M10 E - Potenzgesetze mit rationalen Exponenten begründen

Einleitung

Du kennst Potenzen wie $2^3$ und Wurzeln wie $\sqrt{9}$. Jetzt werden beide Schreibweisen verbunden:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

und allgemeiner

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Im E-Niveau geht es nicht nur ums Rechnen. Du sollst begründen, warum Potenzgesetze auch für rationale Exponenten gelten, Voraussetzungen sicher angeben und Gegenbeispiele erkennen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. rationale Exponenten sicher als Wurzeln deuten und umgekehrt.
2. Potenzgesetze für geeignete positive Basen herleiten und begründen.
3. Voraussetzungen wie $a>0$ oder $a\ne 0$ korrekt angeben.
4. fehlerhafte Verallgemeinerungen mit Gegenbeispielen widerlegen.
5. algebraische Begründungen schrittweise und formal nachvollziehbar darstellen.
6. digitale Ergebnisse kritisch prüfen und zwischen Rechenergebnis und Beweis unterscheiden.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg

Im Mittelpunkt stehen Potenzen mit rationalen Exponenten, der Wechsel zwischen Potenz- und Wurzelschreibweise sowie das Begründen und Anwenden der Rechengesetze. Der Kurs arbeitet ausschließlich auf E-Niveau und bereitet auf weiterführende Bildungsgänge vor.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst ohne Taschenrechner:

$2^4=?$

$5^{-2}=?$

$\sqrt{81}=?$

$\sqrt[3]{27}=?$

$a^3\cdot a^5=?$

Lösung anzeigen

$2^4=16$

$5^{-2}=\frac{1}{25}$

$\sqrt{81}=9$

$\sqrt[3]{27}=3$

$a^3\cdot a^5=a^8$

Rationale Exponenten verstehen

Von der Wurzel zur Potenz

Für $a>0$ gilt:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

und für ganze $m$ und natürliche $n$:

$a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$.

Beispiele:

$16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$

$27^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$

$81^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{(\sqrt[4]{81}{)}^3}=\frac{1}{27}$

Warum positive Basen die sichere Ausgangslage sind

Für allgemeine Beweise verwenden wir $a>0$. Dann sind alle benötigten reellen Wurzeln eindeutig positiv definiert.

Bei $a=0$ ist $0^r$ für positive rationale Exponenten möglich, aber negative Exponenten führen zu einer Division durch null.

Bei negativen Basen muss besonders geprüft werden. Zum Beispiel ist

$(-8{)}^{\frac{1}{3}}=-2$,

aber eine naive Verwendung der gleichwertigen Bruchdarstellung $\frac{2}{6}$ kann zu

$\sqrt[6]{(-8{)}^2}=2$

führen. Das zeigt: Für negative Basen darf die Definition nicht unkritisch aus beliebigen Bruchdarstellungen übernommen werden.

Die Potenzgesetze mit rationalen Exponenten

Für die folgenden allgemeinen Herleitungen nehmen wir $a>0$, $b>0$ und rationale Exponenten $r,s$ an.

Produkt gleicher Basis

$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

Setze

$r=\frac{m}{n}$

und

$s=\frac{p}{q}$.

Dann gilt

$a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mq}{nq}}\cdot a^{\frac{pn}{nq}}$.

Mit der Wurzeldarstellung:

$\sqrt[nq]{a^{mq}}\cdot \sqrt[nq]{a^{pn}}=\sqrt[nq]{a^{mq+pn}}$.

Also:

$a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mq+pn}{nq}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$.

Quotient gleicher Basis

$\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$

mit $a>0$.

Beispiel:

$\frac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}}=32^{\frac{3}{5}}$.

Kontrolle über Wurzeln:

$32^{\frac{4}{5}}=16,32^{\frac{1}{5}}=2,\frac{16}{2}=8$

und

$32^{\frac{3}{5}}=8$.

Potenz einer Potenz

$(a^r{)}^s=a^{rs}$

Beispiel:

${\left(64^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=4$

und

$64^{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}=64^{\frac{1}{3}}=4$.

Eine formale Begründung kann über die Eindeutigkeit positiver Wurzeln geführt werden. Für

$r=\frac{m}{n}$

und

$s=\frac{p}{q}$

hat

${\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^{\frac{p}{q}}$

nach Potenzieren mit $nq$ den Wert

$a^{mp}$.

Damit ist die positive Zahl eindeutig

$a^{\frac{mp}{nq}}=a^{rs}$.

Produkt verschiedener Basen

$(ab{)}^r=a^r{b}^r$

für $a>0$ und $b>0$.

Für $r=\frac{m}{n}$:

$(ab{)}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(ab{)}^m}=\sqrt[n]{a^m{b}^m}=\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{b^m}=a^{\frac{m}{n}}{b}^{\frac{m}{n}}$.

Quotient verschiedener Basen

${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$

für $a>0$ und $b>0$.

Negative rationale Exponenten

Für $a>0$ gilt:

$a^{-r}=\frac{1}{a^r}$.

Beispiel:

$16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{8}$.

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Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärungen

Term-Animation 1: Exponenten addieren

Ausgang:

$8^{\frac{2}{3}}\cdot 8^{\frac{1}{6}}$

Schritt 1 öffnen

Bringe die Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner:

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$

Schritt 2 öffnen

$8^{\frac{4}{6}}\cdot 8^{\frac{1}{6}}$

Schritt 3 öffnen

$8^{\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}=8^{\frac{5}{6}}$

Kontrolle mit Wurzeln

$8^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{8^5}$

Term-Animation 2: Potenz einer Potenz

Ausgang:

${\left(81^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1 öffnen

$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

Schritt 2 öffnen

$81^{\frac{3}{4}}$

Schritt 3 öffnen

${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3=3^3=27$

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel A: Umformen und begründen

Vereinfache:

$x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{5}{6}}$

für $x>0$.

Hilfe 1

Nutze das Produktgesetz bei gleicher Basis.

Hilfe 2

Addiere $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$.

Feedback und Lösung

$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}$

also

$x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{5}{6}}=x^{\frac{19}{12}}$.

Die Voraussetzung $x>0$ macht die rationale Potenz in der verwendeten allgemeinen Definition sicher.

Beispiel B: Zwei Wege vergleichen

Berechne $64^{\frac{2}{3}}$ auf zwei Wegen.

Hilfe 1

Weg 1: zuerst dritte Wurzel.

Weg 2: zuerst quadrieren.

Feedback und Lösung

Weg 1:

$64^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{64}{)}^2=4^2=16$.

Weg 2:

$64^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{64^2}=\sqrt[3]{4096}=16$.

Beide Wege stimmen überein.

Beispiel C: Aussage prüfen

Behauptung:

$\sqrt{x^2}=x$

für alle reellen $x$.

Hilfe 1

Teste $x=-3$.

Feedback

$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$

aber

$x=-3$.

Die Behauptung ist falsch. Richtig ist:

$\sqrt{x^2}=|x|$.

Typische Fehler und Gegenbeispiele

Fehler 1: Exponenten bei Addition zusammenfassen

Falsch:

$a^r+a^s=a^{r+s}$.

Gegenbeispiel:

$2^1+2^1=4$

aber

$2^{1+1}=4$.

Dieses Beispiel wirkt zufällig passend. Nimm daher

$2^1+2^2=6$

aber

$2^{1+2}=8$.

Das Potenzgesetz gilt für Multiplikation, nicht für Addition.

Fehler 2: Quadratwurzel ohne Betrag

Falsch:

$\sqrt{x^2}=x$ für alle reellen $x$.

Richtig:

$\sqrt{x^2}=|x|$.

Fehler 3: Produktgesetz ohne Definitionsprüfung

Formal verführerisch:

$\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}$.

Links ist im Reellen $\sqrt{1}=1$, rechts sind die einzelnen Quadratwurzeln nicht reell definiert.

Merksatz: Vor jeder Umformung zuerst den Definitionsbereich prüfen.

Fehler 4: Potenz einer Potenz bei negativer Basis unkritisch anwenden

Nimm $a=-1$, $r=2$, $s=\frac{1}{2}$.

Dann:

${((-1{)}^2)}^{\frac{1}{2}}=1$.

Die naive rechte Seite wäre

$(-1{)}^{2\cdot \frac{1}{2}}=(-1{)}^1=-1$.

Damit ist klar: Die allgemeine Regel wird in diesem Kurs mit der sicheren Voraussetzung $a>0$ bewiesen.

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Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1

Vereinfache für $a>0$:

$a^{\frac{2}{5}}\cdot a^{\frac{7}{10}}$.

Hilfe 1

Gemeinsamer Nenner: $10$.

Hilfe 2

$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$.

Feedback

$a^{\frac{2}{5}}\cdot a^{\frac{7}{10}}=a^{\frac{11}{10}}$.

Übung 2

Vereinfache für $x>0$:

$\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{3}{8}}}$.

Hilfe 1

Subtrahiere die Exponenten.

Hilfe 2

$\frac{5}{4}=\frac{10}{8}$.

Feedback

$x^{\frac{5}{4}-\frac{3}{8}}=x^{\frac{7}{8}}$.

Übung 3

Berechne:

${\left(256^{\frac{1}{4}}\right)}^{\frac{3}{2}}$.

Hilfe 1

Multipliziere die Exponenten oder berechne zuerst $256^{\frac{1}{4}}$.

Feedback

${\left(256^{\frac{1}{4}}\right)}^{\frac{3}{2}}=256^{\frac{3}{8}}=8$.

Übung 4: Gegenbeispiel finden

Widerlege:

$(a+b{)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}$.

Hilfe

Teste $a=1$ und $b=1$.

Feedback

Links: $\sqrt{2}$.

Rechts: $1+1=2$.

Also ist die Behauptung falsch.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Ein Taschenrechner, CAS oder KI-System kann Ergebnisse liefern. Es ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Prüfe digitale Ausgaben immer mit:

1. Definitionsbereich: Sind alle Terme reell definiert?
2. Voraussetzung: Wurde zum Beispiel $x>0$ vorausgesetzt?
3. Gegenprobe: Funktioniert die Aussage mit einfachen Zahlen?
4. Begründung: Ist jeder Umformungsschritt durch ein Gesetz gedeckt?

Gib bei digitalen Experimenten keine personenbezogenen Daten ein.

KI-Check: Wenn ein System $\sqrt{x^2}=x$ ausgibt, teste sofort einen negativen Wert. Eine plausible Ausgabe ist noch kein Beweis.

Transfer: Potenzen als Modell

Ein Würfel wird so vergrößert, dass sein Volumen mit dem Faktor $5$ wächst.

Der Faktor für die Kantenlänge ist $5^{\frac{1}{3}}$.

Der Faktor für die Oberfläche ist ${\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^2=5^{\frac{2}{3}}$.

Damit verbindet das Potenzgesetz räumliche Skalierung mit rationalen Exponenten.

Transferfrage: Begründe allgemein: Wird das Volumen eines ähnlichen Körpers mit Faktor $V$ skaliert, dann ist der Längenfaktor $V^{\frac{1}{3}}$ und der Flächenfaktor $V^{\frac{2}{3}}$.

Selbstkontrolle

Prüfe Dich selbst:

1. Kannst Du $a^{\frac{m}{n}}$ als Wurzel schreiben?
2. Kannst Du erklären, warum beim Multiplizieren gleicher Basen die Exponenten addiert werden?
3. Kannst Du die Voraussetzung $a>0$ in einem allgemeinen Beweis begründen?
4. Kannst Du ein Gegenbeispiel zu einer falschen Verallgemeinerung finden?
5. Kannst Du digitale Vereinfachungen durch Einsetzen geeigneter Werte prüfen?

Wenn Du bei mindestens zwei Punkten unsicher bist, bearbeite die Beispiele A bis C erneut.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Darstellung ist für positive a korrekt? ($a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$) (!$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[m]{a^n}$) (!$a^{\frac{m}{n}}=a^{m-n}$) (!$a^{\frac{m}{n}}=a^{mn}$)

Welche Voraussetzung verwenden wir für die allgemeinen Herleitungen? ($a>0$) (!$a<0$) (!$a=0$) (!$a$ muss ganzzahlig sein)

Was ist $27^{\frac{2}{3}}$? (9) (!6) (!18) (!81)

Wie werden Exponenten beim Multiplizieren gleicher Basen verknüpft? (Sie werden addiert) (!Sie werden multipliziert) (!Sie werden subtrahiert) (!Sie werden dividiert)

Welche Regel beschreibt eine Potenz einer Potenz korrekt? (Die Exponenten werden multipliziert) (!Die Exponenten werden addiert) (!Die Exponenten werden subtrahiert) (!Die Exponenten werden dividiert)

Was ist $16^{-\frac{3}{4}}$? ($\frac{1}{8}$) (!8) (!$-\frac{1}{8}$) (!$\frac{1}{4}$)

Welche Gleichung gilt für alle reellen x? ($\sqrt{x^2}=|x|$) (!$\sqrt{x^2}=x$) (!$\sqrt{x^2}=-x$) (!$\sqrt{x^2}=x^2$)

Warum ist das Produktgesetz für Quadratwurzeln nicht beliebig auf negative Faktoren übertragbar? (Weil einzelne Quadratwurzeln negativer Zahlen im Reellen nicht definiert sind) (!Weil Wurzeln nie multipliziert werden dürfen) (!Weil negative Zahlen keine Potenzen besitzen) (!Weil nur ganze Exponenten erlaubt sind)

Welche Vereinfachung ist für $x>0$ richtig? ($x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x$) (!$x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{16}}$) (!$x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{2}}$) (!$x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=2x$)

Was zeigt ein Gegenbeispiel? (Dass eine allgemeine Behauptung falsch ist) (!Dass eine Behauptung immer wahr ist) (!Dass kein Definitionsbereich nötig ist) (!Dass ein Taschenrechner einen Beweis ersetzt)

Memory

Rationaler Exponent	Bruch als Hochzahl
$a^{1/n}$	$\sqrt[n]{a}$
Produkt gleicher Basis	Exponenten addieren
Quotient gleicher Basis	Exponenten subtrahieren
Potenz einer Potenz	Exponenten multiplizieren
Negativer Exponent	Kehrwert bilden
Gegenbeispiel	Allgemeine Aussage widerlegen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Exponenten addieren	Produkt gleicher Basis
Exponenten subtrahieren	Quotient gleicher Basis
Exponenten multiplizieren	Potenz einer Potenz
Kehrwert bilden	Negativer Exponent
Definitionsbereich prüfen	Rationale Potenz

Kreuzworträtsel

Wurzel	Welche Rechenart entspricht einem Exponenten mit dem Zähler eins?
Exponent	Wie heißt die Hochzahl einer Potenz?
Produkt	Bei welcher Rechenart gleicher Basen werden Exponenten addiert?
Quotient	Bei welcher Rechenart gleicher Basen werden Exponenten subtrahiert?
Kehrwert	Was entsteht bei einem negativen Exponenten aus der entsprechenden positiven Potenz?
Betrag	Was steht allgemein auf der rechten Seite von Quadratwurzel aus x zum Quadrat?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Für positive Basen kann ein rationaler Exponent als gedeutet werden. Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten . Beim Dividieren werden die Exponenten . Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten . Ein negativer Exponent führt zum . Die Gleichung $\sqrt{x^2}=x$ ist für negative x falsch, weil allgemein der benötigt wird. Ein einzelnes Gegenbeispiel kann eine allgemeine Behauptung . Digitale Ausgaben müssen auf Voraussetzungen und den geprüft werden.

Kompetenzcheck E-Niveau

Bearbeite ohne Musterlösung und begründe jeden Schritt.

1. Beweis Produktgesetz: Zeige für $a>0$, $r=\frac{m}{n}$ und $s=\frac{p}{q}$, dass $a^r{a}^s=a^{r+s}$.
2. Beweis Potenz einer Potenz: Begründe $(a^r{)}^s=a^{rs}$ über positive Wurzeln.
3. Gegenbeispiel negative Basis: Erkläre mit $a=-1$, warum eine Voraussetzung für das Potenzieren einer Potenz nötig ist.
4. Darstellungswechsel: Schreibe $x^{-\frac{7}{5}}$ als Wurzelausdruck und nenne die Voraussetzung.
5. Modellieren: Ein ähnlicher Körper erhält den Volumenfaktor $12$. Bestimme symbolisch Längen- und Flächenfaktor und begründe die Exponenten.

Orientierung für die Auswertung Eine E-Niveau-Lösung enthält nicht nur das Ergebnis, sondern Definition, Voraussetzungen, Rechenweg und eine nachvollziehbare Begründung. Gegenbeispiele müssen konkret ausgerechnet werden.

Reflexion

1. Sicherer Schritt: Welche Umformung kannst Du inzwischen ohne Hilfe begründen?
2. Unsicherer Schritt: Bei welcher Voraussetzung musst Du noch genauer prüfen?
3. Beweisidee: Welche Rolle spielt die Eindeutigkeit der positiven n-ten Wurzel?
4. Digitale Prüfung: Wie würdest Du eine verdächtige CAS- oder KI-Ausgabe testen?
5. Transfer: Wo erkennst Du rationale Exponenten in geometrischen oder naturwissenschaftlichen Modellen?

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wurzelschreibweise: Erstelle sechs Karten, auf denen jeweils eine rationale Potenz und die passende Wurzelschreibweise gegenüberstehen.
2. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Umformungen und korrigiere sie.
3. Graphvergleich: Vergleiche die Graphen von $x^{1/2}$ und $x^{1/3}$ für positive x und beschreibe Gemeinsamkeiten.
4. Erklärbild: Gestalte ein Schaubild zu $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ mit einem selbst gewählten Zahlenbeispiel.

Standard

1. Zwei Rechenwege: Löse vier Aufgaben jeweils über Potenzgesetze und über Wurzelschreibweise und vergleiche die Wege.
2. Definitionsbereich prüfen: Sammle fünf Terme mit rationalen Exponenten und gib jeweils an, für welche reellen Werte sie definiert sind.
3. Gegenbeispiele entwickeln: Finde Gegenbeispiele zu drei falschen Verallgemeinerungen von Potenzgesetzen.
4. Digitaler Vergleich: Prüfe mit einem CAS oder Taschenrechner mehrere Terme für positive und negative Basen. Dokumentiere, welche Voraussetzungen das Werkzeug offenbar verwendet.

Schwer

1. Produktgesetz beweisen: Formuliere einen vollständigen Beweis für $a^r{a}^s=a^{r+s}$ bei $a>0$ und rationalen $r,s$.
2. Negative Basen untersuchen: Analysiere, warum gleichwertige Bruchdarstellungen bei negativen Basen zu Problemen führen können. Nutze $(-8{)}^{1/3}$ und $(-8{)}^{2/6}$.
3. Skalierungsmodell: Entwickle ein Modell, das Volumen-, Flächen- und Längenfaktoren ähnlicher Körper mit rationalen Exponenten verbindet.
4. KI-Beweisprüfung: Lass ein KI-System eine Begründung zu einem Potenzgesetz erzeugen. Prüfe jeden Schritt, markiere unbegründete Annahmen und verbessere den Beweis. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründung statt Regel: Leite das Produktgesetz für zwei selbst gewählte rationale Exponenten aus der Wurzeldarstellung her.
2. Voraussetzungen analysieren: Entscheide bei drei vorgegebenen Umformungen, welche Voraussetzungen an die Basen nötig sind, und begründe Deine Entscheidung.
3. Fehleranalyse: Untersuche die Aussage $(a^2{)}^{1/2}=a$. Formuliere die korrekte Version und belege sie mit einem Gegenbeispiel.
4. Darstellungen verknüpfen: Zeige an einem Beispiel, dass Potenz- und Wurzelschreibweise zum gleichen Ergebnis führen, und erkläre, warum dies allgemein für positive Basen funktioniert.
5. Transfer Skalierung: Leite aus einem Volumenfaktor $k$ den zugehörigen Längen- und Flächenfaktor ähnlicher Körper her.
6. Digitales Ergebnis bewerten: Ein CAS vereinfacht einen Ausdruck mit rationalen Exponenten. Prüfe das Resultat durch Definitionsbereich, Gegenprobe und algebraische Begründung.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du wechselst sicher zwischen rationaler Potenz und Wurzeldarstellung.
2. Du verwendest Potenzgesetze korrekt und nennst die Voraussetzungen.
3. Du kannst mindestens zwei Potenzgesetze für rationale Exponenten nachvollziehbar begründen.
4. Du erkennst unzulässige Verallgemeinerungen und widerlegst sie mit Gegenbeispielen.
5. Du dokumentierst Rechenwege so, dass jeder Schritt mathematisch begründet ist.
6. Du kannst rationale Exponenten in einem Transfermodell nutzen.
7. Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch und unterscheidest Berechnung von Beweis.

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Verknüpfte Lernbereiche

Potenzrechnung Potenz Rationaler Exponent Wurzelrechnung Potenzgesetze Definitionsbereich Betrag Potenzfunktion Mathematischer Beweis Gegenbeispiel

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

M10 E - Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten untersuchen

Dort werden Definitionsbereiche, Graphen, Symmetrien, Monotonie und Anwendungen von Funktionen der Form $f(x)=x^r$ für geeignete rationale Exponenten untersucht.