Integration durch Substitution

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Integration durch Substitution ist eine Methode der Integralrechnung. Du ersetzt einen komplizierten Term durch eine neue Variable. Dadurch wird das Integral einfacher. Die Methode ist die Umkehrung der Kettenregel.

Du lernst:

1. Substitution: Einen passenden inneren Term wählen.
2. Differential: Den Faktor für die neue Variable bestimmen.
3. Stammfunktion: Das vereinfachte Integral lösen.
4. Bestimmtes Integral: Neue Grenzen berechnen.

Grundidee

Ein typisches Muster ist:

$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

Setze $u=g(x)$. Dann gilt $\mathrm{d}u=g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$. So entsteht:

$\int f(u)\mathrm{d}u$

Merksatz: Suche im Integranden eine innere Funktion und möglichst auch ihre Ableitung.

Vorgehen in fünf Schritten

1. Innere Funktion: Wähle $u=g(x)$.
2. Ableitung: Berechne $\mathrm{d}u=g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.
3. Umformen: Ersetze alle passenden Teile des Integrals.
4. Integration: Berechne die Stammfunktion in $u$.
5. Rücksubstitution: Ersetze bei unbestimmten Integralen $u$ wieder durch $g(x)$.

Einfaches Beispiel

Berechne:

$\int 2x\cos (x^2)\mathrm{d}x$

Setze $u=x^2$. Dann ist $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$. Damit:

$\int \cos (u)\mathrm{d}u=\sin (u)+C$

Rücksubstitution:

$\sin (x^2)+C$

Bestimmte Integrale

Bei einem bestimmten Integral kannst Du die Grenzen sofort umrechnen. Für $u=g(x)$ werden aus $x=a$ und $x=b$ die neuen Grenzen $u=g(a)$ und $u=g(b)$.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$

Wenn Du mit neuen Grenzen rechnest, brauchst Du am Ende keine Rücksubstitution.

Lernvideo

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Substitution erkennen: Notiere, welcher Term im Video durch eine neue Variable ersetzt wird.
2. Differential bestimmen: Schreibe auf, wie das Differential der neuen Variable gebildet wird.
3. Integrationsgrenzen: Erkläre, warum die Grenzen nach der Substitution geändert werden.
4. Rechenweg prüfen: Halte das Video vor jedem Rechenschritt an und sage den nächsten Schritt voraus.
5. Ergebnis kontrollieren: Beschreibe, wie Du das Ergebnis durch Ableiten prüfen kannst.
6. Video-Zusammenfassung: Fasse die Methode des Videos in höchstens fünf Sätzen zusammen.

Weitere Erklärung

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Typische Fehler

1. Faktor: Die Ableitung der inneren Funktion fehlt.
2. Rücksubstitution: Bei unbestimmten Integralen bleibt versehentlich $u$ stehen.
3. Integrationsgrenze: Bei bestimmten Integralen werden alte und neue Grenzen vermischt.
4. Probe: Das Ergebnis wird nicht durch Ableiten geprüft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ziel der Substitution? (Ein kompliziertes Integral zu vereinfachen) (!Eine Funktion nur zu zeichnen) (!Eine Gleichung ohne Rechnung zu lösen) (!Jede Variable durch eine Zahl zu ersetzen)

Welche Regel ist eng mit der Substitutionsregel verbunden? (Kettenregel) (!Produktregel) (!Mitternachtsformel) (!Sinussatz)

Welche Substitution passt zu einem Term mit x hoch zwei im Kosinus? (u gleich x hoch zwei) (!u gleich Kosinus) (!u gleich zwei) (!u gleich null)

Was ist die Ableitung von u gleich x hoch zwei? (du gleich zwei x dx) (!du gleich x dx) (!du gleich zwei dx) (!du gleich x hoch zwei dx)

Was muss bei einem unbestimmten Integral am Ende geschehen? (Die neue Variable wird zurücksubstituiert) (!Die Grenzen werden immer verdoppelt) (!Die Konstante wird gelöscht) (!Das Integral wird nur geschätzt)

Was geschieht bei bestimmten Integralen mit den Grenzen? (Sie werden an die neue Variable angepasst) (!Sie werden immer vertauscht) (!Sie werden gestrichen) (!Sie bleiben stets unverändert)

Wie kann eine Stammfunktion kontrolliert werden? (Durch Ableiten) (!Durch Quadrieren) (!Durch Runden) (!Durch Spiegeln)

Was ist die Stammfunktion von Kosinus u? (Sinus u) (!Minus Sinus u) (!Kosinus u) (!Tangens u)

Wann ist Substitution besonders passend? (Wenn eine innere Funktion und ihre Ableitung vorkommen) (!Wenn nur eine Zahl vorkommt) (!Wenn kein Integralzeichen vorkommt) (!Wenn nur eine Gerade gezeichnet wird)

Welche Aussage zu neuen Grenzen ist richtig? (Sie werden mit der Substitutionsfunktion berechnet) (!Sie werden geraten) (!Sie sind immer null und eins) (!Sie werden aus der Ableitung abgelesen)

Memory

Substitution	Ersetzen eines Terms
Integrand	Ausdruck im Integral
Differential	Verbindung zwischen den Variablen
Rücksubstitution	Rückkehr zur Variablen x
Kettenregel	Grundlage der Methode
Stammfunktion	Ergebnis des unbestimmten Integrals

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Innere Funktion	passenden Term auswählen
Ableitung	Differential bilden
Umformung	Integral vollständig in u schreiben
Integration	Stammfunktion bestimmen
Rücksubstitution	u wieder durch den x-Term ersetzen

Kreuzworträtsel

Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Kettenregel	Welche Ableitungsregel wird bei der Substitution rückwärts genutzt?
Integrand	Wie heißt der Ausdruck innerhalb eines Integrals?
Stammfunktion	Wie heißt eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist?
Grenzen	Was muss bei bestimmten Integralen umgerechnet werden?
Differential	Welcher Begriff beschreibt zum Beispiel du gleich g Strich von x mal dx?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei der Integration durch Substitution wird ein komplizierter ersetzt. Häufig wählst Du die als neue Variable. Aus u gleich g von x folgt das du gleich g Strich von x mal dx. Danach wird das Integral vollständig in der neuen geschrieben. Bei einem unbestimmten Integral folgt am Ende die . Bei einem bestimmten Integral müssen die angepasst werden. Die Methode hängt eng mit der zusammen. Eine Probe gelingt durch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution, Differential und Rücksubstitution.
2. Video-Schrittfolge: Schreibe die Schritte aus dem Lernvideo in eigenen Worten auf.
3. Innere Funktion markieren: Markiere in fünf Integralen jeweils die vermutete innere Funktion.
4. Ableitungsprobe: Leite $\sin (x^2)$ ab und erkläre den Zusammenhang mit dem Beispiel.

Standard

1. Rechenweg: Berechne $\int 3x^2{e}^{x^3}\mathrm{d}x$ und begründe Deine Substitution.
2. Bestimmtes Integral: Berechne $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2x(1+x^2{)}^3\mathrm{d}x$ mit neuen Grenzen.
3. Fehlersuche: Erfinde einen typischen Fehler zur Substitution und erkläre die Korrektur.
4. Erklärbild: Zeichne ein eigenes Schaubild, das den Wechsel von x zu u zeigt.

Schwer

1. Herleitung: Leite die Substitutionsregel aus der Kettenregel her.
2. Methodenvergleich: Löse ein bestimmtes Integral einmal mit neuen Grenzen und einmal mit Rücksubstitution.
3. Aufgabenentwicklung: Erstelle ein Integral, das sich gut mit $u=2x+1$ lösen lässt, und gib eine Lösung an.
4. Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel, Probe und Hinweis auf typische Fehler.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Entscheide für drei verschiedene Integrale, ob Substitution sinnvoll ist, und begründe jede Entscheidung.
2. Fehleranalyse: Untersuche einen Rechenweg, in dem das Differential falsch gebildet wurde, und verbessere ihn.
3. Darstellungswechsel: Erkläre die Substitution mit Formel, Satz und eigenem Schaubild.
4. Transfer: Beschreibe, warum eine Änderung der Variablen bei einem bestimmten Integral auch neue Grenzen verlangt.
5. Aufgabe konstruieren: Erfinde zwei verschiedene Integrale mit derselben Substitution und vergleiche ihre Lösungen.
6. Methodenwahl: Vergleiche Substitution und Partielle Integration an passenden Beispielen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. eine passende Substitution auswählen,
2. das Differential korrekt bilden,
3. das Integral vollständig umformen,
4. eine Stammfunktion berechnen,
5. bei bestimmten Integralen die Grenzen ändern,
6. bei unbestimmten Integralen zurücksubstituieren,
7. das Ergebnis durch Ableiten prüfen,
8. Deinen Rechenweg verständlich begründen.

Links

Integration durch Substitution Integralrechnung Substitution (Mathematik) Kettenregel Stammfunktion Bestimmtes Integral Unbestimmtes Integral Differential (Mathematik) Partielle Integration