Extrempunkte - Hochpunkte und Tiefpunkte

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Extrempunkte - Hochpunkte und Tiefpunkte

Einleitung

Ein Extrempunkt ist ein besonders hoher oder besonders tiefer Punkt eines Funktionsgraphen. Ein hoher Punkt heißt Hochpunkt, ein tiefer Punkt heißt Tiefpunkt. Extrempunkte sind wichtig in der Kurvendiskussion und bei Optimierungsaufgaben.

Du lernst hier:

1. Extrempunkte am Graphen zu erkennen.
2. Ableitungen zum Berechnen zu nutzen.
3. Hochpunkte und Tiefpunkte zu unterscheiden.
4. Ergebnisse als Punkt $E(x_E|y_E)$ anzugeben.

Grundbegriffe

Extremstelle: die x-Koordinate $x_E$.

Extremwert: der Funktionswert $f(x_E)$.

Extrempunkt: der ganze Punkt $E(x_E|f(x_E))$.

Hochpunkt und Tiefpunkt

Bei einem Hochpunkt ist der Funktionswert in der Nähe besonders groß. Bei einem Tiefpunkt ist er in der Nähe besonders klein.

Extrempunkte berechnen

Für eine zweimal ableitbare Funktion gehst Du meist in vier Schritten vor:

1. Erste Ableitung bilden: Berechne $f^{\prime }(x)$.
2. Kandidaten finden: Löse $f^{\prime }(x)=0$.
3. Art prüfen: Bei $f^{″}(x_E)<0$ liegt ein Hochpunkt vor. Bei $f^{″}(x_E)>0$ liegt ein Tiefpunkt vor.
4. y-Koordinate berechnen: Setze $x_E$ in $f(x)$ ein.

Wichtig: $f^{\prime }(x_E)=0$ allein beweist noch keinen Extrempunkt. Auch ein Sattelpunkt kann eine waagerechte Tangente haben.

Beispiel

Gegeben ist $f(x)=x^3-3x$.

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$ und $f^{″}(x)=6x$.

Aus $f^{\prime }(x)=0$ folgt $x=-1$ oder $x=1$.

Bei $x=-1$ gilt $f^{″}(-1)=-6$. Also liegt der Hochpunkt $H(-1|2)$ vor.

Bei $x=1$ gilt $f^{″}(1)=6$. Also liegt der Tiefpunkt $T(1|-2)$ vor.

Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung

Auch der Wechsel des Vorzeichens von $f^{\prime }(x)$ hilft:

1. Von plus zu minus: Hochpunkt.
2. Von minus zu plus: Tiefpunkt.
3. Kein Wechsel: meist kein Extrempunkt.

Video und Aufgaben

Sieh Dir das Video an. Bearbeite danach die Aufgaben.

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Aufgaben zum Video

1. Rechenschritte: Notiere die Schritte zur Berechnung eines Extrempunkts in der richtigen Reihenfolge.
2. Ableitung: Schreibe auf, welche Gleichung im Video gelöst wird, um mögliche Extremstellen zu finden.
3. Hochpunkt und Tiefpunkt: Erkläre mit einem Satz, wie die zweite Ableitung zur Unterscheidung genutzt wird.
4. Beispielrechnung: Rechne ein Beispiel aus dem Video ohne Hilfe noch einmal.
5. Fehlerkontrolle: Nenne einen Rechenfehler, der bei Extrempunkten leicht passieren kann.
6. Merksatz: Formuliere einen kurzen Merksatz für Hochpunkt und Tiefpunkt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein Extrempunkt? (Ein besonders hoher oder tiefer Punkt eines Funktionsgraphen) (!Eine Nullstelle jeder Funktion) (!Ein Punkt auf der y-Achse) (!Ein Punkt mit der Steigung eins)

Welche Gleichung liefert mögliche Extremstellen? (Die erste Ableitung ist null) (!Die Funktion ist null) (!Die zweite Ableitung ist null) (!Die erste Ableitung ist eins)

Was zeigt eine negative zweite Ableitung an der Extremstelle an? (Einen Hochpunkt) (!Einen Tiefpunkt) (!Eine Nullstelle) (!Einen Schnittpunkt mit der y-Achse)

Was zeigt eine positive zweite Ableitung an der Extremstelle an? (Einen Tiefpunkt) (!Einen Hochpunkt) (!Einen Sattelpunkt) (!Eine Polstelle)

Wie erhältst Du die y-Koordinate eines Extrempunkts? (Durch Einsetzen der Extremstelle in die Funktion) (!Durch Einsetzen der Extremstelle in die erste Ableitung) (!Durch Nullsetzen der zweiten Ableitung) (!Durch Ablesen der Steigung)

Was ist die Extremstelle? (Die x-Koordinate des Extrempunkts) (!Die y-Koordinate des Extrempunkts) (!Die Steigung der Tangente) (!Die zweite Ableitung)

Was ist der Extremwert? (Der Funktionswert an der Extremstelle) (!Die Nullstelle der Ableitung) (!Die x-Koordinate des Hochpunkts) (!Die Steigung neben dem Punkt)

Welcher Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gehört zu einem Hochpunkt? (Von plus zu minus) (!Von minus zu plus) (!Von null zu plus) (!Kein Vorzeichenwechsel)

Welcher Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gehört zu einem Tiefpunkt? (Von minus zu plus) (!Von plus zu minus) (!Von null zu minus) (!Kein Vorzeichenwechsel)

Warum reicht eine waagerechte Tangente allein nicht aus? (Weil auch ein Sattelpunkt eine waagerechte Tangente haben kann) (!Weil jede Nullstelle ein Hochpunkt ist) (!Weil die Funktion dann nicht definiert ist) (!Weil die zweite Ableitung immer null ist)

Memory

Hochpunkt	lokales Maximum
Tiefpunkt	lokales Minimum
Extremstelle	x-Koordinate
Extremwert	y-Koordinate
Notwendige Bedingung	erste Ableitung gleich null
Zweite Ableitung	Art des Extremums

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Erste Ableitung bilden	Steigung untersuchen
Erste Ableitung nullsetzen	mögliche Extremstellen finden
Zweite Ableitung einsetzen	Hochpunkt oder Tiefpunkt prüfen
Extremstelle einsetzen	Extremwert berechnen
Koordinaten angeben	Extrempunkt vollständig notieren

Kreuzworträtsel

Ableitung	Welche Funktion beschreibt die Steigung?
Hochpunkt	Wie heißt ein lokales Maximum als Punkt?
Tiefpunkt	Wie heißt ein lokales Minimum als Punkt?
Extremstelle	Wie heißt die x-Koordinate eines Extrempunkts?
Sattelpunkt	Welcher Punkt kann trotz waagerechter Tangente kein Extrempunkt sein?
Nullstelle	Was sucht man bei der ersten Ableitung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein besonders hoher oder tiefer Punkt heißt . Die x-Koordinate heißt . Der zugehörige Funktionswert heißt . Für mögliche Extremstellen setzt man die erste Ableitung gleich . Ist die zweite Ableitung negativ, liegt ein vor. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein vor. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen in die ursprüngliche . Eine Stelle mit waagerechter Tangente kann auch ein sein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graph lesen: Markiere in einem gegebenen Graphen alle Hochpunkte und Tiefpunkte.
2. Begriffe erklären: Erkläre Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt mit eigenen Worten.
3. Skizze: Zeichne einen Graphen mit einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt.
4. Video-Merkkarte: Gestalte aus dem Video eine kleine Merkkarte mit vier Rechenschritten.

Standard

1. Berechnung: Bestimme die Extrempunkte von $f(x)=x^3-3x$.
2. Parabel: Bestimme den Tiefpunkt von $f(x)=x^2-4x+1$.
3. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „Aus $f^{\prime }(x)=0$ folgt immer ein Extrempunkt“ und begründe.
4. Erklärvideo: Nimm ein kurzes Erklärvideo zur zweiten Ableitung auf.

Schwer

1. Parameter: Untersuche $f_a(x)=x^3-3ax$ für $a>0$ auf Extrempunkte.
2. Optimierung: Entwickle eine Sachaufgabe, in der eine Fläche maximiert wird, und löse sie.
3. Vergleich: Vergleiche die Prüfung mit der zweiten Ableitung und den Vorzeichenwechsel von $f^{\prime }$.
4. Digitales Werkzeug: Kontrolliere eine eigene Rechnung mit einem Computer-Algebra-System und bewerte das Ergebnis.

Lernkontrolle

1. Transfer auf einen Graphen: Ein Graph steigt, fällt und steigt wieder. Erkläre, wo ein Tiefpunkt liegen muss und wie sich das Vorzeichen von $f^{\prime }$ ändert.
2. Begründung: Zeige am Beispiel $f(x)=x^3$, warum $f^{\prime }(0)=0$ nicht für einen Extrempunkt reicht.
3. Modellierung: Die Höhe eines Balls wird durch eine Funktion beschrieben. Erkläre, welche Bedeutung ein Hochpunkt in diesem Modell hat.
4. Methodenwahl: Entscheide bei einer gegebenen Funktion, ob die zweite Ableitung oder ein Vorzeichenwechseltest geeigneter ist, und begründe.
5. Fehlerkorrektur: Jemand berechnet nur die Extremstellen. Ergänze die fehlenden Schritte, damit vollständige Extrempunkte entstehen.
6. Vergleich lokaler Werte: Erkläre den Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Maximum an einem selbst gezeichneten Beispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. Begriffe sicher unterscheiden.
2. erste und zweite Ableitung korrekt bilden.
3. Extremstellen berechnen und prüfen.
4. Punktkoordinaten vollständig angeben.
5. Rechenweg verständlich begründen.
6. Anwendung auf eine neue Funktion oder Sachaufgabe übertragen.

Links

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