Definitionsbereich - Funktionen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Der Definitionsbereich einer Funktion enthält alle Werte, die Du für $x$ einsetzen darfst. Er heißt auch Definitionsmenge und wird oft mit $D$ bezeichnet.

Datei:Simple carthesian coordinate system.svg

Am Funktionsgraph erkennst Du den Definitionsbereich an allen $x$-Stellen, an denen der Graph Punkte besitzt.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

1. Definitionsbereich und Wertebereich unterscheiden.
2. verbotene $x$-Werte erkennen.
3. den maximalen reellen Definitionsbereich einfacher Funktionen angeben.
4. Deine Lösung mit Term und Graph begründen.

Grundregeln

Funktionen ohne Einschränkung

Bei Polynomfunktionen darfst Du jede reelle Zahl einsetzen. Das gilt zum Beispiel für lineare und quadratische Funktionen.

$f(x)=2x-3\Rightarrow D=ℝ$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

$g(x)=x^2\Rightarrow D=ℝ$

Datei:Function x^2.svg

Bruchfunktionen

Bei einer Bruchfunktion darf der Nenner niemals null sein.

$f(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow D=ℝ\setminus \{0\}$

Datei:Rectangular hyperbola.svg

Beispiel:

$g(x)=\frac{2}{x-3}$

Der Nenner wird bei $x=3$ null. Deshalb gilt:

$D=ℝ\setminus \{3\}$

Wurzelfunktionen

Bei einer Quadratwurzel darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein.

$f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow x\ge 0$

$D=[0;\mathrm{\infty })$

Datei:Square-root function.svg

Beispiel:

$g(x)=\sqrt{x-4}$

Es muss $x-4\ge 0$ gelten. Also ist $x\ge 4$ und damit:

$D=[4;\mathrm{\infty })$

Bei einer Kubikwurzel sind auch negative Zahlen erlaubt.

Logarithmusfunktionen

Bei einem Logarithmus muss das Argument positiv sein.

$f(x)=\ln (x)\Rightarrow x>0$

$D=(0;\mathrm{\infty })$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Merksatz

Prüfe zuerst, welche Rechenoperationen im Funktionsterm vorkommen.

1. Polynomfunktion: meist $D=ℝ$
2. Bruchfunktion: Nenner darf nicht null sein.
3. Wurzelfunktion mit gerader Wurzel: Radikand muss mindestens null sein.
4. Logarithmusfunktion: Argument muss größer als null sein.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Vorwissen aktivieren: Schreibe vor dem Start in einem Satz auf, was Du unter einem Definitionsbereich verstehst.
2. Begriffe sammeln: Notiere beim Anschauen die Wörter Definitionsbereich, Funktionsterm und ausgeschlossener Wert.
3. Video stoppen: Halte bei jedem Beispiel an und bestimme zuerst selbst den Definitionsbereich.
4. Lösungsweg prüfen: Vergleiche Deinen Rechenweg mit der Erklärung im Video.
5. Fehler finden: Formuliere einen typischen Fehler, den man beim Definitionsbereich machen kann.
6. Video-Zusammenfassung: Erkläre die wichtigste Regel des Videos in höchstens drei Sätzen.

Beispiele

Funktion	Bedingung	Definitionsbereich
$f(x)=5x+1$	keine Einschränkung	$ℝ$
$g(x)=\frac{1}{x+2}$	$x\ne -2$	$ℝ\setminus \{-2\}$
$h(x)=\sqrt{x+3}$	$x\ge -3$	$[-3;\mathrm{\infty })$
$k(x)=\ln (x-1)$	$x>1$	$(1;\mathrm{\infty })$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Definitionsbereich einer Funktion? (Alle erlaubten Eingabewerte) (!Alle möglichen Ausgabewerte) (!Alle Nullstellen) (!Alle Steigungen)

Welchen Definitionsbereich hat f von x gleich x hoch zwei? (Alle reellen Zahlen) (!Nur positive Zahlen) (!Alle Zahlen außer null) (!Nur ganze Zahlen)

Was muss bei einer Bruchfunktion geprüft werden? (Der Nenner darf nicht null sein) (!Der Zähler muss positiv sein) (!Der Bruch muss kleiner als eins sein) (!Die Variable darf nicht negativ sein)

Welcher Wert ist bei f von x gleich eins durch x ausgeschlossen? (Null) (!Eins) (!Minus eins) (!Zwei)

Welche Bedingung gilt für eine Quadratwurzel? (Der Radikand ist mindestens null) (!Der Radikand ist kleiner als null) (!Der Radikand ist immer eins) (!Der Radikand ist ungerade)

Welchen Definitionsbereich hat f von x gleich Wurzel aus x? (Alle reellen Zahlen ab null) (!Alle negativen reellen Zahlen) (!Alle reellen Zahlen außer null) (!Nur natürliche Zahlen)

Welche Bedingung gilt für den natürlichen Logarithmus? (Das Argument ist größer als null) (!Das Argument ist kleiner als null) (!Das Argument darf null sein) (!Das Argument muss eine ganze Zahl sein)

Welcher Wert ist bei f von x gleich eins durch x minus drei ausgeschlossen? (Drei) (!Minus drei) (!Null) (!Eins)

Wie liest Du den Definitionsbereich am Graphen ab? (Du suchst alle x Stellen mit Graphpunkten) (!Du suchst nur den höchsten Punkt) (!Du liest nur die y Achse ab) (!Du zählst die Nullstellen)

Was ist der Unterschied zwischen Definitionsbereich und Wertebereich? (Der erste enthält Eingaben und der zweite Ausgaben) (!Beide Begriffe bedeuten immer dasselbe) (!Der erste enthält Ausgaben und der zweite Steigungen) (!Der erste enthält Nullstellen und der zweite Achsen)

Memory

Definitionsbereich	erlaubte Eingabewerte
Wertebereich	mögliche Ausgabewerte
Nenner	darf nicht null sein
Quadratwurzel	Radikand mindestens null
Logarithmus	Argument positiv
Polynomfunktion	alle reellen Zahlen erlaubt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Alle reellen Zahlen	Polynomfunktion
Nullstellen des Nenners ausschließen	Bruchfunktion
Radikand nicht negativ	Quadratwurzelfunktion
Argument positiv	Logarithmusfunktion
Vorhandene x Stellen betrachten	Funktionsgraph

Kreuzworträtsel

Definitionsmenge	Wie heißt die Menge aller erlaubten Eingabewerte?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs darf nicht null sein?
Radikand	Wie heißt der Ausdruck unter einer Wurzel?
Logarithmus	Bei welcher Rechenart muss das Argument positiv sein?
Polynom	Welche Funktionsart ist für alle reellen Zahlen definiert?
Graph	Woran kannst Du erlaubte x Stellen ablesen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Definitionsbereich enthält alle erlaubten einer Funktion. Bei einer Bruchfunktion darf der nicht null sein. Bei einer Quadratwurzel muss der mindestens null sein. Das Argument eines Logarithmus muss sein. Eine Polynomfunktion besitzt als maximalen reellen Definitionsbereich meist . Am Graphen betrachtest Du die vorhandenen . Der Wertebereich enthält dagegen die möglichen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit Definition und einem Beispiel zum Definitionsbereich.
2. Graph lesen: Zeichne einen einfachen Graphen und markiere seinen Definitionsbereich auf der x-Achse.
3. Video-Notiz: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Lernvideo auf.
4. Beispiele sortieren: Ordne selbst gewählte Funktionen den Gruppen Polynom, Bruch, Wurzel und Logarithmus zu.

Standard

1. Erklärplakat: Erstelle ein Plakat mit den vier Grundregeln.
2. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Lösung und erkläre, wo der Denkfehler liegt.
3. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu den Regeln und verbessere unklare Antworten.
4. Screencast: Erkläre in einem kurzen Bildschirmvideo den Definitionsbereich von drei Funktionen.

Schwer

1. Fallunterscheidung: Bestimme den Definitionsbereich einer Funktion mit Bruch und Quadratwurzel.
2. Modellierung: Beschreibe eine Alltagssituation, in der nur bestimmte Eingabewerte sinnvoll sind.
3. Vergleich: Vergleiche Definitionsbereich und Wertebereich an zwei selbst gewählten Funktionen.
4. Lernvideo-Kritik: Prüfe das Lernvideo auf Verständlichkeit und ergänze ein eigenes schwierigeres Beispiel.

Lernkontrolle

1. Begründung: Eine Person behauptet, $\sqrt{x-5}$ sei für alle reellen Zahlen definiert. Widerlege die Aussage und erkläre den Zusammenhang zwischen Term und Graph.
2. Transfer: Bestimme den Definitionsbereich von $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ und begründe, warum eine strengere Bedingung als bei $\sqrt{x-2}$ gilt.
3. Darstellungswechsel: Skizziere einen Graphen mit $D=[-2;4]$ und beschreibe, wie der Definitionsbereich am Bild sichtbar wird.
4. Fehlerdiagnose: Prüfe die Lösung $D=ℝ\setminus \{4\}$ für $g(x)=\frac{2}{x+4}$. Korrigiere und begründe.
5. Vergleichsaufgabe: Erkläre, warum $x^2$, $\sqrt{x}$ und $\frac{1}{x}$ unterschiedliche Definitionsbereiche haben, obwohl überall dieselbe Variable vorkommt.
6. Anwendung: Eine Formel beschreibt die Fahrzeit als Strecke geteilt durch Geschwindigkeit. Leite einen sinnvollen Definitionsbereich für die Geschwindigkeit ab und deute den ausgeschlossenen Wert.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. den Definitionsbereich in eigenen Worten erklären.
2. Einschränkungen bei Bruch, Wurzel und Logarithmus erkennen.
3. Definitionsbereiche in Mengen- oder Intervallschreibweise angeben.
4. Lösungen nachvollziehbar begründen.
5. Informationen aus Funktionsterm, Tabelle und Graph verbinden.
6. einen typischen Fehler erklären und korrigieren.

Links

Definitionsbereich - Funktionen Definitionsbereich Definitionsmenge Funktion (Mathematik) Funktionsgraph Wertebereich Polynomfunktion Gebrochenrationale Funktion Wurzelfunktion Logarithmusfunktion