Erwartungswert - Stochastik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Erwartungswert - Stochastik

Fach: Mathematik Klassenstufe: 9–13 Thema: Erwartungswert, Stochastik, Zufallsgröße

Einleitung

Der Erwartungswert beschreibt den durchschnittlichen Wert, den Du bei sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kannst. Er ist ein gewichteter Mittelwert. Große Wahrscheinlichkeiten zählen stärker als kleine.

Grundidee

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Diese möglichen Zahlen heißen Ausprägungen. Für den Erwartungswert multiplizierst Du jede Ausprägung mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Danach addierst Du alle Produkte.

$E(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\dots +x_n\cdot p_n$

Dabei gilt:

$p_1+p_2+\dots +p_n=1$

Beispiel mit einem Würfel

Bei einem fairen Würfel sind die Zahlen 1 bis 6 gleich wahrscheinlich.

$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\mathrm{3,5}$

Die Zahl 3,5 kann bei einem einzelnen Wurf nicht fallen. Sie beschreibt den langfristigen Durchschnitt.

Erwartungswert bei Spielen

Bei einem Glücksspiel ist die Zufallsgröße oft der Gewinn oder Verlust. Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Nettogewinn 0 ist.

$E(Gewinn)=E(Auszahlung)-Einsatz$

Ist der Erwartungswert negativ, verlierst Du langfristig im Durchschnitt Geld. Ist er positiv, gewinnst Du langfristig im Durchschnitt Geld.

Video: Erwartungswert

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Aufgaben zum Video

1. Videoauftrag – Grundidee: Erkläre nach dem Video in einem Satz, was der Erwartungswert bedeutet.
2. Videoauftrag – Rechenweg: Notiere die Rechenschritte aus dem Video in der richtigen Reihenfolge.
3. Videoauftrag – Fachbegriffe: Schreibe die Begriffe Zufallsgröße, Ausprägung, Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert auf und erkläre sie kurz.
4. Videoauftrag – Beispiel: Rechne das Beispiel aus dem Video selbst nach.
5. Videoauftrag – Fehlercheck: Nenne einen typischen Fehler beim Berechnen des Erwartungswerts.
6. Videoauftrag – Transfer: Erfinde ein ähnliches Zufallsexperiment und berechne seinen Erwartungswert.

Weitere Erklärvideos

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Verteilungen sehen

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Beim wiederholten Münzwurf entstehen mehrere mögliche Anzahlen von Kopf.

Das Galtonbrett zeigt anschaulich, wie viele zufällige Entscheidungen zusammen eine typische Verteilung bilden können.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Erwartungswert? (Den langfristigen Durchschnitt einer Zufallsgröße) (!Das sicherste Einzelergebnis) (!Die größte mögliche Zahl) (!Die Anzahl aller Versuche)

Wie wird ein Erwartungswert berechnet? (Ausprägungen mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und addieren) (!Alle Ausprägungen nur addieren) (!Die größte Ausprägung durch zwei teilen) (!Alle Wahrscheinlichkeiten voneinander abziehen)

Wie groß ist der Erwartungswert eines fairen sechsseitigen Würfels? (3,5) (!3) (!6) (!21)

Was gilt für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? (Sie ist gleich 1) (!Sie ist gleich 0) (!Sie ist immer größer als 2) (!Sie ist gleich der größten Ausprägung)

Was bedeutet ein erwarteter Nettogewinn von 0? (Das Spiel ist fair) (!Das Spiel ist immer kostenlos) (!Man gewinnt jeden Versuch) (!Man verliert jeden Versuch)

Eine Zufallsgröße nimmt den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit 0,8 und den Wert 10 mit Wahrscheinlichkeit 0,2 an. Wie groß ist der Erwartungswert? (2) (!5) (!8) (!10)

Ein Spiel kostet 2 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit 0,4 erhältst Du 5 Euro, sonst nichts. Wie groß ist der erwartete Nettogewinn? (0 Euro) (!2 Euro) (!3 Euro) (!5 Euro)

Kann ein Erwartungswert ein Wert sein, der bei einem einzelnen Versuch nie auftritt? (Ja) (!Nein) (!Nur bei Münzwürfen) (!Nur bei sicheren Ereignissen)

Welche Art von Mittelwert ist der Erwartungswert? (Ein gewichteter Mittelwert) (!Ein geometrischer Mittelwert) (!Ein ungewichteter Höchstwert) (!Ein zufälliger Einzelwert)

Was passiert mit dem Erwartungswert, wenn alle Ausprägungen verdoppelt werden? (Er verdoppelt sich) (!Er halbiert sich) (!Er bleibt immer gleich) (!Er wird automatisch null)

Memory

Erwartungswert	langfristiger Mittelwert
Zufallsgröße	ordnet Ergebnissen Zahlen zu
Ausprägung	möglicher Wert
Wahrscheinlichkeit	Chance eines Werts
Faires Spiel	erwarteter Nettogewinn null
Einsatz	Kosten der Teilnahme

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Ausprägung	möglicher Wert
Wahrscheinlichkeit	Chance einer Ausprägung
Produkt	gewichteter Beitrag
Summe	Erwartungswert
Fairness	erwarteter Nettogewinn null

Kreuzworträtsel

Mittelwert	Wie heißt die langfristig erwartete Durchschnittszahl?
Gewinn	Welche Größe wird bei einem Glücksspiel oft untersucht?
Einsatz	Was zahlst Du vor der Teilnahme an einem Spiel?
Wuerfel	Welcher Zufallsgegenstand zeigt Zahlen von eins bis sechs?
Chance	Welches Alltagswort passt zur Wahrscheinlichkeit?
Fairness	Welche Eigenschaft hat ein Spiel mit erwartetem Nettogewinn null?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Erwartungswert ist ein gewichteter . Eine Zufallsgröße ordnet Ergebnissen zu. Jede Ausprägung wird mit ihrer multipliziert. Danach werden alle Produkte . Beim fairen Würfel ist der Erwartungswert . Ein Spiel mit erwartetem Nettogewinn null heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Münzwurf: Wirf eine Münze 20-mal und vergleiche das Ergebnis mit dem erwarteten Wert.
2. Würfeltabelle: Erstelle eine Tabelle für einen fairen Würfel und berechne den Erwartungswert.
3. Video-Lernkarte: Gestalte eine Lernkarte mit Formel und Beispiel aus dem Video.
4. Erwartungswert erklären: Erkläre den Begriff mit höchstens drei einfachen Sätzen.

Standard

1. Glücksrad: Entwirf ein Glücksrad mit vier Feldern und berechne den Erwartungswert.
2. Spielvergleich: Vergleiche zwei Spiele und entscheide, welches langfristig günstiger ist.
3. Simulation: Simuliere mindestens 100 Würfe mit einer Tabelle oder einem digitalen Werkzeug.
4. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat mit Ausprägungen, Wahrscheinlichkeiten und Rechnung.

Schwer

1. Faires Spiel entwickeln: Erfinde ein Spiel mit mindestens drei Ausprägungen und Erwartungswert 0.
2. Regeländerung: Verändere bei einem Spiel den Einsatz und untersuche die Wirkung auf den Erwartungswert.
3. Risiko und Erwartungswert: Vergleiche zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlich hohen Gewinnen und Verlusten.
4. Werbung prüfen: Untersuche eine Gewinnspielwerbung und bewerte sie mithilfe des Erwartungswerts.

Lernkontrolle

1. Spielentscheidung: Zwei Spiele haben unterschiedliche Einsätze und Gewinne. Berechne beide Erwartungswerte und begründe Deine Wahl.
2. Erwartungswert und Einzelergebnis: Erkläre, warum der Wert 3,5 beim Würfel sinnvoll ist, obwohl er nie gewürfelt wird.
3. Veränderte Wahrscheinlichkeit: Untersuche, wie sich der Erwartungswert ändert, wenn ein Hauptgewinn seltener wird.
4. Gleicher Erwartungswert: Entwickle zwei verschiedene Zufallsgrößen mit demselben Erwartungswert und vergleiche ihr Risiko.
5. Fehleranalyse: Eine Person addiert nur die möglichen Gewinne. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
6. Transfer: Begründe, warum ein positiver Erwartungswert keinen sicheren Gewinn bei einem einzelnen Spiel garantiert.

Lernnachweis

1. den Erwartungswert in eigenen Worten erklären,
2. eine Zufallsgröße mit Ausprägungen und Wahrscheinlichkeiten angeben,
3. eine vollständige Erwartungswertrechnung durchführen,
4. ein faires Spiel erkennen oder entwickeln,
5. Erwartungswert und Einzelergebnis unterscheiden,
6. eine Entscheidung mithilfe des Erwartungswerts begründen.

Links

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