M10 E - Verschobene Sinusfunktionen untersuchen

M10 E - Verschobene Sinusfunktionen untersuchen

Mini-Beschreibung: Untersuche auf E-Niveau Funktionen der Form $f(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ für $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$. Du interpretierst $b$ als vertikale Verschiebung, begründest Eigenschaften formal und prüfst periodische Modelle mit digitalen Werkzeugen.

Einleitung

Eine Sinuskurve kann einen periodischen Vorgang beschreiben. In diesem Kurs bleibt ihre Form gleich; nur ihre Lage in y-Richtung verändert sich:

$f_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$

Dabei ist $b\in ℝ$. Im Mittelpunkt steht eine Periode:

$0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$

Leitfrage: Was bleibt gleich, was ändert sich, wenn $b$ verändert wird?

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Curricularer Fokus: E-Niveau

Du arbeitest mit Sinusfunktionen, Funktionen, Graphen und realen periodischen Vorgängen. Der Fokus liegt ausschließlich auf der vertikalen Verschiebung durch $b$. Die Amplitude bleibt $1$. Die periodische Fortsetzung besitzt weiterhin die Periodenlänge $360^{\circ }$.

E-Niveau bedeutet hier: Vermutungen formal begründen, Aussagen verallgemeinern, Gegenbeispiele prüfen, digitale Ergebnisse kontrollieren und ein periodisches Modell entwickeln.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. Vertikale Verschiebungen von $f(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ sicher beschreiben.
2. aus dem Term $b$, Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich bestimmen.
3. charakteristische Punkte für $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$ berechnen und einen Graphen skizzieren.
4. begründen, warum die Verschiebung die Amplitude und die Periodenlänge nicht verändert.
5. aus einem vertikal verschobenen Sinusgraphen den Parameter $b$ bestimmen.
6. ein reales periodisches Modell mit Grundniveau formulieren und kritisch prüfen.
7. digitale Graphen und KI-Ausgaben mathematisch überprüfen, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Hilfsmittel die fünf Grundwerte der Sinusfunktion.

$\alpha$	$0^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$\sin (\alpha )$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Kurzcheck:

1. Wo liegt das Maximum von $\sin (\alpha )$?
2. Wo liegt das Minimum?
3. Welche Gerade ist die Mittellinie?
4. Wie groß ist die Amplitude?
5. Warum stimmen die Werte bei $0^{\circ }$ und $360^{\circ }$ überein?

Selbstfeedback: Wenn Du $1$, $-1$, $y=0$, Amplitude $1$ und die Wiederholung nach einer vollen Umdrehung begründen kannst, bist Du startklar.

Grundidee: Jeder y-Wert wird um b verschoben

Für jeden Winkel gilt:

$f_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$

Das bedeutet punktweise:

$(\alpha ,\sin (\alpha ))\mapsto (\alpha ,\sin (\alpha )+b)$

Die x-Koordinate bleibt gleich. Nur die y-Koordinate erhält den Summanden $b$.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt	Mathematische Aktion	Wirkung im Graphen
1	$y=\sin (\alpha )$	Grundkurve
2	wähle $b$	Verschiebungsbetrag festlegen
3	addiere $b$ zu jedem Funktionswert	jeder Punkt wandert gleich weit nach oben oder unten
4	zeichne $y=b$	neue Mittellinie
5	kontrolliere Maximum und Minimum	$b+1$ und $b-1$

Richtung:

$b>0\Rightarrow$ Verschiebung nach oben

$b<0\Rightarrow$ Verschiebung nach unten

$b=0\Rightarrow$ keine Verschiebung

Schieberegler: b experimentell untersuchen

Nutze den Schieberegler nur für die vertikale Verschiebung. Beobachte zuerst, formuliere eine Vermutung und beweise sie anschließend algebraisch.

Experiment:

1. Stelle nacheinander $b=-2$, $b=-1$, $b=0$, $b=1$ und $b=2$ ein.
2. Notiere jeweils Mittellinie, Maximum und Minimum.
3. Prüfe, ob die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte ihre x-Koordinaten ändern.
4. Formuliere eine allgemeine Aussage für beliebiges $b\in ℝ$.

Datenschutz: Gib in externe Werkzeuge keine personenbezogenen Daten ein.

Charakteristische Punkte

Aus den fünf Grundwerten entsteht sofort eine Wertetabelle für beliebiges $b$:

$\alpha$	$\sin (\alpha )$	$f_b(\alpha )$
$0^{\circ }$	$0$	$b$
$90^{\circ }$	$1$	$b+1$
$180^{\circ }$	$0$	$b$
$270^{\circ }$	$-1$	$b-1$
$360^{\circ }$	$0$	$b$

Merksatz

Für $f_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ gilt im Bereich $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$:

$\text{Mittellinie}:y=b$

$max{f}_b=b+1$

$min{f}_b=b-1$

$W_{f_b}=[b-1;b+1]$

$\text{Amplitude}=1$

Für die periodische Fortsetzung gilt:

$\text{Periode}=360^{\circ }$

Formale Herleitung auf E-Niveau

Aus

$-1\le \sin (\alpha )\le 1$

folgt durch Addition derselben Zahl $b$ auf allen drei Seiten:

$b-1\le \sin (\alpha )+b\le b+1$

also

$b-1\le f_b(\alpha )\le b+1$.

Damit ist der Wertebereich

$W_{f_b}=[b-1;b+1]$.

Da $\sin (90^{\circ })=1$ und $\sin (270^{\circ })=-1$, werden beide Randwerte tatsächlich angenommen.

Beweis: Die Amplitude bleibt 1

Die Mittellinie ist $y=b$. Der Abstand des Maximums zur Mittellinie beträgt

$(b+1)-b=1$.

Der Abstand des Minimums zur Mittellinie beträgt

$b-(b-1)=1$.

Also bleibt die Amplitude unabhängig von $b$ gleich $1$.

Beweis: Die Periodenlänge bleibt 360 Grad

Für die formale Begründung betrachten wir die natürliche Fortsetzung

$F_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$

für alle reellen Winkelwerte. Wegen der Periodizität des Sinus gilt:

$\sin (\alpha +360^{\circ })=\sin (\alpha )$.

Daher

$F_b(\alpha +360^{\circ })=\sin (\alpha +360^{\circ })+b=\sin (\alpha )+b=F_b(\alpha )$.

Die Addition von $b$ verändert die Periodenlänge nicht. Im Kurs betrachten wir davon die eine Periode von $0^{\circ }$ bis $360^{\circ }$.

Interaktives Beispiel 1: b = 2

Gegeben ist

$f(\alpha )=\sin (\alpha )+2$.

Schritt 1: $b=2$

Schritt 2: Mittellinie $y=2$

Schritt 3: Maximum $2+1=3$

Schritt 4: Minimum $2-1=1$

Schritt 5: Wertebereich $[1;3]$

$\alpha$	$0^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$f(\alpha )$	$2$	$3$	$2$	$1$	$2$

Denkfrage: Kann dieser Graph im betrachteten Bereich die x-Achse schneiden?

Feedback: Nein. Alle Funktionswerte liegen zwischen $1$ und $3$.

Interaktives Beispiel 2: b = -1,5

$g(\alpha )=\sin (\alpha )-\mathrm{1,5}$

Bestimme zuerst selbst die drei Werte.

$\text{Mittellinie}=?$

$maxg=?$

$ming=?$

Lösung:

$\text{Mittellinie}:y=-\mathrm{1,5}$

$maxg=-\mathrm{0,5}$

$ming=-\mathrm{2,5}$

Folgerung: Der Graph liegt vollständig unterhalb der x-Achse.

Vom Graphen zum Term

Wenn Maximum und Minimum eines verschobenen Sinusgraphen bekannt sind, erhältst Du die Mittellinie durch den Mittelwert:

$b=\frac{y_{max}+y_{min}}{2}$

Bei einer reinen Verschiebung muss zusätzlich gelten:

$\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=1$.

Beispiel:

$y_{max}=4,y_{min}=2$

Dann

$b=\frac{4+2}{2}=3$

und

$\frac{4-2}{2}=1$.

Also passt der Graph zur Form

$f(\alpha )=\sin (\alpha )+3$.

Gegenbeispiele prüfen

E-Niveau verlangt mehr als Mustererkennung: Eine Behauptung ist erst dann allgemein gesichert, wenn sie begründet ist.

Behauptung A: „Bei $b=5$ wird die Amplitude $5$.“

Gegenbeispiel:

$f(\alpha )=\sin (\alpha )+5$

hat Maximum $6$, Minimum $4$ und damit

$\frac{6-4}{2}=1$.

Die Behauptung ist falsch.

Behauptung B: „Bei negativem $b$ wird der Graph gespiegelt.“

Gegenbeispiel:

$f(\alpha )=\sin (\alpha )-2$

besitzt weiterhin bei $90^{\circ }$ ein Maximum und bei $270^{\circ }$ ein Minimum. Er ist nur nach unten verschoben.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Eigenschaften aus dem Term

Gegeben:

$f(\alpha )=\sin (\alpha )+4$

Bestimme Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich.

Hilfe 1: Lies $b$ direkt ab.

Hilfe 2: Verwende $b+1$ und $b-1$.

Feedback: $b=4$, Mittellinie $y=4$, Maximum $5$, Minimum $3$, Wertebereich $[3;5]$.

Übung 2: Parameter aus Eigenschaften

Ein Graph hat Maximum $\mathrm{1,2}$ und Minimum $-\mathrm{0,8}$. Bestimme $b$.

Hilfe 1: Bilde den Mittelwert.

Hilfe 2: $b=\frac{\mathrm{1,2}+(-\mathrm{0,8})}{2}$

Feedback: $b=\mathrm{0,2}$. Die halbe Spannweite ist $1$, also passt das Modell zur geforderten Form.

Übung 3: Unmögliches Modell erkennen

Ein Graph hat Maximum $5$ und Minimum $1$. Kann er durch $\sin (\alpha )+b$ beschrieben werden?

Hilfe 1: Prüfe nicht nur die Mittellinie.

Hilfe 2: Berechne $\frac{5-1}{2}$.

Feedback: Nein. Die Amplitude wäre $2$, aber Funktionen der Form $\sin (\alpha )+b$ haben Amplitude $1$.

Übung 4: Charakteristische Punkte

Für

$h(\alpha )=\sin (\alpha )-\mathrm{0,5}$

bestimme die Funktionswerte bei $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ und $360^{\circ }$.

Hilfe: Addiere $-\mathrm{0,5}$ zu jedem Grundwert.

Feedback:

$-\mathrm{0,5};\mathrm{0,5};-\mathrm{0,5};-\mathrm{1,5};-\mathrm{0,5}$

Übung 5: Nullstellen argumentativ untersuchen

Für welche Werte von $b$ kann $f_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ im Bereich $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$ mindestens eine Nullstelle besitzen?

Hilfe 1: Eine Nullstelle erfüllt $\sin (\alpha )=-b$.

Hilfe 2: Welche Werte kann der Sinus annehmen?

Feedback:

$-1\le -b\le 1$

ist äquivalent zu

$-1\le b\le 1$.

Genau für $b\in [-1;1]$ kann eine Nullstelle auftreten.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
$b$ wird als Amplitude gelesen.	$b$ legt die Mittellinie $y=b$ fest; die Amplitude bleibt $1$.
Bei $b<0$ wird eine Spiegelung vermutet.	Ein addierter negativer Wert verschiebt nach unten.
Nur ein Punkt wird verschoben.	Jeder Punkt erhält denselben y-Zuwachs $b$.
Maximum wird mit $b$ verwechselt.	Maximum ist $b+1$.
Ein digitaler Graph wird ungeprüft übernommen.	Werte an charakteristischen Stellen nachrechnen und Achsenskalierung prüfen.

Reales periodisches Modell: Gezeiten

Eine Sinuskurve kann periodische Schwankungen um ein mittleres Niveau modellieren. Der Parameter $b$ beschreibt dann das Grund- oder Mittelniveau.

Ein vereinfachtes Modell sei

$H(\alpha )=\sin (\alpha )+\mathrm{3,4}$,

wobei $H$ eine modellierte Wasserhöhe in Metern beschreibt und $\alpha$ eine normierte Phase einer Periode.

Dann gilt:

$\text{Mittelniveau}=\mathrm{3,4}$

$H_{max}=\mathrm{4,4}$

$H_{min}=\mathrm{2,4}$

Modellkritik: Reale Gezeiten sind nicht exakt sinusförmig. Wind, Küstenform, mehrere astronomische Einflüsse und lokale Bedingungen können Abweichungen verursachen. Das mathematische Modell ist eine Vereinfachung.

Reales periodisches Modell: Riesenrad

Wenn die vertikale Bewegung eines Sitzes bereits durch eine Sinusfunktion mit Amplitude $1$ normiert ist, kann $b$ die Höhe der Drehachse über einem Bezugsniveau darstellen.

Beispiel:

$h(\alpha )=\sin (\alpha )+12$

Dann liegt die Mittellinie bei $12$, die modellierte maximale Höhe bei $13$ und die minimale Höhe bei $11$.

Transferfrage: Warum wäre ein reales großes Riesenrad meist nicht durch genau diese Funktion modelliert?

Antwortidee: Weil seine Radiuslänge im Allgemeinen nicht $1$ beträgt. Dafür wäre zusätzlich ein Amplitudenfaktor nötig; dieser gehört nicht zum Schwerpunkt dieses Kurses.

Digitale Mathematikwerkzeuge kritisch nutzen

Prüfe digitale Ergebnisse immer mit mindestens zwei unabhängigen Merkmalen:

1. Stimmt die Mittellinie mit $y=b$ überein?
2. Beträgt der Abstand vom Maximum zur Mittellinie $1$?
3. Liegt das Minimum bei $b-1$?
4. Bleiben die charakteristischen Winkel unverändert?
5. Ist die Achsenskalierung passend gewählt?

KI-Hinweis: Eine KI kann Terme, Tabellen oder Begründungen fehlerhaft erzeugen. Prüfe jede Aussage rechnerisch und am Graphen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Entscheide jeweils richtig oder falsch und begründe.

1. Für $b=3$ ist die Mittellinie $y=3$.
2. Eine vertikale Verschiebung ändert die Periodenlänge.
3. Der Wertebereich von $\sin (\alpha )-2$ ist $[-3;-1]$.
4. Wenn Maximum und Minimum den Abstand $4$ haben, passt der Graph zur Form $\sin (\alpha )+b$.
5. Für $b>1$ besitzt der Graph keine Nullstelle.

Lösungskern: richtig, falsch, richtig, falsch, richtig.

Transfer

Ein Messgerät liefert annähernd periodische Werte zwischen $18$ und $20$. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen zeitlich so, wie bei einer Sinusgrundkurve.

Aufgabe 1: Prüfe, ob ein Modell der Form $\sin (\alpha )+b$ möglich ist.

$\frac{20-18}{2}=1$

Also passt die Amplitude.

Aufgabe 2: Bestimme $b$.

$b=\frac{20+18}{2}=19$

Modell:

$f(\alpha )=\sin (\alpha )+19$

Aufgabe 3: Nenne mindestens zwei Gründe, warum Messdaten trotzdem vom Modell abweichen können.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du beherrschst den Kurs, wenn Du ohne Musterlösung folgende Leistungen zeigen kannst:

1. Darstellen: Einen Term $\sin (\alpha )+b$ in Wertetabelle und Graph überführen.
2. Analysieren: Mittellinie, Extremwerte und Wertebereich formal bestimmen.
3. Begründen: Die Invarianz von Amplitude und Periodenlänge beweisen.
4. Verallgemeinern: Aussagen für beliebiges $b\in ℝ$ formulieren.
5. Widerlegen: Falsche Behauptungen mit einem Gegenbeispiel prüfen.
6. Modellieren: Ein periodisches Realszenario mit einem sinnvollen Grundniveau beschreiben.
7. Validieren: Grenzen des Modells und Fehler digitaler Darstellungen benennen.

Reflexion

Beantworte schriftlich in vollständigen Sätzen:

1. Welche Eigenschaft des Graphen verrät $b$ am schnellsten?
2. Welche Eigenschaft bleibt trotz beliebigem $b$ unverändert?
3. Welcher Beweis in diesem Kurs ist für Dich am überzeugendsten und warum?
4. Wann ist ein digital gezeichneter Graph noch kein ausreichender mathematischer Nachweis?
5. Welche Information eines realen periodischen Vorgangs wird durch $b$ modelliert?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich die allgemeine Sinusfunktion. Dort können zusätzlich Amplitude, Periodenlänge und horizontale Verschiebung verändert werden. Die hier bewiesene Wirkung von $b$ bleibt dabei als vertikale Verschiebung erhalten.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Wirkung hat b in f alpha gleich sin alpha plus b? (Eine vertikale Verschiebung) (!Eine horizontale Verschiebung) (!Eine Spiegelung an der y-Achse) (!Eine Änderung der Periodenlänge)

Welche Mittellinie besitzt f alpha gleich sin alpha plus 3? (y gleich 3) (!y gleich 1) (!y gleich 4) (!y gleich minus 3)

Wie groß ist das Maximum von sin alpha plus b? (b plus 1) (!b) (!b minus 1) (!2b)

Wie groß ist das Minimum von sin alpha plus b? (b minus 1) (!b plus 1) (!minus b) (!minus 1)

Welche Amplitude hat jede Funktion der Form sin alpha plus b? (1) (!b) (!b plus 1) (!360)

Welche Periodenlänge besitzt die periodische Fortsetzung im Gradmaß? (360 Grad) (!180 Grad) (!90 Grad) (!b Grad)

Welchen Wertebereich hat sin alpha plus 2? (1 bis 3) (!minus 1 bis 1) (!2 bis 3) (!minus 3 bis minus 1)

Welcher Wert von b gehört zu Maximum 4 und Minimum 2? (3) (!2) (!4) (!1)

Wann kann sin alpha plus b mindestens eine Nullstelle besitzen? (b liegt zwischen minus 1 und 1) (!b ist größer als 1) (!b ist kleiner als minus 1) (!b ist immer positiv)

Was muss bei einem digitalen Sinusgraphen zusätzlich geprüft werden? (Achsenskalierung und charakteristische Werte) (!Nur die Farbe des Graphen) (!Nur die Dateigröße) (!Nur der Name des Programms)

Memory

Vertikale Verschiebung	Parameter b
Mittellinie	Grundniveau
Maximum	Oberer Rand
Minimum	Unterer Rand
Amplitude	Ausschlag
Periode	Wiederholung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Mittellinie	Grundniveau
Maximum	Oberer Rand
Minimum	Unterer Rand
Positive Verschiebung	Nach oben
Negative Verschiebung	Nach unten

Kreuzworträtsel

Sinus	Welche trigonometrische Grundfunktion wird hier verschoben?
Mittellinie	Wie heißt die Gerade, um die der Graph schwingt?
Amplitude	Wie heißt der maximale Abstand zur Mittellinie?
Periode	Wie heißt die Länge eines vollständigen Wiederholungsabschnitts?
Verschiebung	Welche geometrische Wirkung hat der Parameter b?
Wertebereich	Wie heißt die Menge aller möglichen Funktionswerte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei $f(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ liegt die Mittellinie bei . Das Maximum hat den Wert . Das Minimum hat den Wert . Die Amplitude bleibt . Die periodische Fortsetzung besitzt im Gradmaß die Periodenlänge . Für positive Werte von $b$ wird der Graph nach verschoben. Für negative Werte von $b$ wird er nach verschoben. Ein Graph der geforderten Form kann nur dann die x-Achse schneiden, wenn $b$ im Intervall liegt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Sinus-Wertetabelle: Erstelle für $b=1$ eine Wertetabelle mit den fünf charakteristischen Winkeln und zeichne den Graphen.
2. Graphenvergleich: Zeichne $\sin (\alpha )$ und $\sin (\alpha )-2$ in dasselbe Koordinatensystem und markiere die Verschiebung.
3. Mittellinie: Erfinde drei Werte für $b$ und gib jeweils Mittellinie, Maximum und Minimum an.
4. Fehleranalyse: Erkläre, warum die Aussage „$b$ ist die Amplitude“ falsch ist.

Standard

1. Schieberegler-Experiment: Nutze ein dynamisches Mathematikwerkzeug, variiere $b$ systematisch und dokumentiere eine allgemeine Regel mit mindestens drei Screenshots oder Skizzen.
2. Umkehraufgabe: Erstelle selbst drei Graphen der Form $\sin (\alpha )+b$, tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und bestimme jeweils $b$.
3. Gezeitenmodell: Entwickle ein vereinfachtes Modell mit Amplitude $1$ und sinnvoller Mittellinie. Erkläre, welche Realitätseinflüsse das Modell nicht erfasst.
4. Digitaler Check: Lass ein digitales Werkzeug einen verschobenen Sinusgraphen erzeugen und überprüfe fünf charakteristische Punkte von Hand.

Schwer

1. Beweisaufgabe: Beweise für beliebiges $b\in ℝ$, dass der Wertebereich $[b-1;b+1]$ ist.
2. Nullstellenbedingung: Leite formal her, für welche Werte von $b$ Nullstellen existieren, und untersuche die Randfälle $b=-1$ und $b=1$.
3. Gegenbeispiel: Formuliere zwei plausible, aber falsche Aussagen über $\sin (\alpha )+b$ und widerlege sie jeweils mit einem Gegenbeispiel.
4. Modellprüfung: Entwickle ein komplexeres reales Szenario, das im ersten Schritt durch $\sin (\alpha )+b$ angenähert wird. Begründe $b$, prüfe Messwerte oder selbst erzeugte Daten und diskutiere die Grenzen des Modells.

Lernkontrolle

1. Begründung der Verschiebung: Zeige formal und grafisch, warum $b$ jeden Punkt um denselben Betrag in y-Richtung verschiebt.
2. Invarianz: Beweise, dass Amplitude und Periodenlänge bei der periodischen Fortsetzung von $f_b(\alpha )=\sin (\alpha )+b$ nicht von $b$ abhängen.
3. Umkehrproblem: Ein periodischer Graph hat Maximum $7$ und Minimum $5$. Entscheide mit Begründung, ob er zur geforderten Funktionsform passt, und bestimme gegebenenfalls $b$.
4. Modellvergleich: Vergleiche zwei Modelle mit verschiedenen Werten von $b$. Erkläre, welche reale Größe sich ändert und welche Schwankungseigenschaften gleich bleiben.
5. Digitale Validierung: Prüfe einen mit Software erzeugten Graphen durch unabhängige Rechnungen an mindestens drei charakteristischen Winkeln und bewerte, ob die Darstellung vertrauenswürdig ist.
6. Transfer und Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „Jeder periodische Verlauf mit Mittellinie $y=3$ ist $\sin (\alpha )+3$“ durch ein mathematisch begründetes Gegenbeispiel.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. $b$ aus Term, Graph oder Extremwerten bestimmen kannst.
2. charakteristische Punkte korrekt berechnest und darstellst.
3. Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich begründest.
4. die unveränderte Amplitude und Periodenlänge formal erklärst.
5. Gegenbeispiele zur Prüfung falscher Aussagen nutzen kannst.
6. ein reales periodisches Modell aufstellen, interpretieren und begrenzen kannst.
7. digitale Ergebnisse durch eigene Rechnungen validierst.
8. Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentierst.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Die in diesem aiMOOC verwendeten Grafiken stammen aus Wikimedia Commons und sind dort mit ihren jeweiligen freien Lizenzen oder Public-Domain-Angaben dokumentiert.

Interaktiver Schieberegler: GeoGebra: Vertical shift of sin(x)

Weiterer Schieberegler: GeoGebra: Sinusfunktion verschieben und skalieren – für diesen Kurs nur die vertikale Verschiebung betrachten.

Curricularer Bezug: Bildungsplan Baden-Württemberg, Mathematik Klasse 10, Funktionaler Zusammenhang

Mediennachweise und Lernmedien

1. : Grundgraph der Sinusfunktion, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
2. : Dynamische Beziehung zwischen Einheitskreis und Sinusgraph, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
3. : Sinusgraph mit horizontaler Referenzlinie, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
4. : Sinusgraph mit mehreren horizontalen Referenzlinien, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
5. : Eine vollständige Periode der Sinusfunktion, Wikimedia Commons, Public Domain.
6. : Zusammenhang von Gezeiten-Näherung und Sinuswelle, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.
7. : Riesenrad-Diagramm, Wikimedia Commons, CC0.
8. : Eigenschaften einer Sinuskurve, Wikimedia Commons, Lizenzangaben auf der Dateiseite.

Verknüpfte Lernbereiche

Sinusfunktion Periodische Funktion Vertikale Verschiebung Funktionsgraph Wertetabelle Wertebereich Amplitude Periode Mathematische Modellierung Digitale Mathematikwerkzeuge