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M10 M - Erwartungswert in konkreten Situationen berechnen

Einleitung

Ein Spiel kann einzelne große Gewinne versprechen und trotzdem langfristig ungünstig sein. Der Erwartungswert hilft Dir, mögliche Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten zu einem aussagekräftigen langfristigen Durchschnitt zu verbinden.

Mini-Beschreibung: Berechne Erwartungswerte aus möglichen Werten und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und erläutere ihre langfristige Bedeutung. Du arbeitest mit Gewinnplänen, Tabellen, Diagrammen und Simulationen.

Niveau: Klasse 10, M-Niveau, Baden-Württemberg. Du rechnest selbstständig, verknüpfst Darstellungen, modellierst Situationen und begründest Dein Vorgehen.

Die Grafik veranschaulicht den Erwartungswert am Beispiel eines idealisierten Würfels.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Zufallsvariablen und ihre möglichen Werte aus einer Situation bestimmen.
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle darstellen.
einen Gewinnplan zwischen Auszahlung, Einsatz und Nettogewinn unterscheiden.
den Erwartungswert mit $E (X) = \sum_{i} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$ berechnen.
das Ergebnis mit Einheit und Bezug zur Situation deuten.
theoretische Erwartungswerte mit Ergebnissen aus Simulationen vergleichen.
digitale Rechenergebnisse auf Plausibilität prüfen und Rechenwege begründen.

Vorwissen-Check

Für den Erwartungswert brauchst Du vor allem Wahrscheinlichkeiten, Prozentangaben, Dezimalzahlen und Mittelwerte.

Check 1: Wahrscheinlichkeit ergänzen

Ein Zufallsexperiment hat drei mögliche Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten $0,25$ , $0,40$ und $p$ .

Berechne $p$ .

Feedback: $p = 1 - 0,25 - 0,40 = 0,35$ . Die Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Verteilung ergeben zusammen $1$ .

Check 2: Gewichtetes Mittel

Zwei Werte sind $2$ und $8$ . Der erste tritt mit Wahrscheinlichkeit $0,75$ auf, der zweite mit $0,25$ .

Berechne das gewichtete Mittel.

Feedback: $2 \cdot 0,75 + 8 \cdot 0,25 = 3,5$ .

Check 3: Prozent in Dezimalzahl

Wandle $35 %$ in eine Dezimalzahl um.

Feedback: $35 % = 0,35$ .

Kernidee: Erwartungswert als gewichteter Mittelwert

Eine Zufallsvariable $X$ kann die Werte $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ annehmen. Zu jedem Wert gehört eine Wahrscheinlichkeit.

$E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}$

Dabei gilt:

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$

Schritt	Was Du tust
1	mögliche Werte $x_{i}$ festlegen
2	Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$ zuordnen
3	jedes Produkt $x_{i} \cdot p_{i}$ berechnen
4	alle Produkte addieren
5	Ergebnis im Kontext deuten

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich sie auftreten.

Interaktives Beispiel 1: Gewinnplan

Ein Spiel kostet 2 €. Es gibt folgende Auszahlungen:

Auszahlung	Wahrscheinlichkeit
0 €	$0,50$
2 €	$0,30$
6 €	$0,20$

Für den Gewinnplan gilt: Nettogewinn = Auszahlung minus Einsatz.

Nettogewinn $x$	$P (X = x)$	$x \cdot P (X = x)$
$- 2$ €	$0,50$	$- 1,00$ €
$0$ €	$0,30$	$0$ €
$4$ €	$0,20$	$0,80$ €

Rechnung:

$E (X) = (- 2) \cdot 0,50 + 0 \cdot 0,30 + 4 \cdot 0,20$

$E (X) = - 0,20$ €

Deutung: Bei sehr vielen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen liegt der durchschnittliche Nettogewinn langfristig ungefähr bei $- 0,20$ € pro Spiel. Das bedeutet nicht, dass bei einem einzelnen Spiel genau $0,20$ € verloren werden.

Hilfestufe 1: Ziehe zuerst den Einsatz von jeder möglichen Auszahlung ab.

Hilfestufe 2: Multipliziere jeden Nettogewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Feedback: Ein negativer Erwartungswert beschreibt einen langfristigen durchschnittlichen Verlust für die spielende Person.

Interaktives Beispiel 2: Fehlende Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Eine Zufallsvariable $Y$ besitzt folgende Verteilung:

Wert $y$	Wahrscheinlichkeit
$- 3$	$0,20$
$1$	$0,50$
$5$	$p$

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit bestimmen

$p = 1 - 0,20 - 0,50 = 0,30$

Schritt 2: Erwartungswert berechnen

$E (Y) = (- 3) \cdot 0,20 + 1 \cdot 0,50 + 5 \cdot 0,30$

$E (Y) = 1,40$

Denkfrage: Muss $1,40$ als einzelnes Ergebnis vorkommen?

Nein. Ein Erwartungswert muss kein möglicher Einzelwert sein. Er beschreibt einen gewichteten langfristigen Mittelwert.

Langfristige Bedeutung und Simulation

Der Erwartungswert ist kein Versprechen für den nächsten Versuch. Bei vielen unabhängigen Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen nähert sich der beobachtete Durchschnitt typischerweise dem theoretischen Erwartungswert an.

Die Grafik zeigt die Verteilung von Mittelwerten aus vielen Würfelwürfen. Mittelwerte vieler Wiederholungen liegen häufig in der Nähe des theoretischen Werts.

Beim Münzwurf stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei vielen Versuchen zunehmend in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit. Das unterstützt die langfristige Interpretation von Wahrscheinlichkeitsmodellen.

Mini-Simulation zum Gewinnplan

Nutze Zufallszahlen von 1 bis 10:

Zufallszahl	Nettogewinn
1 bis 5	$- 2$ €
6 bis 8	$0$ €
9 bis 10	$4$ €

Führe zuerst 20, dann 200 und schließlich 2000 simulierte Spiele durch. Berechne jeweils den empirischen Mittelwert mit

$\overline{x} = \frac{S}{n}$

Dabei ist $S$ die Summe aller simulierten Nettogewinne und $n$ die Anzahl der Spiele.

Eine mögliche Simulation könnte beispielsweise so aussehen:

Anzahl Spiele	beobachteter Mittelwert
20	$0,10$ €
200	$- 0,17$ €
2000	$- 0,205$ €

Wichtig: Eine Simulation muss sich nicht Schritt für Schritt immer weiter annähern. Zufällige Schwankungen bleiben möglich.

Interaktives Beispiel 3: Ein faires Spiel entwerfen

Ein Spiel kostet 3 €. Mit Wahrscheinlichkeit $0,25$ werden 9 € ausgezahlt, sonst 1 €.

Nettogewinne:

$9 - 3 = 6$ €

$1 - 3 = - 2$ €

Erwartungswert:

$E (X) = 6 \cdot 0,25 + (- 2) \cdot 0,75$

$E (X) = 0$

Das Spiel ist im mathematischen Sinn fair, weil der erwartete Nettogewinn $0$ € beträgt.

Feedback: Fair bedeutet hier nur $E (X) = 0$ . Einzelne Spielverläufe können trotzdem Gewinne oder Verluste enthalten.

Darstellungen verknüpfen

Du solltest zwischen Situation, Tabelle, Rechnung und Deutung wechseln können.

Darstellung	Leitfrage
Situation	Was wird zufällig entschieden?
Gewinnplan	Welche Nettowerte sind möglich?
Verteilung	Welche Wahrscheinlichkeit gehört zu welchem Wert?
Rechnung	Wie entsteht $E (X)$ ?
Deutung	Was bedeutet der Wert langfristig?

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Auszahlungen direkt als Gewinne verwenden	zuerst Einsatz abziehen
Wahrscheinlichkeiten ergeben nicht $1$	Verteilung prüfen
Werte und Wahrscheinlichkeiten falsch zuordnen	jede Tabellenzeile gemeinsam lesen
Produkte nicht addieren	alle $x_{i} \cdot p_{i}$ summieren
Erwartungswert als sicheres Einzelergebnis deuten	langfristigen Durchschnitt erklären
Einheit weglassen	z. B. € pro Spiel angeben

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Bei Tabellenkalkulation, Simulation oder KI gilt:

Prüfe, ob alle Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben.
Prüfe, ob Gewinn und Auszahlung korrekt unterschieden wurden.
Überschlage, ob der Erwartungswert zwischen kleinstem und größtem möglichen Wert liegt.
Vergleiche Simulation und Theorie, ohne zufällige Abweichungen vorschnell als Fehler zu bewerten.
Gib keine personenbezogenen Daten in digitale Werkzeuge ein.
Prüfe KI-Ausgaben rechnerisch und fachlich. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

Transfer: Glücksspiel und Entscheidungen

Bei Spielen, Versicherungsmodellen, Qualitätskontrollen oder wirtschaftlichen Entscheidungen können Erwartungswerte helfen, langfristige Durchschnittswerte zu modellieren. Dabei musst Du immer prüfen, ob die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung zur realen Situation passt.

Modellierungsfrage: Welche Annahmen müssen gelten, damit ein berechneter Erwartungswert sinnvoll auf eine reale Situation übertragen werden kann?

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Drei mögliche Gewinne

Ein Spiel liefert die Nettogewinne $- 4$ €, $1$ € und $7$ € mit den Wahrscheinlichkeiten $0,50$ , $0,30$ und $0,20$ .

Berechne $E (X)$ .

Hilfestufe 1: Bilde drei Produkte.

Hilfestufe 2: $(- 4) \cdot 0,50$ , $1 \cdot 0,30$ , $7 \cdot 0,20$ .

Feedback: $E (X) = - 2 + 0,3 + 1,4 = - 0,3$ €. Langfristig entspricht das einem durchschnittlichen Verlust von etwa 0,30 € pro Spiel.

Übung 2: Fehlender Wert

Ein Spiel hat $E (X) = 0$ . Mit Wahrscheinlichkeit $0,75$ beträgt der Nettogewinn $- 2$ €. Mit Wahrscheinlichkeit $0,25$ beträgt er $a$ €.

Bestimme $a$ .

Hilfestufe 1: Setze die Werte in die Erwartungswertgleichung ein.

Hilfestufe 2: $0 = (- 2) \cdot 0,75 + a \cdot 0,25$ .

Feedback: $a = 6$ . Der positive Gewinn muss 6 € betragen, damit der Erwartungswert 0 € ist.

Übung 3: Modell prüfen

Eine App behauptet nach 15 simulierten Spielen mit einem beobachteten Mittelwert von $0,80$ €, ein Spiel mit theoretischem Erwartungswert $- 0,20$ € sei „langfristig profitabel“.

Hilfestufe: Vergleiche Stichprobengröße, Zufallsschwankung und theoretischen Wert.

Feedback: 15 Versuche sind zu wenig, um aus einem zufällig positiven Mittelwert einen Widerspruch zum theoretischen Erwartungswert abzuleiten. Eine einzelne Simulation beweist keine langfristige Profitabilität.

Selbstkontrolle

Beantworte vor dem Quiz diese vier Fragen ohne Hilfe:

Kann ich aus Auszahlungen und Einsatz einen Gewinnplan erstellen?
Kann ich fehlende Wahrscheinlichkeiten ergänzen?
Kann ich $E (X)$ rechnerisch bestimmen?
Kann ich erklären, warum $E (X)$ kein sicheres Einzelergebnis ist?

Wenn Du bei einer Frage unsicher bist, gehe zum passenden Beispiel zurück.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Wie berechnest Du den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen? (Alle möglichen Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und die Produkte addieren) (!Alle möglichen Werte ohne Wahrscheinlichkeiten addieren) (!Nur den größten Wert betrachten) (!Alle Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren)

Welche Summe müssen die Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Verteilung ergeben? (1) (!0) (!10) (!100)

Ein Spiel hat die Nettogewinne -2 Euro, 0 Euro und 4 Euro mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5, 0,3 und 0,2. Wie groß ist der Erwartungswert? (-0,2 Euro) (!0,2 Euro) (!0 Euro) (!2 Euro)

Was beschreibt ein Erwartungswert von -0,2 Euro bei vielen Wiederholungen am besten? (Einen langfristigen durchschnittlichen Verlust von etwa 0,2 Euro pro Spiel) (!Einen sicheren Verlust von genau 0,2 Euro im nächsten Spiel) (!Einen maximalen Verlust von 0,2 Euro) (!Eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 20 Prozent)

Wann ist ein Spiel bezüglich des Nettogewinns mathematisch fair? (Wenn der Erwartungswert 0 ist) (!Wenn jeder Versuch mit Gewinn endet) (!Wenn alle Auszahlungen gleich groß sind) (!Wenn die größte Auszahlung besonders hoch ist)

Wie erhältst Du aus einer Auszahlung den Nettogewinn? (Auszahlung minus Einsatz) (!Auszahlung plus Einsatz) (!Einsatz minus Wahrscheinlichkeit) (!Auszahlung mal Einsatz)

Eine Verteilung hat zwei Ergebnisse. Das erste hat Wahrscheinlichkeit 0,65. Wie groß ist die zweite Wahrscheinlichkeit? (0,35) (!0,65) (!1,65) (!0,25)

Was geschieht bei zwei festen möglichen Werten mit dem Erwartungswert, wenn die Wahrscheinlichkeit des größeren Werts steigt? (Der Erwartungswert verschiebt sich in Richtung des größeren Werts) (!Der Erwartungswert wird immer null) (!Der Erwartungswert bleibt immer unverändert) (!Der Erwartungswert wird automatisch negativ)

Welche Aussage über Simulationen ist richtig? (Ein simulierter Mittelwert kann bei endlich vielen Versuchen vom theoretischen Erwartungswert abweichen) (!Eine Simulation mit zehn Versuchen beweist den Erwartungswert exakt) (!Jede Simulation muss nach jedem weiteren Versuch näher am Erwartungswert liegen) (!Simulationen benötigen keine Wahrscheinlichkeiten)

Wie gehst Du mit einem von einer KI berechneten Erwartungswert sinnvoll um? (Den Rechenweg und die Plausibilität selbst prüfen) (!Das Ergebnis ohne Prüfung übernehmen) (!Nur auf die Anzahl der Nachkommastellen achten) (!Die Wahrscheinlichkeiten ignorieren)

Memory

Erwartungswert	gewichteter Mittelwert
Zufallsvariable	ordnet Zufallsergebnissen Zahlenwerte zu
Gewinnplan	Nettogewinne mit Wahrscheinlichkeiten
faires Spiel	Erwartungswert des Nettogewinns ist null
Simulation	wiederholtes zufälliges Nachbilden
relative Häufigkeit	beobachteter Anteil eines Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Auszahlung	vom Spiel ausgezahlter Betrag
Einsatz	vor dem Spiel zu zahlender Betrag
Nettogewinn	Auszahlung minus Einsatz
Erwartungswert	gewichteter Mittelwert der möglichen Werte
empirischer Mittelwert	Durchschnitt der beobachteten oder simulierten Werte

Kreuzworträtsel

Gewinnplan	Welche Darstellung listet mögliche Nettogewinne mit ihren Wahrscheinlichkeiten?
Mittelwert	Wie heißt der Durchschnitt vieler beobachteter Werte?
Simulation	Wie heißt das wiederholte Nachbilden eines Zufallsexperiments?
Einsatz	Wie heißt der Betrag, den man vor einem Spiel bezahlt?
Auszahlung	Wie heißt der Betrag, den ein Spiel nach dem Ergebnis zahlt?
Zufallsvariable	Wie heißt eine Größe, die Zufallsergebnissen Zahlenwerte zuordnet?

LearningApps

Lückentext

Der Erwartungswert ist ein mit Wahrscheinlichkeiten gewichteter

.

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Verteilung beträgt

.

Bei einem Gewinnspiel erhältst Du den Nettogewinn als Auszahlung minus

.

Ein mathematisch faires Spiel hat für den Nettogewinn den Erwartungswert

.

Der Erwartungswert muss nicht selbst als einzelnes

auftreten.

Eine wiederholte zufällige Nachbildung eines Experiments heißt

.

Bei vielen Wiederholungen wird der beobachtete Durchschnitt oft in der Nähe des theoretischen

liegen.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich selbst mit „sicher“, „teilweise sicher“ oder „noch üben“.

Kompetenz	Dein Stand
Ich erstelle aus einer Situation eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Ich unterscheide Auszahlung, Einsatz und Nettogewinn.
Ich berechne $E (X)$ nachvollziehbar.
Ich deute Vorzeichen und Einheit im Sachzusammenhang.
Ich vergleiche Theorie und Simulation kritisch.
Ich begründe, ob ein Spiel fair ist.

Reflexion

Erwartungswert erklären: Formuliere in zwei Sätzen, was ein Erwartungswert bedeutet und was er nicht bedeutet.
Modellannahmen prüfen: Nenne zwei Voraussetzungen dafür, dass ein Gewinnplan die reale Situation sinnvoll beschreibt.
Simulation bewerten: Erkläre, warum eine kleine Simulation vom theoretischen Erwartungswert deutlich abweichen kann.

Offene Aufgaben

Leicht

Eigener Gewinnplan: Erfinde ein Spiel mit drei möglichen Nettogewinnen und passenden Wahrscheinlichkeiten. Stelle es als Tabelle dar.
Erwartungswert erklären: Berechne den Erwartungswert Deines Spiels und erläutere ihn in einem kurzen Audiobeitrag oder Text.
Auszahlung und Gewinn: Erstelle ein Beispiel, bei dem eine positive Auszahlung trotzdem zu einem negativen Nettogewinn führt.
Mini-Simulation: Simuliere 30 Wiederholungen eines einfachen Spiels mit Würfel, Münze oder Zufallszahlen und berechne den empirischen Mittelwert.

Standard

Faires Spiel entwickeln: Konstruiere ein Spiel mit mindestens drei möglichen Gewinnen und $E (X) = 0$ . Begründe rechnerisch.
Zwei Spiele vergleichen: Entwickle zwei unterschiedliche Gewinnpläne mit demselben Erwartungswert und vergleiche ihre möglichen Ergebnisse.
Tabellenkalkulation zur Simulation: Simuliere mindestens 500 Spiele digital, dokumentiere den Mittelwert und vergleiche ihn mit $E (X)$ .
Werbeaussage prüfen: Erfinde oder finde eine sachliche Aussage zu Gewinnchancen und prüfe, welche Informationen für eine Erwartungswertrechnung fehlen.

Schwer

Unbekannte Wahrscheinlichkeit bestimmen: Entwickle eine Aufgabe, in der ein gewünschter Erwartungswert vorgegeben ist und eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden muss.
Gleicher Erwartungswert anderes Risiko: Entwirf zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber deutlich unterschiedlichen möglichen Verlusten und Gewinnen. Erläutere den Unterschied.
KI-Lösung prüfen: Lass Dir zu einer selbst erstellten Erwartungswertaufgabe einen digitalen Lösungsvorschlag erzeugen. Prüfe jeden Rechenschritt und dokumentiere Fehler oder Unklarheiten, ohne personenbezogene Daten einzugeben.
Reale Situation modellieren: Wähle eine Alltagssituation mit zufälligen Kosten oder Erträgen. Lege sinnvolle Werte und Wahrscheinlichkeiten fest, berechne den Erwartungswert und diskutiere die Grenzen Deines Modells.

Lernkontrolle

Modellieren: Ein Veranstalter bietet ein Los für 4 € an. Formuliere selbst einen plausiblen Auszahlungsplan mit drei Auszahlungen, bestimme die Nettogewinne und berechne den Erwartungswert. Begründe, welche Information für die Bewertung besonders wichtig ist.
Darstellungen verknüpfen: Übersetze einen gegebenen Gewinnplan zuerst in eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und dann in eine vollständige Erwartungswertrechnung. Erkläre, welche Information in jeder Darstellung besonders gut sichtbar ist.
Fehleranalyse: Eine Lösung lautet $E (X) = 2 + 5 + 10 = 17$ . Erkläre fachlich, warum dieser Rechenweg für eine Zufallsvariable mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten ungeeignet ist, und verbessere ihn.
Simulation beurteilen: Zwei Gruppen simulieren dasselbe Spiel je 100-mal und erhalten unterschiedliche Mittelwerte. Erkläre, warum das möglich ist und wie beide Ergebnisse mit dem gleichen theoretischen Erwartungswert vereinbar sein können.
Transfer: Bestimme für ein selbst gewähltes Spiel den Einsatz, bei dem das Spiel bezüglich des Nettogewinns fair wäre. Stelle eine Gleichung auf und begründe Dein Ergebnis.
Entscheidung begründen: Zwei Spiele besitzen denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Gewinnverteilungen. Erläutere, warum der Erwartungswert allein nicht jede Entscheidung vollständig beschreibt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du

eine Situation in eine Zufallsvariable und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung übersetzen kannst.
Werte, Wahrscheinlichkeiten und Einheiten korrekt notierst.
den Erwartungswert mit vollständigem Rechenweg bestimmst.
zwischen Auszahlung, Einsatz und Nettogewinn unterscheidest.
einen Erwartungswert im Sachzusammenhang langfristig deutest.
ein faires Spiel über $E (X) = 0$ begründest.
Simulationsergebnisse mit dem theoretischen Modell vergleichst.
digitale oder KI-generierte Ergebnisse kritisch prüfst und mathematisch begründest.

OERs zum Thema

Freie Medien zur Vertiefung

Wahrscheinlichkeitsverteilung eines fairen Würfels; freie Datei auf Wikimedia Commons.

Verteilung der Augensumme zweier Würfel; die unterschiedlichen Balkenhöhen zeigen, dass nicht alle Summen gleich wahrscheinlich sind.

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich Varianz und Standardabweichung von Zufallsvariablen an. Dort untersuchst Du nicht nur den langfristigen Mittelwert, sondern auch, wie stark mögliche Werte um diesen Mittelwert streuen.

Verknüpfte Lernbereiche

Erwartungswert

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