M10 E - Kugelvolumen durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern

M10 E - Kugelvolumen durch Plausibilitätsbetrachtung erläutern

Mini-Beschreibung: Du erläuterst die Volumenformel der Kugel mit geometrischen Vergleichsmodellen, virtuellen Körperzerlegungen und der Idee des Prinzips von Cavalieri – ohne Analysis. Du begründest Rechenwege formal sicher, prüfst digitale Darstellungen kritisch und entwickelst eigene Vergleichsmodelle.

Niveau: Klasse 10, E-Niveau, Baden-Württemberg

Einleitung

Eine Kugel lässt sich nicht so einfach in Prismen oder Pyramiden zerlegen wie viele andere Körper. Trotzdem kann man ihre Volumenformel geometrisch plausibel und formal nachvollziehbar begründen.

Das Ziel ist die Formel

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

nicht nur anzuwenden, sondern ihren Aufbau zu verstehen.

Leitfrage: Warum steht vor $\pi r^3$ gerade der Faktor $\frac{4}{3}$?

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Kugelvolumen: die Formel $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ sicher verwenden und begründen.
2. Cavalieri-Idee: Volumengleichheit über gleich große Schnittflächen erklären.
3. Satz des Pythagoras: den Radius einer Kugelschnittfläche bestimmen.
4. Vergleichskörper: eine Halbkugel mit „Zylinder minus Kegel“ vergleichen.
5. Plausibilität: Größenordnung, Skalierung und Grenzen einer Formel prüfen.
6. Beweisen und Gegenbeispiele: erklären, warum einzelne gleiche Schnitte nicht genügen.
7. Digitale Modelle: Animationen und 3D-Modelle als Unterstützung nutzen, aber nicht mit einem mathematischen Beweis verwechseln.

Vorwissen-Check

Kannst Du diese vier Bausteine erklären?

Baustein	Formel oder Idee
Kreisfläche	$A=\pi r^2$
Zylindervolumen	$V=\pi r^{2}h$
Kegelvolumen	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Pythagoras	$a^2+b^2=c^2$

Schnellcheck: Ein Zylinder hat Radius $r$ und Höhe $r$. Dann gilt

$V_{\text{Zylinder}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3$

Ein Kegel mit demselben Radius und derselben Höhe hat

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^3$

Grundidee: Vergleichen statt integrieren

Wir betrachten zuerst eine Halbkugel mit Radius $r$.

Daneben steht ein Vergleichskörper:

Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $r$ minus ein Kegel mit Radius $r$ und Höhe $r$.

Ziel: Zeige, dass beide Körper in jeder Höhe gleich große horizontale Schnittflächen besitzen.

Dann liefert die Cavalieri-Idee:

$V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Zylinder}}-V_{\text{Kegel}}$

Cavalieri-Idee

Zwei Körper mit gleicher Höhe haben dasselbe Volumen, wenn ihre zu einer festen Grundebene parallelen Schnittflächen in jeder Höhe denselben Flächeninhalt besitzen.

Wichtig: Eine einzige passende Schnittfläche reicht nicht.

Gegenbeispiel: Ein Zylinder und ein Kegel können gleiche Höhe und gleiche Grundfläche besitzen. Trotzdem gilt

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{Zylinder}}$

Also müssen die Schnittflächen über alle Höhen verglichen werden.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Herleitung

Schritt 1: Schnitt durch die Halbkugel

In der Höhe $h$ entsteht ein Kreis mit Radius $s$.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt

$s^2+h^2=r^2$

also

$s^2=r^2-h^2$

Damit ist die Schnittfläche der Halbkugel

$A_{\text{H}}=\pi s^2=\pi (r^2-h^2)$

Schritt 2: Schnitt durch den Vergleichskörper

Beim Zylinder ist der Außenradius des Schnittes immer $r$.

Beim Kegel ist der Innenradius in Höhe $h$ gleich $h$, weil Kegelradius und Kegelhöhe beide $r$ sind.

Der Schnitt ist deshalb ein Kreisring:

$A_{\text{V}}=\pi r^2-\pi h^2$

also

$A_{\text{V}}=\pi (r^2-h^2)$

Schritt 3: Schnittflächen vergleichen

Für jede Höhe mit

$0\le h\le r$

gilt

$A_{\text{H}}=A_{\text{V}}$

denn

$\pi (r^2-h^2)=\pi (r^2-h^2)$

Damit sind die Voraussetzungen der Cavalieri-Idee erfüllt.

Schritt 4: Volumen der Halbkugel

$V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Zylinder}}-V_{\text{Kegel}}$

$V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r$

$V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3$

$V_{\text{Halbkugel}}=\frac{2}{3}\pi r^3$

Schritt 5: Ganze Kugel

Eine Kugel besteht aus zwei gleich großen Halbkugeln:

$V_{\text{Kugel}}=2\cdot \frac{2}{3}\pi r^3$

Ergebnis:

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

Interaktive 3D-Modelle und Füllideen

GeoGebra-Modell: Verschiebe die Schnittebene und prüfe, ob die beiden Schnittflächen in jeder Höhe gleich groß erscheinen.

Interaktive Cavalieri-Darstellung:

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Animation zur Kugel:

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Denkauftrag: Eine Animation kann eine Idee sehr überzeugend zeigen. Sie ersetzt aber nicht die Begründung

$A_{\text{H}}(h)=A_{\text{V}}(h)$

für jede zulässige Höhe $h$.

Plausibilitätsprüfungen

Prüfung 1: Größenordnung

Die Kugel liegt in einem Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $2r$.

Der Zylinder hat

$V_{\text{Zyl}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$

Die Kugelformel liefert

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

Damit gilt

$\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zyl}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac{2}{3}$

Das ist plausibel: Die Kugel füllt den umschriebenen Zylinder nicht vollständig.

Prüfung 2: Skalierung

Wird der Radius mit dem Faktor $k$ vergrößert, dann gilt

$V(kr)=\frac{4}{3}\pi (kr{)}^3$

also

$V(kr)=k^3\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

und damit

$V(kr)=k^{3}V(r)$

Beispiel: Verdopplung des Radius bedeutet

$2^3=8$

also achtfaches Volumen.

Prüfung 3: Grenzfall

Für

$r=0$

ergibt sich

$V=0$

Das passt zur Geometrie.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Kugel mit Radius 3 cm

Gegeben:

$r=3\text{cm}$

Einsetzen:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3$

$V=36\pi {\text{cm}}^3$

Näherungswert:

$V\approx \mathrm{113,1}{\text{cm}}^3$

Feedback einblenden

Prüfe vor allem den Exponenten: Das Volumen wächst mit $r^3$, nicht mit $r^2$.

Beispiel 2: Radius verdoppeln

Aus $r$ wird $2r$.

$V(2r)=\frac{4}{3}\pi (2r{)}^3$

$V(2r)=8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

Ergebnis: Das Volumen wird achtmal so groß.

Hilfe

Nutze $(2r{)}^3=2^3{r}^3=8r^3$.

Beispiel 3: Radius aus dem Volumen bestimmen

Gegeben:

$V=288\pi {\text{cm}}^3$

Ansatz:

$288\pi =\frac{4}{3}\pi r^3$

Durch $\pi$ teilen:

$288=\frac{4}{3}{r}^3$

Mit $\frac{3}{4}$ multiplizieren:

$216=r^3$

Daraus:

$r=6\text{cm}$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Schnittfläche

Eine Halbkugel hat Radius $r=10\text{cm}$. Die Schnittebene liegt bei $h=6\text{cm}$.

Berechne den Radius $s$ der Schnittfläche.

Hilfe 1

Nutze $s^2+h^2=r^2$.

Hilfe 2

$s^2=10^2-6^2$

Feedback

$s^2=100-36=64$, also $s=8\text{cm}$.

Übung 2: Zwei Schnittflächen vergleichen

Nutze $r=10\text{cm}$ und $h=6\text{cm}$.

Halbkugel:

$A_{\text{H}}=\pi (r^2-h^2)$

Vergleichskörper:

$A_{\text{V}}=\pi r^2-\pi h^2$

Zeige rechnerisch, dass beide Flächen gleich groß sind.

Feedback

Beide Terme ergeben $64\pi {\text{cm}}^2$.

Übung 3: Faktor prüfen

Eine Kugel hat Radius $5\text{cm}$. Ein umschriebener Zylinder hat Radius $5\text{cm}$ und Höhe $10\text{cm}$.

Berechne

$\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}}$

Hilfe

Setze beide Volumenformeln ein und kürze $\pi r^3$.

Feedback

Das Verhältnis ist $\frac{2}{3}$.

Übung 4: Digital kritisch prüfen

Nutze das 3D-Modell. Stelle nacheinander ungefähr

$h=0$, $h=\frac{r}{2}$ und $h=\mathrm{0,8}r$

ein.

Berechne jeweils selbst

$A=\pi (r^2-h^2)$

und vergleiche mit der Darstellung.

Erwartete Faktoren vor $\pi r^2$:

$1$, $\frac{3}{4}$, $\mathrm{0,36}$

Kritische Frage: Was würdest Du tun, wenn die Animation andere Werte zeigt?

Antwortidee: Rechenweg, Eingaben, Skalierung und Modellannahmen prüfen. Eine digitale Ausgabe ist kein Beweis.

Typische Fehler

1. Radius und Durchmesser: In $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ muss der Radius eingesetzt werden. Bei gegebenem Durchmesser $d$ gilt $r=\frac{d}{2}$.
2. Potenzen: $r^3$ darf nicht durch $r^2$ ersetzt werden.
3. Cavalieri-Prinzip: Eine einzelne passende Schnittfläche genügt nicht; die Gleichheit muss für jede Höhe gelten.
4. Kreisring: Der Flächeninhalt ist $\pi R^2-\pi r^2$, nicht $\pi (R-r{)}^2$.
5. Einheiten: Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel ${\text{cm}}^3$.
6. Digitale Werkzeuge: Ein korrekt aussehendes Bild garantiert keine korrekte Rechnung.

Selbstkontrolle

Kannst Du diese Kette ohne Vorlage erklären?

$s^2+h^2=r^2$

$\Downarrow$

$A_{\text{Halbkugel}}=\pi (r^2-h^2)$

$\Downarrow$

$A_{\text{Vergleich}}=\pi r^2-\pi h^2$

$\Downarrow$

$A_{\text{Halbkugel}}=A_{\text{Vergleich}}$

$\Downarrow$

$V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Zylinder}}-V_{\text{Kegel}}$

$\Downarrow$

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

Transfer

Transfer 1: Maßstab

Ein Kugelmodell wird im Maßstab $1:3$ vergrößert, also alle Längen werden mit $3$ multipliziert.

Das Volumen wächst mit

$3^3=27$

Folgerung: Der Volumenfaktor ist $27$.

Transfer 2: Gegenmodell prüfen

Behauptung:

„Wenn zwei Körper dieselbe Höhe und dieselbe Grundfläche haben, besitzen sie dasselbe Volumen.“

Prüfung: Zylinder und Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe liefern ein Gegenbeispiel:

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{Zylinder}}$

Die Behauptung ist falsch.

Transfer 3: Vergleichskörper verallgemeinern

Beim verwendeten Kegel gilt zufällig

$R=H=r$

Deshalb ist der Kegelradius in der Höhe $h$ genau $h$.

Bei einem Kegel mit Radius $R$ und Höhe $H$ wäre der entsprechende Radius

$\rho (h)=\frac{R}{H}h$

Denkfrage: Welche Änderung entsteht dann beim Kreisring?

$A(h)=\pi R^2-\pi {\left(\frac{R}{H}h\right)}^2$

Das zeigt, warum die spezielle Wahl $R=H=r$ für die Kugelherleitung besonders passend ist.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du beherrschst das Thema auf E-Niveau, wenn Du folgende Aussagen fachlich begründen kannst:

1. Herleitung: Ich kann aus $s^2+h^2=r^2$ die Schnittfläche der Halbkugel ableiten.
2. Cavalieri-Prinzip: Ich kann erklären, warum die Flächengleichheit für jede Höhe zur Volumengleichheit führt.
3. Formelverständnis: Ich kann den Faktor $\frac{4}{3}$ aus Zylinder minus Kegel und Verdopplung herleiten.
4. Skalierung: Ich kann zeigen, warum eine Längenvergrößerung um $k$ das Kugelvolumen um $k^3$ verändert.
5. Gegenbeispiel: Ich kann eine falsche Verallgemeinerung zum Cavalieri-Prinzip widerlegen.
6. Modellkritik: Ich kann digitale Ergebnisse durch Rechnung und geometrische Bedingungen prüfen.
7. Weiterführung: Ich kann den Vergleichskörper formal verallgemeinern und die Abhängigkeit von $R$, $H$ und $h$ beschreiben.

Reflexion

1. Begründung: Welcher Schritt der Herleitung ist für Dich der entscheidende und warum?
2. Visualisierung: Welche Darstellung hilft Dir mehr – Schnittbild, Animation, 3D-Modell oder Formel?
3. Beweisidee: Welche Aussage muss mathematisch gezeigt werden, damit die Animation nicht nur „überzeugend aussieht“?
4. Digitale Kompetenz: Welche Fehler könnte ein digitales Modell enthalten, obwohl es optisch plausibel wirkt?

Folgekurs

Als nächstes eignen sich:

1. Kugeloberfläche: Zusammenhang zwischen Radius und Oberfläche.
2. Zusammengesetzte Körper: Volumen von Körpern mit Kugelteilen.
3. Ähnlichkeit: Schnittflächen in Kegeln formal verallgemeinern.
4. Cavalieri-Prinzip: Volumen schiefer Körper begründen.
5. Integralrechnung: In weiterführenden Bildungsgängen Volumina über Grenzprozesse und Integrale systematisieren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Volumenformel einer Kugel mit Radius r? ($V=\frac{4}{3}\pi r^3$) (!$V=4\pi r^2$) (!$V=\pi r^2$) (!$V=\frac{1}{3}\pi r^3$)

Welche Körper werden in der Cavalieri-Herleitung für die Halbkugel verglichen? (Halbkugel und Zylinder minus Kegel) (!Halbkugel und Würfel) (!Kugel und Prisma) (!Kugel und Pyramide)

Welche Gleichung liefert den Radius s einer Kugelschnittfläche? ($s^2+h^2=r^2$) (!$s+h=r$) (!$s^2-h^2=r^2$) (!$s^3+h^3=r^3$)

Wie groß ist die Schnittfläche der Halbkugel in Höhe h? (Pi mal r Quadrat minus h Quadrat) (!Pi mal r minus h zum Quadrat) (!Pi mal r Quadrat plus h Quadrat) (!Zwei Pi mal r mal h)

Welche Bedingung ist für die Cavalieri-Idee entscheidend? (Gleich große parallele Schnittflächen in jeder Höhe) (!Gleiche Grundfläche allein) (!Gleicher Umfang) (!Gleiche Oberfläche)

Wie groß ist das Volumen einer Halbkugel mit Radius r? ($\frac{2}{3}\pi r^3$) (!$\frac{4}{3}\pi r^3$) (!$\pi r^3$) (!$\frac{1}{3}\pi r^3$)

Was passiert mit dem Kugelvolumen, wenn der Radius verdoppelt wird? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird doppelt so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich)

Wie groß ist das Verhältnis Kugelvolumen zu Volumen des umschriebenen Zylinders? ($\frac{2}{3}$) (!$\frac{1}{3}$) (!$\frac{3}{2}$) (!$\frac{4}{3}$)

Warum ist eine einzelne übereinstimmende Schnittfläche nicht ausreichend? (Weil die Schnittflächen in jeder Höhe verglichen werden müssen) (!Weil nur die Oberfläche zählt) (!Weil Kugeln keine Schnitte besitzen) (!Weil Cavalieri nur für Würfel gilt)

Was ist bei digitalen 3D-Modellen mathematisch notwendig? (Ergebnisse durch Rechnung und Bedingungen prüfen) (!Jede Animation als Beweis akzeptieren) (!Nur die Farbe der Flächen vergleichen) (!Messwerte ungeprüft übernehmen)

Memory

Kugelvolumen	$\frac{4}{3}\pi r^3$
Halbkugel	$\frac{2}{3}\pi r^3$
Zylinder	$\pi r^{2}h$
Kegel	$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Cavalieri-Idee	gleiche Schnittflächen in jeder Höhe
Kugelschnitt	$\pi (r^2-h^2)$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Pythagoras	Zusammenhang zwischen $s$, $h$ und $r$
Kreisring	Schnittfläche von Zylinder minus Kegel
Cavalieri	gleiche Schnittflächen führen zu gleichem Volumen
Verdopplung	aus Halbkugel wird Kugel
Kubische Skalierung	Radiusfaktor $k$ führt zum Volumenfaktor $k^3$

Kreuzworträtsel

Cavalieri	Welches Prinzip vergleicht Schnittflächen verschiedener Körper?
Halbkugel	Welcher Körper wird zuerst mit Zylinder minus Kegel verglichen?
Kreisring	Welche Form hat die Schnittfläche des Vergleichskörpers?
Radius	Welche Größe wird in der Kugelvolumenformel kubiert?
Zylinder	Von welchem Körper wird der Kegel im Vergleichsmodell abgezogen?
Pythagoras	Welcher Satz liefert den Radius der Kugelschnittfläche?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Für eine Kugel mit Radius $r$ lautet die Volumenformel . Bei der Herleitung wird zunächst eine betrachtet. In Höhe $h$ gilt für den Schnittradius $s$ nach Pythagoras . Die Schnittfläche der Halbkugel hat damit den Inhalt . Der Vergleichskörper besteht aus einem Zylinder, aus dem ein entfernt wurde. Seine Schnittfläche ist ein . Beide Schnittflächen sind in jeder Höhe . Nach der Cavalieri-Idee besitzen die Körper deshalb dasselbe . Die Halbkugel hat das Volumen . Durch Verdoppeln erhält man das Kugelvolumen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze: Zeichne Halbkugel, Zylinder und Kegel und markiere $r$, $h$ und $s$.
2. Formelkette: Gestalte eine visuelle Formelkette von $s^2+h^2=r^2$ bis $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.
3. Erklärvideo: Produziere ein höchstens 90 Sekunden langes Erklärvideo zum Verhältnis Kugel zu umschriebenem Zylinder. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Fehler zur Kugelvolumenformel und korrigiere ihn.

Standard

1. 3D-Modell: Nutze ein digitales Geometriewerkzeug und stelle die beiden Cavalieri-Vergleichskörper dar. Prüfe mindestens drei Schnitthöhen rechnerisch.
2. Füllmodell: Entwickle mit zwei durchsichtigen Gefäßmodellen eine Idee, wie Zylinder, Kegel und Kugelvolumen experimentell verglichen werden könnten. Dokumentiere nur Aufbau und Mathematik.
3. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „gleiche Höhe und gleiche Grundfläche bedeuten gleiches Volumen“ mit einem selbst gewählten Körperpaar.
4. Skalierung: Erstelle eine Tabelle für Radiusfaktoren $2$, $3$, $\frac{1}{2}$ und die zugehörigen Volumenfaktoren.

Schwer

1. Formaler Beweis: Formuliere die Cavalieri-Herleitung der Kugel als lückenlose Argumentationskette mit Voraussetzungen und Schlussfolgerung.
2. Verallgemeinerung: Leite für einen Kegel mit Radius $R$ und Höhe $H$ den Schnittradius $\rho (h)=\frac{R}{H}h$ her und untersuche, wann der Vergleich zur Halbkugel funktioniert.
3. Modellkritik: Vergleiche zwei digitale Darstellungen zur Kugelherleitung. Benenne mathematisch relevante Gemeinsamkeiten, Unterschiede und mögliche Darstellungsfehler.
4. Komplexes Modell: Entwickle einen zusammengesetzten Körper aus Kugel-, Zylinder- und Kegelteilen und bestimme sein Volumen symbolisch in Abhängigkeit von $r$.

Lernkontrolle

1. Begründung der Schnittfläche: Leite $A_{\text{H}}(h)=\pi (r^2-h^2)$ aus einer beschrifteten Skizze her und erkläre jeden Schritt.
2. Cavalieri anwenden: Begründe, warum die Gleichung $A_{\text{H}}(h)=A_{\text{V}}(h)$ für alle $h$ zwischen $0$ und $r$ eine Aussage über das Volumen erlaubt.
3. Gegenbeispiel prüfen: Eine Person behauptet, gleiche Grundfläche und gleiche Höhe seien ausreichend für gleiches Volumen. Widerlege die Aussage mathematisch.
4. Skalierung übertragen: Eine Kugel wird so vergrößert, dass ihr Radius um den Faktor $\mathrm{1,5}$ wächst. Bestimme den Volumenfaktor und begründe ihn ohne konkrete Radiuswerte.
5. Modell vergleichen: Erkläre, warum das Modell „Halbkugel = Zylinder minus Kegel“ besser zur Cavalieri-Herleitung passt als ein beliebiger Würfel mit demselben Volumen.
6. Digitale Validierung: Ein 3D-Modell zeigt bei $h=\frac{r}{2}$ zwei sichtbar verschieden große Schnittflächen. Beschreibe einen mathematischen Prüfplan, bevor Du der Darstellung glaubst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du kannst die Formel $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ nicht nur nennen, sondern geometrisch begründen.
2. Du kannst die Schnittfläche der Halbkugel mithilfe des Satzes von Pythagoras herleiten.
3. Du kannst die Schnittfläche des Vergleichskörpers als Kreisring berechnen.
4. Du kannst die Voraussetzungen der Cavalieri-Idee korrekt formulieren.
5. Du kannst den Übergang von der Halbkugel zur ganzen Kugel nachvollziehbar darstellen.
6. Du kannst Skalierungseffekte mit $k^3$ begründen.
7. Du kannst falsche Verallgemeinerungen mit Gegenbeispielen prüfen.
8. Du kannst digitale Ergebnisse kritisch mit eigener Mathematik kontrollieren.
9. Du verwendest Einheiten, Rechenweg, Skizzen und Begründungen nachvollziehbar.

OERs zum Thema

Wikipedia: Kugel

Wikipedia: Prinzip von Cavalieri

Freie Wikimedia-Commons-Medien:

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Medien- und Quellenhinweise

1. Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik Sekundarstufe I, Klasse 10, Leitidee Messen
2. Wikipedia – Kugel
3. Wikipedia – Prinzip von Cavalieri
4. Wikimedia Commons – Cavalieri's principle
5. GeoGebra – Kugelvolumen: Prinzip von Cavalieri
6. Walter Fendt – Berechnung des Kugelvolumens

Verknüpfte Lernbereiche

Kugelvolumen Kugel Volumen Kreisfläche Satz des Pythagoras Zylinder Kegel Prinzip von Cavalieri Ähnlichkeit Potenzen Modellieren Argumentieren