M5 G - Schriftlich addieren und subtrahieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

M5 G - Schriftlich addieren und subtrahieren ist ein aiMOOC für die Klasse 5 auf G-Niveau. Du trainierst die schriftliche Addition und Subtraktion so, dass Du nicht nur ein Verfahren auswendig ausführst, sondern jeden Schritt über das Stellenwertsystem erklären kannst.

Das wichtigste Prinzip lautet:

$10\text{Einer}=1\text{Zehner},10\text{Zehner}=1\text{Hunderter},10\text{Hunderter}=1\text{Tausender}$

Beim Addieren wird bei Bedarf gebündelt. Beim Subtrahieren wird bei Bedarf entbündelt. Genau deshalb funktionieren Überträge und Entbündelungen.

So arbeitest Du mit diesem aiMOOC: Rechne jede Beispielaufgabe zunächst selbst, vergleiche dann den Rechenweg, erkläre den Stellenwert-Schritt laut und führe am Ende eine Probe oder Überschlagsrechnung durch. Wiederhole Aufgaben, bei denen Du noch unsicher bist.

Lernziele

1. Stellenwerte verstehen: Du erklärst Einer, Zehner, Hunderter und Tausender als Bündelungen im Zehnersystem.
2. Stellengerecht addieren: Du schreibst Zahlen korrekt untereinander und rechnest von rechts nach links.
3. Überträge verstehen: Du deutest einen Übertrag als Bündelung von zehn Einheiten einer Stelle zu einer Einheit der nächsthöheren Stelle.
4. Stellengerecht subtrahieren: Du nutzt das Abziehverfahren mit Entbündeln.
5. Ergebnisse prüfen: Du kontrollierst durch Überschlag und Umkehraufgabe.
6. Fehler erklären: Du erkennst typische Fehler und begründest ihre Korrektur.

Das Stellenwertsystem als Grundlage

Im Dezimalsystem hat jede Stelle einen zehnmal so großen Wert wie die Stelle rechts daneben.

Für die Zahl $4382$ gilt:

$4382=4\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+2\cdot 1$

Tausender T	Hunderter H	Zehner Z	Einer E
4	3	8	2
$4000$	$300$	$80$	$2$

Merksatz: Eine Ziffer zeigt nur, wie viele Einheiten einer Stelle vorhanden sind. Erst ihre Position legt den Wert fest. Die Ziffer $4$ bedeutet in $4382$ also $4000$, in $842$ aber $40$.

Bündeln und Entbündeln

Handlung	Gleichwertige Darstellung	Bedeutung
Bündeln	$10E=1Z$	Zehn Einer werden zu einem Zehner.
Bündeln	$10Z=1H$	Zehn Zehner werden zu einem Hunderter.
Entbündeln	$1Z=10E$	Ein Zehner wird in zehn Einer getauscht.
Entbündeln	$1H=10Z$	Ein Hunderter wird in zehn Zehner getauscht.
Entbündeln	$1T=10H$	Ein Tausender wird in zehn Hunderter getauscht.

Interaktives Stellenwertmodell: Verändere die Anzahl der Blöcke und nutze Zusammensetzen beziehungsweise Zerlegen. Beobachte dabei, dass sich der Zahlenwert beim korrekten Bündeln oder Entbündeln nicht ändert.

Interaktive Stellenwerttafel für Klasse 5–6:

Addition und Subtraktion auf der Zahlengeraden

Addition bedeutet bei positiven natürlichen Zahlen: Du gehst auf der Zahlengeraden nach rechts. Subtraktion bedeutet: Du gehst nach links.

Beispiel:

$125+30=155$

Du gehst von $125$ um $30$ nach rechts.

$155-30=125$

Du gehst von $155$ um $30$ nach links.

Dynamische Zahlengerade zur Subtraktion:

Schriftlich addieren

Bei der schriftlichen Addition müssen gleiche Stellen genau untereinanderstehen:

$E\text{unter}E,Z\text{unter}Z,H\text{unter}H,T\text{unter}T$

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Das sichere Verfahren in fünf Schritten

Schritt	Was Du tust	Warum das stimmt
1	Schreibe die Summanden stellengerecht untereinander.	Nur gleiche Stellenwerte dürfen direkt miteinander verrechnet werden.
2	Beginne ganz rechts bei den Einern.	Ein möglicher Übertrag geht immer zur nächsthöheren Stelle links.
3	Addiere die Ziffern einer Spalte und vorhandene Überträge.	Du addierst gleichwertige Einheiten.
4	Ist die Zwischensumme mindestens $10$, bündele.	$10$ Einheiten einer Stelle werden $1$ Einheit der nächsthöheren Stelle.
5	Rechne Spalte für Spalte nach links weiter und prüfe das Ergebnis.	Das Verfahren erfasst so alle Stellen.

Beispiel: $2786+3457$

Schritt 1: stellengerecht aufschreiben

$\begin{array}{ccccc}& T& H& Z& E\\ & 2& 7& 8& 6\\ +& 3& 4& 5& 7\\ & & & & \end{array}$

Schritt 2: Einer

$6E+7E=13E=1Z+3E$

Du schreibst $3$ bei den Einern und überträgst $1Z$ in die Zehnerspalte.

Schritt 3: Zehner

$8Z+5Z+1Z=14Z=1H+4Z$

Du schreibst $4$ bei den Zehnern und überträgst $1H$.

Schritt 4: Hunderter

$7H+4H+1H=12H=1T+2H$

Du schreibst $2$ bei den Hundertern und überträgst $1T$.

Schritt 5: Tausender

$2T+3T+1T=6T$

Damit gilt:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 7& 8& 6\\ +& 3& 4& 5& 7\\ & 6& 2& 4& 3\end{array}$

$2786+3457=6243$

Stellenwert-Erklärung: Der Übertrag ist keine geheimnisvolle „Merkzahl“. Er ist ein echtes Bündel. Aus $13$ Einern werden $1$ Zehner und $3$ Einer.

Animierter und interaktiver Rechenweg

Im folgenden GeoGebra-Material kannst Du die schriftliche Addition untersuchen und Fragen zu Überträgen beantworten.

Addition mit mehreren Summanden

Auch bei mehreren Summanden bleibt das Prinzip gleich. Beispiel:

$\begin{array}{ccccc}& 1& 2& 4& 8\\ +& & 7& 5& 6\\ +& 2& 0& 9& 5\\ & 4& 0& 9& 9\end{array}$

Kontrolle:

$1248+756+2095=4099$

Achte besonders darauf, dass auch kürzere Zahlen rechtsbündig, also an der Einerstelle, ausgerichtet werden.

Selbstkontrolle zur Addition

Überschlag:

$2786\approx 2800,3457\approx 3500$

$2800+3500=6300$

Das genaue Ergebnis $6243$ liegt nahe bei $6300$. Es ist also plausibel.

Umkehraufgabe:

$6243-3457=2786$

Wenn die Umkehraufgabe stimmt, ist das ein starker Hinweis darauf, dass Deine Addition richtig ist.

Trainingsschleife Addition

Rechne zuerst ohne Lösung. Öffne die Kontrolle erst danach.

Runde	Aufgabe A	Aufgabe B	Schwerpunkt
1	$243+516$	$1240+2531$	ohne Übertrag
2	$368+457$	$2735+1486$	mit Überträgen
3	$4789+2867$	$9056+3788$	mehrere Überträge

Lösungen Addition – erst nach dem Rechnen öffnen

$243+516=759$
$1240+2531=3771$
$368+457=825$
$2735+1486=4221$
$4789+2867=7656$
$9056+3788=12844$

Schriftlich subtrahieren

In diesem aiMOOC verwenden wir durchgehend das Abziehverfahren mit Entbündeln. So kannst Du jeden Rechenschritt direkt am Stellenwertsystem erklären.

Bei

$a-b=c$

heißt $a$ Minuend, $b$ Subtrahend und $c$ Differenz.

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Das sichere Verfahren in fünf Schritten

Schritt	Was Du tust	Stellenwert-Erklärung
1	Schreibe Minuend und Subtrahend stellengerecht untereinander.	Gleiche Stellen müssen übereinanderstehen.
2	Beginne bei den Einern.	Entbündelungen wirken jeweils von der nächsthöheren Stelle links.
3	Prüfe, ob die obere Ziffer groß genug ist.	Du kannst nur so viele Einheiten direkt wegnehmen, wie vorhanden sind.
4	Reicht sie nicht, entbündele eine Einheit links.	Zum Beispiel wird $1Z$ zu $10E$.
5	Subtrahiere und arbeite nach links weiter; prüfe mit Addition.	Die Probe nutzt die Umkehroperation.

Beispiel: $742-386$

Ausgangslage

$\begin{array}{cccc}& H& Z& E\\ & 7& 4& 2\\ -& 3& 8& 6\\ & & & \end{array}$

Einer: $2E-6E$ geht nicht direkt. Entbündele $1Z$:

$4Z+2E=3Z+12E$

Jetzt:

$12E-6E=6E$

Zehner: Nach der ersten Entbündelung sind noch $3Z$ vorhanden. $3Z-8Z$ geht nicht direkt. Entbündele $1H$:

$7H+3Z=6H+13Z$

Jetzt:

$13Z-8Z=5Z$

Hunderter:

$6H-3H=3H$

Ergebnis:

$\begin{array}{cccc}& 7& 4& 2\\ -& 3& 8& 6\\ & 3& 5& 6\end{array}$

$742-386=356$

Probe:

$356+386=742$

Entbündeln als Bildfolge

Die folgenden frei lizenzierten Commons-Bilder zeigen Schritte einer schriftlichen Subtraktion mit Entbündelung. Betrachte besonders, wie sich die Notation verändert, ohne dass der Wert des Minuenden verändert wird.

• 
  Zwischenschritt
• 
  Entbündelung im Rechenweg
• 
  Fortgeschrittener Rechenschritt

Interaktives Entbündelungsmodell: Verschiebe beziehungsweise zerlege Zehnerblöcke und beobachte das Umgruppieren.

Schwieriger Fall: Eine Null im Minuenden

Berechne:

$5032-2786$

Bei den Einern gilt:

$2E-6E$

Du entbündelst einen Zehner:

$3Z+2E=2Z+12E$

Also:

$12E-6E=6E$

Bei den Zehnern gilt nun:

$2Z-8Z$

In der Hunderterstelle steht aber $0$. Deshalb musst Du zuerst einen Tausender entbündeln:

$5T+0H=4T+10H$

Dann entbündelst Du einen dieser Hunderter:

$10H+2Z=9H+12Z$

Jetzt kannst Du rechnen:

$12Z-8Z=4Z$

$9H-7H=2H$

$4T-2T=2T$

Damit:

$5032-2786=2246$

Probe:

$2246+2786=5032$

Selbstkontrolle zur Subtraktion

Nutze möglichst zwei Kontrollen:

1. Überschlag: Runde grob. Für $5032-2786$ erhältst Du ungefähr $5000-2800=2200$. Das Ergebnis $2246$ ist plausibel.
2. Umkehraufgabe: Rechne $\text{Differenz}+\text{Subtrahend}=\text{Minuend}$. Hier also $2246+2786=5032$.

Trainingsschleife Subtraktion

Runde	Aufgabe A	Aufgabe B	Schwerpunkt
1	$854-321$	$9876-4321$	ohne Entbündeln
2	$731-468$	$8421-3567$	mit Entbündeln
3	$6002-3587$	$10000-4768$	Entbündeln über Nullen

Lösungen Subtraktion – erst nach dem Rechnen öffnen

$854-321=533$
$9876-4321=5555$
$731-468=263$
$8421-3567=4854$
$6002-3587=2415$
$10000-4768=5232$

Typische Fehler verstehen

Fehler sind besonders nützlich, wenn Du erklären kannst, warum sie entstehen.

Fehlerbild	Was ist falsch?	Korrekturidee
$456+78$ wird so notiert, dass $78$ links statt rechts ausgerichtet ist.	Zehner und Einer stehen nicht unter gleichen Stellenwerten.	Beginne beim Eintragen immer an der Einerstelle rechts.
Bei $587+468$ entsteht $945$.	Die Überträge aus $7+8=15$ und $8+6+1=15$ wurden vergessen.	Bündel jeden zweistelligen Spaltenwert sofort.
Bei $703-248$ wird in einer Spalte einfach die kleinere Ziffer von der größeren abgezogen.	Es wird nicht beachtet, welche Zahl oben steht.	Entbündele im Minuenden und bleibe bei der Richtung oben minus unten.
Bei $6002-3587$ wird an der Null „gestoppt“.	Entbündeln über eine Null wurde nicht weitergeführt.	Gehe nach links bis zur nächsten nichtnulligen Stelle und entbündele schrittweise zurück.

Fehlerdetektiv: Erkläre zu jedem Beispiel den Fehler mit den Wörtern Stellenwert, bündeln oder entbündeln. Rechne danach die Aufgabe vollständig richtig.

Zweites Erklärvideo zur Entbündelung

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Wiederholen – Prüfen – Verbessern

Nutze diese feste Lernroutine:

Phase	Deine Handlung	Selbstfrage
Wiederholen	Rechne zwei Aufgaben derselben Art.	Kann ich jeden Schritt ohne Hilfe ausführen?
Erklären	Sprich bei jedem Übertrag oder jeder Entbündelung den Stellenwertsatz.	Was wurde hier gebündelt oder entbündelt?
Prüfen	Nutze Überschlag und Umkehraufgabe.	Ist das Ergebnis ungefähr richtig und stimmt die Probe?
Verbessern	Markiere genau die fehlerhafte Stelle und rechne ab dort neu.	Welcher Stellenwert war die Ursache?

5-Minuten-Training:

1. Rechne $426+357$.
2. Rechne $905-478$.
3. Erkläre einen Übertrag aus der ersten Aufgabe in einem Satz.
4. Erkläre eine Entbündelung aus der zweiten Aufgabe in einem Satz.
5. Prüfe beide Ergebnisse.

Kontrolle 5-Minuten-Training

$426+357=783$
$905-478=427$
Probe: $427+478=905$

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenziert; die jeweilige Dateibeschreibungsseite enthält Urheberangabe und Lizenzdetails.

Medium	Lizenz laut Commons-Dateiseite
Base ten blocks (transparent).svg	CC0 1.0
Values of digits in the Decimal numeral system.svg	CC BY-SA 4.0
Base Ten Block.png	CC BY-SA 4.0
Number line with addition of 1 and 2.svg	CC BY 3.0
Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG	CC BY-SA 3.0 und GFDL

Die eingebetteten GeoGebra-Materialien stammen von ihren jeweils angegebenen Autorinnen und Autoren auf GeoGebra. Die YouTube-Videos werden über die YouTube-Einbettung angezeigt; in diesem aiMOOC wird kein Sofatutor-Material verwendet.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie müssen Zahlen für die schriftliche Addition untereinanderstehen? (Gleiche Stellenwerte stehen untereinander) (!Die größte Ziffer steht immer links) (!Alle Zahlen beginnen an derselben linken Kante) (!Die Einer stehen unter den Hundertern)

Bei welcher Stelle beginnst Du beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren natürlicher Zahlen? (Bei den Einern) (!Bei den Tausendern) (!Bei der größten Ziffer) (!In der Mitte)

Was bedeutet eine Entbündelung von einem Zehner? (Ein Zehner wird zu zehn Einern) (!Ein Zehner wird zu einem Einer) (!Zehn Zehner werden zu einem Einer) (!Ein Einer wird zu zehn Zehnern)

Was passiert bei der Addition, wenn in einer Spalte 14 entsteht? (Die 4 bleibt in der Spalte und 1 wird zur nächsten Stelle übertragen) (!Die 14 wird vollständig in dieselbe Stelle geschrieben) (!Die 1 wird gestrichen) (!Die 4 wird zur nächsten Stelle übertragen)

Wie lautet das Ergebnis von 368 plus 457? (825) (!715) (!815) (!935)

Wie lautet das Ergebnis von 742 minus 386? (356) (!466) (!344) (!456)

Warum ist ein Übertrag keine beliebige Merkzahl? (Er beschreibt eine Bündelung im Stellenwertsystem) (!Er ersetzt das Pluszeichen) (!Er zeigt die Anzahl der Aufgaben) (!Er rundet das Ergebnis)

Welche Probe passt zu 900 minus 437 gleich 463? (463 plus 437 gleich 900) (!900 plus 437 gleich 463) (!463 minus 437 gleich 900) (!437 minus 463 gleich 900)

Was ist ein typischer Fehler beim Aufschreiben von 456 plus 78? (Die 78 wird nicht an der Einerstelle ausgerichtet) (!Die 6 steht an der Einerstelle) (!Das Pluszeichen steht vor dem zweiten Summanden) (!Die Zahlen werden untereinander geschrieben)

Wie lautet das Ergebnis von 6002 minus 3587? (2415) (!2515) (!2425) (!3415)

Memory

Summand	Zahl, die addiert wird
Summe	Ergebnis einer Addition
Minuend	Zahl, von der etwas abgezogen wird
Subtrahend	Zahl, die abgezogen wird
Übertrag	Bündelung zur nächsthöheren Stelle
Entbündeln	Eine höhere Stelle in zehn niedrigere Einheiten tauschen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Fehlerdiagnose
Versetzte Einer	Stellenwertfehler
Übertrag vergessen	Bündelungsfehler
Kleinere Ziffer einfach von größerer abgezogen	Entbündelungsfehler
An einer Null abgebrochen	Kettenentbündelungsfehler
Ergebnis ungeprüft übernommen	Kontrollfehler

Kreuzworträtsel

Stellenwert	Wie heißt der Wert, den eine Ziffer durch ihre Position erhält?
Übertrag	Wie heißt die notierte Bündelung bei der schriftlichen Addition?
Summand	Wie heißt eine Zahl, die addiert wird?
Minuend	Wie heißt die Zahl, von der bei einer Subtraktion etwas abgezogen wird?
Entbündeln	Wie heißt das Tauschen einer höheren Einheit in zehn niedrigere Einheiten?
Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim schriftlichen Rechnen müssen gleiche genau untereinanderstehen.

Du beginnst beim schriftlichen Addieren in der Spalte der .

Entsteht beim Addieren eine zweistellige Zwischensumme, brauchst Du einen .

Zehn Einer können zu einem gebündelt werden.

Reichen bei einer Subtraktion die Einer nicht aus, musst Du eine höhere Stelle .

Beim Abziehverfahren rechnest Du in jeder Spalte oben unten.

Das Ergebnis einer Addition heißt .

Das Ergebnis einer Subtraktion heißt .

Eine Subtraktion kannst Du besonders gut durch die passende prüfen.

Ein grobes Ergebnis zum Prüfen erhältst Du durch einen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwertplakat: Gestalte ein Plakat mit T, H, Z und E. Zeige an mindestens drei Zahlen, welchen Wert jede Ziffer besitzt.
2. Bündelgeschichte: Zeichne mit Punkten oder Zehnerstangen, wie aus $13$ Einern $1$ Zehner und $3$ Einer werden.
3. Rechenvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo zu $247+586$. Sprich jeden Übertrag als Stellenwertsatz aus.
4. Fehlerkarte: Erfinde eine falsche schriftliche Addition und schreibe auf die Rückseite, an welcher Stelle der Fehler liegt und wie er verbessert wird.

Standard

1. Entbündelungsbild: Zeichne die Rechnung $631-284$ mit Hunderterflächen, Zehnerstangen und Einerwürfeln. Dokumentiere jede Entbündelung.
2. Partnercheck: Rechne mit einer Partnerin oder einem Partner je drei Additionen und Subtraktionen. Kontrolliert gegenseitig nur die Stellenwertausrichtung und die Überträge beziehungsweise Entbündelungen.
3. Alltagsaufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe, die mit einer vierstelligen Addition gelöst wird. Löse sie schriftlich und prüfe mit Überschlag.
4. Fehlerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler: Welche Fehler passieren beim schriftlichen Subtrahieren häufig? Ordne die Antworten den Kategorien Stellenwert, Entbündeln und Rechenfehler zu.

Schwer

1. Nullenfall: Erkläre mit einer selbst gestalteten Schrittfolge, warum bei $7004-2867$ über mehrere Stellen entbündelt werden muss.
2. Verfahrensvergleich: Vergleiche Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen und schriftliches Rechnen an zwei selbst gewählten Aufgaben. Begründe, wann welches Verfahren sinnvoll ist.
3. Erklärmodell: Baue aus Papier oder Bausteinen ein bewegliches Stellenwertmodell, mit dem Du Bündeln und Entbündeln vorführen kannst. Fotografiere oder filme die einzelnen Zustände.
4. Mini-Lernstation: Entwickle eine Lernstation mit einer Einstiegsaufgabe, einer Fehleranalyse, zwei Übungsaufgaben und einer Selbstkontrolle. Teste sie mit einer anderen Person und verbessere sie danach.

Lernkontrolle

1. Stellenwert erklären: Begründe ohne bloßes Nennen der Regel, warum bei $2687+1758$ an der Einerstelle ein Übertrag entsteht und welchen Wert dieser Übertrag besitzt.
2. Fehler übertragen: Eine Person schreibt bei $503+79$ die $79$ unter Hunderter und Zehner. Erkläre, welches Stellenwertproblem entsteht, und beschreibe eine zuverlässige Strategie zur Vermeidung.
3. Entbündelung begründen: Erkläre an $802-457$, warum beim Entbündeln der Gesamtwert des Minuenden gleich bleibt.
4. Probe auswählen: Entwickle für $6402-2758$ zwei verschiedene Kontrollen und erkläre, welche Art von Fehler jede Kontrolle besonders gut aufdecken kann.
5. Sachproblem modellieren: Formuliere eine Alltagssituation, die zu $3250-1875$ passt. Löse sie schriftlich und deute das Ergebnis im Kontext.
6. Verfahren beurteilen: Eine Schülerin sagt: „Ich beginne links, weil dort die größte Stelle steht.“ Erkläre, warum das beim schriftlichen Verfahren mit Überträgen und Entbündelungen problematisch ist.
7. Transferaufgabe: Ohne vollständig auszurechnen: Entscheide, ob $4987+3016$ eher bei $7000$, $8000$ oder $9000$ liegt. Begründe und nutze das Ergebnis anschließend zur Kontrolle der exakten Rechnung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Rechenschritte nachvollziehbar begründest.

1. Du kannst natürliche Zahlen stellengerecht in eine Stellenwerttafel eintragen.
2. Du kannst schriftliche Additionen mit und ohne Übertrag sicher ausführen.
3. Du kannst einen Übertrag als Bündelung im Dezimalsystem erklären.
4. Du kannst schriftliche Subtraktionen mit dem Abziehverfahren und Entbündeln sicher ausführen.
5. Du kannst Entbündelungen, auch über Nullen hinweg, erklären.
6. Du kannst Ergebnisse durch Überschlag und Umkehraufgaben kontrollieren.
7. Du kannst typische Fehler erkennen, verbessern und mit Stellenwertbegriffen begründen.
8. Du kannst das Verfahren auf Sachaufgaben übertragen und Ergebnisse sinnvoll deuten.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Stellenwertsystem vertieft die mathematische Grundlage dieses aiMOOCs:

Weitere interaktive OER in diesem aiMOOC sind die eingebetteten GeoGebra-Materialien zu Stellenwert, Basis-10-Blöcken, schriftlicher Addition, dynamischer Subtraktion und Zahlengerade.

Verknüpfte Lernbereiche

Schriftlich addieren und subtrahieren Stellenwertsystem Natürliche Zahlen Addition Subtraktion Übertrag Entbündeln Überschlag Probe Sachaufgaben