M10 E - Halbwertszeit und Verdopplungszeit interpretieren

M10 E - Halbwertszeit und Verdopplungszeit interpretieren

Mini-Beschreibung: Verstehe Halbwerts- und Verdopplungszeit als charakteristische Zeitspannen exponentieller Prozesse und bestimme beziehungsweise interpretiere sie in geeigneten Modellen.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Beobachtungsauftrag zur Animation: Achte nicht nur darauf, dass der Graph steigt. Suche gleiche Zeitabstände, in denen sich ein Funktionswert jeweils mit demselben Faktor verändert.

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Einleitung

Bei einem exponentiellen Prozess ändert sich eine Größe in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor. Zwei besonders aussagekräftige Zeitspannen sind:

1. Halbwertszeit: Zeit, nach der bei exponentiellem Zerfall nur noch die Hälfte vorhanden ist.
2. Verdopplungszeit: Zeit, nach der bei exponentiellem Wachstum das Doppelte vorhanden ist.

Für ein Exponentialmodell

$f(t)=f_0\cdot a^t$

gilt:

$a>1$ bedeutet Wachstum.

$0<a<1$ bedeutet Zerfall.

Die charakteristischen Zeiten hängen bei einem echten Exponentialmodell nicht vom Anfangswert $f_0$ ab.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Exponentialmodelle an Term, Tabelle und Graph erkennen.
2. Halbwertszeit und Verdopplungszeit aus Graphen, Tabellen und Funktionsgleichungen bestimmen.
3. Modelle direkt mit $T_{1/2}$ oder $T_2$ formulieren.
4. die Formeln für $T_{1/2}$ und $T_2$ formal herleiten.
5. begründen, warum diese Zeiten bei exponentiellen Prozessen unabhängig vom gewählten Startzeitpunkt sind.
6. Gegenbeispiele prüfen und erkennen, wann ein Prozess nicht exponentiell ist.
7. digitale Berechnungen und KI-Ausgaben durch Einsetzen, Überschlagen und graphische Kontrolle prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst diese vier Grundlagen.

1. Prozentfaktor

$+8\mathrm{\%}⟹a=\mathrm{1,08}$

$-7\mathrm{\%}⟹a=\mathrm{0,93}$

2. Potenzregel

$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$

3. Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens

$a^x=b⟺x=\frac{\ln (b)}{\ln (a)}$

für $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$.

4. Modellentscheidung

Linear: gleiche Differenz pro Zeitschritt.

Exponentiell: gleicher Faktor pro Zeitschritt.

Bei $100,110,120,130,\dots$ ist die Entwicklung	{ linear }
Bei $100,110,121,\mathrm{133,1},\dots$ ist die Entwicklung	{ exponentiell }
Zu einer Abnahme um $12\mathrm{\%}$ gehört der Faktor	{ 0,88 }

Halbwertszeit verstehen

Der Graph zeigt die zentrale Struktur:

$N_0⟶\frac{N_0}{2}⟶\frac{N_0}{4}⟶\frac{N_0}{8}⟶\cdots$

und dazu die Zeitpunkte

$0,T_{1/2},2T_{1/2},3T_{1/2},\dots$

Merksatz: In jeder weiteren Halbwertszeit wird der gerade vorhandene Wert erneut halbiert.

Ein Modell mit direkt sichtbarer Halbwertszeit lautet:

$f(t)=f_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Setzt Du $t=T_{1/2}$, erhältst Du sofort:

$f(T_{1/2})=f_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{f_0}{2}$

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Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung: Zerfall

Beispiel: Anfangs sind $640$ Einheiten vorhanden. Die Halbwertszeit beträgt $3$ Stunden.

$f(t)=640\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{3}}$

Schritt 1: $t=0$

$f(0)=640$

Schritt 2: $t=3$

$f(3)=640\cdot \frac{1}{2}=320$

Schritt 3: $t=6$

$f(6)=640\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=160$

Schritt 4: $t=9$

$f(9)=640\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=80$

Die Halbwertszeit ist also kein einmaliges Ereignis. Sie beschreibt einen sich wiederholenden Faktorprozess.

Medienauftrag: Stoppe gedanklich nach jeder Halbwertszeit. Notiere die Folge der verbleibenden Anteile:

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$

Verdopplungszeit verstehen

Bei exponentiellem Wachstum beschreibt $T_2$ die Zeitspanne, nach der aus einem Wert das Doppelte wird.

$N_0⟶2N_0⟶4N_0⟶8N_0⟶\cdots$

Ein Modell mit direkt sichtbarer Verdopplungszeit lautet:

$f(t)=f_0\cdot 2^{\frac{t}{T_2}}$

Denn:

$f(T_2)=f_0\cdot 2^1=2f_0$

Graphenauftrag: Suche zwei Punkte, deren Funktionswerte sich genau verdoppeln. Miss den horizontalen Abstand. Wiederhole das an einer anderen Stelle des Graphen.

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Reales Wachstum beobachten – aber Modellgrenzen mitdenken

Eine Bakterienkolonie kann unter günstigen Bedingungen zeitweise näherungsweise exponentiell wachsen. In realen Systemen sind Nahrung, Platz und andere Ressourcen jedoch begrenzt. Ein Exponentialmodell ist deshalb immer eine Modellannahme, keine Garantie für unbegrenztes Wachstum.

Halbwerts- und Verdopplungszeit aus dem Wachstumsfaktor berechnen

Gegeben ist

$f(t)=f_0\cdot a^t$.

Verdopplungszeit formal herleiten

Gesucht ist $T_2$ mit

$f(t+T_2)=2f(t)$.

Einsetzen:

$f_0\cdot a^{t+T_2}=2f_0\cdot a^t$

Potenzregel:

$f_0\cdot a^t\cdot a^{T_2}=2f_0\cdot a^t$

Kürzen:

$a^{T_2}=2$

Logarithmieren:

$T_2\ln (a)=\ln (2)$

Damit:

$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (a)}$

Diese Formel liefert eine positive Verdopplungszeit für $a>1$.

Halbwertszeit formal herleiten

Gesucht ist $T_{1/2}$ mit

$f(t+T_{1/2})=\frac{1}{2}f(t)$.

Nach demselben Kürzungsschritt folgt:

$a^{T_{1/2}}=\frac{1}{2}$

und damit:

$T_{1/2}=\frac{\ln (1/2)}{\ln (a)}$

Für $0<a<1$ sind Zähler und Nenner negativ. Deshalb ist $T_{1/2}>0$.

Mit $\ln (1/2)=-\ln (2)$ kann man auch schreiben:

$T_{1/2}=-\frac{\ln (2)}{\ln (a)}$

Warum ist die charakteristische Zeit unabhängig vom Anfangswert?

Für jedes $t$ gilt:

$\frac{f(t+T)}{f(t)}=\frac{f_0{a}^{t+T}}{f_0{a}^t}=a^T$

Der Anfangswert $f_0$ und der Startzeitpunkt $t$ verschwinden beim Kürzen.

Damit ist der Faktor über eine feste Zeitspanne $T$ überall gleich.

Für Verdopplung:

$a^T=2$

Für Halbierung:

$a^T=\frac{1}{2}$

Das ist die eigentliche mathematische Begründung dafür, dass Halbwerts- und Verdopplungszeit charakteristische Größen eines Exponentialmodells sind.

Modell mit der Basis $e$

Für

$f(t)=f_0{e}^{kt}$

gilt bei Wachstum $k>0$:

$T_2=\frac{\ln (2)}{k}$

und bei Zerfall $k<0$:

$T_{1/2}=-\frac{\ln (2)}{k}$

beziehungsweise

$T_{1/2}=\frac{\ln (2)}{|k|}$.

Verallgemeinerung: Zeit für einen beliebigen Faktor

Soll sich ein Wert mit dem Faktor $r$ verändern, gilt

$f(t+T_r)=r\cdot f(t)$.

Daraus folgt:

$a^{T_r}=r$

und somit:

$T_r=\frac{\ln (r)}{\ln (a)}$

Die Verdopplungszeit ist der Spezialfall $r=2$.

Die Halbwertszeit ist der Spezialfall $r=\frac{1}{2}$.

Halbwertszeit und Verdopplungszeit im Graphen interpretieren

Graphische Idee:

Für eine Verdopplungszeit suchst Du zwei Höhen $y$ und $2y$. Der horizontale Abstand ihrer Schnittpunkte mit dem Graphen ist $T_2$.

Für eine Halbwertszeit suchst Du zwei Höhen $y$ und $\frac{y}{2}$. Der horizontale Abstand ist $T_{1/2}$.

Wichtig: Bei einem echten Exponentialmodell ist dieser horizontale Abstand unabhängig davon, welche geeignete Höhe $y$ Du wählst.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1 – Halbwertszeit direkt nutzen

Gegeben:

$f_0=1200$

$T_{1/2}=6$ Stunden

Gesucht: $f(18)$

Schritt 1: Anzahl der Halbwertszeiten

$\frac{18}{6}=3$

Schritt 2: Modell

$f(18)=1200\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

Schritt 3: Ergebnis

$f(18)=150$

Interpretation: Nach 18 Stunden sind noch $\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$ des Anfangswerts vorhanden.

Nach $6$ Stunden	{ 600 }
Nach $12$ Stunden	{ 300 }
Nach $18$ Stunden	{ 150 }

Beispiel 2 – Verdopplungszeit aus dem Faktor bestimmen

Gegeben:

$f(t)=80\cdot \mathrm{1,0}{8}^t$

Gesucht: $T_2$

$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (\mathrm{1,08})}$

$T_2\approx \mathrm{9,01}$

Interpretation: Der modellierte Bestand verdoppelt sich ungefähr alle $\mathrm{9,01}$ Zeiteinheiten.

Kontrolle:

$\mathrm{1,0}{8}^{\mathrm{9,01}}\approx 2$

Beispiel 3 – Halbwertszeit aus zwei Messwerten erkennen

Gegeben:

$f(0)=240$

$f(5)=60$

Vergleiche:

$\frac{60}{240}=\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

In 5 Zeiteinheiten liegen also zwei Halbierungen.

$2T_{1/2}=5$

$T_{1/2}=\mathrm{2,5}$

Beispiel 4 – Verdopplungszeit aus zwei Messwerten erkennen

Gegeben:

$f(0)=80$

$f(6)=320$

Vergleiche:

$\frac{320}{80}=4=2^2$

In 6 Zeiteinheiten liegen zwei Verdopplungen.

$2T_2=6$

$T_2=3$

Beispiel 5 – Verschobener Startpunkt

Gegeben:

$g(t)=40\cdot 2^{\frac{t-2}{5}}$

Der Ausdruck $t-2$ verschiebt den Graphen horizontal, ändert aber die Verdopplungszeit nicht.

Denn:

$\frac{g(t+5)}{g(t)}=\frac{40\cdot 2^{\frac{t+3}{5}}}{40\cdot 2^{\frac{t-2}{5}}}=2$

Also:

$T_2=5$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A – Zerfall

Ein Modell lautet:

$f(t)=500\cdot \mathrm{0,9}{3}^t$

Bestimme die Halbwertszeit.

Hilfestufe 1: Setze $\mathrm{0,9}{3}^T=\frac{1}{2}$.

Hilfestufe 2: Verwende

$T=\frac{\ln (1/2)}{\ln (\mathrm{0,93})}$.

Hilfestufe 3:

$T\approx \mathrm{9,55}$.

Feedback: Ein negativer Wert für die Halbwertszeit wäre hier ein Rechen- oder Vorzeichenfehler. Beide Logarithmen sind negativ, ihr Quotient ist positiv.

Übung B – Wachstum

Ein Bestand wächst pro Stunde um $12\mathrm{\%}$.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Hilfestufe 1:

$a=\mathrm{1,12}$

Hilfestufe 2:

$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (\mathrm{1,12})}$

Hilfestufe 3:

$T_2\approx \mathrm{6,12}$ Stunden.

Feedback: Die Verdopplungszeit hängt vom Faktor $\mathrm{1,12}$, nicht vom Anfangswert des Bestands ab.

Übung C – Modell aufstellen

Eine Größe startet mit $900$ Einheiten und halbiert sich alle $4$ Tage.

Stelle ein Modell auf.

Hilfestufe 1: Verwende die direkte Halbwertszeitform.

Hilfestufe 2:

$f(t)=f_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T_{1/2}}$

Lösung:

$f(t)=900\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/4}$

Feedback: Prüfe mit $t=4$. Es muss $450$ entstehen.

Übung D – Beweisidee

Begründe für

$f(t)=c\cdot a^t$

formal, dass der Quotient $\frac{f(t+T)}{f(t)}$ nicht von $t$ abhängt.

Hilfestufe 1: Setze beide Funktionsterme vollständig ein.

Hilfestufe 2: Nutze $a^{t+T}=a^t{a}^T$.

Lösungskern:

$\frac{c{a}^{t+T}}{c{a}^t}=a^T$

Feedback: Eine bloße Aussage wie „Exponentialfunktionen wachsen immer gleich“ reicht auf E-Niveau nicht. Entscheidend ist die algebraische Begründung.

Typische Fehler

1. Prozentwert mit Faktor verwechseln: $8\mathrm{\%}$ Wachstum bedeutet $a=\mathrm{1,08}$, nicht $a=\mathrm{0,08}$.
2. Halbwertszeit mit halbem Zeitpunkt verwechseln: Halbwertszeit bezeichnet einen Zeitabstand, nicht „die Hälfte der bisherigen Zeit“.
3. Lineare Halbierung annehmen: Bei exponentiellem Zerfall wird immer der aktuelle Wert halbiert.
4. Vorzeichenfehler: Bei $0<a<1$ ist $\ln (a)<0$. Die Halbwertszeit bleibt trotzdem positiv.
5. Einheit vergessen: Wenn $t$ in Tagen gemessen wird, hat auch $T_{1/2}$ oder $T_2$ die Einheit Tage.
6. Graph falsch ablesen: Entscheidend ist der horizontale Zeitabstand zwischen $y$ und $2y$ beziehungsweise $y/2$.
7. Ungeeignetes Modell verwenden: Nicht jeder steigende oder fallende Graph ist exponentiell.

Gegenbeispiel: Warum nicht jeder Zerfall eine Halbwertszeit als Konstante besitzt

Betrachte das lineare Modell

$f(t)=100-10t$.

Von $100$ auf $50$ dauert es:

$5$ Zeiteinheiten.

Von $50$ auf $25$ dauert es:

$\mathrm{2,5}$ Zeiteinheiten.

Die „Halbierungszeit“ ist also nicht konstant.

Schluss: Eine konstante Halbwertszeit ist eine charakteristische Eigenschaft eines passenden exponentiellen Zerfallsmodells, nicht irgendeiner Abnahme.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch nutzen

Ein Taschenrechner, CAS, Tabellenkalkulationsprogramm oder eine KI kann Rechenschritte beschleunigen. Prüfe Ergebnisse trotzdem mathematisch.

1. Einsetzen: Gilt bei einer berechneten Verdopplungszeit tatsächlich ungefähr $f(t+T_2)=2f(t)$?
2. Überschlagen: Bei starkem Wachstum muss die Verdopplungszeit kürzer sein als bei schwachem Wachstum.
3. Graph prüfen: Passt die berechnete Zeit zum sichtbaren horizontalen Abstand?
4. Einheiten prüfen: Stimmen Minuten, Stunden, Tage oder Jahre?
5. Modell prüfen: Rechtfertigen die Daten überhaupt ein Exponentialmodell?
6. Datenschutz: Verwende für Lernaufgaben keine personenbezogenen Daten.
7. KI-Ausgaben prüfen: Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis. Insbesondere Herleitungen müssen durch nachvollziehbare Umformungen abgesichert werden.

Selbstkontrolle

Entscheide jeweils selbst, bevor Du die Auflösung liest.

Aussage 1: Ein Prozess wächst mit Faktor $\mathrm{1,05}$ pro Zeiteinheit. Seine Verdopplungszeit ist unabhängig vom Anfangswert.

Auflösung: Richtig, denn $T_2=\frac{\ln 2}{\ln \mathrm{1,05}}$ enthält keinen Anfangswert.

Aussage 2: Bei Halbwertszeit $4$ sind nach $8$ Zeiteinheiten noch $25\mathrm{\%}$ vorhanden.

Auflösung: Richtig, denn ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

Aussage 3: Ein linear fallender Bestand besitzt immer eine konstante Halbwertszeit.

Auflösung: Falsch. Beim linearen Modell ist die Zeit bis zur nächsten Halbierung im Allgemeinen nicht konstant.

Aussage 4: Bei einem Zerfallsfaktor $\mathrm{0,8}$ ist $\ln (\mathrm{0,8})$ negativ.

Auflösung: Richtig. Das ist mitentscheidend dafür, dass die Formel für $T_{1/2}$ einen positiven Wert liefert.

Transfer

Transfer 1 – Zwei Modelle vergleichen

Modell A:

$A(t)=200\cdot 2^{t/5}$

Modell B:

$B(t)=700\cdot 2^{t/5}$

Beide Modelle haben

$T_2=5$.

Sie unterscheiden sich nur im Anfangsniveau.

Begründung:

$\frac{A(t+5)}{A(t)}=2$

und

$\frac{B(t+5)}{B(t)}=2$.

Transfer 2 – Aus Verdopplungszeit einen Wachstumsfaktor gewinnen

Gegeben ist $T_2=7$ Zeiteinheiten.

Aus

$a^7=2$

folgt:

$a=2^{1/7}$

und damit das Modell

$f(t)=f_0\cdot {\left(2^{1/7}\right)}^t$.

Äquivalent:

$f(t)=f_0\cdot 2^{t/7}$.

Transfer 3 – Aus Halbwertszeit einen Zerfallsfaktor gewinnen

Gegeben ist $T_{1/2}=10$.

Aus

$a^{10}=\frac{1}{2}$

folgt:

$a={\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/10}$.

Damit:

$f(t)=f_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/10}$.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du arbeitest sicher auf E-Niveau, wenn Du nicht nur Ergebnisse berechnest, sondern Zusammenhänge begründen kannst.

1. Darstellen: Du wechselst zwischen Term, Graph, Tabelle und sprachlicher Interpretation.
2. Herleiten: Du leitest $T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}$ und $T_{1/2}=\frac{\ln (1/2)}{\ln a}$ her.
3. Verallgemeinern: Du erklärst $T_r=\frac{\ln r}{\ln a}$.
4. Beweisen: Du zeigst mit einem Quotienten, warum die charakteristische Zeit unabhängig von $f_0$ und $t$ ist.
5. Gegenbeispiele prüfen: Du erkennst, dass lineare oder logistische Entwicklungen nicht automatisch eine konstante Halbwerts- oder Verdopplungszeit besitzen.
6. Modellieren: Du formulierst aus Sachinformationen ein geeignetes Exponentialmodell und prüfst seine Grenzen.
7. Digital prüfen: Du kontrollierst Rechner- oder KI-Ergebnisse durch mathematische Argumente.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Charakteristische Zeit: Warum ist eine Verdopplungszeit informativer als die bloße Aussage „der Bestand wächst“?
2. Modellkritik: Welche Beobachtung in Messdaten würde Dich daran zweifeln lassen, dass ein exponentielles Modell geeignet ist?
3. Beweis: Welche Stelle der Herleitung zeigt ausdrücklich, dass der Anfangswert keine Rolle spielt?
4. Darstellungswechsel: Welche Darstellung hilft Dir am meisten – Term, Tabelle, Graph oder Animation – und welche Information erkennst Du darin besonders gut?

Folgekurs

Als nächster Schritt passt:

M10 E - Exponentialgleichungen mit Logarithmen lösen

Dort wird das Lösen von Gleichungen wie

$500\cdot \mathrm{1,0}{7}^t=1000$

systematisch vertieft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Halbwertszeit bei exponentiellem Zerfall? (Die Zeit bis der aktuelle Wert halbiert ist) (!Die Hälfte der gesamten Beobachtungszeit) (!Die Zeit bis der Wert null ist) (!Den Anfangswert des Prozesses)

Welche Gleichung bestimmt die Verdopplungszeit bei f von t gleich f null mal a hoch t? (a hoch T gleich zwei) (!a hoch T gleich ein halb) (!T hoch a gleich zwei) (!a mal T gleich zwei)

Welche Formel gilt für die Verdopplungszeit bei Wachstumsfaktor a? (ln zwei geteilt durch ln a) (!ln a geteilt durch ln zwei) (!ln ein halb geteilt durch ln a) (!zwei geteilt durch a)

Welche Formel gilt für die Halbwertszeit bei einem Zerfallsfaktor zwischen null und eins? (ln ein halb geteilt durch ln a) (!ln zwei geteilt durch ln a) (!ln a geteilt durch ln ein halb) (!ein halb geteilt durch a)

Was geschieht nach drei Halbwertszeiten mit dem Anfangswert? (Es bleibt ein Achtel) (!Es bleibt die Hälfte) (!Es bleibt ein Viertel) (!Es bleibt ein Sechstel)

Ein Bestand verdoppelt sich alle fünf Stunden. Welcher Faktor liegt nach zehn Stunden gegenüber dem Anfang vor? (Vier) (!Zwei) (!Fünf) (!Zehn)

Warum ist die Verdopplungszeit unabhängig vom Anfangswert? (Der Anfangswert kürzt sich im Quotienten heraus) (!Der Anfangswert ist immer eins) (!Der Logarithmus entfernt jede Einheit) (!Der Graph beginnt immer im Ursprung)

Woran erkennst Du in einer Wertetabelle exponentielle Entwicklung bei gleichen Zeitabständen? (Am konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Werte) (!An der konstanten Differenz aufeinanderfolgender Werte) (!An stets ganzzahligen Werten) (!An einem Anfangswert von null)

Welche Aussage trifft auf ein lineares Zerfallsmodell im Allgemeinen zu? (Die Zeit bis zur nächsten Halbierung ist nicht konstant) (!Es besitzt immer dieselbe Halbwertszeit) (!Es hat immer den Faktor ein halb) (!Es ist identisch mit exponentiellem Zerfall)

Wie prüfst Du eine berechnete Verdopplungszeit sinnvoll? (Du setzt sie ein und prüfst den Faktor zwei) (!Du rundest sie immer auf eine ganze Zahl) (!Du vergleichst sie nur mit dem Anfangswert) (!Du ignorierst die Zeiteinheit)

Memory

Halbwertszeit	Zeit bis zum Faktor ein halb
Verdopplungszeit	Zeit bis zum Faktor zwei
Wachstumsfaktor	Konstanter Multiplikationsfaktor
Logarithmus	Umkehrung des Potenzierens
Exponentialmodell	Gleicher Faktor in gleichen Zeitabständen
Linearität	Gleiche Differenz in gleichen Zeitabständen
Anfangswert	Funktionswert bei Zeit null
Modellprüfung	Vergleich von Annahme und Daten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Halbwertszeit	exponentieller Zerfall
Verdopplungszeit	exponentielles Wachstum
Quotient	Prüfung auf gleichen Faktor
Differenz	Kennzeichen linearer Entwicklung
Logarithmus	Lösen einer Exponentialgleichung

Kreuzworträtsel

Halbwertszeit	Wie heißt die charakteristische Zeit bis zur Hälfte?
Verdopplungszeit	Wie heißt die charakteristische Zeit bis zum Doppelten?
Logarithmus	Welche Rechenoperation hilft beim Lösen von Exponentialgleichungen?
Wachstum	Wie heißt eine exponentielle Zunahme?
Zerfall	Wie heißt eine exponentielle Abnahme?
Anfangswert	Wie heißt der Funktionswert zum Startzeitpunkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeitabständen stets mit demselben multipliziert.

Die Zeit bis zur Halbierung heißt .

Die Zeit bis zur Verdopplung heißt .

Bei einem Wachstumsfaktor größer als eins liegt exponentielles vor.

Bei einem Faktor zwischen null und eins liegt exponentieller vor.

Zum Lösen der Gleichung für eine charakteristische Zeit kann der verwendet werden.

Bei einem Exponentialmodell ist die charakteristische Zeit vom unabhängig.

Ein digital berechnetes Ergebnis sollte durch kontrolliert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphen lesen: Markiere auf einem selbst gezeichneten Zerfallsgraphen drei aufeinanderfolgende Halbwertszeiten.
2. Wachstumsfolge: Erstelle eine Bildfolge zu einem Bestand, der sich in jedem Schritt verdoppelt, und beschrifte die Zeitpunkte.
3. Halbierungsfolge: Starte mit einem selbst gewählten Anfangswert und berechne vier aufeinanderfolgende Halbierungen.
4. Begriffe erklären: Erkläre Halbwertszeit und Verdopplungszeit mit je einem eigenen Beispiel und einer passenden Formel.

Standard

1. Daten untersuchen: Erfinde eine kleine Wertetabelle mit konstantem Wachstumsfaktor und bestimme daraus die Verdopplungszeit.
2. Graph und Term vergleichen: Zeichne zu $f(t)=100\cdot 2^{t/4}$ einen Graphen und überprüfe die Verdopplungszeit an mindestens zwei Stellen.
3. Modellkritik im Alltag: Suche einen realen Wachstumsprozess und erkläre, warum exponentielles Wachstum dort nur für einen begrenzten Zeitraum plausibel sein kann.
4. Digitale Kontrolle: Berechne mit einem digitalen Werkzeug eine charakteristische Zeit und dokumentiere mindestens zwei unabhängige mathematische Kontrollen des Ergebnisses.

Schwer

1. Herleitung präsentieren: Erstelle ein Erklärvideo oder eine digitale Folie, in der Du $T_r=\frac{\ln r}{\ln a}$ formal herleitest.
2. Gegenbeispiel konstruieren: Entwickle ein nicht exponentielles Modell, bei dem die Zeit bis zur nächsten Halbierung nicht konstant ist, und beweise dies an zwei Startwerten.
3. Modelle vergleichen: Entwickle zwei Exponentialmodelle mit verschiedenen Anfangswerten, aber derselben Verdopplungszeit, und begründe algebraisch die Gemeinsamkeit.
4. Komplexes Modell prüfen: Untersuche reale oder simulierte Daten, passe ein Exponentialmodell an, bestimme eine charakteristische Zeit und diskutiere systematisch die Grenzen des Modells. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modellbegründung: Ein Bestand wächst zunächst von $300$ auf $450$ und im gleichen Zeitabstand auf $675$. Begründe, warum diese drei Werte mit einem exponentiellen Modell vereinbar sind, und leite daraus eine Formel für die Verdopplungszeit ab.
2. Darstellungswechsel: Zu einem Graphen sind zwei Punkte mit den Werten $80$ und $320$ im Zeitabstand von sechs Einheiten gegeben. Bestimme die Verdopplungszeit ohne zuerst den Wachstumsfaktor pro Einzeitschritt zu berechnen und begründe Dein Vorgehen.
3. Beweisaufgabe: Beweise für $f(t)=c\cdot a^t$, dass der Zeitabstand für eine Multiplikation mit einem festen Faktor $r$ nicht vom Startzeitpunkt abhängt.
4. Gegenbeispiel: Zeige an einem linearen Modell, dass eine Halbierungszeit nicht konstant sein muss. Erkläre anschließend, welches Merkmal dem linearen Modell dafür fehlt.
5. Fehleranalyse: Jemand berechnet bei $a=\mathrm{0,9}$ die Halbwertszeit mit $\frac{\ln 2}{\ln \mathrm{0,9}}$ und erhält einen negativen Wert. Erkläre den Fehler und korrigiere die Formel.
6. Modellkritik: Ein digitales Werkzeug liefert für Messdaten eine Verdopplungszeit. Formuliere mindestens drei mathematische Prüfungen, die Du durchführen musst, bevor Du das Ergebnis akzeptierst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du:

1. ein Exponentialmodell aus Kontext, Tabelle, Graph oder Term erkennst.
2. den Wachstums- oder Zerfallsfaktor korrekt interpretierst.
3. Halbwertszeit und Verdopplungszeit graphisch und rechnerisch bestimmst.
4. die direkten Modelle $f(t)=f_0\cdot 2^{t/T_2}$ und $f(t)=f_0\cdot (1/2{)}^{t/T_{1/2}}$ sicher verwendest.
5. die Formeln mit Logarithmen herleitest und nicht nur auswendig einsetzt.
6. die Unabhängigkeit vom Anfangswert formal begründest.
7. Gegenbeispiele zu ungeeigneten Modellen analysierst.
8. Rechenweg, Darstellung, Einheit und Interpretation nachvollziehbar dokumentierst.
9. digitale Ergebnisse kritisch überprüfst.
10. erklären kannst, warum eine KI-Ausgabe keinen mathematischen Beweis ersetzt.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Exponentielle Prozesse Exponentialfunktion Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Halbwertszeit Verdopplungszeit Logarithmus Wachstumsfaktor Modellierung Funktionsgraph Exponentialgleichung