Bruchgleichungen und Bruchrechnung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Regeln der Bruchrechnung und das Lösen von Bruchgleichungen. Die Sprache ist einfach. Kurze Beispiele, Bilder, ein Video und viele Aufgaben helfen Dir beim Üben.

Du lernst: Brüche zu kürzen und zu erweitern, mit Brüchen zu rechnen, verbotene Werte zu erkennen und Bruchgleichungen sicher zu lösen.

Grundlagen der Bruchrechnung

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner. Beim Bruch $\frac{3}{4}$ ist 3 der Zähler und 4 der Nenner. Der Nenner darf nie 0 sein.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Datei:Unit fraction representation.png

Kürzen und Erweitern

Beim Kürzen teilst Du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Beim Erweitern multiplizierst Du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.

Beispiel: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Addieren und Subtrahieren

Brüche müssen zuerst den gleichen Nenner haben. Dann rechnest Du nur mit den Zählern.

Beispiel: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren gilt: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Beispiel: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

Beim Dividieren multiplizierst Du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

Beispiel: $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$

Datei:PieChartFractionOneFourth.svg

Bruchgleichungen

Eine Bruchgleichung enthält eine Variable im Nenner. Beispiel:

$\frac{2}{x}=\frac{1}{3}$

So gehst Du vor:

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner darf nicht 0 sein. Hier gilt $x\ne 0$.
2. Hauptnenner finden: Hier ist er $3x$.
3. Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren: $3x\cdot \frac{2}{x}=3x\cdot \frac{1}{3}$.
4. Vereinfachen und lösen: $6=x$.
5. Probe machen: $x=6$ ist erlaubt und erfüllt die Gleichung.

Merke: Erst verbotene Werte notieren. Dann die Nenner beseitigen. Zum Schluss die Lösung prüfen.

Datei:Measuring - Fractions of an inch.svg

Lernvideo

Das folgende Video erklärt Bruchrechnung und Bruchgleichungen.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe drei Rechenregeln aus dem Video in eigenen Worten auf.
2. Beispielrechnung: Übernimm eine Rechnung aus dem Video und erkläre jeden Schritt.
3. Hauptnenner erkennen: Notiere, wie im Video ein gemeinsamer Nenner gefunden wird.
4. Fehler vermeiden: Erkläre, warum ein Nenner nicht 0 werden darf.
5. Stopp-Aufgabe: Halte das Video vor einem Ergebnis an und rechne selbst weiter.
6. Eigene Bruchgleichung: Erfinde eine ähnliche Aufgabe und löse sie.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich? (Zähler) (!Nenner) (!Kehrwert) (!Hauptnenner)

Was darf bei einem Bruch nie 0 sein? (Der Nenner) (!Der Zähler) (!Das Ergebnis) (!Der Bruchstrich)

Was machst Du beim Kürzen? (Du teilst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl) (!Du addierst die Nenner) (!Du vertauschst beide Brüche) (!Du verdoppelst nur den Zähler)

Wie addierst Du gleichnamige Brüche? (Du addierst die Zähler) (!Du addierst die Nenner) (!Du multiplizierst die Nenner) (!Du bildest immer den Kehrwert)

Wie multiplizierst Du zwei Brüche? (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner) (!Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner) (!Nur die Nenner werden multipliziert) (!Der zweite Bruch wird gekürzt)

Was brauchst Du beim Dividieren durch einen Bruch? (Den Kehrwert des zweiten Bruchs) (!Den Hauptnenner des ersten Bruchs) (!Die Summe der Nenner) (!Die Differenz der Zähler)

Woran erkennst Du eine Bruchgleichung? (Eine Variable steht in mindestens einem Nenner) (!Es gibt nur ganze Zahlen) (!Die Gleichung enthält kein Gleichheitszeichen) (!Alle Nenner sind gleich)

Was bestimmst Du zuerst bei einer Bruchgleichung? (Die verbotenen Werte) (!Die Dezimalzahl) (!Den größten Zähler) (!Das Endergebnis ohne Rechnung)

Welche Lösung hat zwei durch x gleich ein Drittel? (x gleich 6) (!x gleich 2) (!x gleich 3) (!x gleich 9)

Was prüfst Du am Ende? (Ob die Lösung erlaubt ist und die Gleichung erfüllt) (!Ob alle Zähler gerade sind) (!Ob der Hauptnenner 1 ist) (!Ob die Variable im Zähler steht)

Memory

Zähler	Zahl über dem Bruchstrich
Nenner	Zahl unter dem Bruchstrich
Kürzen	Teilen beider Bruchteile durch denselben Faktor
Erweitern	Multiplizieren beider Bruchteile mit demselben Faktor
Kehrwert	Vertauschen von oben und unten
Hauptnenner	Gemeinsames Vielfaches aller Nenner

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Definitionsmenge	Verbotene Werte ausschließen
Faktorisieren	Einen Nenner als Produkt schreiben
Hauptnenner	Gemeinsamen Nenner bestimmen
Multiplizieren	Alle Glieder vom Bruch befreien
Probe	Gefundene Lösung einsetzen

Kreuzworträtsel

Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Kehrwert	Was entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner?
Hauptnenner	Welcher gemeinsame Nenner hilft beim Lösen?
Definitionsmenge	Welche Menge enthält alle erlaubten Werte?
Bruchterm	Wie heißt ein Term mit einem Bruchstrich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Zahl über dem Bruchstrich heißt . Die Zahl darunter heißt . Beim Kürzen werden beide Zahlen durch denselben geteilt. Beim Dividieren multipliziert man mit dem . In einer Bruchgleichung kann die Variable im stehen. Werte, die einen Nenner zu 0 machen, sind . Durch Multiplikation mit dem verschwinden die Brüche. Am Ende macht man eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchbild: Zeichne drei verschiedene Bilder für den Bruch $\frac{3}{4}$.
2. Regelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Regeln der Bruchrechnung.
3. Fehlerfinder: Finde und verbessere den Fehler in $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$.
4. Video-Tagebuch: Notiere nach dem Lernvideo zwei neue Erkenntnisse und eine Frage.

Standard

1. Erklärplakat: Zeige auf einem Plakat die fünf Schritte zum Lösen einer Bruchgleichung.
2. Partnerquiz: Entwickle fünf kurze Aufgaben und tausche sie mit einer anderen Person.
3. Alltagsbruch: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation mit Brüchen und berechne einen Anteil.
4. Mini-Erklärvideo: Erkläre in höchstens zwei Minuten das Dividieren von Brüchen.

Schwer

1. Modellierungsaufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe, die zu einer Bruchgleichung führt, und löse sie.
2. Begründung: Erkläre, warum Kürzen den Wert eines Bruchs nicht verändert.
3. Fehleranalyse: Sammle drei typische Fehler bei Bruchgleichungen und entwickle passende Hilfen.
4. Digitale Lernaufgabe: Erstelle eine interaktive Übung mit Rückmeldung zu richtigen und falschen Lösungen.

Lernkontrolle

1. Methodenvergleich: Löse $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ auf zwei Wegen und vergleiche die Wege.
2. Fehler erklären: Eine Person rechnet $\frac{2}{x}=\frac{1}{4}$ und erhält $x=2$. Erkläre den Fehler und verbessere die Lösung.
3. Alltag übertragen: Ein Rezept für vier Personen braucht $\frac{3}{4}$ Liter Flüssigkeit. Bestimme die Menge für sechs Personen und begründe Deinen Rechenweg.
4. Gleichung entwickeln: Erfinde eine Bruchgleichung mit der Lösung $x=4$ und einem verbotenen Wert $x=2$.
5. Verfahren beurteilen: Erkläre, warum die Multiplikation mit dem Hauptnenner das Lösen erleichtert und weshalb verbotene Werte trotzdem beachtet werden müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Brüche sicher kürzen und erweitern kannst.
2. Grundrechenarten mit Brüchen richtig anwendest.
3. verbotene Werte erkennst.
4. Bruchgleichungen schrittweise löst.
5. Ergebnisse durch eine Probe überprüfst und Deinen Rechenweg erklärst.

Links

Bruchgleichungen und Bruchrechnung Bruchrechnung Bruchgleichung Zähler Nenner Kürzen Erweitern Kehrwert Hauptnenner Definitionsmenge Äquivalenzumformung