Körper berechnen mit MediaWiki Math - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Körper berechnen gehört zur Raumgeometrie. Du lernst, wie Du Volumen, Oberfläche, Mantelfläche und wichtige Längen bei geometrischen Körpern berechnest. Dabei verwendest Du die MediaWiki-Math-Erweiterung, damit mathematische Formeln im Wiki sauber dargestellt werden. Die Körperberechnung hilft Dir bei Alltagsfragen: Wie viel Wasser passt in ein Aquarium? Wie viel Material braucht eine Verpackung? Wie groß ist das Volumen einer Dose? Wie rechnet man mit Zylinder, Kegel, Kugel, Quader, Würfel, Prisma und Pyramide?

Ein geometrischer Körper liegt im dreidimensionalen Raum. Sein Volumen gibt den Rauminhalt an. Seine Oberfläche ist die Summe aller äußeren Flächen. Die Mantelfläche ist der seitliche Teil der Oberfläche. Die Grundfläche ist die Fläche, auf der viele Volumenformeln aufbauen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. geometrische Körper erkennen, benennen und vergleichen.
2. Volumen, Oberfläche und Mantelfläche wichtiger Körper berechnen.
3. Einheiten sicher unterscheiden: $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ und $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.
4. Formeln mit der MediaWiki-Math-Erweiterung schreiben.
5. Formeln umstellen, wenn eine Länge gesucht ist.
6. zusammengesetzte Körper durch Addition oder Subtraktion berechnen.

Grundbegriffe

Volumen

Das Volumen beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Viele Volumenformeln folgen der Idee:

$V=G\cdot h$

Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe. Diese Formel gilt direkt für gerade Prismen und Zylinder. Bei Pyramiden und Kegeln kommt der Faktor $\frac{1}{3}$ hinzu.

Oberfläche und Mantelfläche

Die Oberfläche ist die Summe aller Außenflächen. Wenn Du einen Körper bekleben, bemalen oder verpacken willst, brauchst Du meist die Oberfläche. Die Mantelfläche ist der seitliche Teil der Oberfläche. Bei Körpern mit zwei parallelen Grundflächen gilt oft:

$O=2G+M$

Bei einem Zylinder ist der Mantel ausgerollt ein Rechteck. Deshalb gilt:

$M=2\pi rh$

Einheiten

1. Längeneinheit: $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{d}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$
2. Flächeneinheit: $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, ${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
3. Volumeneinheit: $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, ${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
4. Hohlmaß: $1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1\mathrm{l}$ und $1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1000\mathrm{l}$

Formeln mit der MediaWiki Extension Math

Math-Schreibweise

Mit der MediaWiki-Math-Erweiterung schreibst Du Formeln zwischen Math-Tags. Der Quelltext

<math>V = a \cdot b \cdot c</math>

wird dargestellt als:

$V=a\cdot b\cdot c$

Nützliche Bausteine sind:

1. Multiplikation: <math>a \cdot b</math> ergibt $a\cdot b$.
2. Bruch: <math>\frac{1}{3}</math> ergibt $\frac{1}{3}$.
3. Wurzel: <math>\sqrt{r^2+h^2}</math> ergibt $\sqrt{r^2+h^2}$.
4. Exponent: <math>r^2</math> ergibt $r^2$.
5. Pi: <math>\pi</math> ergibt $\pi$.
6. Einheit: <math>120\,\mathrm{cm^3}</math> ergibt $120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.

Gute Darstellung einer Rechnung

Eine saubere Rechnung zeigt Formel, Einsetzen und Ergebnis:

$V=a\cdot b\cdot c$

$V=8\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V=120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Wichtige Körper und Formeln

Würfel

Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen und zwölf gleich lange Kanten.

$V=a^3$

$O=6a^2$

$d=a\sqrt{3}$

Quader

Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.

$V=a\cdot b\cdot c$

$O=2(ab+ac+bc)$

Beispiel: Für $a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $c=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt:

$V=8\cdot 5\cdot 3=120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$O=2(8\cdot 5+8\cdot 3+5\cdot 3)=158\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

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Prisma

Ein Prisma besitzt zwei parallele, kongruente Grundflächen. Bei einem geraden Prisma gilt:

$V=G\cdot h$

$M=u_G\cdot h$

$O=2G+M$

Dabei ist $u_G$ der Umfang der Grundfläche.

Zylinder

Ein Zylinder hat zwei kreisförmige Grundflächen und eine gekrümmte Mantelfläche.

$G=\pi r^2$

$V=\pi r^{2}h$

$M=2\pi rh$

$O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$

Beispiel: Für $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=10\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt:

$V=\pi \cdot 4^2\cdot 10=160\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\approx \mathrm{502,65}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$O=2\pi \cdot 4(4+10)=112\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\approx \mathrm{351,86}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

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Pyramide

Eine Pyramide hat eine Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen.

$V=\frac{1}{3}Gh$

$O=G+M$

Bei einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit Grundkante $a$ und Seitenhöhe $h_s$ gilt:

$G=a^2$

$M=4\cdot \frac{1}{2}a{h}_s=2a{h}_s$

$O=a^2+2a{h}_s$

Kegel

Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze.

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$s=\sqrt{r^2+h^2}$

$M=\pi rs$

$O=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)$

Beispiel: Für $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt $s=5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$V=12\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\approx \mathrm{37,70}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$O=24\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\approx \mathrm{75,40}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Kugel

Eine Kugel wird durch ihren Radius $r$ beschrieben.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$O=4\pi r^2$

$d=2r$

Beispiel: Für $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt:

$V=288\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\approx \mathrm{904,78}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$O=144\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\approx \mathrm{452,39}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Formelsammlung

Körper	Volumen	Oberfläche
Würfel	$V=a^3$	$O=6a^2$
Quader	$V=a\cdot b\cdot c$	$O=2(ab+ac+bc)$
Prisma	$V=G\cdot h$	$O=2G+M$
Zylinder	$V=\pi r^{2}h$	$O=2\pi r(r+h)$
Pyramide	$V=\frac{1}{3}Gh$	$O=G+M$
Kegel	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$O=\pi r(r+s)$
Kugel	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$O=4\pi r^2$

Rechenstrategie

Schrittfolge

1. Skizze: Zeichne den Körper und markiere gegebene Größen.
2. Gegeben: Notiere alle Maße mit Einheit.
3. Gesucht: Kläre, ob Volumen, Oberfläche, Mantel oder eine Länge gesucht ist.
4. Formel: Wähle die passende Formel.
5. Einsetzen: Setze Werte sorgfältig ein.
6. Berechnen: Runde erst am Ende.
7. Einheit: Gib die passende Einheit an.
8. Plausibilität: Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Formel umstellen

Ist bei einem Quader $V=240\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $a=10\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ gegeben, so berechnest Du die Höhe $c$ so:

$V=a\cdot b\cdot c$

$c=\frac{V}{a\cdot b}$

$c=\frac{240\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}}{10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 6\mathrm{c}\mathrm{m}}=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

Zusammengesetzte Körper

Zusammengesetzte Körper zerlegst Du in einfache Teilkörper. Beim Volumen kannst Du addieren oder subtrahieren:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=V_1+V_2$

$V_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=V_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}-V_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}$

Bei Oberflächen musst Du prüfen, welche Flächen wirklich außen liegen. Innenliegende Kontaktflächen zählen nicht zur Oberfläche.

Vertiefung

Warum Volumen und Oberfläche verschieden wachsen

Wenn alle Längen eines Körpers mit dem Faktor $k$ vergrößert werden, wächst die Oberfläche mit $k^2$ und das Volumen mit $k^3$.

$O_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{2}O$

$V_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{3}V$

Bei Verdopplung aller Längen wird die Oberfläche viermal so groß und das Volumen achtmal so groß.

Oberfläche-Volumen-Verhältnis

Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen ist in Natur und Technik wichtig, zum Beispiel bei Zellen, Wärmeverlust und Verpackungen. Größere Körper haben im Verhältnis zu ihrem Volumen oft weniger Oberfläche.

Typische Fehler

Einheiten verwechseln

Oberflächen werden in Quadrateinheiten angegeben, Volumina in Kubikeinheiten. Ein Ergebnis für eine Oberfläche darf also nicht $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ heißen.

Radius und Durchmesser verwechseln

Viele Formeln verwenden den Radius, obwohl in Aufgaben oft der Durchmesser gegeben ist:

$r=\frac{d}{2}$

Höhe und Mantellinie beim Kegel verwechseln

Für das Volumen eines Kegels brauchst Du die senkrechte Höhe $h$. Für die Mantelfläche brauchst Du die Mantellinie $s$.

Beispielaufgaben mit Lösungen

Aquarium

Ein Aquarium ist $80\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang, $35\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $40\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch.

$V=80\cdot 35\cdot 40=112000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$112000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=112\mathrm{l}$

Antwort: Es passen $112\mathrm{l}$ hinein.

Geschenkpapier

Eine Box ist $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang, $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch.

$O=2(30\cdot 20+30\cdot 10+20\cdot 10)=2200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Antwort: Mindestens $2200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ Papier sind nötig.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikeinheit) (!Quadrateinheit) (!Längeneinheit) (!Winkeleinheit)

Welche Formel beschreibt das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge a? (a hoch 3) (!6 mal a hoch 2) (!a mal b mal c) (!2 mal a plus 2 mal b)

Was beschreibt die Oberfläche eines Körpers? (Summe aller äußeren Begrenzungsflächen) (!Raum im Inneren des Körpers) (!Länge einer einzelnen Kante) (!Abstand zwischen zwei Mittelpunkten)

Welche Grundidee steckt hinter dem Volumen eines geraden Prismas? (Grundfläche mal Höhe) (!Umfang mal Radius) (!Mantelfläche mal Durchmesser) (!Oberfläche durch Höhe)

Was passiert mit dem Volumen eines Körpers wenn alle Längen verdoppelt werden? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird zweimal so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich groß)

Wie groß ist das Kegelvolumen im Vergleich zu einem passenden Zylindervolumen bei gleicher Grundfläche und Höhe? (Ein Drittel) (!Die Hälfte) (!Zwei Drittel) (!Genauso groß)

Welche Formel passt zur Oberfläche einer Kugel mit Radius r? (4 mal pi mal r hoch 2) (!pi mal r hoch 2 mal h) (!2 mal pi mal r mal h) (!a mal b mal c)

Welche Größe braucht man für die Mantelfläche eines Kegels zusätzlich zum Radius? (Mantellinie) (!Raumdiagonale) (!Durchmesser der Kugel) (!Kantenanzahl)

Was bedeutet pi in Formeln zu Zylinder Kegel und Kugel? (Kreiszahl) (!Höhe) (!Mantellinie) (!Grundkante)

Was ist meist der erste sinnvolle Schritt bei zusammengesetzten Körpern? (Zerlegen oder ergänzen) (!Sofort runden) (!Einheiten weglassen) (!Alle Oberflächen addieren)

Memory

Volumen	Rauminhalt
Oberfläche	Summe der Außenflächen
Grundfläche	Basis der Volumenformel
Mantelfläche	Seitliche Begrenzung
Radius	Halber Durchmesser
Körpernetz	Ausgefaltete Oberfläche
Kegel	Drittel des passenden Zylinders
MediaWiki Math	Formeln zwischen Math Tags

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Würfelvolumen	V gleich a hoch 3
Quaderoberfläche	O gleich 2 mal Klammer ab plus ac plus bc
Zylindervolumen	V gleich pi mal r hoch 2 mal h
Kegelvolumen	V gleich ein Drittel mal pi mal r hoch 2 mal h
Kugeloberfläche	O gleich 4 mal pi mal r hoch 2
Prismavolumen	V gleich Grundfläche mal Höhe
Kegelmantel	M gleich pi mal r mal s

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen?
Radius	Wie heißt der halbe Durchmesser eines Kreises?
Mantel	Wie nennt man die seitliche Fläche eines Zylinders kurz?
Prisma	Welcher Körper hat zwei parallele kongruente Grundflächen?
Kugel	Welcher Körper hat alle Oberflächenpunkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein geometrischer Körper liegt im Raum. Das Volumen beschreibt den eines Körpers. Die Oberfläche ist die Summe aller . Bei Prismen und Zylindern gilt häufig die Grundidee Volumen gleich mal Höhe. Bei Pyramiden und Kegeln kommt der Faktor hinzu. Für Kreisformeln braucht man oft den und die Kreiszahl pi. Beim Kegel unterscheidet man die senkrechte Höhe von der . Flächen werden in gemessen. Volumina werden in gemessen. Bei zusammengesetzten Körpern muss man Teilkörper sinnvoll .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Körper-Steckbrief: Wähle einen Körper aus dem Alltag und beschreibe seine Eigenschaften.
2. Einheiten-Safari: Suche fünf Gegenstände, bei denen Volumen oder Oberfläche wichtig ist.
3. Formelplakat: Erstelle ein Plakat mit Formeln für Würfel, Quader, Zylinder und Kugel.
4. Körpernetz: Zeichne das Netz eines Quaders und markiere die Oberfläche.

Standard

1. Messprojekt: Miss eine Verpackung aus und berechne Volumen und Oberfläche.
2. Dose analysieren: Miss Radius und Höhe einer Dose und berechne Volumen und Mantelfläche.
3. Wiki-Formeln: Schreibe einen Wiki-Abschnitt mit mindestens fünf Formeln in Math-Schreibweise.
4. Modellvergleich: Vergleiche zwei Körper mit ähnlichem Volumen, aber unterschiedlicher Oberfläche.

Schwer

1. Zusammengesetzter Körper: Entwirf einen Körper aus mindestens drei Teilkörpern und berechne das Gesamtvolumen.
2. Materialbedarf: Plane eine Verpackung und berechne die benötigte Materialfläche.
3. Formel umstellen: Erfinde drei Aufgaben, bei denen eine Länge gesucht ist.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Formel, Beispielrechnung und Fehlerquelle.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Verpackung: Alle Längen einer Verpackung werden mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Erkläre die Folgen für Oberfläche und Volumen.
2. Vergleichsaufgabe Körperformen: Zwei Behälter haben gleiches Volumen. Begründe, warum ihre Oberflächen unterschiedlich sein können.
3. Fehleranalyse: Eine Schülerin rechnet bei Durchmesser $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ mit $r=10\mathrm{c}\mathrm{m}$. Erkläre und korrigiere den Fehler.
4. Planungsaufgabe Aquarium: Entwirf ein Aquarium mit ungefähr $120\mathrm{l}$ Inhalt und begründe die Maße.
5. Begründungsaufgabe Kegel: Erkläre anschaulich, warum ein Kegel bei gleicher Grundfläche und Höhe weniger Volumen als ein Zylinder hat.
6. Wiki-Kompetenz: Schreibe eine Musterlösung mit mindestens drei Formeln in Math-Schreibweise.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis erstellst Du eine vollständige Körperberechnung zu einem selbst gewählten Alltagsgegenstand. Der Nachweis soll zeigen, dass Du nicht nur Formeln kennst, sondern mathematische Entscheidungen begründen kannst.

1. Gegenstand auswählen: Wähle einen realen Gegenstand, der einem oder mehreren geometrischen Körpern ähnelt.
2. Modell bilden: Entscheide, durch welche Körper Du den Gegenstand näherungsweise beschreibst, und begründe Deine Vereinfachungen.
3. Maße erfassen: Miss alle benötigten Längen und notiere die Einheiten.
4. Volumen berechnen: Berechne das Volumen und gib eine passende Volumeneinheit an.
5. Oberfläche berechnen: Berechne die äußere Oberfläche oder erkläre, welche Flächen nicht zählen.
6. Math-Erweiterung anwenden: Schreibe die wichtigsten Formeln mit <math>...</math> und erläutere die Variablen.
7. Plausibilität prüfen: Vergleiche Dein Ergebnis mit einer Schätzung oder realen Angabe und erkläre mögliche Abweichungen.

Links

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