M10 M - Baumdiagramme rückwärts ergänzen

M10 M - Baumdiagramme rückwärts ergänzen

Mini-Beschreibung: Du bestimmst fehlende Wahrscheinlichkeiten in teilweise gegebenen Baumdiagrammen. Du prüfst an jeder vollständigen Verzweigung, ob sich die Zweigwahrscheinlichkeiten zu $1$ ergänzen, und nutzt Rückwärtsstrategien, wenn Pfadwahrscheinlichkeiten gegeben sind.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Freies Lernmedium: „Probability tree diagram.svg“, Gnathan87, Wikimedia Commons, CC0. Nutze die Grafik aktiv: Zeige auf jede Verzweigung und prüfe gedanklich die Summe der beiden Zweigwahrscheinlichkeiten.

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Das Video von StudyHelpTV behandelt Baumdiagramme, Pfadregeln und ausdrücklich das Ergänzen fehlender Wahrscheinlichkeiten. Stoppe vor Rechnungen und rechne selbst.

Einleitung

Ein Baumdiagramm zeigt mögliche Wege eines Zufallsexperiments. Beim Rückwärts-Ergänzen startest Du nicht immer bei der ersten Stufe. Du nutzt bekannte Zweige, bekannte Pfadwahrscheinlichkeiten und Kontrollen.

Kernidee	Mathematische Form	Frage an Dich
Zweige einer vollständigen Verzweigung	$p+q=1$	Welcher Zweig fehlt?
Fehlender Gegen-Zweig	$q=1-p$	Muss ich ergänzen oder multiplizieren?
Pfadwahrscheinlichkeit	$P(\text{Pfad})=p\cdot q$	Welcher Faktor ist unbekannt?
Rückwärts aus einem Pfad	$q=\frac{P(\text{Pfad})}{p}$	Ist die Division zulässig und liegt das Ergebnis zwischen $0$ und $1$?

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Wahrscheinlichkeit: fehlende Zweigwahrscheinlichkeiten mit $1-p$ bestimmen.
2. Baumdiagramm: teilweise ausgefüllte Baumdiagramme systematisch rückwärts ergänzen.
3. Pfadregel: aus einer gegebenen Pfadwahrscheinlichkeit eine fehlende Zweigwahrscheinlichkeit durch Division bestimmen.
4. Plausibilitätsprüfung: Zweigsummen, Wertebereich und Pfadprodukte kontrollieren.
5. Mathematisch argumentieren: Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar angeben.
6. Modellieren: Angaben aus einem Sachtext passend in ein Baumdiagramm übertragen und Ergebnisse im Kontext deuten.

Bildungsplan-Bezug Baden-Württemberg

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Daten und Zufall für Klasse 10 auf M-Niveau. Zentral sind zweistufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme und Pfadregeln. Siehe Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik, Daten und Zufall.

Vorwissen-Check

Rechne zuerst ohne Hilfe. Öffne danach die Kontrolle.

Kurzcheck	Deine Rechnung
Ergänze $\mathrm{0,72}$ auf $1$.	$1-\mathrm{0,72}=?$
Ergänze $\frac{3}{5}$ auf $1$.	$1-\frac{3}{5}=?$
Schreibe $25\mathrm{\%}$ als Dezimalzahl.	$25\mathrm{\%}=?$
Prüfe die Verzweigung $\mathrm{0,4}$ und $\mathrm{0,6}$.	$\mathrm{0,4}+\mathrm{0,6}=?$

Kontrolle anzeigen

$\mathrm{0,28}$; $\frac{2}{5}$; $\mathrm{0,25}$; die letzte Verzweigung ist korrekt, weil $\mathrm{0,4}+\mathrm{0,6}=1$.

Grundstrategie: rückwärts ergänzen

Freies Lernmedium: „Probability tree.svg“, Erzbischof, Wikimedia Commons, CC0. Vergleiche die Ebenen des Baums mit den drei Rückwärtsstrategien unten.

Strategie A: Schwesterzweig fehlt

Start
↙ $\mathrm{0,35}$       ↘ $x$
A           nicht A

$\mathrm{0,35}+x=1$

$x=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$

Kontrolle: $\mathrm{0,35}+\mathrm{0,65}=1$

Strategie B: Rückwärts aus einer Pfadwahrscheinlichkeit

Gegeben sind $P(A)=\mathrm{0,35}$ und $P(A\cap B)=\mathrm{0,21}$. Gesucht ist der zweite Zweig auf diesem Pfad.

$\mathrm{0,35}\cdot x=\mathrm{0,21}$

$x=\frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,35}}=\mathrm{0,60}$

Der Schwesterzweig ist danach:

$1-\mathrm{0,60}=\mathrm{0,40}$

Doppelte Kontrolle:

$\mathrm{0,60}+\mathrm{0,40}=1$

$\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,21}$

Strategie C: Kontrollieren statt raten

Ein Ergebnis ist nur plausibel, wenn die passenden Prüfungen bestehen.

Kontrolle	Bedingung
Wertebereich	$0\le p\le 1$
Verzweigung	$p+q=1$
Gegebener Pfad	$p\cdot q=P(\text{Pfad})$
Vollständiger Baum	Summe aller Endpfade ist $1$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Beispiel: An einer ersten Verzweigung steht links $\mathrm{0,58}$. Rechts fehlt die Zahl.

Schritt 1 – Struktur lesen

Beide Zweige gehören zu derselben vollständigen Verzweigung. Deshalb gilt $\mathrm{0,58}+x=1$.

Schritt 2 – rückwärts rechnen

$x=1-\mathrm{0,58}=\mathrm{0,42}$

Schritt 3 – kontrollieren

$\mathrm{0,58}+\mathrm{0,42}=1$. Außerdem liegt $\mathrm{0,42}$ zwischen $0$ und $1$.

Freies Lernmedium: „01 Baumdiagramm-2 Münzenwürfe.svg“, Petrus3743, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0. Suche in jeder Stufe die zusammengehörigen Schwesterzweige.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Ergänzen mit $1-p$

Zweig	Wahrscheinlichkeit
Treffer	$\mathrm{0,73}$
kein Treffer	$x$

Auftrag: Bestimme $x$ und begründe mit der Zweigsumme.

Hilfe 1

Schreibe zuerst $\mathrm{0,73}+x=1$.

Feedback / Lösung

$x=1-\mathrm{0,73}=\mathrm{0,27}$. Begründung: Beide Zweige bilden zusammen alle Möglichkeiten dieser Verzweigung.

Beispiel 2: Fehlender Faktor im Pfad

Ein Pfad hat Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,18}$. Der erste Zweig hat Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,30}$. Der zweite Zweig sei $x$.

$\mathrm{0,30}\cdot x=\mathrm{0,18}$

Hilfe 1

Löse nach $x$ auf: $x=\frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,30}}$.

Hilfe 2

Nach der Division fehlt noch die Kontrolle an der Verzweigung.

Feedback / Lösung

$x=\mathrm{0,60}$. Der Schwesterzweig hat $\mathrm{0,40}$. Pfadkontrolle: $\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18}$.

Beispiel 3: Brüche statt Dezimalzahlen

Ein Zweig besitzt $\frac{7}{12}$. Bestimme den Gegen-Zweig.

$x=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$

Kontrolle: $\frac{7}{12}+\frac{5}{12}=\frac{12}{12}=1$

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Das Video von Die Merkhilfe erklärt Baumdiagramme sowie die beiden Pfadregeln. Stoppe vor der Zusammenfassung und formuliere die Regeln selbst.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: direkte Ergänzung

Gegeben: $P(R)=\mathrm{0,46}$. Gesucht: $P(\bar{R})$.

Hilfe

Nutze $P(R)+P(\bar{R})=1$.

Feedback

$P(\bar{R})=1-\mathrm{0,46}=\mathrm{0,54}$.

Übung B: Rückwärts über einen Pfad

Gegeben: $P(A)=\mathrm{0,40}$ und $P(A\cap B)=\mathrm{0,14}$. Gesucht: $P(B\mid A)$.

Hilfe 1

Setze $\mathrm{0,40}\cdot x=\mathrm{0,14}$.

Hilfe 2

Dividiere durch $\mathrm{0,40}$.

Feedback

$x=\mathrm{0,35}$. Der Schwesterzweig ist $\mathrm{0,65}$.

Übung C: Prozentangaben

An einer Verzweigung steht $62\mathrm{\%}$. Ergänze den zweiten Zweig.

Hilfe

$100\mathrm{\%}-62\mathrm{\%}=38\mathrm{\%}$.

Feedback

Der fehlende Zweig ist $38\mathrm{\%}$ beziehungsweise $\mathrm{0,38}$.

Freies Lernmedium: „Baumdiagramm01C.svg“, Yomomo, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0. Nutze das Aufgabenbild als Vergleich: Welche Zahlen gehören an Zweige und welche Ergebnisse an Pfade?

Übung D: gemischte Rückwärtsstrategie

Gegeben sind $P(A)=\mathrm{0,25}$ und $P(A\cap B)=\mathrm{0,15}$. Ergänze zuerst $P(B\mid A)$ und danach den Schwesterzweig.

Hilfe 1

Erst teilen: $\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,25}}$.

Hilfe 2

Danach auf $1$ ergänzen.

Feedback

$P(B\mid A)=\mathrm{0,60}$ und $P(\bar{B}\mid A)=\mathrm{0,40}$.

Typische Fehler und Fehlerdiagramme

Freies Lernmedium: „Baumdiagramm01Ca.svg“, Yomomo, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0. Verwende die Grafik als Fehler-Suchbild: Wo würdest Du zuerst die Zweigsummen kontrollieren?

Fehlerdiagramm	Falscher Ansatz	Diagnose	Korrektur
Zwei Schwesterzweige	$\mathrm{0,73}$ und $\mathrm{0,37}$	$\mathrm{0,73}+\mathrm{0,37}=\mathrm{1,10}$	zweiter Zweig $\mathrm{0,27}$
Ein Pfad	$\mathrm{0,30}+\mathrm{0,60}=\mathrm{0,90}$	Auf einem Pfad wird multipliziert.	$\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18}$
Rückwärtsrechnung	$\mathrm{0,18}\cdot \mathrm{0,30}=\mathrm{0,054}$	Gesucht ist ein fehlender Faktor.	$\mathrm{0,18}:\mathrm{0,30}=\mathrm{0,60}$
Prozent und Dezimalzahl	$35\mathrm{\%}=35$	falsche Darstellung	$35\mathrm{\%}=\mathrm{0,35}$

Fehlerregel: Erst klären, ob Du an einer Verzweigung oder auf einem Pfad rechnest.

Selbstkontrolle

1. Zweigsumme: Habe ich an jeder vollständigen Verzweigung $1$ erhalten?
2. Wertebereich: Liegt jede Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$?
3. Pfadkontrolle: Stimmt das Produkt der Zweige mit einer gegebenen Pfadwahrscheinlichkeit überein?
4. Darstellung: Habe ich Prozent, Dezimalzahl und Bruch nicht verwechselt?
5. Begründung: Ist erkennbar, warum ich ergänzt oder dividiert habe?

Transfer: Modellieren und digital prüfen

Ein Qualitätskontroll-System wählt zufällig ein Teil. $40\mathrm{\%}$ stammen aus Linie A. Für den Pfad „Linie A und geprüft“ ist $\mathrm{0,28}$ gegeben.

Gesucht: Wahrscheinlichkeit „geprüft“ unter der Bedingung „Linie A“.

$\mathrm{0,40}\cdot x=\mathrm{0,28}$

$x=\frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,40}}=\mathrm{0,70}$

Der Schwesterzweig „nicht geprüft“ ist:

$1-\mathrm{0,70}=\mathrm{0,30}$

Transferfrage: Welche Zahl würdest Du in einem Baumdiagramm an welchen Zweig schreiben? Begründe die Position.

Digitale Prüfung: Ein Taschenrechner, eine Lernplattform oder eine KI kann Rechnungen kontrollieren. Prüfe trotzdem selbst Zweigsummen, Wertebereich und Pfadprodukt. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung. Verwende bei digitalen Beispielen keine personenbezogenen Daten.

Freies Lernmedium: „TreeDiagram3Events.svg“, Yomomo, Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0. Überlege, welche Kontrollen bei mehr als zwei Ästen weiterhin gelten.

Kompetenzcheck

Kompetenz	Aufgabe	Selbstbewertung
Ergänzen	Ergänze zu $\mathrm{0,64}$ den Schwesterzweig.	sicher / noch üben
Rückwärts rechnen	Aus $\mathrm{0,45}\cdot x=\mathrm{0,27}$ bestimme $x$.	sicher / noch üben
Fehler finden	Prüfe die Verzweigung $\mathrm{0,52}$ und $\mathrm{0,58}$.	sicher / noch üben
Modellieren	Erkläre, ob eine gegebene Zahl an einen Zweig oder ans Ende eines Pfades gehört.	sicher / noch üben
Begründen	Erkläre den Unterschied zwischen $1-p$ und $\frac{q}{p}$.	sicher / noch üben

Kurzlösungen

$\mathrm{0,36}$; $x=\mathrm{0,60}$; die Verzweigung ist falsch, weil $\mathrm{0,52}+\mathrm{0,58}=\mathrm{1,10}$. Bei den letzten beiden Aufgaben zählt eine fachlich korrekte Begründung.

Reflexion

1. Strategiewahl: Woran erkennst Du sofort, ob Du auf $1$ ergänzen oder durch eine bekannte Wahrscheinlichkeit teilen musst?
2. Fehleranalyse: Welche Kontrolle findet Deinen häufigsten Fehler am schnellsten?
3. Darstellungswechsel: Welche Darstellung hilft Dir mehr: Formel, Baumdiagramm oder Tabelle? Begründe mit einem Beispiel.

Folgekurs

Als nächster Schritt passen Pfadregeln, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

An einer Verzweigung steht 0,68. Wie groß ist der Schwesterzweig? (0,32) (!0,68) (!1,68) (!0,22)

Welche Gleichung beschreibt zwei vollständige Schwesterzweige? (p plus q gleich 1) (!p mal q gleich 1) (!p minus q gleich 1) (!p geteilt durch q gleich 1)

Ein Pfad hat Wahrscheinlichkeit 0,24 und der erste Zweig 0,40. Wie groß ist der zweite Zweig? (0,60) (!0,16) (!0,64) (!0,096)

Welche Rechnung ergänzt 0,57 auf 1? (1 minus 0,57) (!1 plus 0,57) (!0,57 mal 1) (!0,57 geteilt durch 1)

Welche Zweigwahrscheinlichkeit gehört zu 35 Prozent? (0,35) (!3,5) (!35) (!0,035)

Welche Verzweigung ist korrekt? (0,44 und 0,56) (!0,44 und 0,66) (!0,44 und 0,46) (!0,44 und 1,44)

Was rechnest Du auf einem vollständigen Pfad? (Die Zweigwahrscheinlichkeiten multiplizieren) (!Die Zweigwahrscheinlichkeiten immer addieren) (!Jede Zweigwahrscheinlichkeit von 1 abziehen) (!Die Zweigwahrscheinlichkeiten ignorieren)

Welche Kontrolle muss jede einzelne Wahrscheinlichkeit bestehen? (Sie liegt zwischen 0 und 1) (!Sie ist immer größer als 1) (!Sie ist immer kleiner als 0) (!Sie ist immer gleich 0,5)

Aus 0,30 mal x gleich 0,18 folgt welcher Wert für x? (0,60) (!0,054) (!0,48) (!1,80)

Welche Aussage beschreibt Rückwärts-Ergänzen am besten? (Bekannte Beziehungen nutzen und fehlende Wahrscheinlichkeiten berechnen) (!Alle Zahlen im Baum addieren) (!Jede Zahl durch 100 teilen) (!Fehlende Werte schätzen)

Memory

Schwesterzweig	Ergänzung auf eins
Pfadwahrscheinlichkeit	Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten
Rückwärtsdivision	Fehlenden Faktor bestimmen
Gegenereignis	Wahrscheinlichkeit eins minus Ereignis
Plausibilitätsprüfung	Wertebereich und Rechenbeziehungen kontrollieren
Prozentangabe	Hundertstel-Darstellung einer Wahrscheinlichkeit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zweigsumme	Ergänzt sich an einer vollständigen Verzweigung zu eins
Produktregel	Verknüpft Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
Rückwärtsdivision	Bestimmt einen fehlenden Faktor aus einem bekannten Produkt
Gegenereignis	Wird mit eins minus Ereigniswahrscheinlichkeit berechnet
Plausibilitätskontrolle	Prüft Wertebereich, Zweigsummen und Pfadprodukte

Kreuzworträtsel

Gegenereignis	Wie heißt das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das betrachtete Ereignis nicht eintritt?
Produktregel	Welche Regel nutzt man entlang eines Pfades?
Summenregel	Welche Regel verbindet passende Pfade für ein Ereignis?
Wahrscheinlichkeit	Welche Größe liegt zwischen null und eins?
Verzweigung	Wie heißt eine Stelle im Baum, an der mehrere Äste auseinandergehen?
Kontrolle	Wie heißt das systematische Prüfen eines Ergebnisses?

Lückentext

Vervollständige den Text.

An einer vollständigen Verzweigung ergänzen sich die Zweigwahrscheinlichkeiten zu . Einen fehlenden Schwesterzweig berechnest Du mit . Entlang eines Pfades werden die Zweigwahrscheinlichkeiten . Ist das Pfadprodukt bekannt, kann ein fehlender Faktor durch bestimmt werden. Jede Wahrscheinlichkeit muss zwischen null und liegen. Ein Ergebnis wird sicherer, wenn Du Zweigsumme und kontrollierst.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zweigsumme untersuchen: Zeichne drei einfache Verzweigungen mit je einer fehlenden Wahrscheinlichkeit und löse sie mit $1-p$.
2. Fehlerkarte gestalten: Erstelle ein kleines Fehlerdiagramm mit zwei Zweigen, die sich nicht zu $1$ ergänzen, und notiere die Korrektur.
3. Darstellungen wechseln: Schreibe fünf Wahrscheinlichkeiten jeweils als Dezimalzahl und Prozentangabe und ergänze den Gegenwert.
4. Erklärbild: Gestalte ein Bild mit den drei Kontrollen Wertebereich, Zweigsumme und Pfadprodukt.

Standard

1. Rückwärtsbaum: Erstelle einen zweistufigen Baum, bei dem eine Pfadwahrscheinlichkeit und ein Zweig gegeben sind. Lass eine andere Person die fehlende Wahrscheinlichkeit bestimmen.
2. Lösungsweg vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe zuerst mit einer Gleichung und dann direkt durch Division. Erkläre, warum beide Wege dasselbe Ergebnis liefern.
3. Sachkontext modellieren: Erfinde einen sachlichen Zufallsprozess ohne personenbezogene Daten und stelle ihn als teilweise ausgefülltes Baumdiagramm dar.
4. Fehlerinterview: Befrage eine Lernpartnerin oder einen Lernpartner zu einem typischen Fehler und formuliere daraus eine kurze Regel zur Vermeidung.

Schwer

1. Mehrfachkontrolle: Entwickle einen vollständigen zweistufigen Baum mit mindestens drei fehlenden Einträgen, die nur durch eine sinnvolle Reihenfolge von Ergänzen und Rückwärtsdivision bestimmbar sind.
2. Fehlerdiagnose begründen: Erstelle drei fehlerhafte Lösungswege und erläutere jeweils, welche mathematische Beziehung verletzt wurde.
3. Digitales Ergebnis prüfen: Lass ein digitales Werkzeug eine selbst erstellte Rückwärtsaufgabe lösen und kontrolliere jede Zahl unabhängig. Dokumentiere Abweichungen.
4. Transferaufgabe entwickeln: Entwirf eine prüfungsnahe Aufgabe für den mittleren Abschluss, in der Baumdiagramm, Rückwärtsrechnung, Kontrolle und Begründung zusammenkommen.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Erkläre anhand zweier Beispiele, wann $1-p$ und wann $\frac{q}{p}$ die passende Rückwärtsstrategie ist.
2. Fehler analysieren: In einem Baum stehen an einer Verzweigung $\mathrm{0,48}$ und $\mathrm{0,62}$. Begründe den Fehler und korrigiere nur den zweiten Wert.
3. Modell wechseln: Übertrage eine kurze Sachsituation in ein Baumdiagramm und markiere, welche Angaben Zweigwahrscheinlichkeiten und welche Pfadwahrscheinlichkeiten sind.
4. Lösung prüfen: Eine KI nennt für $\mathrm{0,25}\cdot x=\mathrm{0,15}$ den Wert $x=\mathrm{0,375}$. Widerlege oder bestätige das Ergebnis rechnerisch und durch Rückeinsetzen.
5. Transfer: Entwickle eine eigene zweistufige Situation, in der eine Rückwärtsdivision nötig ist, und begründe, warum bloßes Ergänzen auf $1$ nicht genügt.
6. Darstellung erklären: Beschreibe, wie dieselbe Information in Gleichung, Baumdiagramm und kurzer Tabelle sichtbar wird und welche Darstellung Du für die Kontrolle bevorzugst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du ergänzt fehlende Zweigwahrscheinlichkeiten korrekt auf $1$.
2. Du bestimmst fehlende Faktoren aus gegebenen Pfadwahrscheinlichkeiten.
3. Du dokumentierst Rechenweg und Rückeinsetzen nachvollziehbar.
4. Du erkennst und korrigierst typische Fehler in Baumdiagrammen.
5. Du überträgst einen einfachen Sachkontext in ein passendes zweistufiges Baumdiagramm.
6. Du begründest Deine Strategiewahl fachlich.
7. Du prüfst digitale Ergebnisse selbstständig; KI-Ausgaben gelten nicht als Beweis.

OERs zum Thema

Freie Medien im Kurs:

1. Probability tree diagram.svg – Gnathan87, CC0.
2. Probability tree.svg – Erzbischof, CC0.
3. 01 Baumdiagramm-2 Münzenwürfe.svg – Petrus3743, CC BY-SA 4.0.
4. Baumdiagramm01Ca.svg – Yomomo, CC BY-SA 4.0.
5. Baumdiagramm01C.svg – Yomomo, CC BY-SA 4.0.
6. TreeDiagram3Events.svg – Yomomo, CC BY-SA 4.0.

Verknüpfte Lernbereiche

Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm Pfadregeln Gegenereignis Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel Mathematisches Modellieren