M10 E - Verschobene Exponentialfunktionen analysieren

Einleitung

M10 E - Verschobene Exponentialfunktionen analysieren

Du untersuchst Funktionen der Form

$f(x)=c\cdot a^x+d$

mit $a>0$, $a\ne 1$ und reellen Parametern $c$ und $d$.

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen

Mini-Beschreibung: Untersuche die Wirkung von $c$, $a$ und $d$ auf den Graphen. Arbeite mit Schiebereglern, Grenzwerten, Gegenbeispielen und formalen Begründungen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. verschobene Exponentialfunktionen analysieren.
2. die Wirkung von $c$, $a$ und $d$ begründen.
3. die Asymptote $y=d$ bestimmen.
4. Grenzwerte passend zu Wachstum und Zerfall formulieren.
5. Monotonie unter Einbezug des Vorzeichens von $c$ herleiten.
6. Parameter aus Graphinformationen rekonstruieren.
7. Vermutungen mit digitalen Werkzeugen prüfen und mathematisch begründen.
8. falsche Aussagen durch Gegenbeispiele widerlegen.

Vorwissen-Check

Vervollständige.

Es gilt $a^0=$ .

Für $a>1$ ist $a^x$ .

Für $0<a<1$ ist $a^x$ .

Der Graph von $a^x$ geht durch .

Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen

Grundidee

Aus

$g(x)=a^x$

wird durch zwei Transformationen

$f(x)=c\cdot a^x+d$.

Schritt 1

$a^x⟶c\cdot a^x$

Schritt 2

$c\cdot a^x⟶c\cdot a^x+d$

Graph einer Exponentialfunktion

Parameter-Schieberegler

Verändere immer nur einen Parameter und halte die beiden anderen fest.

1. Setze zuerst $c=1$ und $d=0$ und verändere $a$.
2. Fixiere danach $a$ und verändere $c$.
3. Verändere zuletzt nur $d$.
4. Notiere jeweils Beobachtung, Vermutung und rechnerische Prüfung.

Merke: Ein Schieberegler liefert Beobachtungen. Ein mathematischer Beweis entsteht erst durch nachvollziehbare Argumente.

Wirkung von c

Es gilt

$f(x)-d=c\cdot a^x$.

Da $a^x>0$ für alle reellen $x$ gilt, bestimmt das Vorzeichen von $c$ die Lage relativ zur Asymptote.

Für $c>0$ gilt

$f(x)>d$.

Für $c<0$ gilt

$f(x)<d$.

Für den y-Achsenabschnitt gilt

$f(0)=c+d$.

Außerdem beschreibt

$|f(x)-d|=|c|\cdot a^x$

den senkrechten Abstand zur Asymptote.

1. $|c|>1$: Streckung.
2. $0<|c|<1$: Stauchung.
3. $c<0$: Spiegelung relativ zur Geraden $y=d$.

Wirkung von a

Die Basis erfüllt $a>0$ und $a\ne 1$.

Aus

$f(x+1)-d=c\cdot a^{x+1}$

folgt

$f(x+1)-d=a\cdot (f(x)-d)$.

Deutung: Bei einem Schritt um $1$ nach rechts wird der gerichtete Abstand zur Asymptote mit $a$ multipliziert.

Für $c>0$ gilt:

1. $a>1$: streng wachsend.
2. $0<a<1$: streng fallend.

Für $c<0$ kehrt sich die Monotonie um.

Gegenbeispiel: Die Aussage „$a>1$ bedeutet immer wachsend“ ist falsch.

$f(x)=-2\cdot 3^x+4$

ist streng fallend.

Exponentielles Wachstum

Wirkung von d

Der Parameter $d$ verschiebt den Graphen parallel zur y-Achse.

Aus der Asymptote $y=0$ der Grundfunktion wird

$y=d$.

Der Parameter $d$ verändert nicht die Form des Graphen.

Warum wird die Asymptote nicht erreicht?

Für $c\ne 0$ müsste für einen Schnittpunkt gelten

$c\cdot a^x=0$.

Doch $a^x>0$ und $c\ne 0$. Deshalb gilt

$c\cdot a^x\ne 0$.

Also erreicht der Graph die Gerade $y=d$ nicht.

Grenzwerte

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Basis	Für $x\to -\mathrm{\infty }$	Für $x\to \mathrm{\infty }$
$a>1$	$a^x\to 0$	$a^x\to \mathrm{\infty }$
$0<a<1$	$a^x\to \mathrm{\infty }$	$a^x\to 0$

Auf der Seite, auf der $a^x\to 0$, gilt

$c\cdot a^x+d\to d$.

Damit ist $y=d$ die waagerechte Asymptote.

Beispiel:

$f(x)=3\cdot 2^x-4$

liefert

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-4$.

Beispiel mit Zerfall:

$g(x)=-5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x+2$

liefert

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=2$.

Exponentieller Zerfall

Schritt-für-Schritt-Analyse

Untersuche

$f(x)=2\cdot 3^x-1$.

1. Parameter

$c=2$, $a=3$, $d=-1$.

2. Asymptote

$y=-1$.

3. y-Achsenabschnitt

$f(0)=2\cdot 1-1=1$.

4. Monotonie

Wegen $c>0$ und $a>1$ ist die Funktion streng wachsend.

5. Grenzwerte

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-1$

und

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$.

6. Abstand zur Asymptote

$f(x)+1=2\cdot 3^x$.

Der Abstand wird bei jedem Schritt nach rechts mit $3$ multipliziert.

Beispiel mit negativem c

Gegeben ist

$g(x)=-4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x+2$.

Es gilt $c=-4$, $a=\frac{1}{2}$ und $d=2$.

Die Asymptote ist $y=2$.

Der y-Achsenabschnitt ist

$g(0)=-2$.

Da $0<a<1$ und $c<0$, ist die Funktion streng wachsend.

Außerdem gilt

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=2$.

Parameter aus Graphinformationen bestimmen

Die Asymptote sei $y=3$. Außerdem liegen die Punkte $P(0|5)$ und $Q(1|9)$ auf dem Graphen.

Aus der Asymptote folgt

$d=3$.

Aus $f(0)=5$ folgt

$c+3=5$

und damit

$c=2$.

Aus $f(1)=9$ folgt

$2a+3=9$

und damit

$a=3$.

Also gilt

$f(x)=2\cdot 3^x+3$.

Verallgemeinerung

Sind $d$, $f(x)$ und $f(x+1)$ bekannt, dann gilt

$a=\frac{f(x+1)-d}{f(x)-d}$,

sofern $f(x)\ne d$.

Diese Formel folgt durch Division der Gleichungen

$f(x)-d=c\cdot a^x$

und

$f(x+1)-d=c\cdot a^{x+1}$.

Monotonie formal begründen

Seien $x_2>x_1$.

Für $a>1$ gilt

$a^{x_2-x_1}>1$.

Daraus folgt

$a^{x_2}>a^{x_1}$.

Die Multiplikation mit positivem $c$ erhält die Ordnung. Die Multiplikation mit negativem $c$ kehrt sie um. Die Addition von $d$ verändert die Ordnung nicht.

Damit ist die Monotonie formal begründet.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1

Analysiere

$f(x)=5\cdot 2^x-3$.

Bestimme Parameter, Asymptote, y-Achsenabschnitt, Monotonie und Grenzwerte.

Hilfestufe 1

Lies $c$, $a$ und $d$ direkt ab.

Hilfestufe 2

Nutze $f(0)=c+d$.

Feedback

$c=5$, $a=2$, $d=-3$. Die Asymptote ist $y=-3$, der y-Achsenabschnitt ist $2$, und die Funktion ist streng wachsend.

Übung 2

Erkläre, warum

$g(x)=-3\cdot 4^x+1$

streng fallend ist.

Hilfestufe

Betrachte erst $4^x$ und dann das Vorzeichen von $c$.

Feedback

$4^x$ ist streng wachsend. Die Multiplikation mit $-3$ kehrt die Ordnung um. Das anschließende $+1$ ändert die Monotonie nicht.

Übung 3

Die Asymptote lautet $y=-2$. Der Graph enthält $P(0|1)$ und $Q(1|7)$. Bestimme den Funktionsterm.

Hilfestufe

Beginne mit $d=-2$ und nutze dann $f(0)=c+d$.

Feedback

Es gilt $c=3$ und anschließend $a=3$. Damit ist $f(x)=3\cdot 3^x-2$.

Übung 4

Prüfe die Aussage: „Jede Funktion mit $a>1$ ist streng wachsend.“

Hilfestufe

Wähle $c<0$.

Feedback

Die Aussage ist falsch. $f(x)=-2\cdot 2^x$ ist ein Gegenbeispiel.

Typische Fehler

1. Asymptote: Die Asymptote ist nicht immer die x-Achse, sondern $y=d$.
2. Monotonie: Für die Monotonie müssen $a$ und das Vorzeichen von $c$ gemeinsam betrachtet werden.
3. y-Achsenabschnitt: Es gilt $f(0)=c+d$.
4. Grenzwert: Die Richtung hängt davon ab, ob $a>1$ oder $0<a<1$ gilt.
5. Digitale Mathematik: Ein passender Graph ist noch kein Beweis.
6. Künstliche Intelligenz: KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden.

Selbstkontrolle

1. Bestimme die Asymptote von $f(x)=7\cdot \mathrm{0,}{4}^x-5$.
2. Begründe, warum $a^x$ nie null wird.
3. Erkläre, wann sich die Monotonie gegenüber $a^x$ umkehrt.
4. Bestimme $c$ aus $f(0)$ und $d$.
5. Bestimme $a$ aus zwei Funktionswerten mit x-Abstand $1$ und bekannter Asymptote.

Kontrollformeln:

$c=f(0)-d$

$a=\frac{f(x+1)-d}{f(x)-d}$

Transfer: Abkühlung

Eine Flüssigkeit hat zu Beginn eine Temperatur von 80 Grad Celsius. Die Umgebungstemperatur beträgt 20 Grad Celsius. Der Temperaturunterschied wird pro Zeiteinheit mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert.

Ein Modell ist

$T(t)=60\cdot \mathrm{0,}{8}^t+20$.

Dabei beschreibt $d=20$ den langfristigen Grenzwert.

Es gilt

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}T(t)=20$.

Modellkritik: Prüfe Einheiten, Messbereich, Messfehler und die Annahme einer konstanten relativen Änderung.

Digitale Werkzeuge verantwortungsvoll nutzen

1. Nutze Schieberegler zum Erzeugen von Vermutungen.
2. Prüfe markante Punkte von Hand.
3. Begründe Grenzwerte mathematisch.
4. Verwende keine personenbezogenen Daten.
5. Übernimm KI-Ausgaben nicht ungeprüft.
6. Ein digitaler Graph und eine KI-Antwort ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Kompetenzcheck E-Niveau

Analysieren: Bestimme Parameter, Asymptote, Achsenabschnitt, Monotonie und Grenzwerte.

Herleiten: Begründe

$f(x+1)-d=a\cdot (f(x)-d)$.

Verallgemeinern: Leite eine Formel zur Bestimmung von $a$ aus zwei benachbarten Funktionswerten her.

Beweisen: Begründe, warum $y=d$ bei $c\ne 0$ nicht erreicht wird.

Gegenbeispiel: Widerlege eine falsche Allaussage zu Wachstum oder Zerfall.

Modellieren: Entwickle ein verschobenes exponentielles Modell und diskutiere seinen Gültigkeitsbereich.

Reflexion

1. Welche Wirkung von $d$ erkennst Du direkt am Graphen?
2. Warum ist $f(x)-d$ besonders hilfreich?
3. Welche Beobachtung aus einem Schieberegler konntest Du formal begründen?
4. Welches Gegenbeispiel korrigiert die Regel „$a>1$ bedeutet immer wachsend“?
5. Wann würdest Du einem digitalen Graphen nicht vertrauen?

Folgekurs

Weiter geht es mit M10 E - Exponentialgleichungen lösen, Exponentieller Zerfall, Exponentielles Wachstum, Logarithmus und Modellierung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Asymptote besitzt f(x)=3·2^x−4? (y=-4) (!y=0) (!y=3) (!y=4)

Wie lautet der y-Achsenabschnitt von f(x)=5·3^x+2? (7) (!5) (!3) (!2)

Was kann ein negatives c bewirken? (Spiegelung relativ zur Asymptote) (!Negative Basis) (!Endlichen Definitionsbereich) (!Senkrechte Asymptote)

Was gilt bei a>1 und c>0? (Die Funktion ist streng wachsend) (!Die Funktion ist streng fallend) (!Die Funktion ist konstant) (!Die Funktion ist periodisch)

Was gilt bei 0<a<1 und c<0? (Die Funktion ist streng wachsend) (!Die Funktion ist streng fallend) (!Die Funktion ist konstant) (!Die Funktion besitzt keine Asymptote)

Welche Gleichung beschreibt die waagerechte Asymptote? (y=d) (!y=c) (!x=d) (!x=c)

Welche Formel liefert den y-Achsenabschnitt? (f von 0 gleich c plus d) (!f von 0 gleich a plus d) (!f von 0 gleich c mal a) (!f von 0 gleich d minus c)

Wie verändert sich der Abstand zur Asymptote bei einem Schritt nach rechts? (Er wird mit a multipliziert) (!Er wird um a vergrößert) (!Er wird mit c multipliziert) (!Er bleibt immer gleich)

Warum wird die Asymptote bei c ungleich null nicht erreicht? (Weil a hoch x immer positiv ist) (!Weil d immer positiv ist) (!Weil c immer größer als eins ist) (!Weil Exponentialfunktionen keine Achsen schneiden)

Welches Beispiel widerlegt die Regel, dass eine Basis größer als eins immer Wachstum bedeutet? (Ein negativer Vorfaktor bei Basis drei erzeugt einen fallenden Graphen) (!Ein positiver Vorfaktor bei Basis drei erzeugt einen wachsenden Graphen) (!Eine Verschiebung nach oben verändert die Asymptote) (!Eine Basis zwischen null und eins kann Zerfall beschreiben)

Memory

Parameter c	Streckung und Spiegelung
Parameter a	Wachstumsfaktor
Parameter d	Vertikale Verschiebung
Asymptote	Annäherungsgerade
Grenzwert	Verhalten im Unendlichen
Gegenbeispiel	Widerlegung einer Allaussage

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Vertikale Verschiebung	Parameter d
Wachstum oder Zerfall	Parameter a
Spiegelung und Streckung	Parameter c
Waagerechte Annäherungsgerade	Asymptote
Formale Widerlegung	Gegenbeispiel

Kreuzworträtsel

Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph langfristig annähert?
Wachstum	Wie heißt exponentielle Zunahme?
Zerfall	Wie heißt exponentielle Abnahme?
Streckung	Wie heißt eine Vergrößerung senkrechter Abstände?
Spiegelung	Welche Transformation kann ein negatives c bewirken?
Grenzwert	Wie heißt ein Wert, dem sich Funktionswerte annähern?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei $f(x)=c\cdot a^x+d$ lautet die waagerechte Asymptote $y=$ . Der y-Achsenabschnitt ist . Ein negatives $c$ bewirkt eine . Für $a>1$ wächst $a^x$ . Für $0<a<1$ nimmt $a^x$ . Bei einem Schritt nach rechts wird der Abstand zur Asymptote mit multipliziert. Eine digitale Vermutung muss mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphen vergleichen: Zeichne $2^x$, $2\cdot 2^x$ und $2\cdot 2^x+3$ und beschreibe die Veränderungen.
2. Schieberegler-Protokoll: Verändere nur $d$ und dokumentiere drei Einstellungen.
3. Fehler finden: Formuliere und korrigiere eine falsche Aussage zur Asymptote.
4. Parameter-Steckbrief: Erstelle Karten zu $c$, $a$ und $d$.

Standard

1. Graph aus Eigenschaften: Konstruiere eine streng fallende Exponentialfunktion mit Asymptote $y=2$.
2. Gegenbeispiele entwickeln: Widerlege zwei falsche Aussagen zu Monotonie oder Asymptoten.
3. Messdaten modellieren: Erfinde eine kleine Datentabelle für ein verschobenes exponentielles Modell.
4. Digitaler Vergleich: Prüfe zwei scheinbar gleiche Graphen rechnerisch auf Gleichheit.

Schwer

1. Parameter rekonstruieren: Erfinde Asymptote und zwei Punkte und bestimme daraus die Funktion.
2. Monotoniebeweis: Beweise die Monotonie für einen Fall mit $c<0$.
3. Komplexes Modell: Entwickle ein Modell mit nichtnulligem Grenzwert und diskutiere seine Grenzen.
4. KI-Prüfauftrag: Prüfe eine KI-erzeugte Funktionsanalyse Schritt für Schritt und korrigiere unbegründete Aussagen. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Parameterwirkung begründen: Erkläre die Transformation von $2^x$ zu $-3\cdot 2^x+4$ vollständig.
2. Gegenbeispiel konstruieren: Widerlege die Behauptung, dass jede Funktion mit $0<a<1$ fallend sei.
3. Modell vergleichen: Vergleiche zwei Funktionen mit gleicher Basis, aber unterschiedlichen Werten für $c$ und $d$.
4. Grenzwert herleiten: Begründe formal, warum ein passender Grenzwert gleich $d$ ist.
5. Parameter bestimmen: Bestimme einen Funktionsterm aus Asymptote und zwei Punkten und begründe Deine Schritte.
6. Digitales Ergebnis prüfen: Erkläre, wie Du einen scheinbaren Schnitt mit der Asymptote als Darstellungsfehler erkennen kannst.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. die Wirkung der Parameter $c$, $a$ und $d$ zu erklären.
2. Asymptote, Monotonie und Grenzwerte herzuleiten.
3. Parameter aus Graphinformationen zu bestimmen.
4. falsche Aussagen mit Gegenbeispielen zu widerlegen.
5. ein exponentielles Modell zu interpretieren und seine Grenzen zu benennen.
6. digitale Ergebnisse rechnerisch zu kontrollieren.
7. zwischen Beobachtung, Vermutung und Beweis zu unterscheiden.

OERs zum Thema

Graph der natürlichen Exponentialfunktion

Verknüpfte Lernbereiche

Exponentialfunktionen Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Funktionsgraph Asymptote Grenzwert Transformation von Funktionen Modellierung Logarithmus