M5 G - Dreiecke entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Dreiecke begegnen Dir überall: an Dächern, in Fachwerken, auf Schildern, in Mustern, in Spielen und in mathematischen Zeichnungen. In diesem aiMOOC lernst Du, ein Dreieck sicher zu erkennen, seine Eckpunkte, Seiten und Winkel zu beschreiben und einfache Dreieckstypen zu unterscheiden.

Entdeckerfrage: Wie viele Dreiecke kannst Du im hölzernen Fachwerk erkennen? Zeige mit dem Finger jeweils die drei Seiten eines Dreiecks.

Bei Gegenständen aus dem Alltag ist die Form oft nur annähernd ein mathematisches Dreieck. Ein mathematisches Dreieck besteht aus drei geraden Seiten, die sich in drei Eckpunkten treffen.

Das lernst Du

Lernziel	Das kannst Du danach
Dreieck erkennen	Du entscheidest, ob eine gezeichnete Figur ein Dreieck ist.
Teile benennen	Du zeigst Eckpunkte, Seiten und Winkel.
Seiten vergleichen	Du erkennst gleich lange und verschieden lange Seiten.
Winkel vergleichen	Du erkennst spitze, rechte und stumpfe Winkel.
Dreiecke sortieren	Du unterscheidest gleichseitige, gleichschenklige, verschiedenseitige, spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.

Was ist ein Dreieck?

Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Eckpunkten, drei Seiten und drei Innenwinkeln.

Wir nennen die Eckpunkte zum Beispiel $A$, $B$ und $C$.

Die drei Seiten können so beschrieben werden:

Seite	Verbindet	Übliche Bezeichnung
erste Seite	$B$ mit $C$	$a=\overline{BC}$
zweite Seite	$A$ mit $C$	$b=\overline{AC}$
dritte Seite	$A$ mit $B$	$c=\overline{AB}$

Die drei Innenwinkel liegen an den Eckpunkten. Man schreibt häufig

$\alpha$ bei $A$, $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$.

Dreieck oder nicht? Eine visuelle Prüfroutine

Schritt	Frage	Wenn die Antwort Nein lautet
1	Gibt es genau drei Eckpunkte?	Dann ist die Figur kein Dreieck.
2	Gibt es genau drei gerade Seiten?	Dann ist die Figur kein mathematisches Dreieck.
3	Bilden die drei Seiten eine geschlossene Figur?	Dann ist die Figur kein Dreieck.

Merksatz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Dreieck}=\text{3 Eckpunkte}+\text{3 Seiten}+\text{3 Innenwinkel}}}

Mini-Entdeckung mit dem Körper

Lege drei Stifte so auf den Tisch, dass ihre Enden eine geschlossene Figur bilden. Du hast ein Dreieck modelliert.

Verändere nun nur die Lage eines Stiftes. Solange weiterhin drei gerade Strecken eine geschlossene Figur bilden, bleibt es ein Dreieck – auch wenn es sehr schmal oder schief aussieht.

Seiten entdecken

Bei einem Dreieck kannst Du die Seitenlängen vergleichen. Dafür reicht am Anfang oft schon genaues Hinsehen. Sicherer ist das Nachmessen mit einem Lineal.

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten:

$a=b=c$

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle drei Innenwinkel gleich groß:

$\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten.

Ein mögliches Beispiel ist:

$a=b$

Die beiden gleich langen Seiten nennt man Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis.

Wichtig für das Sortieren: Mathematisch ist ein gleichseitiges Dreieck auch ein Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks, weil es sogar drei gleich lange Seiten besitzt. In einfachen Schulaufgaben werden gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke oft getrennt sortiert.

Verschiedenseitiges Dreieck

Ein verschiedenseitiges Dreieck hat drei unterschiedlich lange Seiten:

$a\ne b,b\ne c,a\ne c$

Seiten schnell sortieren

Dreieckstyp	Seitenvergleich	Erkennungsbild
gleichseitig	$a=b=c$	drei gleich lange Seiten
gleichschenklig	mindestens zwei Seiten gleich lang	zwei gleich lange Schenkel
verschiedenseitig	alle Seiten unterschiedlich lang	keine zwei Seiten gleich lang

Winkel entdecken

Ein Winkel beschreibt, wie weit zwei Seiten an einem Eckpunkt geöffnet sind.

Für das Sortieren reichen drei wichtige Winkelarten:

$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ bedeutet spitzer Winkel.

$\alpha =90^{\circ }$ bedeutet rechter Winkel.

$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ bedeutet stumpfer Winkel.

Spitzwinkliges Dreieck

In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel kleiner als $90^{\circ }$.

$\alpha <90^{\circ },\beta <90^{\circ },\gamma <90^{\circ }$

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt genau einen rechten Winkel.

Für den rechten Winkel gilt:

$\alpha =90^{\circ }$

In Zeichnungen wird ein rechter Winkel häufig durch ein kleines Quadrat markiert.

Stumpfwinkliges Dreieck

Ein stumpfwinkliges Dreieck besitzt genau einen stumpfen Winkel.

Zum Beispiel:

$\alpha >90^{\circ }$

Die beiden anderen Winkel müssen dann spitz sein.

Winkel als Sortierhilfe

Dreieckstyp	Kennzeichen	Prüffrage
spitzwinklig	alle Winkel kleiner als $90^{\circ }$	Ist jeder Winkel spitz?
rechtwinklig	ein Winkel genau $90^{\circ }$	Findest Du einen rechten Winkel?
stumpfwinklig	ein Winkel größer als $90^{\circ }$	Findest Du einen stumpfen Winkel?

Die Winkelsumme als Entdeckung

In jedem Dreieck ergibt die Summe der drei Innenwinkel:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Beispiel:

$60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$

Du musst diese Regel hier noch nicht beweisen. Nutze sie als Kontrollidee: Wenn drei angegebene Innenwinkel zusammen nicht $180^{\circ }$ ergeben, können sie nicht zu demselben Dreieck gehören.

Schritt für Schritt ein Dreieck bestimmen

Schritt	Aktion	Beispiel
1	Zähle Eckpunkte und Seiten.	Drei Eckpunkte und drei Seiten: Es kann ein Dreieck sein.
2	Vergleiche die Seitenlängen.	Zwei Seiten sind gleich lang: gleichschenklig.
3	Betrachte die Winkel.	Ein Winkel ist ein rechter Winkel: rechtwinklig.
4	Verbinde beide Aussagen.	Das Dreieck kann gleichzeitig gleichschenklig und rechtwinklig sein.

Ein Dreieck kann also nach seinen Seiten und zusätzlich nach seinen Winkeln beschrieben werden.

Beispiel:

$\text{gleichschenklig}+\text{rechtwinklig}$

ist eine mögliche Kombination.

Dynamische Geometrie: Ziehen statt nur anschauen

Mit dynamischer Geometrie kannst Du einen Eckpunkt bewegen und sofort beobachten, wie sich Seiten und Winkel verändern.

Forscherauftrag:

1. Bewege den Punkt $C$ langsam.
2. Suche eine Lage, in der das Dreieck gleichschenklig ist.
3. Suche eine Lage, in der das Dreieck rechtwinklig ist.
4. Suche eine Lage, in der das Dreieck stumpfwinklig ist.
5. Beobachte, ob ein Dreieck gleichzeitig nach Seiten und Winkeln benannt werden kann.

Dynamischer Seiten-Check

Versuche durch Ziehen verschiedene Dreiecksformen zu erzeugen. Notiere jeweils zwei Beschreibungen, zum Beispiel:

$\text{verschiedenseitig}+\text{spitzwinklig}$

oder

$\text{gleichschenklig}+\text{rechtwinklig}$

Dreiecke in Mustern und Spielen

Aus vielen Dreiecken können größere Muster entstehen.

Musterauftrag: Fahre mit dem Finger eine Reihe von Dreiecken entlang. Achte darauf, dass benachbarte Dreiecke Seiten gemeinsam haben können.

Auch im Tangram spielen Dreiecke eine wichtige Rolle.

Lege-Idee: Schneide ein Tangram aus Papier aus und sortiere nur die dreieckigen Teile. Vergleiche ihre Größen und Formen.

Dreiecke in Architektur

Dreiecksformen kommen häufig in Dachstühlen, Fachwerken und Brückenkonstruktionen vor.

Bildanalyse:

Beobachtung	Deine Aufgabe
Dachkante	Suche eine große dreieckige Umrissform.
Holzbalken	Suche kleine Dreiecke zwischen den Balken.
Seitenvergleich	Schätze, welche Dreiecke gleichschenklig wirken.
Winkelvergleich	Suche spitze und stumpfe Winkel.

Dreiecksformen werden in Fachwerken genutzt, weil miteinander verbundene Stäbe in Dreiecksform eine formstabile Grundstruktur bilden können.

Vom Dreieck zum 3D-Modell

Ein Dreieck ist zweidimensional. Mehrere Dreiecke können aber die Flächen eines dreidimensionalen Körpers bilden.

Ein regelmäßiger Tetraeder besitzt vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen.

Faltbares Tetraeder-Netz

Bewege im folgenden Modell den Regler und beobachte, wie aus einem ebenen Netz ein räumlicher Körper gedacht werden kann.

3D-Forscherfrage: Welche ebenen Figuren bilden die Außenflächen des Tetraeders?

Video: Dreiecksarten wiederholen

Das folgende Lernvideo fasst verschiedene Dreiecksarten zusammen.

Video laden

YouTube

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Fortfahren Ausblenden

Beobachtungsauftrag: Pausiere nach jeder Dreiecksart und zeichne ein eigenes Beispiel in Dein Heft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Seiten hat jedes Dreieck? (Drei Seiten) (!Zwei Seiten) (!Vier Seiten) (!Fünf Seiten)

Wie viele Eckpunkte hat jedes Dreieck? (Drei Eckpunkte) (!Einen Eckpunkt) (!Vier Eckpunkte) (!Sechs Eckpunkte)

Woran erkennst Du ein gleichseitiges Dreieck? (Alle drei Seiten sind gleich lang) (!Nur eine Seite ist besonders lang) (!Alle Seiten sind unterschiedlich lang) (!Es besitzt vier gleich lange Seiten)

Woran erkennst Du ein gleichschenkliges Dreieck? (Mindestens zwei Seiten sind gleich lang) (!Alle Seiten müssen unterschiedlich lang sein) (!Es besitzt keinen Winkel) (!Es besitzt vier Seiten)

Woran erkennst Du ein verschiedenseitiges Dreieck? (Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang) (!Alle drei Seiten sind gleich lang) (!Es besitzt zwei rechte Winkel) (!Es besitzt keine Eckpunkte)

Was kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck? (Ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel) (!Alle Innenwinkel sind stumpf) (!Es hat keine geraden Seiten) (!Es besitzt vier Innenwinkel)

Was kennzeichnet ein spitzwinkliges Dreieck? (Alle drei Innenwinkel sind spitz) (!Alle drei Innenwinkel sind recht) (!Ein Innenwinkel ist gestreckt) (!Es hat nur zwei Innenwinkel)

Was kennzeichnet ein stumpfwinkliges Dreieck? (Ein Innenwinkel ist stumpf) (!Alle Innenwinkel sind rechte Winkel) (!Es besitzt keine Winkel) (!Es hat vier Eckpunkte)

Welche Summe ergeben die drei Innenwinkel eines Dreiecks? (Einhundertachtzig Grad) (!Neunzig Grad) (!Zweihundertsiebzig Grad) (!Dreihundertsechzig Grad)

Welche Beschreibung kann gleichzeitig für ein Dreieck gelten? (Gleichschenklig und rechtwinklig) (!Dreieckig und viereckig) (!Dreiseitig und vierseitig) (!Geschlossen und ohne Seiten)

Memory

Dreieck	drei Seiten und drei Eckpunkte
gleichseitig	drei gleich lange Seiten
gleichschenklig	mindestens zwei gleich lange Seiten
verschiedenseitig	drei unterschiedlich lange Seiten
rechtwinklig	ein rechter Innenwinkel
spitzwinklig	drei spitze Innenwinkel
stumpfwinklig	ein stumpfer Innenwinkel
Eckpunkt	Treffpunkt zweier Seiten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beschreibung
Gleichseitiges Dreieck	drei gleich lange Seiten
Gleichschenkliges Dreieck	mindestens zwei gleich lange Seiten
Verschiedenseitiges Dreieck	drei unterschiedlich lange Seiten
Spitzwinkliges Dreieck	nur spitze Innenwinkel
Rechtwinkliges Dreieck	ein rechter Innenwinkel
Stumpfwinkliges Dreieck	ein stumpfer Innenwinkel

Sortierstation: Seiten oder Winkel?

Ordne den Begriff dem passenden Sortiermerkmal zu.	Sortiermerkmal
gleichseitig	Seitenlängen
gleichschenklig	Seitenlängen
verschiedenseitig	Seitenlängen
spitzwinklig	Winkelgrößen
rechtwinklig	Winkelgrößen
stumpfwinklig	Winkelgrößen

Kreuzworträtsel

Dreieck	Welche Figur besitzt genau drei Seiten?
Eckpunkt	Wie heißt der Treffpunkt zweier Seiten?
Winkel	Was entsteht an einem Eckpunkt zwischen zwei Seiten?
Schenkel	Wie heißen die gleich langen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks?
Basis	Wie heißt die dritte Seite eines gleichschenkligen Dreiecks?
Geometrie	Zu welchem Gebiet der Mathematik gehören Dreiecke und Winkel?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Dreieck besitzt genau Seiten.

Der Treffpunkt von zwei Seiten heißt .

Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei Seiten.

Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt mindestens zwei gleich lange .

Bei einem verschiedenseitigen Dreieck sind alle Seitenlängen .

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Innenwinkel.

Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Innenwinkel .

Ein stumpfwinkliges Dreieck besitzt einen Innenwinkel.

Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt .

Dreiecke können gleichzeitig nach Seiten und nach beschrieben werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreiecks-Safari: Suche im Klassenraum fünf Gegenstände oder Muster, in denen Du Dreiecksformen erkennst. Zeichne drei davon.
2. Dreieck legen: Lege mit drei Stiften mindestens vier unterschiedlich aussehende Dreiecke und fotografiere oder skizziere sie.
3. Seiten vergleichen: Zeichne drei Dreiecke und markiere gleiche Seiten jeweils mit denselben Strichen.
4. Winkel entdecken: Suche in Zeichnungen je einen spitzen, rechten und stumpfen Winkel und markiere sie.

Standard

1. Dreiecks-Steckbrief: Erstelle zu vier selbst gezeichneten Dreiecken je einen Steckbrief mit Seitenart und Winkelart.
2. Architektur mit Dreiecken: Fotografiere ein Dach, Fachwerk oder eine Brücke und zeichne mindestens fünf erkannte Dreiecke auf einer Kopie nach.
3. Tangram-Forschung: Lege mit Tangramteilen eine Figur und kennzeichne alle dreieckigen Teile. Vergleiche ihre Seiten.
4. GeoGebra-Entdeckung: Erzeuge in der dynamischen Geometrie nacheinander ein gleichschenkliges, rechtwinkliges und stumpfwinkliges Dreieck und beschreibe, was Du jeweils verändert hast.

Schwer

1. Dreiecks-Kombinationen: Untersuche, welche Kombinationen aus Seitenart und Winkelart möglich sind. Zeichne mindestens vier Beispiele.
2. Dreiecks-Muster: Entwirf ein eigenes lückenloses Muster aus Dreiecken und beschreibe, welche Dreieckstypen Du verwendet hast.
3. Tetraeder-Modell: Baue aus Papier ein Tetraeder-Netz, falte es und erkläre, wie die Dreiecke im Netz zu Seitenflächen eines Körpers werden.
4. Erklärvideo Dreiecke: Produziere ein kurzes Lernvideo für eine fünfte Klasse, in dem Du ein Dreieck erkennst, Seiten und Winkel zeigst und drei Dreieckstypen erklärst.

Lernkontrolle

1. Dreieck begründen: Eine Figur sieht fast wie ein Dreieck aus, aber eine Seite ist gebogen. Begründe, warum sie kein mathematisches Dreieck ist.
2. Sortieren mit Begründung: Ein Dreieck hat zwei gleich lange Seiten und einen rechten Winkel. Beschreibe es mit zwei passenden Fachbegriffen und begründe beide.
3. Fehler finden: Jemand behauptet, ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel könne noch einen rechten Winkel besitzen. Erkläre, warum das nicht möglich ist.
4. Alltag und Mathematik: Vergleiche ein dreieckiges Verkehrsschild mit einem mathematisch idealen Dreieck. Nenne Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
5. Muster untersuchen: In einem Dreiecksmuster teilen sich zwei Dreiecke eine Seite. Erkläre, welche Elemente jedes Dreieck trotzdem für sich besitzt.
6. Dynamische Geometrie erklären: Beschreibe, was sich an einem Dreieck ändern kann, wenn ein Eckpunkt verschoben wird, und welche Eigenschaften trotzdem ein Dreieck ausmachen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Dreiecke nicht nur benennen, sondern auch erkennen, beschreiben, sortieren und begründen kannst.

1. Du erkennst ein Dreieck an drei geraden Seiten, drei Eckpunkten und einer geschlossenen Form.
2. Du kannst Eckpunkte, Seiten und Innenwinkel an einer Zeichnung zeigen.
3. Du vergleichst Seitenlängen und unterscheidest gleichseitige, gleichschenklige und verschiedenseitige Dreiecke.
4. Du vergleichst Winkel und unterscheidest spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
5. Du kannst ein Dreieck gleichzeitig nach Seiten und Winkeln beschreiben.
6. Du kannst Deine Entscheidung mit einer Zeichnung, Messung oder kurzen Erklärung begründen.
7. Du kannst Dreiecke in Mustern, Architektur oder Modellen wiedererkennen.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

Die eingebundenen Abbildungen stammen aus Wikimedia Commons und können über ihre Dateiseiten mit den jeweiligen Lizenzangaben geprüft und weiterverwendet werden.

Für dynamisches Erkunden eignen sich die eingebundenen GeoGebra-Materialien besonders, weil Du Eckpunkte verschieben und Eigenschaften direkt beobachten kannst.

Verknüpfte Lernbereiche

Dreieck Geometrie Winkel Strecke Eckpunkt Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Symmetrie Tangram Tetraeder Architektur und Mathematik