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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

M5 G - Körpernetze entdecken

Einleitung

Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche eines räumlichen Körpers flach ausgebreitet. Du kannst Dir das wie bei einer Verpackung vorstellen: Eine Schachtel wird an einigen Kanten geöffnet und flach auf den Tisch gelegt. Umgekehrt kannst Du ein passendes Netz entlang seiner Kanten falten und wieder zu einem Körper schließen.

In diesem aiMOOC untersuchst Du vor allem Würfel und Quader. Du arbeitest mit Bildern, Papiermodellen, Verpackungen, Faltanimationen und dynamischer 3D-Geometrie. Das Ziel ist nicht, möglichst viele Regeln auswendig zu lernen. Du sollst sehen, ausprobieren, falten, drehen und begründen.

Das lernst Du	So arbeitest Du
Körper und Netz verbinden	anschauen, anfassen, drehen
einfache Würfelnetze erkennen	vorhersagen, falten, prüfen
einfache Quadernetze erkennen	passende Rechtecke vergleichen
gültige und ungültige Netze unterscheiden	Überschneidungen beim Falten untersuchen
eigene Netze herstellen	zeichnen, ausschneiden, falten

Zielgruppe: Klasse 5, G-Niveau. Die Aufgaben beginnen anschaulich und werden schrittweise anspruchsvoller.

Vom Körper zur Fläche

Ein geometrischer Körper ist dreidimensional. Ein Körpernetz liegt dagegen flach in einer Ebene.

räumlich	flach	Idee
Würfel	Würfelnetz	$3 D \to 2 D$
Quader	Quadernetz	$3 D \to 2 D$
gefaltetes Modell	aufgefaltete Flächen	falten oder entfalten

Beobachtungsauftrag: Verfolge in der Animation eine einzelne Fläche. Überlege, welche Fläche beim Auffalten ihre Nachbarflächen behält und welche Flächen später weit auseinanderliegen.

Würfel und Quader im Alltag

Würfel und Quader begegnen Dir bei Bauklötzen, Spielwürfeln, Kartons, Schachteln und vielen Verpackungen. Eine Verpackung ist besonders interessant, weil Du ihre räumliche Form und ihr flaches Ausgangsmaterial miteinander vergleichen kannst.

Forscherfrage: Welche Teile einer echten Verpackung gehören zur geometrischen Oberfläche und welche Teile sind zusätzliche Klebe- oder Verschlusslaschen?

Grundwissen: Körper untersuchen

Würfel

Ein Würfel besitzt:

Merkmal	Anzahl	Form
Flächen	$6$	gleich große Quadrate
Kanten	$12$	gleich lang
Ecken	$8$	an jeder Ecke treffen drei Flächen zusammen

Wenn die Kantenlänge $a$ beträgt, hat jede Seitenfläche den Flächeninhalt $a^{2}$ . Alle sechs Flächen zusammen ergeben

$O = 6 \cdot a^{2}$ .

Für das Erkennen eines Netzes ist aber zunächst wichtiger: Ein Würfelnetz besteht aus genau $6$ gleich großen, zusammenhängenden Quadraten und muss sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten lassen.

Quader

Ein Quader besitzt ebenfalls

$6$ Flächen, $12$ Kanten und $8$ Ecken.

Seine Flächen sind Rechtecke. Bei einem Quader mit den Kantenlängen $a$ , $b$ und $c$ treten drei Rechtecktypen jeweils zweimal auf:

Rechtecktyp	Anzahl
$a \cdot b$	$2$
$a \cdot c$	$2$
$b \cdot c$	$2$

Daraus kann später die Oberfläche berechnet werden:

$O = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c)$ .

Für diesen aiMOOC genügt zunächst: Ein Quadernetz muss aus den sechs passenden Rechtecken bestehen und sich ohne Lücke und ohne Überlappung zum Quader falten lassen.

Fläche, Kante und Ecke unterscheiden

Begriff	Bedeutung	Tast-Idee
Fläche	begrenzt den Körper	Lege Deine Hand flach auf eine Seite einer Schachtel.
Kante	dort treffen zwei Flächen zusammen	Fahre mit einem Finger an einer geraden Begrenzung entlang.
Ecke	dort treffen mehrere Kanten zusammen	Tippe auf einen Eckpunkt der Verpackung.

Beim Auffalten bleiben die Flächen erhalten. Einige Kanten werden beim Aufschneiden getrennt, andere bleiben als Faltkanten verbunden.

Würfelnetze entdecken

Ein Netz muss wirklich faltbar sein

Sechs Quadrate allein reichen nicht. Die Quadrate müssen so angeordnet sein, dass beim Falten jede Fläche genau ihren Platz am Würfel findet.

Ein typisches gültiges Würfelnetz sieht schematisch so aus:

	□
□	□	□
	□
	□

Hier sind insgesamt

$1 + 3 + 1 + 1 = 6$

Quadrate zu sehen.

Ein Rechteck aus $2 \cdot 3 = 6$ Quadraten ist dagegen kein Würfelnetz:

□	□	□
□	□	□

Beim Falten würden Flächen nicht an den richtigen Stellen landen beziehungsweise sich überdecken.

Alle möglichen Grundformen beim Würfel

Es gibt genau $11$ verschiedene Würfelnetze, wenn gedrehte oder gespiegelte Varianten nicht als neue Grundform gezählt werden.

G-Niveau-Ziel: Du musst nicht alle $11$ Netze auswendig lernen. Wichtiger ist, dass Du ausgewählte Netze durch gedankliches oder echtes Falten prüfen kannst.

Papiermodell zum Ausschneiden und Falten

Arbeite Schritt für Schritt:

Netz betrachten: Zähle zuerst die $6$ Quadrate.
Faltkanten finden: Markiere die Linien zwischen benachbarten Quadraten.
Vorhersage treffen: Bestimme eine Fläche, die später oben liegen könnte.
Modell ausschneiden: Schneide nur an den Außenlinien.
Falten: Knicke an den Faltkanten.
Prüfen: Entsteht ein geschlossener Würfel ohne überlappende Flächen?

Halb gefaltet sehen

Denkfrage: Welche Flächen sind im flachen Netz noch weit voneinander entfernt, liegen aber im fertigen Würfel direkt nebeneinander?

Dynamisches Faltlabor

3D-Faltung mit Schieberegler

Mit der folgenden dynamischen Geometrie kannst Du ein Würfelnetz auf- und zuklappen. Ziehe den Schieberegler langsam und beobachte die Bewegung der Flächen.

Ein Faltzustand kann gedanklich durch eine Zahl $t$ zwischen $0$ und $1$ beschrieben werden:

$0 \leq t \leq 1$ .

Dabei kann zum Beispiel $t = 0$ für den geschlossenen Körper und $t = 1$ für das vollständig ausgelegte Netz stehen.

Beobachtung	Deine Aufgabe
Netz ganz flach	Sage voraus, welche Fläche später oben liegt.
Netz halb gefaltet	Suche zwei Flächen, die sich gerade annähern.
Würfel fast geschlossen	Prüfe, ob sich irgendwo zwei Flächen überdecken würden.
Würfel geschlossen	Drehe die Ansicht und kontrolliere alle Seiten.

Mehrere Würfelnetze dynamisch vergleichen

Faltauftrag: Wähle nacheinander drei verschiedene Netze. Notiere jeweils eine Fläche, die Du als Boden festhältst, und beobachte, welche Fläche beim Schließen gegenüberliegt.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Strategie

Wenn Du entscheiden sollst, ob eine Figur ein Würfelnetz ist, kannst Du diese Prüfkette nutzen:

Schritt	Prüffrage	Zeichen
1. Zählen	Sind es genau $6$ gleich große Quadrate?	$6 ?$
2. Zusammenhang	Hängen alle Quadrate Kante an Kante zusammen?	□—□
3. Boden wählen	Welches Quadrat soll beim Falten unten bleiben?	Boden
4. Seiten hochklappen	Können vier Flächen den Boden umgeben?	$4$ Seiten
5. Deckel prüfen	Schließt die letzte Fläche den Würfel?	Deckel
6. Überlappung prüfen	Landen zwei Flächen auf demselben Platz?	nein

Merksatz: Ein gültiges Würfelnetz hat nicht nur die richtige Anzahl an Quadraten. Es muss auch falten funktionieren.

Quadernetze entdecken

Was ist beim Quader anders?

Beim Würfel sehen alle sechs Flächen gleich aus. Beim allgemeinen Quader können die Flächen verschiedene Formen haben. Gegenüberliegende Flächen sind jedoch gleich groß.

Farbiges Netz eines Quaders mit paarweise passenden Flächen.

Du kannst passende Gegenflächen über ihre Seitenlängen erkennen. Bei den Kantenlängen $a$ , $b$ und $c$ gehören zusammen:

$a \times b \leftrightarrow a \times b$

$a \times c \leftrightarrow a \times c$

$b \times c \leftrightarrow b \times c$ .

Quadernetz prüfen

Nutze diese drei Fragen:

Flächenzahl: Sind genau $6$ Rechtecke vorhanden?
Flächenpaare: Gibt es drei passende Paare gleich großer Rechtecke?
Faltprobe: Können die Rechtecke den Quader ohne Lücke und Überlappung schließen?

Beispiel: Ein Quader hat die Kantenlängen $4 c m$ , $3 c m$ und $2 c m$ . Dann braucht sein Netz:

$2$ Rechtecke mit $4 c m \times 3 c m$ ,

$2$ Rechtecke mit $4 c m \times 2 c m$ ,

$2$ Rechtecke mit $3 c m \times 2 c m$ .

Insgesamt sind das

$2 + 2 + 2 = 6$

Flächen.

Verpackungswerkstatt

Von der Schachtel zum eigenen Netz

Nimm eine saubere, leere Kartonverpackung, die ungefähr quaderförmig ist. Öffne sie vorsichtig an einer Klebestelle und breite sie möglichst flach aus.

Phase	Tätigkeit	Mathematische Frage
Körper	Schachtel von allen Seiten betrachten	Wie viele Flächen, Kanten und Ecken erkennst Du?
Öffnen	eine geeignete Verbindung lösen	Welche Kanten bleiben als Faltkanten erhalten?
Ausbreiten	Karton flach auflegen	Welche Form hat das Netz?
Nachzeichnen	Umriss auf Papier übertragen	Welche Flächen gehören zusammen?
Rückfalten	Verpackung wieder zusammensetzen	Passt die Vorhersage?

Wichtig: Klebelaschen einer echten Verpackung sind zusätzliche Teile. Sie gehören nicht zu den sechs geometrischen Seitenflächen eines Quaders.

Verpackungen vergleichen

Untersuche zwei verschieden große Schachteln. Entscheide nicht nach der Größe, sondern nach der Form ihrer Flächen.

Frage	Verpackung A	Verpackung B
Anzahl sichtbarer Hauptflächen	$6$ ?	$6$ ?
drei Flächenpaare vorhanden	ja / nein	ja / nein
alle Winkel an den Ecken rechtwinklig	ja / nein	ja / nein
quaderförmig	Entscheidung	Entscheidung

Erklärvideos

Würfelnetze und Quadernetz für Klasse 5

Videoauftrag: Stoppe das Video an einer Stelle, an der ein Netz gezeigt wird. Sage vor dem Weitersehen voraus, ob es sich falten lässt.

Würfel und Quader mit Körpernetzen

Videoauftrag: Erstelle während des Videos eine kleine Tabelle mit den Spalten Körper, Flächenform und Netz.

Hilfsvideo zu Würfel- und Quadernetzen

Videoauftrag: Formuliere nach dem Video einen eigenen Merksatz, mit dem Du ein mögliches Würfelnetz prüfen kannst.

Typische Denkfehler

Fehler 1: Sechs Quadrate sind immer ein Würfelnetz

Das stimmt nicht. Die Anordnung entscheidet. Ein $2 \times 3$ -Rechteck besteht zwar aus sechs Quadraten, kann aber nicht zu einem Würfel gefaltet werden.

Fehler 2: Im Netz müssen gegenüberliegende Flächen nebeneinander liegen

Nein. Flächen, die im fertigen Körper gegenüberliegen, können im Netz an ganz unterschiedlichen Stellen liegen. Beim Falten wird ihre räumliche Lage erst sichtbar.

Fehler 3: Klebelaschen sind zusätzliche Körperflächen

Nein. Klebelaschen helfen nur beim Zusammenbauen. Für einen Würfel oder Quader zählen weiterhin genau $6$ Seitenflächen.

Fehler 4: Ein gedrehtes Netz ist ein völlig neues Netz

Wenn Du ein Netz nur drehst oder spiegelst, ändert sich seine Faltbarkeit nicht. Die Lage auf dem Papier sieht anders aus, die grundlegende Netzform bleibt aber gleich.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Seitenflächen hat ein Würfel? (6) (!4) (!8) (!12)

Aus welchen Flächen besteht ein Würfelnetz? (Aus sechs gleich großen Quadraten) (!Aus sechs beliebigen Rechtecken) (!Aus vier Dreiecken) (!Aus acht Quadraten)

Wann ist eine Anordnung aus sechs Quadraten ein gültiges Würfelnetz? (Wenn sie sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten lässt) (!Wenn alle Quadrate in einer Reihe liegen) (!Wenn sie möglichst symmetrisch aussieht) (!Wenn zwei Quadrate übereinander gezeichnet sind)

Wie viele Kanten hat ein Würfel? (12) (!6) (!8) (!16)

Wie viele Ecken hat ein Quader? (8) (!4) (!6) (!12)

Welche Aussage über einen Quader ist richtig? (Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß) (!Alle sechs Flächen müssen Quadrate sein) (!Ein Quader hat nur vier Flächen) (!Ein Quader hat keine Kanten)

Was geschieht beim Falten eines Körpernetzes? (Flächen drehen sich an Faltkanten in den Raum) (!Die Anzahl der Flächen verdoppelt sich) (!Alle Kanten verschwinden) (!Die Flächen werden automatisch größer)

Was gehört bei einer Kartonverpackung nicht zu den sechs geometrischen Hauptflächen eines Quaders? (Eine Klebelasche) (!Eine Seitenfläche) (!Die Bodenfläche) (!Die Deckfläche)

Wie viele verschiedene Grundformen von Würfelnetzen gibt es? (11) (!6) (!8) (!12)

Welche Prüfmethode ist besonders zuverlässig? (Das Netz gedanklich oder wirklich falten) (!Nur die Farbe der Flächen vergleichen) (!Nur den äußeren Umfang betrachten) (!Nur die Größe des Papiers prüfen)

Memory

Körpernetz	aufgefaltete Oberfläche eines Körpers
Würfel	Körper mit sechs quadratischen Seitenflächen
Quader	Körper mit sechs rechteckigen Seitenflächen
Kante	Verbindungslinie zwischen zwei Flächen
Ecke	Treffpunkt mehrerer Kanten
Faltkante	Linie zum Knicken eines Netzes
Klebelasche	Zusatzstück zum Verbinden von Papierflächen
Gegenfläche	gegenüberliegende Seite eines Körpers

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Würfelnetz	sechs gleich große Quadrate
Quadernetz	sechs passende Rechtecke
Faltkante	wird beim Bauen geknickt
Klebelasche	hilft beim Zusammenkleben
Gegenfläche	liegt im Körper einer anderen Fläche gegenüber

Interaktive Faltaufgabe: Vorhersagen und prüfen

Wähle in der dynamischen Würfelansicht eine Fläche als Boden. Drehe den Körper zunächst noch nicht.

Vorhersage: Zeige auf die Fläche, die später oben liegen wird.
Falten: Bewege den Schieberegler nur bis ungefähr zur Hälfte.
Vergleichen: Ändere Deine Vorhersage nur, wenn Du einen Grund nennen kannst.
Prüfen: Falte den Würfel vollständig.
Begründen: Beschreibe, woran Du die Gegenfläche erkannt hast.

Kreuzworträtsel

Würfel	Welcher Körper hat sechs gleich große quadratische Seitenflächen?
Quader	Welcher Körper besitzt sechs rechteckige Seitenflächen?
Kante	Wie heißt die Strecke, an der zwei Flächen eines Körpers zusammentreffen?
Fläche	Wie heißt eine Seite, die einen Körper begrenzt?
Netz	Wie heißt die flach ausgebreitete Oberfläche eines Körpers kurz?
Falten	Welche Tätigkeit macht aus einem passenden Netz wieder einen Körper?

LearningApps

Lückentext

Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche eines Körpers

in der Ebene. Ein Würfel besitzt

Seitenflächen. Jede Seitenfläche eines Würfels ist ein

. Ein Würfel hat insgesamt

Kanten. An seinen Kanten können die Flächen beim Bauen

werden. Ein Quader besitzt ebenfalls sechs

. Seine gegenüberliegenden Flächen sind jeweils

. Ein gültiges Netz muss sich ohne

zu einem Körper schließen lassen. Bei einem Würfelnetz sind alle sechs Quadrate

. Eine Klebelasche gehört nicht zu den geometrischen

. Durch echtes Falten kann eine Vermutung praktisch

werden. Ein gedrehtes Würfelnetz bleibt in seiner grundlegenden Form

.

Offene Aufgaben

Leicht

Körperjagd: Suche zu Hause oder im Klassenraum drei würfel- oder quaderförmige Gegenstände. Skizziere sie und markiere jeweils eine Fläche, eine Kante und eine Ecke.
Netz nachlegen: Lege mit sechs gleich großen Papierquadraten ein bekanntes Würfelnetz nach. Klebe die Quadrate noch nicht fest und probiere mehrere Anordnungen aus.
Papierwürfel: Nutze eine Faltvorlage, baue einen Würfel und beschrifte die sechs Flächen mit verschiedenen Symbolen.
Flächenpaare: Untersuche eine quaderförmige Verpackung und kennzeichne die drei Paare gegenüberliegender Flächen mit drei verschiedenen Mustern.

Standard

Verpackungsnetz: Öffne eine saubere Kartonverpackung vorsichtig, lege sie flach hin und zeichne ihr vereinfachtes geometrisches Netz ohne Klebelaschen ab.
Netzsortierung: Zeichne sechs verschiedene Anordnungen aus je sechs Quadraten. Prüfe durch Papierfalten, welche davon Würfelnetze sind, und sortiere in gültig und ungültig.
Faltgeschichte: Dokumentiere einen Faltvorgang in vier Bildern: flach, leicht geknickt, halb geschlossen und fertig. Ergänze zu jedem Bild einen kurzen mathematischen Satz.
Stoppmotion: Produziere mit einem Papiernetz ein kurzes Stop-Motion-Video, in dem aus einer ebenen Figur schrittweise ein Würfel entsteht.

Schwer

Fehlernetz: Erfinde eine Anordnung aus sechs Quadraten, die kein Würfelnetz ist. Erkläre mit einer Skizze, welche Flächen sich beim Falten überdecken würden.
Gegenflächen: Vergleiche zwei verschiedene gültige Würfelnetze. Markiere jeweils Boden, Deckel und zwei Paare gegenüberliegender Seitenflächen.
Eigene Verpackung: Entwirf ein Quadernetz für einen Quader mit $a = 6 c m$ , $b = 4 c m$ und $c = 2 c m$ . Baue daraus ein Papiermodell und prüfe, ob alle passenden Kanten zusammentreffen.
Erklärvideo: Erstelle ein ein- bis zweiminütiges Lernvideo für eine andere fünfte Klasse. Zeige darin an einem Beispiel, wie man ein mögliches Körpernetz prüft, ohne nur die Lösung zu nennen.

Lernkontrolle

Netz begründen: Du erhältst zwei Figuren aus jeweils sechs Quadraten. Entscheide, welche Figur ein Würfelnetz ist, und begründe Deine Entscheidung mit einem beschriebenen Faltweg.
Netz verändern: Verschiebe bei einem gültigen Würfelnetz genau ein Quadrat an eine andere Kante. Prüfe anschließend, ob das neue Netz noch gültig ist, und erkläre das Ergebnis.
Verpackung analysieren: Eine Schachtel wird flach ausgebreitet. Erkläre, wie Du die drei Paare gegenüberliegender Quaderflächen findest, ohne die Schachtel vollständig zusammenzukleben.
Fehleranalyse: Ein Kind sagt: „Die Figur hat sechs Quadrate, also ist sie sicher ein Würfelnetz.“ Widerlege die Aussage mit einem Gegenbeispiel und einer Faltbegründung.
Strategie entwickeln: Formuliere eine Prüfmethode in mindestens vier Schritten, mit der jemand aus Deiner Klasse ein unbekanntes Würfelnetz untersuchen kann.
Transfer Würfel Quader: Erkläre, welche Prüfschritte bei Würfelnetzen und Quadernetzen gleich sind und welche sich unterscheiden.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M5 G - Körpernetze entdecken solltest Du zeigen können, dass Du:

Körper und Netz miteinander verbinden kannst.
Würfel und Quader an ihren grundlegenden Eigenschaften erkennst.
Flächen, Kanten und Ecken sicher unterscheiden kannst.
ein einfaches gültiges Würfelnetz erkennst und Deine Entscheidung durch Falten begründest.
ein ungültiges Netz an einer möglichen Überlappung oder falschen Anordnung erkennst.
bei einem Quadernetz passende Rechteckpaare zuordnen kannst.
ein Papiermodell sorgfältig ausschneiden und falten kannst.
Beobachtungen aus einer 3D-Faltung in eigenen Worten erklären kannst.
Alltagsverpackungen vereinfacht als geometrische Körper und Netze betrachten kannst.

OERs zum Thema

Weiterführende freie Lernidee: Nutze die eingebetteten dynamischen 3D-Modelle, um ein Netz zuerst vorherzusagen und erst danach durch Falten zu kontrollieren.

Freie Medien im aiMOOC

Die verwendeten Bild- und Animationsmedien stammen aus Wikimedia Commons. Die ausgewählten Dateien sind dort frei lizenziert oder gemeinfrei; die jeweilige Dateiseite enthält die genauen Lizenzangaben.

Medium	Lernzweck	Lizenzhinweis auf Commons
Cubo desarrollo, slow.gif	langsames Auf- und Zufalten eines Würfels	CC0
Würfelnetze.svg	Übersicht der elf Würfelnetze	gemeinfrei
QuaderNetz.svg	einfaches Quadernetz	gemeinfrei
Würfelnetz geknickt.jpg	reales halb gefaltetes Papiermodell	CC0
Foldable hexahedron blank	ausschneidbare Faltvorlage	gemeinfrei
Simple cardboard box.svg	Verpackungsbezug	CC0
Open cardboard box husky.png	geöffnete Schachtel	gemeinfrei

Die YouTube-Videos werden eingebettet und nicht als eigene Dateien übernommen. Für den schulischen Einsatz gelten zusätzlich die Datenschutz- und Medienregeln der jeweiligen Schule.

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