M5 E - Gleicher Umfang – unterschiedliche Fläche

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

M5 E - Gleicher Umfang – unterschiedliche Fläche

M5 E - Gleicher Umfang – unterschiedliche Fläche

Einleitung

Du untersuchst Rechtecke und andere Figuren auf einem Raster. Dabei vergleichst Du zwei Größen:

Größe	Bedeutung	Rechteck
Umfang $U$	Länge des Randes	$U=2(a+b)$
Flächeninhalt $A$	Größe der Innenfläche	$A=a\cdot b$

Leitfragen:

1. Kann derselbe Umfang verschiedene Flächen einschließen?
2. Kann dieselbe Fläche verschiedene Umfänge haben?
3. Welche Rechteckform ist bei festem Umfang besonders günstig?

Lernziele

Am Ende kannst Du:

1. aus Seitenlängen $U$ und $A$ berechnen.
2. Rechtecke mit gleichem Umfang systematisch vergleichen.
3. Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt systematisch vergleichen.
4. Vermutungen formulieren und mit Beispielen sowie Gegenbeispielen prüfen.
5. erklären, warum quadratische Rechtecke bei den Vergleichen eine besondere Rolle spielen.

Umfang und Fläche sichtbar machen

Rand	Innenraum
$U=a+b+a+b$	$A=a\cdot b$
Einheit: $\mathrm{c}\mathrm{m}$	Einheit: $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Visueller Rechenweg für $a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$U=2(a+b)$ $\Rightarrow$ $U=2(6+3)$ $\Rightarrow$ $U=18\mathrm{c}\mathrm{m}$

$A=a\cdot b$ $\Rightarrow$ $A=6\cdot 3$ $\Rightarrow$ $A=18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Raster-Experiment

Nimm kariertes Papier. Ein Kästchen zählt als $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

Rechteck	Kästchen innen	Umfang
$1\times 6$	$6$	$14$
$2\times 3$	$6$	$10$

Beobachtung: $A=6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ bleibt gleich, aber $U$ ändert sich.

Geobrett und Gummiband

Spanne auf einem Geobrett verschiedene Rechtecke. Zähle Randstrecken und Kästchen. Noch besser: Verwende für einen festen Umfang eine nicht dehnbare Schnur.

Experiment 1: Gleicher Umfang – unterschiedliche Fläche

Material: 20 cm Schnur, kariertes Papier, Lineal.

Lege mit derselben Schnur mehrere Rechtecke. Für alle gilt:

$U=20\mathrm{c}\mathrm{m}$

$2(a+b)=20$ $\Rightarrow$ $a+b=10$

$a$ in cm	$b$ in cm	$U$ in cm	$A$ in cm²
1	9	20	9
2	8	20	16
3	7	20	21
4	6	20	24
5	5	20	25

Muster: Je ähnlicher $a$ und $b$ werden, desto größer wird hier die Fläche.

Vermutung: Bei gleichem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche unter den Rechtecken.

Dynamisches Rechteck: Umfang bleibt fest

Bewege den Regler und beobachte $a$, $b$ und $A$.

Forscherauftrag:

1. Stelle $U=20$ ein.
2. Suche drei verschiedene Rechtecke.
3. Notiere jeweils $a$, $b$ und $A$.
4. Finde die größte Fläche.
5. Prüfe Deine Vermutung mit einem weiteren Umfang.

Gegenbeispiel 1

Die Aussage „Gleicher Umfang bedeutet gleiche Fläche.“ ist falsch.

$1\cdot 9=9$ und $5\cdot 5=25$

aber

$2(1+9)=20$ und $2(5+5)=20$.

Also: gleicher Umfang, verschiedene Fläche.

Experiment 2: Gleiche Fläche – unterschiedlicher Umfang

Nun bleibt die Fläche fest:

$A=24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

$a\cdot b=24$

$a$ in cm	$b$ in cm	$A$ in cm²	$U$ in cm
1	24	24	50
2	12	24	28
3	8	24	22
4	6	24	20

Muster: Werden die Seitenlängen ähnlicher, wird der Umfang kleiner.

Vermutung: Bei fester Fläche hat ein möglichst quadratisches Rechteck einen besonders kleinen Umfang.

Dynamisches Rechteck: Fläche bleibt fest

Forscherauftrag:

1. Verändere die Form, ohne die Fläche zu ändern.
2. Suche einen sehr großen Umfang.
3. Suche einen möglichst kleinen Umfang.
4. Beschreibe die Form beim kleinsten Umfang.

Gegenbeispiel 2

Die Aussage „Gleiche Fläche bedeutet gleichen Umfang.“ ist falsch.

$3\cdot 8=24$ und $4\cdot 6=24$

aber

$2(3+8)=22$ und $2(4+6)=20$.

Also: gleiche Fläche, verschiedener Umfang.

Fläche als Kästchenzahl

Schritt für Schritt:

$6\text{ Kästchen pro Reihe}$

$\times 3\text{ Reihen}$

$=18\text{ Kästchen}=18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Bewegliches Flächenmodell

Verändere Länge und Breite und prüfe die Kästchenzahl.

Merksätze

Wenn fest bleibt ...	... kann sich ändern	besondere Form
$U$	$A$	Das Quadrat liefert bei festem Umfang die größte Rechteckfläche.
$A$	$U$	Eine möglichst quadratische Form hat einen kleinen Umfang.

Wichtig: Umfang und Fläche sind verschiedene Größen. Eine Zahlengleichheit wie $U=20$ und $A=20$ bedeutet nicht, dass beide Größen dasselbe beschreiben.

Video und Animation

Datei:Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis - kolleg24 Mathematik.webm

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Ein Rechteck ist 5 cm lang und 5 cm breit. Wie groß ist sein Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!25 cm) (!30 cm)

Ein Rechteck ist 5 cm lang und 5 cm breit. Wie groß ist seine Fläche? (25 cm²) (!20 cm²) (!10 cm²) (!50 cm²)

Welche beiden Rechtecke haben denselben Umfang 20 cm? (1 cm mal 9 cm und 5 cm mal 5 cm) (!1 cm mal 8 cm und 5 cm mal 5 cm) (!2 cm mal 7 cm und 4 cm mal 5 cm) (!3 cm mal 5 cm und 2 cm mal 8 cm)

Welches Rechteck hat bei Umfang 20 cm die größte Fläche in unserer Tabelle? (5 cm mal 5 cm) (!1 cm mal 9 cm) (!2 cm mal 8 cm) (!3 cm mal 7 cm)

Welche beiden Rechtecke haben die gleiche Fläche 24 cm²? (3 cm mal 8 cm und 4 cm mal 6 cm) (!2 cm mal 8 cm und 4 cm mal 6 cm) (!3 cm mal 7 cm und 4 cm mal 6 cm) (!2 cm mal 12 cm und 5 cm mal 5 cm)

Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks mit 4 cm und 6 cm Seitenlänge? (20 cm) (!24 cm) (!10 cm) (!48 cm)

Welche Aussage ist richtig? (Gleicher Umfang kann zu verschiedenen Flächen führen) (!Gleicher Umfang erzwingt immer gleiche Fläche) (!Gleiche Fläche erzwingt immer gleichen Umfang) (!Umfang und Fläche haben immer dieselbe Einheit)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (cm²) (!cm) (!kg) (!Liter)

Welche Form ist bei festem Umfang unter Rechtecken besonders flächengünstig? (Quadrat) (!Sehr schmales Rechteck) (!Beliebiges Rechteck) (!Offene Linie)

Was ist ein gutes Gegenbeispiel zur Aussage gleiche Fläche bedeutet gleicher Umfang? (3 cm mal 8 cm und 4 cm mal 6 cm) (!2 cm mal 3 cm und 2 cm mal 3 cm) (!4 cm mal 4 cm und 4 cm mal 4 cm) (!1 cm mal 5 cm und 1 cm mal 5 cm)

Memory

Umfang	Randlänge
Flächeninhalt	Innenfläche
Rechteck	Vier rechte Winkel
Quadrat	Vier gleich lange Seiten
Zentimeter	Längeneinheit
Quadratzentimeter	Flächeneinheit
Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine Behauptung
Vermutung	Noch zu prüfende Aussage

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Randlänge	Umfang
Innenraum	Flächeninhalt
gleicher Umfang	Fläche kann sich ändern
gleiche Fläche	Umfang kann sich ändern
quadratische Form	Seitenlängen sind gleich

Kreuzworträtsel

Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel?
Umfang	Wie heißt die Länge des gesamten Randes?
Flaeche	Wie heißt die Größe des Innenraums einer ebenen Figur?
Quadrat	Welches besondere Rechteck hat vier gleich lange Seiten?
Laenge	Wie heißt eine Seitenabmessung eines Rechtecks?
Breite	Wie heißt die zweite Seitenabmessung eines Rechtecks?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Umfang beschreibt die einer Figur. Der Flächeninhalt beschreibt die Größe des . Beim Rechteck berechnet man den Umfang mit . Den Flächeninhalt berechnet man mit . Rechtecke mit gleichem Umfang können unterschiedliche besitzen. Rechtecke mit gleicher Fläche können unterschiedliche besitzen. Bei festem Umfang wird die Rechteckfläche besonders groß, wenn die Form möglichst ist. Eine falsche allgemeine Behauptung kann durch ein widerlegt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Schnur-Rechtecke: Lege mit 20 cm Schnur mindestens drei verschiedene Rechtecke. Miss die Seiten und berechne jeweils $A$.
2. Raster-Paare: Zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit $A=12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$. Bestimme ihre Umfänge.
3. Flächen-Foto: Fotografiere ein rechteckiges Objekt, miss zwei Seiten und ergänze $U$ und $A$ in einer Bildunterschrift.
4. Gegenbeispiel: Erfinde ein Zahlenbeispiel, das die Aussage „Gleicher Umfang bedeutet gleiche Fläche“ widerlegt.

Standard

1. Geobrett-Forschung: Spanne fünf Rechtecke mit demselben Umfang und ordne sie nach ihrer Fläche.
2. GeoGebra-Protokoll: Nutze das dynamische Rechteck mit festem Umfang. Erstelle eine Tabelle mit mindestens sechs Messwerten und formuliere eine Vermutung.
3. Gartenplanung: Plane mit 24 m Zaun drei rechteckige Beete. Welches Beet bietet am meisten Fläche? Begründe mit Rechnungen.
4. Plakat Umfang und Fläche: Gestalte ein Lernplakat mit zwei Gegenbeispielen, zwei Formeln und einer Rasterzeichnung.

Schwer

1. Vermutung prüfen: Prüfe die Aussage „Je ähnlicher Länge und Breite bei festem Umfang sind, desto größer ist die Fläche“ mit mindestens acht Beispielen.
2. Mindestumfang: Finde für $A=36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ mehrere ganzzahlige Rechtecke. Welches besitzt den kleinsten Umfang? Erkläre das Muster.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit Schnur oder Geobrett, in dem Du gleichbleibenden Umfang und veränderliche Fläche sichtbar machst.
4. Mathe-Ausstellung: Entwickle eine kleine Ausstellung mit drei Stationen: Schnur, Raster und dynamische Geometrie. Jede Station soll eine Vermutung und eine Prüfmöglichkeit enthalten.

Lernkontrolle

1. Zaunproblem: Du hast 20 m Zaun. Vergleiche die Rechtecke $1\times 9$, $2\times 8$, $3\times 7$, $4\times 6$ und $5\times 5$. Welche Form nutzt den Zaun am besten, wenn möglichst viel Fläche gebraucht wird? Begründe.
2. Fehler finden: Eine Person sagt: „Wenn zwei Rechtecke denselben Umfang haben, haben sie auch dieselbe Fläche.“ Widerlege die Aussage mit Rechnung und Skizze.
3. Verpackungsrand: Zwei Etiketten haben jeweils $24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$. Eines ist $3\times 8$, das andere $4\times 6$. Für welches wird weniger Randband benötigt? Erkläre.
4. Eigene Vermutung: Formuliere eine Vermutung darüber, was bei festem Umfang mit der Fläche passiert, wenn Länge und Breite immer ähnlicher werden. Prüfe sie mit mindestens vier Beispielen.
5. Gegenbeispiel bauen: Erfinde zwei Rechtecke mit gleicher Fläche, aber verschiedenem Umfang. Zeige alle Rechenschritte.
6. Transfer auf Alltag: Nenne eine Alltagssituation, in der gleicher Umfang, aber möglichst große Fläche sinnvoll ist. Begründe Deine Wahl mathematisch.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. $U=2(a+b)$ und $A=a\cdot b$ sicher anwendest.
2. Längen- und Flächeneinheiten unterscheidest.
3. Tabellen mit konstantem $U$ oder konstantem $A$ erstellst und auswertest.
4. Vermutungen in eigenen Worten formulierst.
5. Beispiele und Gegenbeispiele gezielt einsetzt.
6. Deine Entscheidung mit Rechnung, Skizze oder Raster begründest.

Verknüpfte Lernbereiche

Umfang und Flächeninhalt Rechteck Quadrat Umfang Flächeninhalt Geometrie Multiplikation Einheiten Raster und Koordinaten