M5 E - Dezimalzahlen flexibel darstellen und anwenden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Dezimalzahlen begegnen Dir überall: beim Geld, beim Messen von Länge, Masse und Volumen, in Tabellen, Diagrammen, auf Messgeräten und auf der Zahlengerade. In diesem aiMOOC lernst Du nicht nur, Dezimalzahlen zu lesen und zu berechnen. Du lernst vor allem, zwischen verschiedenen Darstellungen sicher zu wechseln, mathematische Beziehungen zu erklären und mehrschrittige Sachaufgaben zu lösen.

Zielgruppe: Klasse 5, E-Niveau.

Du kannst am Ende dieses aiMOOCs:

1. Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel, als Bruch, auf der Zahlengerade, in Größen und in Bildern darstellen.
2. Dezimalzahlen vergleichen, ordnen und ihre Abstände erklären.
3. Dezimalzahlen sicher addieren und subtrahieren sowie mit $10$, $100$ und $1000$ verknüpfen.
4. Mehrschrittige Sachaufgaben mit Geld, Längen, Massen und Volumina lösen.
5. Begründen, warum unterschiedliche Darstellungen denselben Zahlenwert beschreiben können.
6. Rechenwege visuell darstellen, prüfen und verbessern.

Die Grundidee: Eine Zahl – viele Darstellungen

Betrachte die Zahl

$\mathrm{0,37}$

Sie lässt sich auf viele Arten darstellen:

Darstellung	Bedeutung von $\mathrm{0,37}$
Dezimalzahl	$\mathrm{0,37}$
Stellenwerte	$3$ Zehntel und $7$ Hundertstel
Zerlegung	$\mathrm{0,3}+\mathrm{0,07}$
Bruch	$\frac{37}{100}$
Hundertfeld	$37$ von $100$ gleich großen Kästchen
Geld	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0{,}37\,€=37\,\text{ct}}
Länge	$\mathrm{0,37}\text{m}=37\text{cm}$
Zahlengerade	Zwischen $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,4}$, genau $7$ Hundertstel rechts von $\mathrm{0,3}$

Wichtig: Die Darstellung ändert sich, der Zahlenwert bleibt gleich.

$\mathrm{0,37}=\frac{37}{100}=37\mathrm{\%}=\mathrm{0,370}$

Die Schreibweise $\mathrm{0,370}$ hat denselben Wert wie $\mathrm{0,37}$, weil angehängte Nullen rechts nach der letzten Nachkommastelle den Wert nicht verändern.

Visuelle Aufgabe: Stell Dir vor, das Hundertfeld oben steht für ein Ganzes. Wenn $37$ der $100$ Felder markiert sind, ist dargestellt:

$\frac{37}{100}=\mathrm{0,37}$

Stellenwertsystem verstehen

Im Dezimalsystem ist jede Stelle zehnmal so viel wert wie die Stelle direkt rechts daneben.

Hunderter	Zehner	Einer	,	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
$100$	$10$	$1$	,	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{1000}$
H	Z	E	,	z	h	t

Für die Zahl $\mathrm{42,583}$ gilt:

$\mathrm{42,583}=4\cdot 10+2\cdot 1+5\cdot \frac{1}{10}+8\cdot \frac{1}{100}+3\cdot \frac{1}{1000}$

also

$\mathrm{42,583}=40+2+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,08}+\mathrm{0,003}$

Stellenwertbeziehung:

$1\text{Einer}=10\text{Zehntel}=100\text{Hundertstel}=1000\text{Tausendstel}$

und entsprechend

$1\text{Zehntel}=10\text{Hundertstel}$

$1\text{Hundertstel}=10\text{Tausendstel}$

Interaktives Stellenwertmodell

Verschiebe Werte, beobachte das Bündeln in Zehnerschritten und erkläre anschließend mit eigenen Worten, was passiert, wenn aus zehn Hundertsteln ein Zehntel wird.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $\mathrm{3,4}$, $\mathrm{3,40}$, $\mathrm{3,04}$ und $\mathrm{3,004}$ dar. Erkläre, welche Nullen den Wert nicht verändern und welche Nullen für den Stellenwert entscheidend sind.

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Dezimalzahl und Bruch verbinden

Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen lassen sich als Brüche mit einem Nenner $10$, $100$, $1000$ usw. schreiben.

Dezimalzahl	Stellenwertsprache	Bruch
$\mathrm{0,4}$	vier Zehntel	$\frac{4}{10}$
$\mathrm{0,07}$	sieben Hundertstel	$\frac{7}{100}$
$\mathrm{0,125}$	einhundertfünfundzwanzig Tausendstel	$\frac{125}{1000}$
$\mathrm{2,35}$	zwei Ganze und fünfunddreißig Hundertstel	$2+\frac{35}{100}$

Beispiel:

$\mathrm{1,28}=1+\frac{2}{10}+\frac{8}{100}=1+\frac{20}{100}+\frac{8}{100}=1+\frac{28}{100}$

also

$\mathrm{1,28}=\frac{128}{100}$

Bewegliche Bruch- und Dezimaldarstellung

Bewege den Schieberegler. Beobachte gleichzeitig das Bild, den Bruch und die Dezimalzahl.

Vergleichsfrage: Warum gilt

$\mathrm{0,5}=\mathrm{0,50}=\frac{5}{10}=\frac{50}{100}$?

Die Zahl wurde dabei nicht größer. Nur die Einteilung des Ganzen wurde feiner beschrieben.

Dezimalzahlen auf der Zahlengerade

Auf der Zahlengerade ist die Lage einer Zahl entscheidend: Weiter rechts bedeutet bei positiven Zahlen einen größeren Wert.

Um $\mathrm{2,37}$ genau zu finden, kannst Du schrittweise zoomen:

1. Suche zuerst den Abschnitt zwischen $2$ und $3$.
2. Teile diesen Abschnitt in Zehntel und finde $\mathrm{2,3}$.
3. Teile den Abschnitt zwischen $\mathrm{2,3}$ und $\mathrm{2,4}$ in Hundertstel.
4. Gehe sieben Hundertstel weiter: $\mathrm{2,37}$.

Mathematisch:

$\mathrm{2,37}=2+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,07}$

und der Abstand zu $\mathrm{2,4}$ ist

$\mathrm{2,40}-\mathrm{2,37}=\mathrm{0,03}$.

Dynamische Zahlengerade mit Zoom

Arbeitsauftrag: Stelle $\mathrm{1,33}$ und $\mathrm{1,4}$ dar. Schreibe zuerst $\mathrm{1,4}$ als $\mathrm{1,40}$ und bestimme dann den Abstand:

$\mathrm{1,40}-\mathrm{1,33}=\mathrm{0,07}$

Damit liegt $\mathrm{1,4}$ um sieben Hundertstel weiter rechts.

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Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Beim Vergleichen gehst Du von links nach rechts durch die Stellenwerte.

Vergleiche

$\mathrm{2,09}$ und $\mathrm{2,1}$.

Schreibe gleich viele Nachkommastellen:

$\mathrm{2,09}$ und $\mathrm{2,10}$.

Nun gilt:

$\mathrm{2,09}<\mathrm{2,10}$

also

$\mathrm{2,09}<\mathrm{2,1}$.

Nicht die Anzahl der Ziffern entscheidet, sondern der Stellenwert.

Zahl A	Zahl B	Vergleich	Begründung
$\mathrm{4,8}$	$\mathrm{4,75}$	$\mathrm{4,80}>\mathrm{4,75}$	acht Zehntel sind mehr als sieben Zehntel
$\mathrm{0,35}$	$\mathrm{0,305}$	$\mathrm{0,350}>\mathrm{0,305}$	bei den Hundertsteln ist $5>0$
$\mathrm{6,07}$	$\mathrm{6,7}$	$\mathrm{6,07}<\mathrm{6,70}$	null Zehntel sind weniger als sieben Zehntel

Interaktiver Vergleich mit Stellenwertblöcken

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Größen als Dezimalzahlen verstehen

Dezimalzahlen sind besonders praktisch, wenn Einheiten in kleinere Einheiten zerlegt werden.

Für Längen gilt:

$1\text{m}=10\text{dm}=100\text{cm}=1000\text{mm}$

Daraus folgt:

$\mathrm{0,1}\text{m}=1\text{dm}=10\text{cm}$

$\mathrm{0,01}\text{m}=1\text{cm}$

$\mathrm{0,001}\text{m}=1\text{mm}$

Beispiel:

$\mathrm{1,37}\text{m}=1\text{m}+\mathrm{0,37}\text{m}=1\text{m}+37\text{cm}=137\text{cm}$

Geld

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,€=100\,\text{ct}}

Deshalb gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2{,}35\,€=235\,\text{ct}}

und

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 75\,\text{ct}=0{,}75\,€} .

Die zwei Nachkommastellen bei Geldbeträgen passen zum Hundertstelmodell:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,\text{ct}=\frac{1}{100}\,€=0{,}01\,€}

Volumen und Flüssigkeiten

$1\text{l}=1000\text{ml}$

Daher:

$\mathrm{0,5}\text{l}=500\text{ml}$

$\mathrm{0,75}\text{l}=750\text{ml}$

$\mathrm{1,25}\text{l}=1250\text{ml}$

Masse

$1\text{kg}=1000\text{g}$

Beispiel:

$\mathrm{2,4}\text{kg}=2400\text{g}$

Denn:

$\mathrm{2,4}\cdot 1000=2400$

Mit 10, 100 und 1000 rechnen: Stellenwerte verschieben sich

Multiplizierst Du mit $10$, wird jeder Ziffernwert zehnmal so groß.

$\mathrm{2,34}\cdot 10=\mathrm{23,4}$

Eine genaue Stellenwertbeschreibung ist:

vorher	Stellenwert	nach $\cdot 10$	neuer Stellenwert
$2$	Einer	$2$	Zehner
$3$	Zehntel	$3$	Einer
$4$	Hundertstel	$4$	Zehntel

Darum erscheint es in der Schreibweise so, als wandere das Komma:

$\mathrm{2,34}\to \mathrm{23,4}$

Mathematisch genauer ist aber: Jede Ziffer erhält beim Multiplizieren mit $10$ den zehnfachen Stellenwert.

Entsprechend:

$\mathrm{2,34}\cdot 100=234$

$234:100=\mathrm{2,34}$

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Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren müssen gleiche Stellenwerte untereinander stehen.

Beispiel:

$\mathrm{3,7}+\mathrm{1,45}$

Schreibe zuerst:

$\mathrm{3,70}+\mathrm{1,45}$

Dann:

$\mathrm{3,70}$

$+\mathrm{1,45}$

$\underset{\_}{\phantom{+}\mathrm{5,15}}$

Warum funktioniert das?

$\mathrm{3,70}=3+\frac{70}{100}$

$\mathrm{1,45}=1+\frac{45}{100}$

also

$\mathrm{3,70}+\mathrm{1,45}=4+\frac{115}{100}=\mathrm{5,15}$.

Visueller Rechenweg auf der Zahlengerade

Für

$\mathrm{2,6}+\mathrm{1,75}$

kannst Du in Schritten springen:

$\mathrm{2,6}\stackrel{+1}{\to }\mathrm{3,6}\stackrel{+\mathrm{0,7}}{\to }\mathrm{4,3}\stackrel{+\mathrm{0,05}}{\to }\mathrm{4,35}$

Damit:

$\mathrm{2,6}+\mathrm{1,75}=\mathrm{4,35}$

Bei der Subtraktion

$\mathrm{5,2}-\mathrm{1,85}$

kannst Du rückwärts denken:

$\mathrm{5,20}-\mathrm{1,00}=\mathrm{4,20}$

$\mathrm{4,20}-\mathrm{0,80}=\mathrm{3,40}$

$\mathrm{3,40}-\mathrm{0,05}=\mathrm{3,35}$

also

$\mathrm{5,2}-\mathrm{1,85}=\mathrm{3,35}$.

Animierter Rechenweg

Nutze die Steuerung der Konstruktion und beobachte Addition und Subtraktion als Bewegungen auf dem Zahlenstrahl.

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Mehrschrittige Sachaufgaben lösen

Eine gute Strategie ist:

Schritt	Leitfrage
1. Verstehen	Was ist gegeben? Was wird gesucht?
2. Darstellen	Hilft eine Tabelle, Skizze, Zahlengerade oder Stellenwertdarstellung?
3. Planen	Welche Rechnungen brauche ich und in welcher Reihenfolge?
4. Rechnen	Stimmen Stellenwerte und Einheiten?
5. Prüfen	Ist das Ergebnis ungefähr so groß wie erwartet?
6. Antworten	Welche Einheit und welcher Antwortsatz gehören zum Ergebnis?

Sachaufgabe 1: Picknickkasse

Für ein Picknick werden sechs Getränke zu je Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}25\,€} und Obst für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 3{,}80\,€} gekauft. Ein Gutschein reduziert den Preis um Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2{,}00\,€} . Bezahlt wird mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 15\,€} .

Schritt 1: Getränke

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 6\cdot 1{,}25\,€=7{,}50\,€}

Schritt 2: Obst dazu

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7{,}50\,€+3{,}80\,€=11{,}30\,€}

Schritt 3: Gutschein

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 11{,}30\,€-2{,}00\,€=9{,}30\,€}

Schritt 4: Rückgeld

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 15{,}00\,€-9{,}30\,€=5{,}70\,€}

Kontrolle durch Überschlag:

$6\cdot \mathrm{1,25}\approx 6\cdot \mathrm{1,3}=\mathrm{7,8}$

$\mathrm{7,8}+\mathrm{3,8}-2\approx \mathrm{9,6}$

Der genaue Preis Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 9{,}30\,€} ist plausibel.

Sachaufgabe 2: Stoffband

Du hast zwei Stücke Stoffband mit $\mathrm{2,35}\text{m}$ und $\mathrm{1,80}\text{m}$. Davon werden $\mathrm{0,75}\text{m}$ abgeschnitten.

Gesamtlänge:

$\mathrm{2,35}+\mathrm{1,80}=\mathrm{4,15}\text{m}$

Rest:

$\mathrm{4,15}-\mathrm{0,75}=\mathrm{3,40}\text{m}$

Darstellungswechsel:

$\mathrm{3,40}\text{m}=340\text{cm}$

Die Antwort kann also als $\mathrm{3,4}\text{m}$ oder als $340\text{cm}$ angegeben werden.

Sachaufgabe 3: Getränkemischung

In einem Krug sind $\mathrm{0,75}\text{l}$ Saft und $\mathrm{1,25}\text{l}$ Wasser. Davon werden $\mathrm{0,6}\text{l}$ ausgeschenkt.

Zuerst zusammenfassen:

$\mathrm{0,75}+\mathrm{1,25}=\mathrm{2,00}\text{l}$

Dann abziehen:

$\mathrm{2,00}-\mathrm{0,60}=\mathrm{1,40}\text{l}$

In Milliliter:

$\mathrm{1,40}\text{l}=1400\text{ml}$

Schätzen, Runden und Ergebnisse prüfen

Runden hilft Dir, Ergebnisse einzuschätzen.

Beispiel:

$\mathrm{4,87}\approx \mathrm{4,9}$ auf Zehntel gerundet.

Für eine schnelle Kontrolle:

$\mathrm{4,87}+\mathrm{3,12}\approx \mathrm{4,9}+\mathrm{3,1}=\mathrm{8,0}$

Die genaue Rechnung ergibt:

$\mathrm{4,87}+\mathrm{3,12}=\mathrm{7,99}$

Das passt sehr gut zur Schätzung.

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Typische Denkfehler erkennen

Fehler	Warum falsch?	Bessere Denkweise
$\mathrm{2,11}>\mathrm{2,9}$, weil $11>9$	Nachkommastellen dürfen nicht als ganze Zahl gelesen werden.	Schreibe $\mathrm{2,9}=\mathrm{2,90}$. Dann ist $\mathrm{2,11}<\mathrm{2,90}$.
$\mathrm{0,5}\ne \mathrm{0,50}$	Eine angehängte Null rechts verändert den Wert nicht.	$\mathrm{0,5}=\frac{5}{10}=\frac{50}{100}=\mathrm{0,50}$.
$\mathrm{3,4}+\mathrm{0,27}=\mathrm{3,67}$ wird falsch untereinander geschrieben	Stellenwerte wurden nicht ausgerichtet.	Schreibe $\mathrm{3,40}+\mathrm{0,27}=\mathrm{3,67}$.
$\mathrm{1,5}\text{m}=15\text{cm}$	Die Einheit wurde falsch umgerechnet.	$1\text{m}=100\text{cm}$, also $\mathrm{1,5}\text{m}=150\text{cm}$.

Darstellungen vernetzen: Das Dezimalzahlen-Netz

Nimm die Zahl $\mathrm{1,25}$. Jede Darstellung führt zur gleichen Zahl:

$\mathrm{1,25}$

$\Updownarrow$

$1+\frac{2}{10}+\frac{5}{100}$

$\Updownarrow$

$1+\frac{25}{100}$

$\Updownarrow$

$\frac{125}{100}$

$\Updownarrow$

$125\text{cm}=\mathrm{1,25}\text{m}$

$\Updownarrow$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}25\,€=125\,\text{ct}}

Mathematische Kernidee: Ein Zahlenwert kann durch Zahlzeichen, Bruch, Größe, Bild oder Position dargestellt werden. Rechnen verändert den Zahlenwert nach festen Regeln; ein bloßer Darstellungswechsel nicht.

Interaktive Medienwerkstatt

Stellenwertmodell mit Schiebereglern

Beobachte, wie Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel gemeinsam eine Zahl aufbauen.

Dezimalzahl-Visualisierer

Verändere die Zahl schrittweise und beschreibe jeweils, welche Stelle verändert wurde.

Brüche und Dezimalzahlen auf einer Zahlengerade

Suche Zahlen, die als Bruch und als Dezimalzahl denselben Punkt besitzen.

Faltbares und drehbares 3D-Modell

Ein Würfel kann als Modell für ein Ganzes dienen. Stell Dir vor, jede Kante wird in zehn gleich lange Abschnitte geteilt. Dann entstehen gedanklich

$10\cdot 10\cdot 10=1000$

gleich große kleine Würfel. Ein kleiner Würfel entspricht dann

$\frac{1}{1000}=\mathrm{0,001}$

des großen Würfels.

Falte und drehe den Würfel dynamisch:

3D-Denkanstoß: Wenn $100$ der $1000$ gleich großen Teilwürfel markiert wären, welcher Dezimalzahl entspräche das?

$\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$

Dynamische Diagramm-Idee

Erstelle zu einer Zahlenfolge wie

$\mathrm{0,2};\mathrm{0,5};\mathrm{0,9};\mathrm{1,3};\mathrm{1,8}$

ein Punktdiagramm. Verändere eine Zahl und beobachte, wie sich der zugehörige Punkt verschiebt. Verbinde die Bewegung mit der Zahlengerade: Größerer Zahlenwert bedeutet eine Verschiebung nach rechts beziehungsweise nach oben, je nach Diagramm.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zerlegung beschreibt 3,47 richtig? ($3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}$) (!$3+\frac{4}{100}+\frac{7}{10}$) (!$3+\frac{47}{10}$) (!$34+\frac{7}{10}$)

Welche Zahl ist gleich groß wie 0,5? (0,50) (!0,05) (!5,0) (!0,5001)

Welche Zahl ist größer? (2,10) (!2,09) (!Beide sind kleiner als 2) (!Die Zahlen sind nicht vergleichbar)

Welcher Bruch entspricht 0,37? (37 Hundertstel) (!37 Zehntel) (!3 Siebtel) (!7 Dreißigstel)

Wie viele Zentimeter sind 1,25 Meter? (125 Zentimeter) (!12,5 Zentimeter) (!1025 Zentimeter) (!1,25 Zentimeter)

Wie viel ist 3,40 plus 0,27? (3,67) (!3,427) (!3,13) (!6,10)

Wie viel ist 5,20 minus 1,85? (3,35) (!4,65) (!3,45) (!6,05)

Was geschieht mit jedem Stellenwert bei einer Multiplikation mit 10? (Er wird zehnmal so groß) (!Er wird zehnmal so klein) (!Er bleibt immer gleich) (!Er wird um eins größer)

Welche Angabe beschreibt 0,75 Liter richtig? (750 Milliliter) (!75 Milliliter) (!7,5 Milliliter) (!7500 Milliliter)

Warum ist 1,4 größer als 1,33? (Weil 1,40 größer als 1,33 ist) (!Weil 4 immer größer als 33 ist) (!Weil eine Zahl mit weniger Ziffern immer größer ist) (!Weil Hundertstel grundsätzlich größer als Zehntel sind)

Memory

Zehntel	$\frac{1}{10}$
Hundertstel	$\frac{1}{100}$
Tausendstel	$\frac{1}{1000}$
0,5	fünf Zehntel
0,25	fünfundzwanzig Hundertstel
1 Euro	hundert Cent
1 Meter	hundert Zentimeter
1 Liter	tausend Milliliter

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zehntel	erste Stelle nach dem Komma
Hundertstel	zweite Stelle nach dem Komma
Tausendstel	dritte Stelle nach dem Komma
Stellenwerttafel	ordnet Ziffern nach ihrem Wert
Zahlengerade	zeigt Zahlen als Positionen
Hundertfeld	veranschaulicht Teile von Hundert

Kreuzworträtsel

Zehntel	Wie heißt die erste Stelle rechts vom Komma?
Hundertstel	Wie heißt die zweite Stelle rechts vom Komma?
Stellenwert	Wie heißt der Wert einer Ziffer aufgrund ihrer Position?
Zahlengerade	Wie heißt die Linie, auf der Zahlen ihrer Größe nach angeordnet werden?
Dezimalzahl	Wie heißt eine Zahl in der Schreibweise des Dezimalsystems mit möglichen Nachkommastellen?
Schätzen	Wie heißt das ungefähre Bestimmen eines Ergebnisses zur Kontrolle?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im Dezimalsystem ist jede Stelle links von einer anderen Stelle so viel wert. Die erste Stelle rechts vom Komma heißt . Die zweite Stelle rechts vom Komma heißt . Die Dezimalzahl 0,37 entspricht dem Bruch . Beim Addieren von Dezimalzahlen müssen gleiche untereinander stehen. Die Zahlen 0,5 und 0,50 haben denselben . Ein Meter entspricht . Ein Liter entspricht . Beim Multiplizieren mit 10 wird jeder Ziffernwert . Eine Schätzung hilft dabei, ein berechnetes Ergebnis auf zu prüfen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel: Zeichne eine Stellenwerttafel und stelle darin die Zahlen $\mathrm{4,7}$, $\mathrm{4,07}$, $\mathrm{4,70}$ und $\mathrm{4,007}$ dar. Erkläre die Unterschiede.
2. Hundertfeld: Gestalte ein eigenes Hundertfeld für $\mathrm{0,42}$ und schreibe daneben den passenden Bruch.
3. Zahlengerade: Zeichne einen Ausschnitt von $1$ bis $2$ und markiere $\mathrm{1,2}$, $\mathrm{1,45}$, $\mathrm{1,7}$ und $\mathrm{1,95}$.
4. Größen: Finde zu Hause fünf Angaben mit Dezimalzahlen, zum Beispiel auf Verpackungen oder Messgeräten, und notiere Zahl, Einheit und Bedeutung.

Standard

1. Darstellungswechsel: Wähle drei Dezimalzahlen und stelle jede als Dezimalzahl, Bruch, Stellenwertzerlegung, Zahlengeradenpunkt und passende Größe dar.
2. Geld: Plane einen Einkauf mit mindestens vier Produkten. Berechne Gesamtpreis, Rückgeld und einen sinnvollen Überschlag.
3. Messprojekt: Miss fünf Gegenstände in Metern und Zentimetern. Schreibe jeden Messwert in beiden Einheiten und erkläre die Umrechnung.
4. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler beim Vergleichen oder Rechnen mit Dezimalzahlen. Erkläre jeweils, warum der Fehler entsteht und wie man ihn erkennt.

Schwer

1. Sachaufgabe: Erfinde eine mehrschrittige Sachaufgabe, in der mindestens zwei der Größen Geld, Länge, Masse oder Volumen vorkommen. Löse sie mit Tabelle, Rechnung und Kontrollschätzung.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Unterschied zwischen $\mathrm{2,5}$, $\mathrm{2,05}$ und $\mathrm{2,50}$. Nutze mindestens zwei visuelle Darstellungen.
3. Dynamische Mathematik: Erstelle in GeoGebra eine Zahlengerade oder ein Stellenwertmodell, bei dem sich eine Dezimalzahl mit einem Schieberegler verändern lässt.
4. Mathematische Begründung: Erkläre mit Brüchen, Stellenwerten und einem Beispiel aus Größen, warum $\mathrm{0,3}=\mathrm{0,30}$, aber $\mathrm{0,3}\ne \mathrm{0,03}$ gilt.

Lernkontrolle

1. Darstellungen verknüpfen: Die Zahl $\mathrm{1,36}$ soll als Bruch, in einer Stellenwerttafel, auf einer Zahlengerade und als Länge dargestellt werden. Erstelle alle vier Darstellungen und erkläre, woran man erkennt, dass sie denselben Wert zeigen.
2. Vergleich begründen: Entscheide ohne Taschenrechner, welche Zahl größer ist: $\mathrm{4,09}$ oder $\mathrm{4,1}$. Begründe einmal mit der Stellenwerttafel und einmal mit einem Abstand auf der Zahlengerade.
3. Rechenweg bewerten: Eine Schülerin rechnet $\mathrm{3,7}+\mathrm{0,45}=\mathrm{3,115}$. Erkläre den Denkfehler, korrigiere die Rechnung und zeige einen zweiten Lösungsweg.
4. Größen übertragen: Ein Band ist $\mathrm{2,75}\text{m}$ lang. Davon werden $85\text{cm}$ abgeschnitten. Bestimme die Restlänge in Metern und Zentimetern und erkläre, warum beide Ergebnisse dieselbe Länge beschreiben.
5. Sachproblem planen: Für eine Klassenaktion stehen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 25\,€} zur Verfügung. Entwickle selbst einen Einkauf mit mindestens drei Positionen, bei dem weniger als Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5\,€} übrig bleiben. Zeige Rechenweg und Überschlag.
6. Transfer: Erkläre, warum das Multiplizieren mit $100$ und die Umrechnung von Metern in Zentimeter strukturell zusammenhängen. Nutze ein konkretes Zahlenbeispiel.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Rechenregeln kennst, sondern mathematische Zusammenhänge erklären kannst.

1. Du kannst Dezimalzahlen bis mindestens zu den Tausendsteln sicher lesen, schreiben und zerlegen.
2. Du kannst zwischen Dezimalzahl, Bruch, Stellenwertdarstellung, Zahlengerade und Größenangabe wechseln.
3. Du kannst Dezimalzahlen vergleichen und Deine Entscheidung mit Stellenwerten oder Abständen begründen.
4. Du kannst Dezimalzahlen addieren und subtrahieren und Deine Rechnung durch Überschlag kontrollieren.
5. Du verstehst die Wirkung von Multiplikation und Division mit $10$, $100$ und $1000$ auf Stellenwerte.
6. Du kannst Größen wie Meter und Zentimeter, Kilogramm und Gramm sowie Liter und Milliliter passend umrechnen.
7. Du kannst mehrschrittige Sachaufgaben strukturieren, lösen und die Einheit im Ergebnis korrekt angeben.
8. Du kannst typische Fehler erkennen, erklären und verbessern.
9. Du kannst mindestens zwei verschiedene Lösungs- oder Darstellungswege vergleichen.

OERs zum Thema

Der folgende Wikipedia-Artikel bietet eine weiterführende Übersicht zur Dezimaldarstellung:

Frei nutzbare Medien in diesem aiMOOC: Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Dort sind Lizenz und Urheberangaben direkt bei der jeweiligen Datei dokumentiert. Verwendet werden unter anderem CC0-, Public-Domain- und CC-BY-SA-Medien. Die interaktiven Mathematikmaterialien stammen aus öffentlich zugänglichen GeoGebra-Materialien.

Verknüpfte Lernbereiche

Dezimalzahlen Stellenwertsystem Dezimalbruch Bruchrechnung Zahlengerade Größen und Einheiten Geld Länge Masse Volumen Addition Subtraktion Runden Schätzen Sachaufgabe