Grundlagen der Vektoren - Analytische Geometrie

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung. Er hat eine Richtung und eine Länge. Vektoren helfen Dir, Punkte, Wege und Bewegungen in der Ebene und im Raum zu beschreiben.

Dreidimensionales Koordinatensystem

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du einen Vektor lesen, zeichnen und berechnen. Du kannst Vektoren addieren, subtrahieren und mit einer Zahl multiplizieren. Außerdem kannst Du den Betrag bestimmen.

Grundwissen

Punkt und Ortsvektor

Ein Punkt im Raum kann zum Beispiel so heißen: $P(2|3|1)$. Der Ortsvektor führt vom Ursprung $O(0|0|0)$ zum Punkt:

$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Ortsvektor zu einem Punkt

Verbindungsvektor

Von $A(a_1|a_2|a_3)$ nach $B(b_1|b_2|b_3)$ gilt:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$

Merke: Endpunkt minus Startpunkt.

Vektor im dreidimensionalen Koordinatensystem

Vektoren addieren und subtrahieren

Du rechnest immer Koordinate für Koordinate.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$

Addition von Vektoren

Subtraktion von Vektoren

Vektor mit einer Zahl multiplizieren

Eine Zahl vor einem Vektor heißt Skalar. Sie verändert die Länge. Bei einer negativen Zahl dreht sich auch die Richtung um.

$2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right)$

Strecken und Umkehren eines Vektors

Betrag eines Vektors

Der Betrag ist die Länge des Vektors. Für $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ gilt:

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Beispiel: $\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\right|=5$.

Video: Grundlagen der Vektoren

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Notiere fünf wichtige Begriffe aus dem Video und erkläre jeden Begriff mit einem kurzen Satz.
2. Rechenweg: Pausiere bei einem Beispiel. Rechne es selbst und vergleiche anschließend Deinen Weg mit dem Video.
3. Darstellung: Zeichne einen Vektor aus dem Video in ein Koordinatensystem und beschrifte Startpunkt, Endpunkt und Richtung.
4. Merksatz: Formuliere einen eigenen Merksatz für die Berechnung eines Verbindungsvektors.
5. Fehler finden: Erfinde eine typische falsche Rechnung zu Vektoren und verbessere sie.
6. Zusammenfassung: Erkläre in höchstens 60 Sekunden, was ein Vektor ist.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt ein geometrischer Vektor? (Richtung und Länge einer Verschiebung) (!Nur einen festen Punkt) (!Nur eine Zahl) (!Nur eine Fläche)

Wie viele Koordinaten hat ein Vektor im dreidimensionalen Raum? (Drei) (!Eine) (!Zwei) (!Vier)

Wie berechnet man den Vektor von A nach B? (Endpunkt minus Startpunkt) (!Startpunkt minus Endpunkt) (!Beide Punkte addieren) (!Alle Koordinaten quadrieren)

Welchen Betrag hat ein Vektor mit den Koordinaten drei und vier? (Fünf) (!Sieben) (!Zwölf) (!Eins)

Was ist der Nullvektor? (Ein Vektor mit nur null als Koordinaten) (!Ein Vektor mit Betrag eins) (!Ein Vektor ohne Richtung im Bild) (!Ein besonders langer Vektor)

Wie werden zwei Vektoren addiert? (Die passenden Koordinaten werden addiert) (!Nur die ersten Koordinaten werden addiert) (!Die Beträge werden immer multipliziert) (!Die Pfeile werden gelöscht)

Was bewirkt die Multiplikation eines Vektors mit zwei? (Die Länge wird verdoppelt und die Richtung bleibt gleich) (!Die Länge wird halbiert) (!Die Richtung wird immer umgekehrt) (!Der Vektor wird zum Nullvektor)

Was ist der Gegenvektor zu einem Vektor? (Ein gleich langer Vektor mit entgegengesetzter Richtung) (!Ein doppelt so langer Vektor) (!Ein Vektor mit denselben Koordinaten) (!Ein Vektor mit Betrag null)

Wo beginnt ein Ortsvektor? (Im Ursprung) (!Am Endpunkt einer Geraden) (!Immer auf der x-Achse) (!Immer im Punkt eins)

Wann sind zwei Vektoren kollinear? (Wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist) (!Wenn ihre Beträge zusammen eins ergeben) (!Wenn beide nur positive Koordinaten haben) (!Wenn sie verschieden viele Koordinaten haben)

Memory

Vektor	Pfeil mit Richtung und Länge
Betrag	gemessene Länge
Ortsvektor	Weg vom Ursprung zu einem Punkt
Nullvektor	nur Koordinaten mit dem Wert null
Gegenvektor	gleiche Länge in umgekehrter Richtung
Skalar	Zahl zum Strecken oder Stauchen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Ortsvektor	führt vom Ursprung zu einem Punkt
Verbindungsvektor	führt von einem Punkt zu einem anderen Punkt
Betrag	misst die Länge
Addition	verbindet Verschiebungen
Skalarmultiplikation	multipliziert jede Koordinate mit derselben Zahl

Kreuzworträtsel

Vektor	Wie heißt ein mathematischer Pfeil mit Richtung und Länge?
Betrag	Wie heißt die Länge eines Vektors?
Ursprung	Wo beginnt ein Ortsvektor?
Skalar	Wie heißt eine Zahl, mit der ein Vektor multipliziert wird?
Addition	Welche Rechenart verbindet zwei Verschiebungen?
Nullvektor	Wie heißt ein Vektor, dessen Koordinaten alle null sind?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Vektor besitzt eine und eine Länge. Der Vektor vom Ursprung zu einem Punkt heißt . Einen Verbindungsvektor berechnest Du mit Endpunkt Startpunkt. Bei der Addition rechnest Du passende zusammen. Eine Zahl vor einem Vektor heißt . Der gibt die Länge an. Ein Vektor mit nur Nullen heißt . Ein negativer Faktor kann die umkehren.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vektorpfeil: Zeichne drei verschiedene Vektoren in ein Koordinatensystem und notiere ihre Koordinaten.
2. Koordinaten lesen: Markiere zwei Punkte und bestimme den Vektor vom ersten zum zweiten Punkt.
3. Video-Wortliste: Sammle zehn Wörter aus dem Video und ordne sie in wichtige und noch unklare Begriffe.
4. Vektoren im Alltag: Fotografiere oder skizziere drei Situationen, in denen Richtung und Länge wichtig sind.

Standard

1. Rechenplakat: Gestalte ein Plakat mit je einem Beispiel für Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation.
2. Partnererklärung: Erkläre einer anderen Person den Unterschied zwischen Punkt und Vektor.
3. GeoGebra: Stelle zwei Vektoren digital dar und prüfe ihre Summe zeichnerisch.
4. Fehleranalyse: Korrigiere drei selbst erfundene Fehler bei der Berechnung von Verbindungsvektoren.

Schwer

1. Drohnenflug: Modelliere einen Flug aus drei Teilstrecken mit Vektoren und bestimme die Gesamtverschiebung.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo zum Betrag eines Vektors.
3. Begründung: Erkläre mit Rechnung und Zeichnung, warum ein Vektor und sein Gegenvektor zusammen den Nullvektor ergeben.
4. Forschungsaufgabe: Untersuche, wann zwei Vektoren kollinear sind, und entwickle ein eigenes Prüfverfahren.

Lernkontrolle

1. Wegplanung: Eine Person geht mehrere Teilwege. Stelle jeden Teilweg als Vektor dar, berechne die Gesamtverschiebung und erkläre den Unterschied zwischen Weglänge und Verschiebung.
2. Rückweg: Entwickle zu einer gegebenen Route einen Rückweg zum Startpunkt. Begründe mit Vektoren, warum Dein Rückweg funktioniert.
3. Darstellungswechsel: Übersetze eine Zeichnung in Koordinaten und eine Koordinatenrechnung wieder in eine Zeichnung. Erkläre, welche Darstellung Dir mehr hilft.
4. Fehlerdiagnose: Vergleiche zwei verschiedene Rechenwege zu derselben Aufgabe. Finde den Fehler und begründe die richtige Lösung.
5. Transfer: Beschreibe eine Bewegung aus Sport, Physik oder Technik mit Vektoren. Erkläre, welche Informationen das Modell zeigt und welche es nicht zeigt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. einen Punkt und einen Vektor unterscheiden,
2. Ortsvektoren und Verbindungsvektoren bestimmen,
3. Vektoren addieren, subtrahieren und skalieren,
4. den Betrag eines Vektors berechnen,
5. Rechnungen mit Zeichnungen erklären,
6. Ergebnisse auf eine reale Situation übertragen.

Links

Grundlagen der Vektoren - Analytische Geometrie Vektor Ortsvektor Betrag eines Vektors Vektoraddition Skalarmultiplikation Kartesisches Koordinatensystem Analytische Geometrie Geradengleichung