Gleichsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Gleichsetzungsverfahren - Lineare Gleichungssysteme

Fach: Mathematik Klassen: Klasse 8 bis Klasse 11

Einleitung

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen. Gesucht sind Werte für die Variablen $x$ und $y$, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Terme gleichgesetzt.

Die fünf Schritte

1. Umstellen: Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen um, zum Beispiel nach $y$.
2. Gleichsetzen: Setze die beiden Terme für $y$ gleich.
3. Lösen: Berechne die erste Variable.
4. Einsetzen: Setze den Wert in eine Ausgangsgleichung ein und berechne die zweite Variable.
5. Prüfen: Mache die Probe, indem Du beide Werte in beide Gleichungen einsetzt.

Datei:Gleichungswaage.PNG

Einfaches Beispiel

Gegeben ist:

$\mathrm{I}:y=2x+1$

$\mathrm{I}\mathrm{I}:y=-x+7$

Beide Gleichungen sind schon nach $y$ aufgelöst. Deshalb kannst Du sofort gleichsetzen:

$2x+1=-x+7$

$3x=6$

$x=2$

Nun setzt Du $x=2$ ein:

$y=2\cdot 2+1=5$

Die Lösung ist $L=\{(2|5)\}$.

Warum funktioniert das?

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Am Schnittpunkt haben beide Geraden denselben $x$-Wert und denselben $y$-Wert. Deshalb dürfen die beiden Terme für $y$ gleichgesetzt werden.

Anzahl der Lösungen

Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich einmal.

Keine Lösung: Die Geraden sind parallel.

Unendlich viele Lösungen: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

Video: Gleichsetzungsverfahren

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Halte das Video an, wenn gerechnet wird, und rechne selbst weiter.

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Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die Rechenschritte des Videos in eigenen Worten auf.
2. Stopp-Aufgabe: Halte vor der Lösung des Beispiels an und rechne selbst weiter.
3. Gleichsetzen: Notiere, welche beiden Terme im Video gleichgesetzt werden und warum.
4. Fehlerkontrolle: Suche eine Stelle, an der ein Vorzeichenfehler leicht passieren kann.
5. Probe: Prüfe die Lösung des Video-Beispiels in beiden Ausgangsgleichungen.

Zweites Erklärvideo

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Vergleiche beide Videos: Welches erklärt Dir die fünf Schritte verständlicher?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ziel eines linearen Gleichungssystems? (Werte finden, die alle Gleichungen erfüllen) (!Nur eine Gleichung abschreiben) (!Eine Gerade auswendig lernen) (!Alle Variablen löschen)

Wann ist das Gleichsetzungsverfahren besonders praktisch? (Wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind) (!Wenn keine Variable vorkommt) (!Wenn nur eine Gleichung gegeben ist) (!Wenn ausschließlich Kreise gezeichnet werden)

Was geschieht beim Gleichsetzen? (Die beiden Terme derselben Variablen werden gleichgesetzt) (!Beide Gleichungen werden gelöscht) (!Alle Zahlen werden addiert) (!Die Variablen werden umbenannt)

Welche Gleichung entsteht aus y gleich 2x plus 1 und y gleich minus x plus 7? (2x plus 1 gleich minus x plus 7) (!2x plus 1 gleich y) (!2x plus 7 gleich minus x plus 1) (!2x minus 1 gleich x plus 7)

Welche Lösung hat das Beispiel y gleich 2x plus 1 und y gleich minus x plus 7? (x gleich 2 und y gleich 5) (!x gleich 5 und y gleich 2) (!x gleich 1 und y gleich 3) (!x gleich 0 und y gleich 7)

Was machst Du nach der Berechnung von x? (Du setzt x in eine Gleichung ein und berechnest y) (!Du beendest die Rechnung sofort) (!Du tauschst die Gleichungszeichen) (!Du zeichnest einen Kreis)

Was bedeutet die Lösung grafisch? (Sie ist der Schnittpunkt der beiden Geraden) (!Sie ist der Ursprung jeder Geraden) (!Sie ist immer der y-Achsenabschnitt) (!Sie ist eine beliebige Zahl)

Wie viele Lösungen haben zwei verschiedene parallele Geraden? (Keine Lösung) (!Genau eine Lösung) (!Genau zwei Lösungen) (!Unendlich viele Lösungen)

Wie viele Lösungen haben zwei deckungsgleiche Geraden? (Unendlich viele Lösungen) (!Keine Lösung) (!Genau eine Lösung) (!Genau drei Lösungen)

Wozu dient die Probe? (Sie prüft die Lösung in beiden Ausgangsgleichungen) (!Sie verändert die Lösung) (!Sie ersetzt das Gleichsetzen) (!Sie macht aus Geraden Kreise)

Memory

Gleichsetzungsverfahren	Terme derselben Variablen gleichsetzen
Schnittpunkt	gemeinsame Lösung
Probe	Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen
Parallel	keine gemeinsame Lösung
Deckungsgleich	unendlich viele Lösungen
Lösungspaar	Werte für x und y

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Arbeitsschritt
Nach derselben Variablen umstellen	Vorbereitung
Terme gleichsetzen	Gleichsetzen
Erste Variable berechnen	Lösen
Wert einsetzen	Rückrechnung
Beide Gleichungen prüfen	Kontrolle

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt ein Platzhalter wie x oder y?
Schnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier Geraden?
Gleichsetzen	Wie heißt der zentrale Schritt des Verfahrens?
Einsetzen	Wie bestimmst Du nach x den Wert von y?
Parallel	Wie liegen Geraden ohne gemeinsamen Punkt?
Probe	Wie heißt die Kontrolle der berechneten Lösung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Gleichungssystem enthält mehrere lineare . Beim Gleichsetzungsverfahren stellst Du beide Gleichungen nach derselben um. Danach setzt Du die beiden gleich. So entsteht eine Gleichung mit nur einer . Den berechneten Wert setzt Du in eine Ausgangsgleichung . Der gemeinsame Punkt der Geraden heißt . Mit der Probe kontrollierst Du die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Merkzettel: Gestalte eine Karte mit den fünf Schritten des Gleichsetzungsverfahrens.
2. Video-Notizen: Fasse das angegebene Video in fünf kurzen Sätzen zusammen.
3. Beispielrechnung: Löse $y=x+3$ und $y=-x+7$.
4. Bildbeschreibung: Erkläre mit eigenen Worten, was ein Schnittpunkt bedeutet.

Standard

1. Erklärvideo: Erstelle ein einminütiges Video zu einem selbst gewählten Gleichungssystem.
2. Sachaufgabe: Erfinde eine Alltagssituation, die zu zwei linearen Gleichungen führt.
3. Fehleranalyse: Baue bewusst einen Vorzeichenfehler in eine Rechnung ein und erkläre die Korrektur.
4. Methodenvergleich: Löse dasselbe System mit Gleichsetzungs- und Additionsverfahren.

Schwer

1. Parameteraufgabe: Untersuche, für welche Werte von $a$ die Geraden $y=ax+2$ und $y=2x-1$ parallel sind.
2. Begründung: Erkläre mathematisch, warum das Gleichsetzen am Schnittpunkt erlaubt ist.
3. Lernstation: Entwickle eine Station mit Beispiel, Tippkarte, Lösung und Probe.
4. Digitale Darstellung: Zeichne ein eigenes Gleichungssystem mit einer dynamischen Geometriesoftware und deute den Schnittpunkt.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Entscheide bei drei Gleichungssystemen, ob das Gleichsetzungsverfahren günstig ist, und begründe Deine Wahl.
2. Fehler finden: Prüfe eine vorgegebene falsche Lösung, finde den ersten Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Grafik und Rechnung: Zeichne zwei Geraden, schätze den Schnittpunkt und überprüfe ihn rechnerisch.
4. Modellieren: Übersetze eine Preisaufgabe in zwei Gleichungen, löse sie und deute beide Variablen.
5. Sonderfälle: Erstelle je ein Gleichungssystem mit keiner, genau einer und unendlich vielen Lösungen und erkläre die Unterschiede.
6. Transfer: Vergleiche Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren an einem Beispiel und nenne Vor- und Nachteile.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. ein lineares Gleichungssystem sicher nach derselben Variablen umstellen,
2. die passenden Terme korrekt gleichsetzen,
3. beide Variablen berechnen,
4. die Lösung als Lösungspaar angeben,
5. eine Probe durchführen,
6. die Lösung grafisch als Schnittpunkt deuten,
7. die Fälle keine, eine oder unendlich viele Lösungen unterscheiden,
8. Deinen Rechenweg verständlich erklären.

Links

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