeinsamer Anfangspunkt der beiden Schenkel
Schenkel	die beiden Strahlen, die den Winkel begrenzen
Winkelgröße	beschreibt, wie weit die Schenkel geöffnet sind
Grad	Einheit für Winkelgrößen; geschrieben mit ${}^{\circ }$

Ein Winkel von $40^{\circ }$ ist weniger weit geöffnet als ein Winkel von $90^{\circ }$. Ein Winkel von $130^{\circ }$ ist weiter geöffnet als $90^{\circ }$.

Die Winkel-Leiste von $0^{\circ }$ bis $180^{\circ }$

$0^{\circ }$	spitzer Bereich			$90^{\circ }$	stumpfer Bereich			$180^{\circ }$
Grenze	$20^{\circ }$	$45^{\circ }$	$80^{\circ }$	rechter Winkel	$100^{\circ }$	$135^{\circ }$	$170^{\circ }$	Grenze

Wichtig: $0^{\circ }$ ist nicht spitz und $180^{\circ }$ ist nicht stumpf. In diesem aiMOOC konzentrierst Du Dich auf die drei Winkelarten spitz, recht und stumpf.

$90^{\circ }$ als zentrale Referenz

Der rechte Winkel ist Dein Vergleichswerkzeug. Du kannst ihn an vielen Gegenständen entdecken.

Ein kleines Quadrat am Scheitel eines Winkels ist ein übliches Zeichen für einen rechten Winkel. Es bedeutet:

$\alpha =90^{\circ }$

Rechte Winkel im Alltag

Bei einer Uhr um drei Uhr stehen Minuten- und Stundenzeiger senkrecht zueinander. Der kleinere Winkel zwischen ihnen ist ein rechter Winkel:

$90^{\circ }$

Auch die Ecke eines rechteckigen Heftes, eines Blattes oder eines Geodreiecks kann Dir als Vergleich dienen.

Das abgebildete Zeichendreieck besitzt unter anderem einen Winkel von $90^{\circ }$. Die anderen markierten Winkel sind $60^{\circ }$ und $30^{\circ }$. Beide sind spitz, weil sie kleiner als $90^{\circ }$ sind.

Animierter rechter Winkel

Die folgende freie Animation aus Wikimedia Commons zeigt die Konstruktion eines rechten Winkels.

Beobachte: Entscheidend ist nicht die Länge der Schenkel. Entscheidend ist nur, wie weit die Schenkel geöffnet sind.

Spitze Winkel erkennen

Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel.

$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$

Beispiele:

Winkel	Vergleich mit $90^{\circ }$	Winkelart
$25^{\circ }$	$25^{\circ }<90^{\circ }$	spitz
$60^{\circ }$	$60^{\circ }<90^{\circ }$	spitz
$89^{\circ }$	$89^{\circ }<90^{\circ }$	spitz

Achtung: Auch $89^{\circ }$ ist noch spitz. Erst bei genau $90^{\circ }$ ist der Winkel recht.

Alltag: eine schmal geöffnete Schere

Bei einer Schere kannst Du die Öffnung zwischen den Klingen als Winkel betrachten. Ist die Öffnung kleiner als die Ecke eines Blattes, ist der betrachtete Winkel spitz.

Stumpfe Winkel erkennen

Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als $180^{\circ }$.

$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$

Beispiele:

Winkel	Vergleich mit $90^{\circ }$	Winkelart
$100^{\circ }$	$100^{\circ }>90^{\circ }$	stumpf
$125^{\circ }$	$125^{\circ }>90^{\circ }$	stumpf
$179^{\circ }$	$179^{\circ }>90^{\circ }$ und $179^{\circ }<180^{\circ }$	stumpf

Achtung: $180^{\circ }$ selbst ist kein stumpfer Winkel. Er heißt gestreckter Winkel.

Die Drei-Schritt-Strategie

Nutze diese Strategie immer dann, wenn Du eine Winkelart bestimmen sollst.

Schritt	Was Du tust	Beispiel
1. Anschauen	Betrachte die Öffnung zwischen den Schenkeln.	Ein Winkel sieht ungefähr wie eine Ecke aus.
2. Mit $90^{\circ }$ vergleichen	Stelle Dir eine rechteckige Ecke oder das Geodreieck vor.	Ist die Öffnung kleiner, gleich oder größer?
3. Benennen	Ordne die Winkelart zu.	kleiner → spitz; gleich → recht; größer → stumpf

$\alpha <90^{\circ }\Rightarrow \text{spitz}$
$\alpha =90^{\circ }\Rightarrow \text{recht}$
$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\Rightarrow \text{stumpf}$

Papier-Ecken-Test

Nimm ein rechteckiges Blatt Papier. Eine Ecke des Blattes zeigt Dir genau einen rechten Winkel. Halte die Ecke gedanklich oder vorsichtig an eine Winkelzeichnung.

Vergleich	Ergebnis
Winkel passt genau zur Blattecke	rechter Winkel
Winkel ist enger als die Blattecke	spitzer Winkel
Winkel ist weiter als die Blattecke	stumpfer Winkel

So kannst Du Winkelarten auch erkennen, wenn noch keine Gradzahl angegeben ist.

Dynamische Geometrie: Winkel bewegen

Hier kannst Du einen Winkel verändern. Bewege den roten Punkt langsam. Beobachte besonders, was passiert, wenn der Winkel durch die Grenze $90^{\circ }$ wandert.

Arbeitsauftrag:

1. Stelle einen spitzen Winkel ein und beschreibe, woran Du ihn erkennst.
2. Stelle möglichst genau einen rechten Winkel mit $90^{\circ }$ ein.
3. Vergrößere den Winkel langsam über $90^{\circ }$. Beobachte den Wechsel zum stumpfen Winkel.

Dynamisch messen und vergleichen

Mit dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du spitze und stumpfe Winkel untersuchen und Winkelgrößen überprüfen.

Nutze beim Messen immer zuerst die Schätzung:

erst vergleichen → dann messen → anschließend prüfen

Winkelarten in Figuren

Winkel treten auch in Dreiecken auf. Die folgende freie Grafik zeigt drei Dreiecke mit unterschiedlichen Winkelarten.

Für diesen aiMOOC reicht die folgende Idee:

1. Hat ein Winkel genau $90^{\circ }$, erkennst Du einen rechten Winkel.
2. Ist ein betrachteter Winkel kleiner als $90^{\circ }$, ist er spitz.
3. Ist ein betrachteter Winkel größer als $90^{\circ }$ und kleiner als $180^{\circ }$, ist er stumpf.

Winkel mit dem Geodreieck prüfen

Ein Geodreieck oder Winkelmesser hilft Dir, Deine Vermutung zu überprüfen. Beim Erkennen der Winkelart ist die Messung aber oft gar nicht nötig.

Beispiel 1

$\alpha =72^{\circ }$

$72^{\circ }<90^{\circ }$

$\Rightarrow$ spitzer Winkel

Beispiel 2

$\beta =90^{\circ }$

$90^{\circ }=90^{\circ }$

$\Rightarrow$ rechter Winkel

Beispiel 3

$\gamma =118^{\circ }$

$118^{\circ }>90^{\circ }$ und $118^{\circ }<180^{\circ }$

$\Rightarrow$ stumpfer Winkel

Visueller Kontrollblick mit dem Winkelmesser

Beim Ablesen eines Winkelmessers musst Du darauf achten, von welchem Schenkel aus Du startest. Für das reine Erkennen der Winkelart genügt oft die Frage:

Liegt die Winkelgröße unter, bei oder über $90^{\circ }$?

Lernvideo: Winkelarten

Das folgende Lernvideo erklärt Winkelarten mit Beispielen.

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Notiere beim Anschauen drei Beispiele und ordne sie den Begriffen spitz, recht und stumpf zu.

Zweites Lernvideo zur Wiederholung

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Achte besonders auf die Grenze $90^{\circ }$. Stoppe das Video bei einem Beispiel und entscheide zuerst selbst, bevor die Lösung erklärt wird.

Typische Fehler vermeiden

Typischer Fehler	So machst Du es richtig
Du beurteilst die Länge der Schenkel.	Die Schenkellänge ist für die Winkelart unwichtig. Entscheidend ist die Öffnung.
Du hältst $89^{\circ }$ für recht.	Nur genau $90^{\circ }$ ist ein rechter Winkel.
Du hältst $91^{\circ }$ für recht.	$91^{\circ }$ ist bereits größer als $90^{\circ }$ und damit stumpf.
Du nennst $180^{\circ }$ stumpf.	Ein stumpfer Winkel muss kleiner als $180^{\circ }$ sein.
Du misst sofort.	Vergleiche zuerst mit $90^{\circ }$. Messen dient danach als Kontrolle.

Mini-Training mit der $90^{\circ }$-Referenz

Ordne gedanklich zu:

Winkelgröße	Vergleich	Winkelart
$15^{\circ }$	$<90^{\circ }$	spitz
$75^{\circ }$	$<90^{\circ }$	spitz
$90^{\circ }$	$=90^{\circ }$	recht
$105^{\circ }$	$>90^{\circ }$	stumpf
$160^{\circ }$	$>90^{\circ }$ und $<180^{\circ }$	stumpf

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Winkelart hat ein Winkel von 45 Grad? (Spitzer Winkel) (!Rechter Winkel) (!Stumpfer Winkel) (!Gestreckter Winkel)

Welche Winkelgröße hat ein rechter Winkel? (90 Grad) (!45 Grad) (!100 Grad) (!180 Grad)

Welche Winkelart ist größer als ein rechter Winkel und kleiner als ein gestreckter Winkel? (Stumpfer Winkel) (!Spitzer Winkel) (!Rechter Winkel) (!Nullwinkel)

Welche Aussage beschreibt einen spitzen Winkel richtig? (Er ist kleiner als 90 Grad) (!Er ist genau 90 Grad) (!Er ist größer als 90 Grad) (!Er ist genau 180 Grad)

Ein Winkel misst 120 Grad. Welche Winkelart ist er? (Stumpfer Winkel) (!Spitzer Winkel) (!Rechter Winkel) (!Nullwinkel)

Ein Winkel misst genau 90 Grad. Welche Winkelart ist er? (Rechter Winkel) (!Spitzer Winkel) (!Stumpfer Winkel) (!Gestreckter Winkel)

Ein Winkel misst 89 Grad. Welche Winkelart ist er? (Spitzer Winkel) (!Rechter Winkel) (!Stumpfer Winkel) (!Gestreckter Winkel)

Ein Winkel misst 91 Grad. Welche Winkelart ist er? (Stumpfer Winkel) (!Spitzer Winkel) (!Rechter Winkel) (!Nullwinkel)

Womit kannst Du einen rechten Winkel im Alltag gut vergleichen? (Mit der Ecke eines rechteckigen Blattes) (!Mit einer geraden Linie) (!Mit einem Kreis) (!Mit einem einzelnen Punkt)

Was ist beim Erkennen einer Winkelart entscheidend? (Die Öffnung zwischen den Schenkeln) (!Die Länge der Schenkel) (!Die Farbe der Zeichnung) (!Die Dicke der Linien)

Memory

Spitzer Winkel	Kleiner als 90 Grad
Rechter Winkel	Genau 90 Grad
Stumpfer Winkel	Größer als 90 Grad und kleiner als 180 Grad
Scheitel	Gemeinsamer Anfangspunkt der Schenkel
Schenkel	Begrenzungsstrahlen eines Winkels
Geodreieck	Werkzeug zum Prüfen von Winkelgrößen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kleiner als ein rechter Winkel	Spitzer Winkel
Genau so weit geöffnet wie eine rechteckige Ecke	Rechter Winkel
Weiter geöffnet als ein rechter Winkel	Stumpfer Winkel
Schmal geöffnete Schere	Spitzer Winkel
Ecke eines rechteckigen Heftes	Rechter Winkel
Weit geöffnete Tür über den rechten Winkel hinaus	Stumpfer Winkel

Kreuzworträtsel

Scheitel	Wie heißt der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Schenkel?
Schenkel	Wie heißen die beiden Strahlen eines Winkels?
Geodreieck	Welches Werkzeug hilft beim Prüfen von Winkelgrößen?
spitz	Wie heißt ein Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist?
stumpf	Wie heißt ein Winkel, der größer als ein rechter Winkel und kleiner als ein gestreckter Winkel ist?
Gradmaß	Wie nennt man die Angabe einer Winkelgröße in Grad?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Winkel wird von zwei begrenzt. Der gemeinsame Anfangspunkt heißt . Ein rechter Winkel misst genau . Ein Winkel unter 90 Grad heißt . Ein Winkel über 90 Grad und unter 180 Grad heißt . Beim Erkennen vergleichst Du die Öffnung zuerst mit einem . Die Ecke eines rechteckigen Blattes kann als dienen. Die Länge der Schenkel ist für die Winkelart .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Winkel-Safari: Suche zu Hause oder im Klassenraum fünf Winkel. Zeichne sie und ordne sie als spitz, recht oder stumpf ein.
2. Papier-Ecken-Test: Nutze die Ecke eines rechteckigen Blattes als $90^{\circ }$-Referenz und überprüfe damit sechs gezeichnete Winkel.
3. Winkel-Fotoprojekt: Fotografiere drei Alltagsgegenstände, an denen Du unterschiedliche Winkelarten erkennst. Markiere jeweils den betrachteten Winkel.
4. Winkelkarten: Erstelle drei Lernkarten mit den Begriffen spitzer Winkel, rechter Winkel und stumpfer Winkel. Ergänze jeweils eine Zeichnung und die passende Ungleichung.

Standard

1. Winkel schätzen: Zeichne sechs Winkel ohne Gradangabe. Tausche das Blatt mit einer anderen Person und lasst Euch die Winkelarten gegenseitig bestimmen.
2. Geodreieck: Schätze zuerst die Winkelart von acht vorgegebenen Winkeln und miss erst danach nach. Notiere, wann Deine Schätzung richtig war.
3. GeoGebra: Erstelle in GeoGebra nacheinander einen spitzen, rechten und stumpfen Winkel. Speichere oder dokumentiere die drei Ansichten.
4. Lernvideo: Produziere ein einminütiges Erklärvideo mit der Regel kleiner als $90^{\circ }$, gleich $90^{\circ }$, größer als $90^{\circ }$.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erfinde vier typische Fehler beim Bestimmen von Winkelarten und erkläre jeweils, wie man sie korrigiert.
2. Winkel im Schulhaus: Führe eine kleine Exkursion durch das Schulgebäude durch. Sammle mindestens zehn Winkelbeispiele und ordne sie nach Winkelart.
3. Mathematik im Alltag: Untersuche eine Tür, eine Schere oder eine Uhr in mehreren Stellungen. Beschreibe, wie sich die Winkelart beim Bewegen verändert.
4. Erklärplakat: Gestalte ein übersichtliches Lernplakat mit $90^{\circ }$ als Mittelpunkt. Zeige links spitze und rechts stumpfe Winkel und begründe die Einteilung mathematisch.

Lernkontrolle

1. Winkel vergleichen: Zwei Winkel sind nicht beschriftet. Einer ist deutlich kleiner als eine Blattecke, der andere deutlich größer. Erkläre ohne Messen, welche Winkelarten vorliegen und warum.
2. Alltag übertragen: Eine Tür steht zunächst nur wenig offen und wird dann weiter als ein rechter Winkel geöffnet. Beschreibe, wie sich die Winkelart während der Bewegung verändert.
3. Fehler finden: Jemand behauptet: „Ein Winkel mit $91^{\circ }$ ist fast recht und deshalb ein rechter Winkel.“ Erkläre, warum diese Aussage mathematisch falsch ist.
4. Grenzfälle erklären: Vergleiche $89^{\circ }$, $90^{\circ }$ und $91^{\circ }$. Begründe, warum drei direkt benachbarte Winkelgrößen zu drei unterschiedlichen Einordnungen führen.
5. Strategie anwenden: Entwickle eine kurze Anleitung, mit der eine jüngere Schülerin oder ein jüngerer Schüler ohne Winkelmesser spitze, rechte und stumpfe Winkel unterscheiden kann.
6. Messung prüfen: Du schätzt einen Winkel als stumpf, misst danach aber $78^{\circ }$. Beschreibe, welche Schlussfolgerung Du ziehen musst und wie Du Deine Schätzung verbessern kannst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du Winkel nicht nur benennen, sondern auch begründet unterscheiden kannst.

1. Du kannst $90^{\circ }$ als zentrale Referenz verwenden.
2. Du erkennst einen spitzen Winkel mit $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.
3. Du erkennst einen rechten Winkel mit $\alpha =90^{\circ }$.
4. Du erkennst einen stumpfen Winkel mit $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.
5. Du kannst Winkel in einfachen Alltagsbildern und geometrischen Zeichnungen einordnen.
6. Du kannst erklären, warum die Länge der Schenkel die Winkelart nicht verändert.
7. Du kannst eine Schätzung mit dem Geodreieck oder Winkelmesser überprüfen.
8. Du kannst Deine Entscheidung mit den Begriffen kleiner, gleich oder größer als $90^{\circ }$ begründen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel Winkel bietet weiterführende Informationen zu Winkelarten.

Die in diesem aiMOOC eingebundenen Abbildungen und Animationen stammen aus Wikimedia Commons und sind auf den jeweiligen Dateiseiten mit freien Lizenzen oder als gemeinfrei gekennzeichnet.

Verknüpfte Lernbereiche

Winkel Spitzer Winkel Rechter Winkel Stumpfer Winkel Geodreieck Winkel messen Geometrie