M5 G - Primzahlen entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Primzahlen sind besondere natürliche Zahlen. Du kannst sie nicht daran erkennen, ob sie groß oder klein aussehen. Entscheidend ist die Frage: Wie viele positive Teiler hat die Zahl?

In diesem aiMOOC entdeckst Du Primzahlen mit Punkten, Rechtecken, Zahlentafeln, einer Zahlengeraden und einer vereinfachten Form des Siebs des Eratosthenes. Du arbeitest dabei immer wieder selbst: Du ordnest Punkte, prüfst Teiler, streichst Vielfache und begründest Deine Entscheidungen.

Lernziele: Am Ende kannst Du erklären, was eine Primzahl ist, die Zahlen $1$ und $2$ richtig einordnen, kleine Primzahlen finden und ein einfaches Primzahlsieb anwenden.

Das weißt Du am Ende	Mathematische Kurzform
Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler.	$d(p)=2$
Die beiden Teiler einer Primzahl $p$ sind $1$ und $p$.	$T(p)=\{1,p\}$
Die $1$ ist keine Primzahl.	$d(1)=1$
Die $2$ ist die kleinste und einzige gerade Primzahl.	$T(2)=\{1,2\}$

Punkte lassen sich zu Rechtecken anordnen. Bei Primzahlen bleibt außer der Einserreihe kein zweites echtes Rechteck übrig.

Was ist ein Teiler?

Eine natürliche Zahl $a$ ist ein Teiler von $n$, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Du kannst das als Multiplikation prüfen:

Zahl	Passende Rechnung	Teiler
$6$	$6=1\cdot 6=2\cdot 3$	$1,2,3,6$
$7$	$7=1\cdot 7$	$1,7$
$10$	$10=1\cdot 10=2\cdot 5$	$1,2,5,10$
$13$	$13=1\cdot 13$	$1,13$

Merke: $1$ und die Zahl selbst sind immer Teiler einer positiven natürlichen Zahl. Eine Primzahl hat keine weiteren positiven Teiler.

Primzahl oder zusammengesetzte Zahl?

Für Zahlen größer als $1$ gilt:

Art der Zahl	Anzahl positiver Teiler	Beispiel
Primzahl	genau $2$	$11:1,11$
Zusammengesetzte Zahl	mehr als $2$	$12:1,2,3,4,6,12$
Sonderfall $1$	genau $1$	nur $1$

Bei zusammengesetzten Zahlen lassen sich Punkte auch zu einem Rechteck mit mehr als einem Punkt in beiden Richtungen ordnen. Bei Primzahlen gelingt das nicht.

Punktefelder: Rechtecke verraten Teiler

Stell Dir vor, jede Zahl ist eine Menge aus Punkten.

Zahl	Punktefeld-Idee	Rechnung	Ergebnis
$5$	$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$	$5=1\cdot 5$	Primzahl
$6$	$\begin{array}{ccc}\bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet \end{array}$	$6=2\cdot 3$	zusammengesetzt
$7$	$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$	$7=1\cdot 7$	Primzahl
$9$	$\begin{array}{ccc}\bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet \end{array}$	$9=3\cdot 3$	zusammengesetzt

Suchauftrag: Lege mit Plättchen oder zeichne Punktefelder für $8,11,12,13,15$. Sobald Du ein Rechteck mit mindestens $2$ Reihen und mindestens $2$ Spalten bauen kannst, ist die Zahl zusammengesetzt.

Warum ist 1 keine Primzahl?

Die Zahl $1$ hat nur einen positiven Teiler:

$T(1)=\{1\}$

Eine Primzahl braucht aber genau zwei positive Teiler. Deshalb ist $1$ weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl.

Warum ist 2 besonders?

Für $2$ gilt:

$T(2)=\{1,2\}$

Damit ist $2$ eine Primzahl. Gleichzeitig ist $2$ gerade. Jede größere gerade Zahl besitzt mindestens die Teiler $1$, $2$ und sich selbst. Deshalb ist $2$ die einzige gerade Primzahl.

Beispiel:

$14=2\cdot 7$

Also hat $14$ neben $1$ und $14$ auch $2$ und $7$ als Teiler. $14$ ist nicht prim.

Kleine Primzahlen auf der Zahlengeraden

Die Primzahlen bis $50$ sind:

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$

Zahlengerade von 1 bis 20 – finde die Primzahlen
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Beobachte: Ab $3$ sind Primzahlen ungerade. Aber nicht jede ungerade Zahl ist prim: $9=3\cdot 3$ und $15=3\cdot 5$ sind Gegenbeispiele.

Interaktive Zahlengeraden-Suche

Finde die gesuchte Primzahl auf der Zahlengeraden	Lage
11	liegt zwischen zehn und zwölf
17	liegt zwischen sechzehn und achtzehn
23	liegt zwischen zweiundzwanzig und vierundzwanzig
29	liegt zwischen achtundzwanzig und dreißig
47	liegt zwischen sechsundvierzig und achtundvierzig

Zahlentafel: Muster sehen

Die Zahlentafel unterscheidet Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen sowie $0$ und $1$. Nutze sie zum Kontrollieren, nicht zum bloßen Auswendiglernen.

Entdeckerfragen:

1. Gerade Zahlen: Welche Primzahl ist als einzige gerade?
2. Nachbarzahlen: Findest Du zwei Primzahlen mit Abstand $2$, zum Beispiel $11$ und $13$?
3. Teiler: Wähle eine zusammengesetzte Zahl und nenne mindestens einen Teiler außer $1$ und der Zahl selbst.

Das vereinfachte Sieb des Eratosthenes

Das Sieb des Eratosthenes ist ein Verfahren, mit dem Du systematisch Primzahlen findest. Es ist nach Eratosthenes benannt, einem Gelehrten der Antike. Historisch wichtig: Das Verfahren war wohl schon vor Eratosthenes bekannt; mit ihm wird besonders die Bezeichnung „Sieb“ verbunden. Für Klasse 5 reicht eine einfache Variante: Wir untersuchen die Zahlen von $2$ bis $50$ und streichen Vielfache.

Eine spätere künstlerische Darstellung von Eratosthenes.

Sieb-Anleitung bis 50

Schritt	Was Du tust	Warum?
Start	Schreibe die Zahlen von $2$ bis $50$ auf.	$1$ ist keine Primzahl.
Zweier-Sieb	Kreise $2$ ein und streiche $4,6,8,\dots ,50$.	Diese Zahlen haben den Teiler $2$.
Dreier-Sieb	Kreise $3$ ein und streiche die noch nicht gestrichenen Vielfachen $9,15,21,\dots$.	Diese Zahlen haben den Teiler $3$.
Fünfer-Sieb	Die $5$ bleibt stehen. Streiche noch nicht markierte Vielfache von $5$, zum Beispiel $25$ und $35$.	Sie haben den Teiler $5$.
Siebener-Sieb	Die $7$ bleibt stehen. Streiche noch nicht markierte Vielfache von $7$, zum Beispiel $49$.	Sie haben den Teiler $7$.
Ergebnis	Alle nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen.	Jede zusammengesetzte Zahl bis $50$ wurde erfasst.

Wichtig für das G-Niveau: Du musst nicht begründen, warum mathematisch schon bei $7$ Schluss sein darf. Für unsere Tafel bis $50$ genügt die praktische Regel: Siebe nacheinander mit $2,3,5,7$.

Visueller Rechenweg: So verschwinden zusammengesetzte Zahlen

Schritt 1 – mit 2 sieben

$4,6,8,10,12,14,\dots ,50$ werden gestrichen. Übrig bleiben $2$ und viele ungerade Kandidaten.

Schritt 2 – mit 3 sieben

$9,15,21,27,33,39,45$ werden zusätzlich gestrichen. $6,12,18,\dots$ waren schon im Zweier-Sieb weg.

Schritt 3 – mit 5 sieben

Neu wichtig sind vor allem $25$ und $35$. Andere Fünfer-Vielfache wie $10,20,30,40,50$ waren schon gestrichen.

Schritt 4 – mit 7 sieben

$49=7\cdot 7$ wird gestrichen. Danach sind alle übrig gebliebenen Zahlen bis $50$ prim.

Animiertes Sieb

Die Animation zeigt, wie Vielfache Schritt für Schritt entfernt werden.

Eine weitere Animation des Siebverfahrens: Neue Primzahlen bleiben stehen, ihre Vielfachen werden ausgesiebt.

Interaktive Sieb-Tafel bis 30

Arbeite von links nach rechts. Entscheide bei jeder Zahl: Primzahl bleibt oder zusammengesetzte Zahl wird gestrichen.

Zahlengruppe	Richtige Auswahl
$2,3,5,7$	Primzahlen bleiben
$4,6,8,10$	Zweier-Vielfache streichen
$9,15,21,27$	Dreier-Vielfache streichen
$25$	Fünfer-Vielfaches streichen
$11,13,17,19,23,29$	Primzahlen bleiben

Kontrollbild und Entdeckung

Vergleiche Dein eigenes Sieb mit der Darstellung. Erkläre anschließend in einem Satz, warum $21$ gestrichen wird und $23$ stehen bleibt.

$21=3\cdot 7$

Für $23$ findest Du dagegen nur die positiven Teiler $1$ und $23$.

Primzahlen als Muster: eine freiwillige Entdeckung

Primzahlen wirken zunächst unregelmäßig. Wenn man Zahlen spiralförmig anordnet, entstehen interessante Muster. Diese Darstellung heißt Ulam-Spirale. Du musst sie für dieses Thema nicht berechnen; sie ist eine Entdecker-Erweiterung.

Forschungsfrage: Welche Primzahlen bis $49$ erkennst Du in der Spirale wieder?

Lernvideo

Das folgende Video ist auf die Klassenstufen 5 und 6 ausgerichtet und behandelt sowohl die Teiler-Definition als auch das Sieb des Eratosthenes.

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Videoauftrag: Stoppe nach der Erklärung der Zahl $2$. Formuliere selbst, warum $2$ prim ist. Schaue dann weiter und vergleiche Deine Begründung.

Zweites Lernvideo: Wiederholung

Dieses kurze Lernvideo behandelt Primzahlen und das Sieb ebenfalls auf dem Niveau der Klasse 5.

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Suchauftrag zum Video: Notiere während des Anschauens drei Zahlen, die gestrichen werden. Schreibe zu jeder Zahl einen Teiler auf, der erklärt, warum sie nicht prim ist.

Medien und Quellen

Medium/Quelle	Einsatz im aiMOOC	Lizenz bzw. Hinweis
Punkte- und Rechteckdarstellung	Teiler und Faktoren sichtbar machen	CC0
Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen	Punktefelder vergleichen	CC0
Zahlentafel bis 100	Primzahlen auf der Tafel entdecken	CC0
EratosthenesSieve.gif	Sieb animiert beobachten	Public Domain
Sieb-Animation	Schrittfolge des Siebens	CC BY-SA 3.0 / GFDL
Statisches Sieb	Ergebnis kontrollieren	CC BY-SA 4.0
Eratosthenes-Porträt	historischer Bezug	Public Domain
Ulam-Spirale	freiwillige Musterentdeckung	Public Domain
Bosko lernt Mathe	Primzahlen und Sieb für Klasse 5/6	extern eingebettet; Rechte beim Anbieter
Klasse 5: Primzahlen	Wiederholung	extern eingebettet; Rechte beim Anbieter
Wikipedia: Primzahl	fachliche Grundlage	Wikipedia
Wikipedia: Sieb des Eratosthenes	fachliche Grundlage	Wikipedia

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele positive Teiler hat eine Primzahl? (Genau zwei) (!Genau einen) (!Genau drei) (!Immer vier)

Welche Zahl ist eine Primzahl? (13) (!12) (!15) (!21)

Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl? (Sie hat nur einen positiven Teiler) (!Sie ist ungerade) (!Sie ist zu klein) (!Sie hat genau zwei Teiler)

Welche Aussage über die Zahl 2 stimmt? (Sie ist die einzige gerade Primzahl) (!Sie ist keine Primzahl) (!Sie hat drei positive Teiler) (!Sie ist die größte Primzahl)

Welche Zahl wird beim Sieben mit 2 gestrichen? (18) (!17) (!19) (!23)

Welche Zahl wird beim Sieben mit 3 gestrichen? (21) (!13) (!17) (!29)

Welche Teiler hat die Primzahl 11? (1 und 11) (!1 und 2) (!2 und 11) (!1, 3 und 11)

Welche Zahl ist zusammengesetzt? (25) (!23) (!29) (!31)

Was bleibt beim Sieb des Eratosthenes am Ende übrig? (Die Primzahlen) (!Nur gerade Zahlen) (!Nur Vielfache von 5) (!Alle ungeraden Zahlen)

Welche Primzahl liegt zwischen 40 und 45? (43) (!42) (!44) (!45)

Memory

Primzahl	genau zwei positive Teiler
Zusammengesetzte Zahl	mindestens drei positive Teiler
Eins	Sonderfall mit nur einem positiven Teiler
Zwei	kleinste gerade Ausnahme
Siebverfahren	Vielfache systematisch streichen
Teilbarkeit	Division ohne Rest

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zweier-Vielfache	beim ersten Siebschritt streichen
Dreier-Vielfache	nach dem Zweier-Sieb prüfen
Fünfer-Vielfache	nach den Dreier-Vielfachen prüfen
Siebener-Vielfache	letzter notwendiger Siebschritt bis fünfzig
Nicht gestrichene Kandidaten	als Primzahlen übernehmen

Kreuzworträtsel

Primzahl	Wie heißt eine Zahl mit genau zwei positiven Teilern?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, die ohne Rest in eine andere Zahl passt?
Vielfaches	Wie heißt ein Ergebnis, das durch wiederholtes Multiplizieren mit einer Zahl entsteht?
Eratosthenes	Nach welchem antiken Gelehrten ist das bekannte Primzahlsieb benannt?
Sieb	Welches kurze Wort steckt im Namen des Verfahrens zum Aussortieren zusammengesetzter Zahlen?
zusammengesetzt	Wie nennt man eine Zahl größer als eins mit mehr als zwei positiven Teilern?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Primzahl hat genau positive Teiler.

Die beiden Teiler einer Primzahl sind die Eins und .

Die Zahl Eins ist .

Die kleinste Primzahl ist .

Beim Sieb des Eratosthenes streichst Du systematisch .

Nach dem Markieren der Zwei werden zuerst die größeren geraden Zahlen .

Die Zahl neun wird gestrichen, weil sie durch teilbar ist.

Die Zahl fünfundzwanzig ist nicht prim, denn sie ist durch teilbar.

Die Zahl dreiundzwanzig bleibt stehen, weil sie genau besitzt.

Alle nicht gestrichenen Zahlen der fertig gesiebten Tafel sind .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Punktefeld: Zeichne Punktefelder für $5,6,7,8$. Markiere, bei welchen Zahlen Du ein echtes Rechteck mit mindestens zwei Reihen und zwei Spalten legen kannst.
2. Teiler: Notiere alle positiven Teiler von $10,11,12,13$ und kennzeichne die Primzahlen.
3. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $1$ bis $30$ und markiere alle Primzahlen.
4. Primzahl-Plakat: Gestalte ein kleines Merkplakat mit den drei Aussagen „genau zwei Teiler“, „1 ist nicht prim“ und „2 ist die einzige gerade Primzahl“.

Standard

1. Sieb des Eratosthenes: Erstelle selbst eine Zahlentafel bis $50$ und führe das vereinfachte Sieb mit $2,3,5,7$ durch.
2. Fehlersuche: Eine Mitschülerin behauptet, jede ungerade Zahl sei prim. Finde mindestens drei Gegenbeispiele und begründe sie mit Faktoren.
3. Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens zwei Minuten, in dem Du an $21$ und $23$ den Unterschied zwischen zusammengesetzt und prim erklärst.
4. Kartenspiel: Gestalte Karten mit Zahlen von $2$ bis $30$. Entwickle eine Spielregel, bei der Primzahlen, Teiler und Vielfache richtig erkannt werden müssen.

Schwer

1. Vergleich: Vergleiche die Primzahlen in den Bereichen $1$ bis $25$ und $26$ bis $50$. Beschreibe, was Dir auffällt, ohne daraus eine allgemeine Regel zu behaupten.
2. Primzahlzwilling: Suche Primzahlpaare mit Abstand $2$ bis $100$ und stelle sie in einer Tabelle dar.
3. Algorithmus: Schreibe das Sieb des Eratosthenes als genaue Schrittfolge für eine Person, die das Verfahren noch nie gesehen hat, und teste Deine Anleitung mit einem Lernpartner.
4. Ulam-Spirale: Lege die Zahlen $1$ bis $49$ spiralförmig an, markiere die Primzahlen und vergleiche Dein Ergebnis mit dem freien Commons-Bild im Lerntext.

Lernkontrolle

1. Begründen statt raten: Erkläre ohne Primzahlliste, warum $37$ prim ist. Prüfe mögliche Teiler systematisch.
2. Fehler analysieren: Jemand streicht im Sieb die Zahl $2$, weil sie ein Vielfaches von $2$ ist. Erkläre den Fehler und formuliere die richtige Regel.
3. Darstellungen verbinden: Zeige an einem Punktefeld und an einer Faktorzerlegung, warum $15$ keine Primzahl ist.
4. Übertragen: Entscheide, ob $51$ prim ist. Nutze eine geeignete Teilbarkeitsidee und begründe Deine Entscheidung.
5. Methode erklären: Begründe, warum das Sieb schneller sein kann als das vollständige Aufschreiben aller Teiler jeder einzelnen Zahl.
6. Gegenbeispiel finden: Widerlege die Aussage „Jede Zahl, die nicht durch $2$ teilbar ist, ist prim“ mit zwei verschiedenen Zahlen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Primzahlen nicht nur wiedererkennst, sondern mit Teilern begründen kannst.

Kompetenz	Das solltest Du zeigen können
Begriff verstehen	Du erklärst: Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler.
Sonderfälle einordnen	Du begründest, warum $1$ nicht prim und $2$ prim ist.
Teiler prüfen	Du findest bei kleinen Zahlen Teilerpaare und unterscheidest prim von zusammengesetzt.
Sieb anwenden	Du führst das vereinfachte Sieb bis $50$ korrekt durch.
Darstellungen nutzen	Du verbindest Punktefeld, Faktorprodukt, Zahlentafel und Zahlengerade.
Begründen	Du erklärst Deine Entscheidung mit Rechnungen wie $21=3\cdot 7$ oder mit der Teilerliste.

Verknüpfte Lernbereiche

Primzahlen Teiler Teilbarkeit Vielfache Natürliche Zahlen Sieb des Eratosthenes Zahlentheorie

Zusammenfassung

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$ mit genau zwei positiven Teilern: $1$ und sich selbst. Die $1$ ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat. Die $2$ ist die kleinste und einzige gerade Primzahl. Zusammengesetzte Zahlen besitzen weitere Teiler und lassen sich als Produkt zweier Zahlen größer als $1$ schreiben, zum Beispiel $21=3\cdot 7$. Mit dem vereinfachten Sieb des Eratosthenes streichst Du auf einer Zahlentafel Vielfache von $2,3,5$ und $7$. Bis $50$ bleiben so die Primzahlen $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$ übrig.