M5 G - Teiler und Vielfache entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC entdeckst Du Teiler und Vielfache nicht nur als Wörter, sondern als sichtbare Muster. Du legst Punkte in gleich große Gruppen, baust Rechtecke, springst auf Zahlengeraden und markierst Zahlen in Zahlentafeln. So erkennst Du: Teilen ohne Rest, Multiplizieren und wiederholtes Addieren gehören eng zusammen.

Wir arbeiten auf G-Niveau der Klasse 5 zunächst mit den positiven natürlichen Zahlen $1,2,3,\dots$. Wenn wir Vielfache notieren, beginnen wir deshalb mit dem ersten positiven Vielfachen.

Das kannst Du am Ende

1. Teiler: Du kannst erklären, wann eine Zahl Teiler einer anderen Zahl ist.
2. Vielfache: Du kannst einfache Vielfache durch wiederholte Addition und Multiplikation bilden.
3. Teilermengen: Du kannst die Teiler kleiner natürlicher Zahlen vollständig finden.
4. Vielfachenmengen: Du kannst die ersten Vielfachen einer Zahl angeben.
5. Zusammenhang: Du kannst mit $a\cdot b=n$ erklären, warum $a$ und $b$ Teiler von $n$ sind.
6. Entscheiden: Du kannst durch Aufteilen prüfen, ob eine Division ohne Rest möglich ist.

Einstieg: 12 Plättchen werden aufgeteilt

Stell Dir 12 Plättchen vor. Du möchtest sie in gleich große Gruppen legen. Jede Gruppengröße, bei der kein Plättchen übrig bleibt, führt zu einem Teiler von $12$.

Anordnung	Punktefeld	Rechnung
Eine Reihe mit 12 Punkten	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	$1\cdot 12=12$
Zwei Reihen mit je 6 Punkten	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	$2\cdot 6=12$
Drei Reihen mit je 4 Punkten	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	$3\cdot 4=12$
Vier Reihen mit je 3 Punkten	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	$4\cdot 3=12$

Beobachtung: Die Zahlen $1,2,3,4,6$ und $12$ passen zu vollständigen Gruppierungen. Sie sind die positiven Teiler von $12$.

Teiler: Aufteilen ohne Rest

Eine positive natürliche Zahl $d$ ist ein Teiler von $n$, wenn es eine positive natürliche Zahl $k$ gibt mit

$d\cdot k=n$.

Man schreibt dann

$d\mid n$.

Das Zeichen $\mid$ liest Du als „teilt“.

Beispiel:

$3\mid 12$, denn $3\cdot 4=12$ und $12:3=4$.

Gegenbeispiel:

$5\nmid 12$, denn $12:5$ geht in den natürlichen Zahlen nicht ohne Rest auf. Beim Verteilen von $12$ Plättchen in Fünfergruppen bleiben $2$ Plättchen übrig.

Die Cuisenaire-Stäbe zeigen an der Zahl $10$, dass dieselbe Gesamtlänge mit passenden gleich langen Stäben aufgebaut werden kann. Solche vollständigen Aufteilungen helfen Dir, Teiler zu erkennen.

Teilerpaare: Rechtecke verraten die Teiler

Teiler treten oft paarweise auf. Für $12$ kannst Du die Rechtecke so lesen:

Teilerpaar	Multiplikation	Divisionen
$1$ und $12$	$1\cdot 12=12$	$12:1=12$ und $12:12=1$
$2$ und $6$	$2\cdot 6=12$	$12:2=6$ und $12:6=2$
$3$ und $4$	$3\cdot 4=12$	$12:3=4$ und $12:4=3$

Damit erhältst Du die vollständige Teilermenge

$T(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$.

Ein guter Suchweg lautet: Beginne mit $1$, prüfe der Reihe nach mögliche Gruppengrößen und notiere immer beide Zahlen eines passenden Teilerpaares.

Visueller Rechenweg: Ist 4 ein Teiler von 20?

Klicke auf „Ausklappen“ und prüfe den Rechenweg Schritt für Schritt.
Schritt 1: Lege $20$ Punkte vor Dir: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Schritt 2: Bilde Vierergruppen: (● ● ● ●) (● ● ● ●) (● ● ● ●) (● ● ● ●) (● ● ● ●)
Schritt 3: Es bleiben keine Punkte übrig.
Schritt 4: $20:4=5$.
Ergebnis: $4\mid 20$. Deshalb ist $4$ ein Teiler von $20$.

Vielfache: Immer gleich große Schritte

Ein Vielfaches einer positiven natürlichen Zahl $a$ entsteht, wenn Du $a$ mit einer positiven natürlichen Zahl multiplizierst.

$a,2a,3a,4a,\dots$

Für $a=4$ erhältst Du:

$4,8,12,16,20,\dots$

Das sind die ersten positiven Vielfachen von $4$.

Du kannst sie auch als wiederholte Addition sehen:

$4$

$4+4=8$

$4+4+4=12$

$4+4+4+4=16$

Zahlengerade: Springe in Viererschritten

Auf einer Zahlengeraden bedeuten die Vielfachen von $4$ gleich große Sprünge:

$0\stackrel{+4}{\to }4\stackrel{+4}{\to }8\stackrel{+4}{\to }12\stackrel{+4}{\to }16\stackrel{+4}{\to }20\stackrel{+4}{\to }24$

Dynamische Zahlengerade: Klappe die Sprungfolge für die Vielfachen von 3 aus.
$0\stackrel{+3}{\to }3\stackrel{+3}{\to }6\stackrel{+3}{\to }9\stackrel{+3}{\to }12\stackrel{+3}{\to }15\stackrel{+3}{\to }18\stackrel{+3}{\to }21$
Die Landepunkte sind positive Vielfache von $3$: $3,6,9,12,15,18,21,\dots$

Die Zahlengerade macht Multiplikation als gleichmäßiges Vergrößern beziehungsweise als gleichmäßige Schritte sichtbar.

Animierter Rechenweg: Multiplikation sichtbar machen

Die Animation zeigt Multiplikation als Skalierung. Für unser Thema ist besonders wichtig: Bei natürlichen Zahlen kannst Du ein Produkt auch als wiederholte Addition verstehen. So führt $5\cdot 3$ zu $3+3+3+3+3=15$. Deshalb ist $15$ ein Vielfaches von $3$ und von $5$.

Vielfachenmenge

Die ersten positiven Vielfachen von $6$ sind

$6,12,18,24,30,36,\dots$

Kurz schreiben wir:

$V(6)=\{6,12,18,24,30,36,\dots \}$.

Die drei Punkte bedeuten: Die Liste geht immer weiter. Eine positive natürliche Zahl hat deshalb unendlich viele positive Vielfache, aber nur endlich viele positive Teiler.

Teiler und Vielfache gehören zusammen

Die wichtigste Verbindung lautet:

$a\mid n⟺n=a\cdot k$

für eine passende positive natürliche Zahl $k$.

Am Beispiel $18=3\cdot 6$ erkennst Du gleichzeitig:

Aussage	Bedeutung
$3\mid 18$	$3$ ist Teiler von $18$.
$6\mid 18$	$6$ ist Teiler von $18$.
$18=3\cdot 6$	$18$ ist ein Vielfaches von $3$ und von $6$.

Merksatz: Wenn $a$ ein Teiler von $n$ ist, dann ist $n$ ein Vielfaches von $a$.

Zahlentafel: Vielfache entdecken

In der Tafel von $1$ bis $40$ sind die Vielfachen von $4$ fett markiert. Lies sie zeilenweise.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Das Muster setzt sich fort. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vielfachen von $4$ liegen auf der Zahlengeraden immer genau $4$ Einheiten.

Interaktive Zahlentafel: Erst überlegen, dann aufklappen

Bevor Du die Lösung öffnest, markiere auf Papier alle Vielfachen von $5$ zwischen $1$ und $50$.

Lösung anzeigen
$5,10,15,20,25,30,35,40,45,50$

Das Einmaleins als Vielfachen-Muster

In einer Einmaleins-Tafel begegnen Dir Vielfache ständig. In der Dreierreihe stehen Vielfache von $3$, in der Siebenerreihe Vielfache von $7$. Produkte an Kreuzungspunkten können zu mehreren Reihen gehören: $12$ liegt zum Beispiel in der Zweier-, Dreier-, Vierer-, Sechser- und Zwölferreihe.

Zwei kurze Erklärvideos

Das erste Video führt die Begriffe Teiler und Vielfaches auf dem Niveau der Klasse 5 ein.

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Das zweite Video erklärt Teiler und Vielfache ebenfalls anhand elementarer Beispiele.

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Nutze die Videos aktiv: Pausiere vor einem Ergebnis, rechne selbst und vergleiche anschließend.

Mini-Check: Teiler oder nicht?

Aussage	Ordne zu
$3\mid 15$	Teiler
$4\nmid 15$	Kein Teiler
$5\mid 20$	Teiler
$6\nmid 20$	Kein Teiler

Mini-Check: Vielfaches oder nicht?

Aussage	Ordne zu
$18=3\cdot 6$	Vielfaches von 3
$20=4\cdot 5$	Vielfaches von 4
$14=7\cdot 2$	Vielfaches von 7
$25=5\cdot 5$	Vielfaches von 5

Häufige Stolperstellen

Stolperstelle	Besser denken
„$3$ ist ein Vielfaches von $12$.“	Prüfe die Richtung: $12=3\cdot 4$. Also ist $3$ Teiler von $12$ und $12$ Vielfaches von $3$.
„Ein Teiler darf Rest lassen.“	Nein. Ein Teiler passt ohne Rest.
„Nach fünf Vielfachen ist Schluss.“	Nein. Die Folge $a,2a,3a,\dots$ geht immer weiter.
„Ich suche Teiler nur mit Division.“	Du kannst auch Punktefelder und Teilerpaare über Multiplikation nutzen.

Merkkarte

Begriff	Frage an Dich	Beispiel
Teiler	„Kann ich die Zahl ohne Rest in Gruppen dieser Größe aufteilen?“	$4\mid 20$, weil $20:4=5$.
Vielfaches	„Entsteht die Zahl durch wiederholtes Addieren oder Multiplizieren mit dieser Zahl?“	$20=5\cdot 4$, also ist $20$ ein Vielfaches von $5$.
Teilerpaar	„Welche zwei Faktoren ergeben zusammen als Produkt die Zahl?“	$3\cdot 8=24$, also bilden $3$ und $8$ ein Teilerpaar von $24$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist ein Teiler von 18? (6) (!7) (!8) (!10)

Welche Zahl ist ein Vielfaches von 5? (20) (!12) (!18) (!22)

Welche Rechnung zeigt, dass 4 ein Teiler von 24 ist? (4 mal 6 gleich 24) (!4 plus 6 gleich 10) (!24 plus 4 gleich 28) (!24 minus 6 gleich 18)

Wie lautet die vollständige Teilermenge von 10? (1 2 5 10) (!1 2 4 10) (!2 5 10 20) (!1 3 5 10)

Welches ist das nächste positive Vielfache von 6 nach 24? (30) (!25) (!28) (!32)

Was muss bei einer Teilung durch einen Teiler gelten? (Es bleibt kein Rest) (!Es bleibt immer Rest eins) (!Das Ergebnis ist immer null) (!Die Zahl wird immer größer)

Welche Aussage zu 3 und 15 ist richtig? (3 ist ein Teiler von 15) (!15 ist ein Teiler von 3) (!3 ist kein Teiler von 15) (!15 ist kein Vielfaches von 3)

Welche Zahl gehört nicht zu den positiven Vielfachen von 4? (18) (!8) (!12) (!20)

Welche beiden Zahlen bilden ein Teilerpaar von 24? (4 und 6) (!5 und 6) (!3 und 7) (!2 und 11)

Was ist der Unterschied zwischen Teilern und positiven Vielfachen einer positiven natürlichen Zahl? (Es gibt endlich viele Teiler und unendlich viele positive Vielfache) (!Es gibt unendlich viele Teiler und endlich viele positive Vielfache) (!Es gibt immer gleich viele Teiler und positive Vielfache) (!Jede Zahl hat genau zwei Teiler und zwei positive Vielfache)

Memory

Teiler	Aufteilen ohne Rest
Vielfaches	Ergebnis einer passenden Multiplikation
Teilerpaar	Zwei Faktoren mit demselben Produkt
Teilermenge	Alle positiven Teiler einer Zahl
Vielfachenmenge	Fortgesetzte positive Mehrfache einer Zahl
Punktefeld	Sichtbare Gruppierung gleicher Mengen
Zahlengerade	Gleich große Sprünge zeigen Vielfache
Rest	Übrig gebliebene Elemente beim Teilen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teiler	Aufteilen ohne Rest
Vielfaches	Wiederholte gleich große Schritte
Teilerpaar	Zwei passende Faktoren
Punktefeld	Rechteckige Gruppierung
Zahlengerade	Sichtbare Sprungfolge

Kreuzworträtsel

Teiler	Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann
Vielfaches	Ergebnis aus einer Zahl und einem natürlichen Faktor
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Division	Rechenart zum Aufteilen
Punktefeld	Anordnung von Punkten in gleich langen Reihen
Zahlengerade	Darstellung, auf der gleich große Sprünge sichtbar werden

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein einer Zahl passt beim Aufteilen ohne Rest. Die Zahl $4$ ist ein Teiler von $20$, weil $20:4$ genau ergibt. Die positiven Teiler von $12$ bilden zusammen die . Ein entsteht durch Multiplikation mit einer positiven natürlichen Zahl. Die Folge $6,12,18,24,\dots$ zeigt positive Vielfache von . Auf der Zahlengeraden erscheinen Vielfache als gleich große . Aus $3\cdot 8=24$ folgt, dass $3$ und $8$ ein von $24$ bilden. Ist $a$ ein Teiler von $n$, dann ist $n$ ein von $a$.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Punktefeld legen: Nimm 12 Münzen, Knöpfe oder Papierpunkte. Lege alle möglichen rechteckigen Anordnungen und fotografiere oder zeichne sie. Schreibe zu jedem Rechteck eine Multiplikation.
2. Teiler sammeln: Wähle eine Zahl zwischen 10 und 30. Finde alle positiven Teiler mit Teilerpaaren und erkläre Deinen Suchweg in drei bis fünf Sätzen.
3. Vielfachen-Spur: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 40 und markiere die positiven Vielfachen von 4. Verbinde die Markierungen mit gleich großen Sprüngen.
4. Zahlentafel markieren: Erstelle eine Tafel von 1 bis 50. Kennzeichne die Vielfachen von 5 und beschreibe das Muster.

Standard

1. Teilerkarten: Gestalte Karten mit Zahlen und passenden Teilerpaaren. Tausche sie mit einer Partnerperson und kontrolliert Euch gegenseitig.
2. Rest-Experiment: Verteile 18 Gegenstände nacheinander in Gruppen zu 2, 3, 4, 5 und 6. Dokumentiere, wann ein Rest bleibt und was das für die Teiler bedeutet.
3. Zwei Vielfachenmengen vergleichen: Notiere die ersten zehn positiven Vielfachen von 3 und von 4. Kreise gemeinsame Zahlen ein und formuliere, was Dir auffällt.
4. Erklärclip: Produziere einen höchstens zweiminütigen Clip, in dem Du mit Plättchen erklärst, warum 6 ein Teiler von 24 ist und 24 ein Vielfaches von 6.

Schwer

1. Zahlen mit vielen Teilern: Untersuche die Zahlen von 1 bis 30. Finde eine Zahl mit besonders vielen positiven Teilern und begründe Deine Wahl mit einer vollständigen Teilermenge.
2. Vielfachen-Muster: Vergleiche die Vielfachen von 2, 3 und 6 bis 60. Entwickle eine Vermutung darüber, welche Zahlen gleichzeitig Vielfache von 2 und 3 sind.
3. Sortierspiel entwickeln: Erfinde ein analoges oder digitales Sortierspiel mit mindestens 20 Zahlenkarten zu den Kategorien „Teiler von 24“, „Vielfaches von 6“ und „keines von beidem“. Erstelle eine Lösungskarte.
4. Alltagsproblem erfinden: Formuliere eine Sachaufgabe, in der Gegenstände ohne Rest in gleich große Gruppen verteilt werden müssen. Löse die Aufgabe, erkläre die Teiler und stelle zusätzlich eine passende Vielfachenfrage.

Lernkontrolle

1. Aufteilen begründen: 24 Trinkpäckchen sollen in gleich große Kisten verteilt werden. Prüfe die Gruppengrößen 3, 5, 6 und 8. Begründe für jede Größe mit Rechnung oder Rest, ob sie möglich ist.
2. Darstellungen wechseln: Stelle $18=3\cdot 6$ als Punktefeld, als Divisionsaussage und als Aussage über Teiler und Vielfache dar.
3. Fehleranalyse: Jemand sagt: „Weil $4\cdot 5=20$, ist 20 ein Teiler von 4.“ Erkläre den Denkfehler und formuliere die richtige Aussage.
4. Mengen vergleichen: Notiere die positiven Vielfachen von 4 und 6 bis 50. Finde gemeinsame Zahlen und erkläre, wie die Sprünge auf zwei Zahlengeraden zusammenpassen.
5. Teilerstrategie: Entwickle einen sicheren Plan, mit dem Du alle positiven Teiler von 36 findest, ohne einen zu vergessen. Wende Deinen Plan an und erkläre, warum er vollständig ist.
6. Sitzordnung: Eine Klasse hat 28 Lernende. Finde alle Möglichkeiten, gleich lange Reihen ohne freie Plätze zu bilden. Übersetze jede Möglichkeit in ein Teilerpaar.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Teiler erklären: Du kannst „Teiler“ mit einer konkreten Aufteilung ohne Rest und mit einer passenden Rechnung erklären.
2. Vielfaches erklären: Du kannst positive Vielfache durch Multiplikation und wiederholte Addition darstellen.
3. Teilermengen bilden: Du findest bei kleinen natürlichen Zahlen alle positiven Teiler und ordnest sie sinnvoll in Teilerpaare.
4. Vielfachenfolgen bilden: Du setzt einfache Vielfachenfolgen sicher fort.
5. Zusammenhang darstellen: Du kannst aus $a\cdot b=n$ Aussagen über Teiler und Vielfache ableiten.
6. Darstellungen verbinden: Du kannst zwischen Punktefeld, Gruppierung, Division, Multiplikation, Zahlengerade und Zahlentafel wechseln.
7. Begründen: Du erklärst nicht nur das Ergebnis, sondern warum eine Zahl Teiler oder Vielfaches ist.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Teilbarkeit erklärt die mathematische Beziehung „teilt“ und die Schreibweise $a\mid b$.

Zusätzlich kannst Du den Artikel zum Begriff Vielfaches nutzen.

Freie und eingebettete Medien

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateiseiten mit freien Lizenzen beziehungsweise einer freien Widmung dokumentiert. Die YouTube-Videos werden eingebettet und nicht kopiert oder verändert.

1. Cuisenaire-Stäbe: Veranschaulichung von Aufteilungen.
2. Factor and multiple: Direkter Vergleich von Faktor und Vielfachem.
3. Zahlengeraden-Grafik: Multiplikation an der Zahlengeraden.
4. Multiplikations-Animation: Animierte Multiplikationsdarstellung.
5. Einmaleins-Tafel: Skalierte Einmaleins-Tafel als SVG.

Verknüpfte Lernbereiche

Teiler und Vielfache Natürliche Zahlen Multiplikation Division Teilbarkeit Teilermenge Vielfachenmenge Primzahl Größter gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches