M5 G - Das dezimale Stellenwertsystem

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Im dezimalen Stellenwertsystem schreiben wir Zahlen mit nur zehn Ziffern: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Entscheidend ist nicht nur die Ziffer selbst, sondern auch wo sie steht. Die Ziffer $4$ kann zum Beispiel $4$, $40$, $400$ oder $4000$ bedeuten.

Dieser aiMOOC ist für Klasse 5 auf G-Niveau aufgebaut. Du sicherst zuerst Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Danach lernst Du größere Stellen kennen und übst einfache Zahlzerlegungen. Besonders wichtig ist das Bündeln in Zehnerschritten.

Lernschritt	Das kannst Du danach
1. Ziffern erkennen	Du kennst die Ziffern $0$ bis $9$.
2. Stellen finden	Du ordnest Einer, Zehner, Hunderter und Tausender sicher zu.
3. Bündeln	Du verstehst: $10$ Einer werden $1$ Zehner.
4. Zahlen zerlegen	Du zerlegst zum Beispiel $3482$ in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer.
5. Große Zahlen lesen	Du arbeitest auch mit Zehntausendern, Hunderttausendern und Millionen.

Lernziele

1. Stellenwerte erkennen: Du bestimmst, welchen Wert eine Ziffer an ihrer Stelle hat.
2. Stellenwerttafel nutzen: Du trägst natürliche Zahlen von rechts nach links sicher ein.
3. Bündeln und Entbündeln: Du erklärst den Wechsel von einer Stelle zur nächsten.
4. Zahlen zerlegen: Du schreibst Zahlen als Summe ihrer Stellenwerte.
5. Null als Platzhalter: Du erkennst, warum eine Null in einer Zahl wichtig sein kann.
6. Große natürliche Zahlen: Du liest und schreibst Zahlen bis mindestens zur Million.

Das Dezimalsystem verstehen

Zehn Ziffern, viele Zahlen

Das Wort dezimal hängt mit der Zahl zehn zusammen. Unser Stellenwertsystem hat die Basis $10$. Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle direkt rechts daneben.

Stelle	Abkürzung	Stellenwert	Zehnerpotenz
Einer	E	$1$	$10^0$
Zehner	Z	$10$	$10^1$
Hunderter	H	$100$	$10^2$
Tausender	T	$1000$	$10^3$
Zehntausender	ZT	$10000$	$10^4$
Hunderttausender	HT	$100000$	$10^5$
Million	M	$1000000$	$10^6$

Merke: Gehst Du in der Stellenwerttafel eine Spalte nach links, wird der Stellenwert mit $10$ multipliziert. Gehst Du eine Spalte nach rechts, wird der Stellenwert durch $10$ geteilt.

Bündeln in Zehnerschritten

Das Bündelungsprinzip ist der Kern des Dezimalsystems:

Zehn von ...	werden zu ...	Mathematisch
Einern	einem Zehner	$10E=1Z$
Zehnern	einem Hunderter	$10Z=1H$
Hundertern	einem Tausender	$10H=1T$
Tausendern	einem Zehntausender	$10T=1ZT$
Zehntausendern	einem Hunderttausender	$10ZT=1HT$
Hunderttausendern	einer Million	$10HT=1M$

Das Bündelmaterial zeigt das Prinzip räumlich: einzelne Würfel stehen für Einer, eine Stange für Zehner, eine Platte für Hunderter und ein großer Würfel für Tausender.

Bündelmaterial: Die Zahl 328 sehen

Die dargestellte Zahl lässt sich so lesen:

$328=3\cdot 100+2\cdot 10+8\cdot 1$

H	Z	E
3	2	8
$300$	$20$	$8$

Die Stellenwerttafel

Von rechts nach links eintragen

Bei natürlichen Zahlen ist die Einerstelle ganz rechts. Von dort gehst Du nach links zu Zehner, Hunderter, Tausender und weiter.

M	HT	ZT	T	H	Z	E
			3	4	8	2

Die Zahl lautet $3482$.

Leserichtung der Stellen: $E\leftarrow Z\leftarrow H\leftarrow T\leftarrow ZT\leftarrow HT\leftarrow M$

Eintrage-Tipp: Beginne immer rechts bei den Einern. So verrutscht die Zahl nicht.

Eine Ziffer bekommt ihren Wert durch ihre Stelle

Vergleiche dieselbe Ziffer $5$:

Zahl	Stelle der 5	Wert der 5
$5$	Einer	$5$
$50$	Zehner	$50$
$500$	Hunderter	$500$
$5000$	Tausender	$5000$
$50000$	Zehntausender	$50000$

Wichtig: Ziffer und Zahl sind nicht dasselbe. $5$ ist eine Ziffer. $352$ ist eine Zahl aus den Ziffern $3$, $5$ und $2$.

Die Null hält eine Stelle frei

Die Null ist oft ein Platzhalter. Vergleiche:

Zahl	H	Z	E	Bedeutung
$205$	2	0	5	2 Hunderter, 0 Zehner, 5 Einer
$25$	0	2	5	0 Hunderter, 2 Zehner, 5 Einer

Ohne die Null wäre $205$ nicht mehr zweihundertfünf, sondern $25$. Die Position der Ziffern würde sich verändern.

Zahlen zerlegen

Zerlegung als Stellenwertsumme

Eine Zahl kannst Du in ihre Stellenwerte zerlegen. Für $3482$ gilt:

$3482=3000+400+80+2$

oder genauer:

$3482=3\cdot 1000+4\cdot 100+8\cdot 10+2\cdot 1$

Zahlkarte	+	Zahlkarte	+	Zahlkarte	+	Zahlkarte
3000	+	400	+	80	+	2

Zahlenkarten: Zusammensetzen statt nur lesen

Stelle Dir die folgenden Karten als verschiebbare Zahlkarten vor:

7000

300

20

5

Werden die Karten passend zusammengesetzt, entsteht:

$7000+300+20+5=7325$

Noch ein Beispiel mit einer freien Stelle:

4000

0 Hunderter

30

6

$4000+0+30+6=4036$

Zerlegen großer Zahlen

Bei $47305$ hilft die Stellenwerttafel:

ZT	T	H	Z	E
4	7	3	0	5

$47305=40000+7000+300+0+5$

Die Null zeigt: Es gibt keine Zehner. Trotzdem bleibt die Zehnerstelle erhalten.

Stellenwechsel und Bündelungen sichtbar machen

Animation in Schritten: Von 9 zu 10

Beobachte den Stellenwechsel Schritt für Schritt:

Schritt	Einer	Bündelung	Zehner
1	$9E$	noch kein volles Zehnerbündel	$0Z$
2	$9E+1E=10E$	$10E\to 1Z$	$1Z$
3	$0E$	das Einerbündel ist gewechselt	$1Z$

Ergebnis: $9+1=10$.

Animation in Schritten: Von 99 zu 100

Hier passieren zwei Bündelungen nacheinander:

Schritt	H	Z	E	Was passiert?
Start	0	9	9	$99$
+1 Einer	0	9	10	$10E\to 1Z$
erster Wechsel	0	10	0	$10Z\to 1H$
Ende	1	0	0	$100$

So entsteht aus $99+1$ die Zahl $100$.

Stellenwechsel beim Multiplizieren mit 10

Wenn eine natürliche Zahl mit $10$ multipliziert wird, erhält jede Ziffer den zehnfachen Stellenwert.

Zahl	H	Z	E
$34$	0	3	4
$34\cdot 10=340$	3	4	0

Die $3$ wechselt von der Zehner- zur Hunderterstelle. Die $4$ wechselt von der Einer- zur Zehnerstelle.

Nicht nur „eine Null anhängen“ merken! Entscheidend ist der Stellenwechsel: Jede Ziffer wird eine Stelle nach links verschoben.

Interaktives Bündelmodell

Verschiebe und bündele in der interaktiven Darstellung. Beobachte besonders, was bei zehn gleichen Einheiten geschieht.

Größere Stellen und große Zahlen

Von Tausend bis Million

Das gleiche Prinzip geht immer weiter:

$10T=1ZT$

$10ZT=1HT$

$10HT=1M$

Das Bild zeigt, wie stark sich Größen bei jedem Faktor $10$ verändern. Für Klasse 5 reicht zunächst die sichere Orientierung bis zur Million.

Große Zahlen in Dreiergruppen lesen

Längere Zahlen werden oft von rechts in Dreiergruppen gegliedert:

$1234567$

Du kannst lesen:

Millionengruppe	Tausendergruppe	Einergruppe
1	234	567

Das hilft beim Lesen: eine Million zweihundertvierunddreißigtausendfünfhundertsiebenundsechzig.

Stellenwert am Abakus

Auch ein Abakus kann Stellenwerte sichtbar machen. Entscheidend ist: Eine Spalte steht für eine bestimmte Wertigkeit. Dadurch wird deutlich, warum dieselbe Anzahl von Kugeln je nach Spalte einen anderen Zahlenwert darstellen kann.

Zahlen auf der Zahlengeraden

Abstand und Größe sehen

Auf einer Zahlengerade liegen größere natürliche Zahlen weiter rechts. Zwischen zwei benachbarten Markierungen muss immer derselbe Abstandswert gelten.

Beispiel: Wenn jeder Strich $100$ bedeutet, liegen zwischen $300$ und $700$ vier Hunderterschritte:

$300\to 400\to 500\to 600\to 700$

Dynamische Zahlengerade

Nutze den Schieberegler und wechsle zwischen Zahlenräumen. Achte darauf, wie sich die Schrittweite verändert.

Visuelles Schnelltraining

Blitzblick mit Bündelmaterial

Datei:Blitzblick.webm

Versuche, Mengen und Bündel möglichst schnell zu erkennen. Frage Dich dabei immer: Wie viele Tausender, Hunderter, Zehner und Einer sehe ich?

Zwei passende Lernvideos

Das erste Video ist direkt auf Klasse 5 und Stellenwerttafel ausgerichtet:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Das zweite Video erklärt Zehnersystem und Stellenwerttafel ebenfalls für den Schulbereich:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Medienrechte und Auswahl

Die eingebundenen Bilder und die Animation stammen aus Wikimedia Commons und wurden wegen ihrer freien bzw. offenen Lizenz ausgewählt. Die Lizenzangaben stehen jeweils auf der Dateibeschreibungsseite.

1. Base ten blocks transparent: CC0
2. ZR1000 Dienes-Material: CC0
3. Base Ten Blocks to a Billion: CC BY-SA 3.0
4. Positional decimal system on abacus: CC BY 3.0
5. Blitzblick: CC BY-SA 4.0
6. Simple number line: gemeinfrei

Die YouTube-Videos werden über die offizielle Einbettung eingebunden und nicht kopiert. Für sie gelten die Nutzungsbedingungen und Rechteangaben der jeweiligen Anbieter.

Typische Fehler vermeiden

Typischer Fehler	Besser so
Die Zahl $205$ wird als $25$ geschrieben.	Prüfe die leere Zehnerstelle und setze dort $0$.
Die Zahl wird von links in die Stellenwerttafel eingetragen und verrutscht.	Beginne rechts bei den Einern.
Bei $352$ wird die Ziffer $5$ als fünf Einer gelesen.	Prüfe die Stelle: $5$ steht bei den Zehnern und bedeutet $50$.
Zehn Einer bleiben als zehn einzelne Einer liegen.	Bündele: $10E=1Z$.
Bei der Zerlegung wird eine Stelle vergessen.	Nutze jede Spalte der Stellenwerttafel, auch wenn dort $0$ steht.

Mini-Training mit Schritt-für-Schritt-Erklärung

Beispiel 1: Welche Zahl ist dargestellt?

Gegeben sind $4T$, $2H$, $7Z$ und $3E$.

T	H	Z	E
4	2	7	3

$4000+200+70+3=4273$

Beispiel 2: Zerlege 6050

T	H	Z	E
6	0	5	0

$6050=6000+0+50+0$

Kurz geschrieben: $6050=6000+50$.

Beispiel 3: Bündele

Aus $23$ Einern werden:

$23E=2Z+3E$

Denn:

$23=20+3$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Basis hat unser dezimales Stellenwertsystem? (10) (!2) (!5) (!100)

Wie wird die Zahl 328 richtig zerlegt? (300 plus 20 plus 8) (!30 plus 20 plus 8) (!300 plus 2 plus 80) (!3 plus 2 plus 8)

Was entsteht aus zehn Einern beim Bündeln? (1 Zehner) (!1 Hunderter) (!10 Zehner) (!100 Einer)

Welchen Wert hat die Ziffer 5 in der Zahl 5247? (5000) (!500) (!50) (!5)

Welche Aussage beschreibt die Zahl 4030 richtig? (4 Tausender und 3 Zehner) (!4 Hunderter und 3 Einer) (!4 Tausender und 3 Hunderter) (!40 Tausender und 3 Einer)

Welche Zahl folgt direkt auf 999? (1000) (!990) (!9990) (!100)

Welche Zahl gehört zur Zerlegung 7000 plus 300 plus 20 plus 5? (7325) (!70325) (!7352) (!73205)

Was entsteht aus zehn Hundertern beim Bündeln? (1 Tausender) (!1 Zehner) (!10 Tausender) (!100 Tausender)

An welcher Stelle steht die Ziffer 6 in der Zahl 6041? (Tausenderstelle) (!Hunderterstelle) (!Zehnerstelle) (!Einerstelle)

Wie heißt die Stelle mit dem Wert 1000000? (Millionenstelle) (!Hunderttausenderstelle) (!Zehntausenderstelle) (!Tausenderstelle)

Memory

Einer	Stellenwert eins
Zehner	Bündel aus zehn Einern
Hunderter	Bündel aus zehn Zehnern
Tausender	Bündel aus zehn Hundertern
Zehntausender	Bündel aus zehn Tausendern
Hunderttausender	Bündel aus zehn Zehntausendern
Million	Eins mit sechs Nullen
Null	Platzhalter für eine unbesetzte Stelle

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Einerstelle	ganz rechte Stelle einer natürlichen Zahl
Zehnerstelle	zweite Stelle von rechts
Hunderterstelle	dritte Stelle von rechts
Tausenderstelle	vierte Stelle von rechts
Millionenstelle	Stelle mit dem Wert eine Million

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beschreibung
Bündeln	zehn gleiche Einheiten zu einer größeren Einheit zusammenfassen
Entbündeln	eine größere Einheit in zehn kleinere Einheiten zerlegen
Zahlzerlegung	eine Zahl als Summe ihrer Stellenwerte schreiben
Stellenwert	Wert einer Position in einer Zahl
Ziffer	Zeichen zum Schreiben von Zahlen

Kreuzworträtsel

Dezimalsystem	Wie heißt unser Stellenwertsystem mit der Basis zehn?
Stellenwert	Wie heißt der Wert, den eine Position in einer Zahl besitzt?
Tausender	Welche Stelle hat den Wert tausend?
Bündelung	Wie heißt das Zusammenfassen von zehn gleichen Einheiten?
Ziffern	Wie heißen die Zeichen von null bis neun zum Schreiben von Zahlen?
Million	Welche Zahlstelle entspricht einer Eins mit sechs Nullen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Unser Zahlensystem heißt . Die ganz rechte Stelle einer natürlichen Zahl ist die . Zehn Einer werden zu einem gebündelt. Zehn Zehner ergeben einen . Zehn Hunderter ergeben einen . In der Zahl 205 hält die die Zehnerstelle frei. Die Zahl 3482 kann als Summe ihrer zerlegt werden. Eine Eins mit sechs Nullen heißt eine . Beim Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit zehn wechselt jede Ziffer um eine Stelle nach .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Eigene Stellenwerttafel: Zeichne eine Stellenwerttafel von M bis E und trage fünf selbst gewählte Zahlen ein. Markiere bei jeder Zahl die Einerstelle.
2. Bündeln mit Alltagsmaterial: Nutze Stifte, Bohnen oder Papierpunkte. Lege 23 Einer und bündele sie in Zehner und Einer. Fotografiere oder zeichne Dein Ergebnis.
3. Zahlenkarten: Schreibe für die Zahl 4527 die Karten 4000, 500, 20 und 7. Mische die Karten und setze sie wieder zur Zahl zusammen.
4. Null-Detektiv: Finde fünf Zahlen mit mindestens einer Null in der Mitte. Erkläre jeweils, welche Stelle durch die Null freigehalten wird.

Standard

1. Ziffer auf Reisen: Wähle eine Ziffer und zeige in mindestens vier Zahlen, wie sich ihr Wert verändert, wenn sie an eine andere Stelle rückt.
2. Zahlengeraden-Plakat: Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 10 000 mit einer sinnvollen Schrittweite. Markiere 1250, 5000 und 8750 und begründe ihre Lage.
3. Bündel-Stop-Motion: Erstelle eine kurze Stop-Motion-Animation, in der aus zehn Einern ein Zehner und aus zehn Zehnern ein Hunderter wird.
4. Große-Zahlen-Sammlung: Suche in Zeitung, Schule oder Alltag drei große natürliche Zahlen. Trage sie in eine Stellenwerttafel ein und zerlege sie.

Schwer

1. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo für eine jüngere Klasse. Erkläre darin mit Material, warum 10 Einer gleich 1 Zehner sind.
2. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler beim Zerlegen von Zahlen. Tausche sie mit einem Partner und korrigiert die Fehler mit Begründung.
3. Zahlenrätsel entwickeln: Erstelle fünf Rätsel wie „Meine Tausenderziffer ist 4, meine Hunderterziffer ist um 2 kleiner ...“. Gib jeweils genau eine Lösung an.
4. Vergleich von Darstellungen: Stelle dieselbe Zahl als Ziffernfolge, Stellenwerttafel, Zahlzerlegung, Bündelbild und Punkt auf der Zahlengeraden dar. Erkläre, was jede Darstellung besonders gut zeigt.

Lernkontrolle

1. Bündelung erklären: Eine Schülerin sagt: „Bei 999 plus 1 muss man nur die Einer ändern.“ Erkläre mit Stellenwerten, warum das nicht reicht und wie 1000 entsteht.
2. Platzhalter begründen: Vergleiche 507 und 57. Erkläre, warum die Null in 507 unverzichtbar ist und wie sie den Wert der 5 verändert.
3. Darstellungen verbinden: Zerlege 8042 und beschreibe anschließend, wie dieselbe Zahl mit Bündelmaterial aussehen würde.
4. Stellenwechsel übertragen: Erkläre, warum aus 43 beim Multiplizieren mit 10 die Zahl 430 wird. Verwende die Begriffe Einerstelle, Zehnerstelle und Hunderterstelle.
5. Zahlenraum übertragen: Auf einem Zahlenstrahl liegen 0 und 10 000 genau 20 gleich große Schritte auseinander. Bestimme die Schrittweite und erkläre Deinen Weg.
6. Eigene Regel formulieren: Formuliere eine Regel, mit der Du jede natürliche Zahl sicher in eine Stellenwerttafel eintragen kannst. Teste Deine Regel an 70 406.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Stellenbezeichnungen auswendig kennst, sondern das Prinzip verstanden hast.

1. Du kannst Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender und Million korrekt benennen.
2. Du kannst erklären und anwenden: $10E=1Z$, $10Z=1H$ und $10H=1T$.
3. Du kannst natürliche Zahlen sicher in eine Stellenwerttafel eintragen und daraus ablesen.
4. Du kannst den Wert einer einzelnen Ziffer in einer Zahl bestimmen.
5. Du kannst die Bedeutung der Null als Platzhalter erklären.
6. Du kannst Zahlen als Stellenwertsumme zerlegen und aus einer Zerlegung wieder zusammensetzen.
7. Du kannst Stellenwechsel bei $\cdot 10$ mit der Verschiebung der Ziffern erklären.
8. Du kannst große Zahlen bis mindestens $1000000$ lesen, gliedern und darstellen.
9. Du kannst Deine Lösung mit einer Darstellung begründen, zum Beispiel Stellenwerttafel, Bündelmaterial oder Zahlengerade.

OERs zum Thema

Weitere passende frei zugängliche Hintergrundinformationen:

1. Wikipedia: Dezimalsystem
2. Wikipedia: Stellenwertsystem
3. GeoGebra: Zahlen in der Stellenwerttabelle
4. GeoGebra: Der Zahlenstrahl

Verknüpfte Lernbereiche

Stellenwertsystem Natürliche Zahlen Dezimalsystem Stellenwerttafel Zahlzerlegung Bündelungsprinzip Zahlengerade Ziffer Null