M10 G - Exponentialfunktionen graphisch darstellen – MSA-Brücke

Einleitung

Bei einer Exponentialfunktion wird bei jedem Schritt in $x$-Richtung mit demselben Faktor multipliziert.

Im Kurs arbeitest Du mit Funktionen der Form

$f(x)=c\cdot a^x$

Dabei gilt in unseren Aufgaben meist $c>0$, $a>0$ und $a\ne 1$.

Kurzidee:

$c=f(0)$

$a=\frac{f(x+1)}{f(x)}$

Du lernst, den Graphen zu zeichnen, aus einem Graphen $c$ und $a$ abzulesen und Deine Ergebnisse zu prüfen.

Freie Grafik von Wikimedia Commons. Lizenzangaben findest Du auf der Dateiseite.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Anfangswert: am Graphen $c=f(0)$ erkennen.
2. Wachstumsfaktor: aus zwei aufeinanderfolgenden Funktionswerten bestimmen.
3. Exponentialfunktion: Graphen der Form $f(x)=c\cdot a^x$ zeichnen.
4. Exponentielles Wachstum: an $a>1$ erkennen.
5. Exponentielle Abnahme: an $0<a<1$ erkennen.
6. MSA-Brücke: aus Graphen, Tabellen und Funktionsgleichungen zwischen Darstellungen wechseln und Ergebnisse begründen.

Vorwissen-Check

1. Potenz

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

Berechne: $3^2$.

Feedback anzeigen

$3^2=9$

2. Koordinaten

Der Punkt $P(0|5)$ liegt auf der $y$-Achse. Welcher Funktionswert ist dort sichtbar?

Feedback anzeigen

$f(0)=5$

3. Faktor

Aus $4$ wird $12$. Mit welchem Faktor wurde multipliziert?

Feedback anzeigen

$\frac{12}{4}=3$

4. MSA-Brücke

Aus $8$ wird $4$. Ist der Faktor größer oder kleiner als $1$?

Feedback anzeigen

$\frac{4}{8}=\mathrm{0,5}$. Der Faktor ist kleiner als $1$.

Grundidee am Graphen

Für

$f(x)=c\cdot a^x$

gilt bei $x=0$:

$f(0)=c\cdot a^0=c$

Darum ist $c$ der Anfangswert und zugleich der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

Geht man im Graphen von $x$ zu $x+1$, gilt:

$f(x+1)=a\cdot f(x)$

Der gleiche Faktor $a$ wirkt also Schritt für Schritt.

Wachstum oder Abnahme?

Bedingung	Form des Graphen	Bedeutung
$a>1$	steigend	exponentielles Wachstum
$0<a<1$	fallend	exponentielle Abnahme

Dynamischer Graph mit Schiebereglern

Verändere im folgenden GeoGebra-Applet die Parameter für Anfangswert und Wachstumsfaktor.

Beobachte nacheinander:

1. Stelle zuerst einen Anfangswert ein und lies den Punkt bei $x=0$ ab.
2. Verändere danach nur den Wachstumsfaktor.
3. Prüfe bei zwei Nachbarpunkten, ob der Quotient gleich bleibt.

MSA-Brücke: Formuliere Deine Beobachtung als Gleichung:

$\frac{f(x+1)}{f(x)}=a$

Beispiel 1: Wachstum Schritt für Schritt

Gegeben ist

$f(x)=2\cdot 3^x$

Schritt 1: Anfangswert

$c=2$

Also liegt der Punkt

$A(0|2)$

auf dem Graphen.

Schritt 2: Wachstumsfaktor

$a=3$

Jeder Schritt nach rechts bedeutet: mit $3$ multiplizieren.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$\frac{2}{3}$	$2$	$6$	$18$

Schritt 3: Punkte eintragen

$(0|2)$, $(1|6)$, $(2|18)$

Schritt 4: Kurve zeichnen

Verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve. Zeichne keine Geradenstücke zwischen den Punkten.

Direkt prüfen

$\frac{6}{2}=3$

$\frac{18}{6}=3$

Der Wachstumsfaktor bleibt gleich.

Beispiel 2: Abnahme Schritt für Schritt

Gegeben ist

$g(x)=8\cdot \mathrm{0,}{5}^x$

Schritt 1

$g(0)=8$

Schritt 2

$a=\mathrm{0,5}$

Jeder Schritt nach rechts halbiert den Funktionswert.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$g(x)$	$16$	$8$	$4$	$2$

Kontrolle

$\frac{4}{8}=\mathrm{0,5}$

$\frac{2}{4}=\mathrm{0,5}$

Interaktives Beispiel: Faktor sichtbar machen

Im nächsten Applet liegen zwei Punkte eine Einheit in $x$-Richtung auseinander. Verändere die Schieberegler.

Prüfe für mehrere Einstellungen:

$a=\frac{\text{neuer Funktionswert}}{\text{vorheriger Funktionswert}}$

Denkfrage: Ändert sich $a$, wenn Du zwei andere Nachbarpunkte verwendest?

Feedback anzeigen

Nein. Bei einer Exponentialfunktion ist der Faktor zwischen zwei Funktionswerten mit einem Abstand von $1$ in $x$-Richtung konstant.

Graph aus zwei Merkmalen erkennen

Merkmal 1:

Der Graph schneidet die $y$-Achse bei

$(0|c)$

Merkmal 2:

Bei einem Schritt nach rechts wird jeder Funktionswert mit $a$ multipliziert.

Beispiel:

$f(0)=5$

$f(1)=10$

Dann gilt

$c=5$

und

$a=\frac{10}{5}=2$

Also:

$f(x)=5\cdot 2^x$

MSA-Brücke: Funktion aus einem Graphen bestimmen

Lies zuerst den Anfangswert ab.

$c=f(0)$

Lies dann einen weiteren Wert bei $x=1$ ab.

$f(1)=c\cdot a$

Damit:

$a=\frac{f(1)}{c}$

Beispiel

Im Graphen erkennst Du

$f(0)=3$

und

$f(1)=6$

Dann:

$c=3$

$a=\frac{6}{3}=2$

$f(x)=3\cdot 2^x$

Erweiterung für die MSA-Brücke:

Sind zwei aufeinanderfolgende Werte $f(x)$ und $f(x+1)$ bekannt, gilt immer

$a=\frac{f(x+1)}{f(x)}$

Übung mit Hilfestufen 1

Zeichne den Graphen von

$f(x)=4\cdot 2^x$

für $x=-1,0,1,2$.

Hilfe 1

Beginne mit $x=0$. Dort gilt $f(0)=4$.

Hilfe 2

Gehe nach rechts und multipliziere jeweils mit $2$.

Lösung und Feedback

$f(-1)=2$

$f(0)=4$

$f(1)=8$

$f(2)=16$

Der Graph muss durch $(0|4)$ gehen und steigen.

Übung mit Hilfestufen 2

Ein Graph hat die Punkte

$A(0|10)$

und

$B(1|5)$

Bestimme $c$, $a$ und die Funktionsgleichung.

Hilfe 1

Der Punkt bei $x=0$ liefert direkt $c$.

Hilfe 2

Berechne $a=\frac{5}{10}$.

Lösung und Feedback

$c=10$

$a=\mathrm{0,5}$

$f(x)=10\cdot \mathrm{0,}{5}^x$

Da $0<a<1$ gilt, fällt der Graph.

Übung mit Hilfestufen 3 – MSA-Brücke

Ein Graph enthält die Punkte

$P(1|6)$

und

$Q(2|18)$

Bestimme zuerst $a$. Ermittle danach $c$.

Hilfe 1

Die Punkte liegen genau einen Schritt auseinander.

Hilfe 2

$a=\frac{18}{6}$

Hilfe 3

Nutze $6=c\cdot 3^1$.

Lösung und Feedback

$a=3$

$c=2$

$f(x)=2\cdot 3^x$

Typische Fehler

Fehler: $c$ wird bei $x=1$ statt bei $x=0$ abgelesen.

Prüfung:

$c=f(0)$

Fehler: Die Differenz wird statt des Faktors benutzt.

Nicht entscheidend ist

$f(x+1)-f(x)$

sondern

$\frac{f(x+1)}{f(x)}$

Fehler: Bei $0<a<1$ wird ein steigender Graph gezeichnet.

Prüfung: Multiplizieren mit einer positiven Zahl kleiner als $1$ macht positive Werte kleiner.

Fehler: Punkte werden mit Geradenstücken verbunden.

Prüfung: Eine Exponentialfunktion besitzt einen glatten Funktionsgraphen.

Video: Wachstumsfaktor verstehen

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Achte besonders auf den Unterschied zwischen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor.

Selbstkontrolle

Prüfe ohne Taschenrechner:

Aussage	Deine Entscheidung
Bei $f(x)=7\cdot 2^x$ ist $c=7$.	richtig / falsch
Bei $f(x)=3\cdot \mathrm{0,}{4}^x$ steigt der Graph.	richtig / falsch
Aus $f(0)=6$ und $f(1)=18$ folgt $a=3$.	richtig / falsch

Feedback anzeigen

1. richtig

2. falsch

3. richtig

Transfer: Graphen in Sachkontexten

Eine Menge beginnt mit $200$ Einheiten und wächst pro Zeitschritt mit dem Faktor $\mathrm{1,5}$.

$f(x)=200\cdot \mathrm{1,}{5}^x$

Der Graph startet bei

$(0|200)$

und steigt.

MSA-Brücke: Erkläre mit dem Graphen, warum der Zuwachs nicht in jedem Schritt gleich groß ist, obwohl der Wachstumsfaktor gleich bleibt.

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Digitale Graphen kritisch prüfen

Ein digitaler Graph ist nur so gut wie die Eingabe.

Prüfe mindestens drei Punkte selbst:

$x=0$

$x=1$

$x=2$

Vergleiche die berechneten Werte mit dem digitalen Graphen.

Bei KI-Ausgaben gilt ebenfalls: prüfen statt übernehmen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Rechenweg und keinen Beweis.

Verwende für Übungen keine personenbezogenen Daten.

Kompetenzcheck

Aufgabe A

Ein Graph schneidet die $y$-Achse bei $4$ und besitzt den Wachstumsfaktor $2$. Gib die Funktionsgleichung an.

Lösung

$f(x)=4\cdot 2^x$

Aufgabe B

Ein Graph enthält $(0|12)$ und $(1|3)$. Entscheide, ob Wachstum oder Abnahme vorliegt.

Lösung

$a=\frac{3}{12}=\mathrm{0,25}$

Es liegt exponentielle Abnahme vor.

Aufgabe C – MSA-Brücke

Ein Graph enthält $(2|20)$ und $(3|30)$. Bestimme den Wachstumsfaktor.

Lösung

$a=\frac{30}{20}=\mathrm{1,5}$

Aufgabe D – MSA-Brücke

Begründe, warum ein Graph mit $c>0$ und $a>0$ die $x$-Achse nicht schneidet.

Hinweis

Für alle betrachteten $x$ gilt $a^x>0$. Deshalb gilt auch $c\cdot a^x>0$.

Reflexion und Folgekurs

Beantworte für Dich drei Fragen:

1. Anfangswert erkennen: Finde ich $c$ sicher am Graphen?
2. Wachstumsfaktor bestimmen: Kann ich $a$ mit einem Quotienten berechnen?
3. Darstellungen wechseln: Kann ich zwischen Graph, Wertetabelle und Funktionsgleichung wechseln?

Wenn Du alle drei Punkte sicher beherrschst, arbeite weiter mit:

M10 G - Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen – MSA-Brücke

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei $f(x)=5\cdot 2^x$ der Anfangswert? (5) (!2) (!7) (!10)

Wo kannst Du den Anfangswert $c$ am Graphen direkt ablesen? (Am Schnittpunkt mit der y-Achse) (!Am Schnittpunkt mit der x-Achse) (!Am höchsten Punkt) (!Am tiefsten Punkt)

Was bedeutet $a>1$ bei positivem Anfangswert? (Exponentielles Wachstum) (!Exponentielle Abnahme) (!Lineares Wachstum) (!Konstanter Verlauf)

Was bedeutet $0<a<1$ bei positivem Anfangswert? (Exponentielle Abnahme) (!Exponentielles Wachstum) (!Eine Gerade) (!Eine konstante Funktion)

Wie bestimmst Du den Wachstumsfaktor aus zwei aufeinanderfolgenden Funktionswerten? (Neuer Funktionswert geteilt durch vorherigen Funktionswert) (!Neuer Funktionswert minus vorherigen Funktionswert) (!Beide Funktionswerte addieren) (!Beide Funktionswerte quadrieren)

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu den Funktionswerten 4 und 12 bei aufeinanderfolgenden x-Werten? (3) (!8) (!16) (!0,3)

Welche Funktionsgleichung hat den Anfangswert 3 und den Wachstumsfaktor 2? (f x gleich 3 mal 2 hoch x) (!f x gleich 2 mal 3 hoch x) (!f x gleich 3 plus 2 mal x) (!f x gleich 6 mal x)

Wie verändert sich ein positiver Funktionswert bei einem Schritt nach rechts, wenn $a=\mathrm{0,5}$ gilt? (Er wird halbiert) (!Er wird verdoppelt) (!Er wird um 0,5 erhöht) (!Er bleibt gleich)

Welcher Punkt liegt immer auf dem Graphen von $f(x)=c\cdot a^x$? (0 senkrechter Strich c) (!1 senkrechter Strich c) (!c senkrechter Strich 0) (!a senkrechter Strich 0)

Was ist ein sinnvoller Check für einen digital gezeichneten Exponentialgraphen? (Mehrere Funktionswerte selbst berechnen und vergleichen) (!Nur die Farbe des Graphen prüfen) (!Nur den Zoom verändern) (!Die Rechnung vollständig weglassen)

Memory

Anfangswert	Funktionswert bei x gleich null
Wachstumsfaktor	Konstanter Multiplikationsfaktor
Wachstum	Faktor größer als eins
Abnahme	Faktor zwischen null und eins
y-Achsenabschnitt	Punkt mit x gleich null
Wertetabelle	Stützpunkte für den Graphen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Anfangswert	Wert bei x gleich null
Wachstumsfaktor	Quotient benachbarter Funktionswerte
Exponentielles Wachstum	Graph steigt bei positivem Anfangswert
Exponentielle Abnahme	Graph fällt bei positivem Anfangswert
MSA-Brücke	Darstellungen wechseln und begründen

Kreuzworträtsel

Anfangswert	Wie heißt der Wert der Funktion bei x gleich null?
Wachstumsfaktor	Wie heißt der konstante Multiplikationsfaktor?
Exponent	Wie heißt die Hochzahl in einer Potenz?
Wachstum	Wie heißt ein steigender exponentieller Prozess?
Abnahme	Wie heißt ein fallender exponentieller Prozess?
Wertetabelle	Welche Darstellung liefert geordnete Zahlenpaare zum Zeichnen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei $f(x)=c\cdot a^x$ ist $c$ der . Der Anfangswert liegt am Graphen bei $x=0$ auf der . Bei jedem Schritt um eins nach rechts wird mit dem multipliziert. Für $a>1$ zeigt der Graph bei positivem Anfangswert exponentielles . Für $0<a<1$ zeigt der Graph exponentielle . Den Wachstumsfaktor erhältst Du aus dem zweier aufeinanderfolgender Funktionswerte. Zur Kontrolle eines digitalen Graphen eignet sich eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graph skizzieren: Zeichne $f(x)=2\cdot 2^x$ für $x=-1,0,1,2$ und markiere den Anfangswert.
2. Faktor markieren: Zeichne Pfeile zwischen zwei benachbarten Funktionswerten und beschrifte sie mit dem Wachstumsfaktor.
3. Wachstum und Abnahme vergleichen: Zeichne auf demselben Koordinatensystem $2\cdot 2^x$ und $2\cdot \mathrm{0,}{5}^x$.
4. Fehler finden: Erstelle selbst einen absichtlich falschen Exponentialgraphen und erkläre anschließend den Fehler.

Standard

1. Graph aus Tabelle: Erstelle eine Wertetabelle mit vier Punkten zu $f(x)=3\cdot \mathrm{1,}{5}^x$ und zeichne den Graphen.
2. Funktion aus Graph: Zeichne einen Exponentialgraphen mit selbst gewähltem $c$ und $a$. Tausche ihn mit einer anderen Person und bestimme gegenseitig die Parameter.
3. GeoGebra-Untersuchung: Verändere nur $c$ und beschreibe, was sich am Graphen ändert. Verändere danach nur $a$.
4. Digitale Kontrolle: Zeichne eine Funktion digital und überprüfe drei Punkte durch eigene Rechnung.

Schwer

1. MSA-Brücke Parameter bestimmen: Nutze zwei aufeinanderfolgende Punkte eines Graphen, bestimme $a$ und danach $c$.
2. Darstellungswechsel: Entwickle zu einem Graphen eine passende Tabelle, Funktionsgleichung und kurze Begründung.
3. Sachkontext modellieren: Erfinde einen realistischen Vorgang mit Anfangswert und konstantem Faktor und stelle ihn als Graph dar.
4. KI kritisch prüfen: Lass Dir von einem KI-System eine Erklärung zu einem Exponentialgraphen geben. Prüfe jede mathematische Aussage mit Rechnung oder Graph und dokumentiere mindestens eine Kontrollstrategie. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründung Anfangswert: Erkläre mit $a^0=1$, warum der Graph von $f(x)=c\cdot a^x$ durch $(0|c)$ verläuft.
2. Begründung Faktorregel: Zeige rechnerisch, warum $\frac{f(x+1)}{f(x)}=a$ gilt.
3. Graph vergleichen: Vergleiche zwei Funktionen mit gleichem Anfangswert, aber verschiedenen Wachstumsfaktoren. Beschreibe die sichtbaren Unterschiede.
4. Fehleranalyse: Eine Person behauptet, der Wachstumsfaktor sei die Differenz benachbarter Funktionswerte. Widerlege die Aussage an einem Beispiel.
5. Transfer: Ein Graph zeigt eine Abnahme. Beschreibe zwei Merkmale, an denen Du erkennst, dass $0<a<1$ gelten muss.
6. Digitale Validierung: Erkläre eine Strategie, mit der Du einen automatisch erzeugten Graphen unabhängig kontrollieren kannst.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Exponentialfunktion: eine Funktion der Form $f(x)=c\cdot a^x$ erkennen.
2. Anfangswert: $c=f(0)$ aus Graph oder Funktionsgleichung bestimmen.
3. Wachstumsfaktor: $a$ aus aufeinanderfolgenden Funktionswerten berechnen.
4. Graph zeichnen: geeignete Stützpunkte berechnen und eine glatte Kurve zeichnen.
5. Wachstum und Abnahme: mithilfe von $a$ unterscheiden.
6. MSA-Brücke: Graph, Wertetabelle und Funktionsgleichung sicher miteinander verknüpfen.
7. Begründung: Rechenweg, Darstellung und Entscheidung nachvollziehbar erklären.
8. Digitale Prüfung: digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse durch eigene Rechnung kontrollieren.

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Verknüpfte Lernbereiche

Exponentialfunktion Anfangswert Wachstumsfaktor Funktionsgraph Wertetabelle Exponentielles Wachstum Exponentielle Abnahme Potenz MSA