Bewegungsmittelwerte und unaufgelöste Verläufe unterscheiden

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Bewegungsmittelwerte und unaufgelöste Verläufe unterscheiden

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Einleitung

Wenn Du aus wenigen Messwerten einer Bewegung eine Aussage über die Bewegung ableitest, musst Du streng zwischen dem unterscheiden, was gemessen wurde, dem Mittelwert über ein Zeitintervall und dem nicht aufgelösten Verlauf zwischen zwei Messzeitpunkten. Genau diese Trennung ist das Lernziel dieses aiMOOCs.

Der Ausdruck Bewegungsmittelwert wird hier als didaktischer Sammelbegriff verwendet. Fachlich präzise unterscheiden wir insbesondere die mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall, die mittlere Schnelligkeit auf Grundlage einer bekannten Weglänge und gegebenenfalls weitere Intervallmittel. Aus reinen Zeit-Ort-Daten ist in erster Linie die mittlere Geschwindigkeit aus der Ortsänderung belegbar. Eine tatsächliche Weglänge innerhalb eines Messintervalls kann dagegen größer sein, wenn das Objekt zwischen zwei Messpunkten hin- und herläuft.

Du lernst, aus diskreten Zeit-Ort-Daten nur solche Aussagen zu machen, die durch die Daten und ausdrücklich genannte Modellannahmen gedeckt sind. Der aiMOOC richtet sich an Lernende ab der Sekundarstufe I und enthält Erweiterungen für ältere Lernende. Er beansprucht keine vollständige Lehrplanabdeckung.

Lernziele

Nach der Bearbeitung kannst Du einen Zeit-Ort-Datensatz lesen, Intervallmittel berechnen, nicht gemessene Zwischenverläufe als unaufgelöst kennzeichnen, Messunsicherheiten berücksichtigen und Aussagen über Kennlinien oder Energieversprechen auf ihre Datengrundlage prüfen. Du kannst außerdem klar zwischen einer Messung, einer Rechnung aus Messwerten und einer Modellannahme unterscheiden.

Fachbegriffe

Messpunkt: Ein Wertepaar aus Messzeitpunkt und gemessenem Ort, zum Beispiel \(t=2{,}0\,\mathrm{s}\) und \(x=4{,}0\,\mathrm{m}\).

Intervall: Der Zeitabschnitt zwischen zwei Messzeitpunkten.

Mittlere Geschwindigkeit: Für eine eindimensionale Bewegung ist sie über ein Intervall durch $\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$ definiert. Sie enthält ein Vorzeichen und beschreibt die mittlere Ortsänderung pro Zeit.

Mittlere Schnelligkeit: Sie ist die tatsächlich zurückgelegte Weglänge geteilt durch die benötigte Zeit. Wenn zwischen Messpunkten Umwege oder Richtungswechsel möglich sind, kann sie aus den Endpunkten allein nicht bestimmt werden.

Unaufgelöster Verlauf: Ein Abschnitt, für den keine genügend dichten Messdaten vorliegen. Zwischen zwei Messpunkten sind viele Bewegungsverläufe möglich.

Sekante: Eine Gerade durch zwei Punkte eines Diagramms. Ihre Steigung liefert im Zeit-Ort-Diagramm eine Intervallgröße, nämlich die mittlere Geschwindigkeit zwischen diesen Punkten.

Interpolation: Eine Schätzung zwischen bekannten Datenpunkten aufgrund eines zusätzlichen Modells. Eine lineare Interpolation ist deshalb nicht dasselbe wie ein direkt gemessener Zwischenwert.

Kennlinie: Eine Darstellung des Zusammenhangs zwischen einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße eines Systems, beispielsweise Stromstärke \(I\) in Abhängigkeit von Spannung \(U\).

Messunsicherheit: Nach dem International Vocabulary of Metrology des JCGM ist sie eine nichtnegative Kenngröße, die die Streuung der einer Messgröße zugeschriebenen Werte auf Grundlage der verwendeten Information charakterisiert. Eine Messunsicherheit ist deshalb nicht einfach ein „Fehler“, der nachträglich ignoriert werden darf.

Grundidee: Was ist belegt?

Bei diskreten Daten sind zunächst nur die Messpunkte selbst belegt. Aus je zwei Messpunkten darfst Du deren Differenzen bilden und daraus ein Intervallmittel berechnen. Dagegen liefert ein Messpunktpaar allein keine eindeutige Aussage darüber, wie sich der Ort zwischen den beiden Zeitpunkten verändert hat.

Mediennachweis: MikeRun, „Mean-velocity-in-a-position-time-graph.svg“, 14.10.2017, eigene Arbeit des Urhebers, Wikimedia Commons, Lizenz CC BY-SA 4.0, Lizenzstand geprüft am 04.10.2026.

Die Abbildung zeigt die Sekantenidee. Für einen gemessenen Datensatz ist wichtig: Eine gezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten kann ein nützliches Modell sein, aber sie ist nicht automatisch der reale Verlauf.

Vollständig beschrifteter Datenfall A: Zeit-Ort-Daten

Der folgende Datensatz ist vollständig neu für diesen aiMOOC erstellt.

Messpunkt	Zeit \(t\) in s	Ortskoordinate \(x\) in m	angenommene Messgrenze für \(t\)	angenommene Messgrenze für \(x\)
A	0,00	0,0	±0,05 s	±0,2 m
B	2,00	4,0	±0,05 s	±0,2 m
C	5,00	1,0	±0,05 s	±0,2 m
D	9,00	7,0	±0,05 s	±0,2 m

Modellannahmen: Die Bewegung wird eindimensional auf einer geraden Ortsachse \(x\) beschrieben. Alle Messwerte gehören zu demselben Objekt. Die Zeitpunkte sind zeitlich geordnet. Die angegebenen ±-Werte werden in der Grundbetrachtung als symmetrische Grenzen verstanden. Zwischen den Messpunkten wird kein Bewegungsgesetz vorausgesetzt. Es wird insbesondere nicht angenommen, dass die Geschwindigkeit innerhalb eines Intervalls konstant ist.

Nachvollziehbarer Lösungsweg

Für das Intervall A–B gilt: $\Delta x=\mathrm{4,0}\mathrm{m}-\mathrm{0,0}\mathrm{m}=\mathrm{4,0}\mathrm{m}$

$\Delta t=\mathrm{2,00}\mathrm{s}-\mathrm{0,00}\mathrm{s}=\mathrm{2,00}\mathrm{s}$

Damit ist die belegte mittlere Geschwindigkeit: ${\overline{v}}_{AB}=\frac{\mathrm{4,0}\mathrm{m}}{\mathrm{2,00}\mathrm{s}}=\mathrm{2,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Für B–C: ${\overline{v}}_{BC}=\frac{\mathrm{1,0}\mathrm{m}-\mathrm{4,0}\mathrm{m}}{\mathrm{5,00}\mathrm{s}-\mathrm{2,00}\mathrm{s}}=-\mathrm{1,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Für C–D: ${\overline{v}}_{CD}=\frac{\mathrm{7,0}\mathrm{m}-\mathrm{1,0}\mathrm{m}}{\mathrm{9,00}\mathrm{s}-\mathrm{5,00}\mathrm{s}}=\mathrm{1,5}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Über den gesamten Messzeitraum A–D: ${\overline{v}}_{AD}=\frac{\mathrm{7,0}\mathrm{m}-\mathrm{0,0}\mathrm{m}}{\mathrm{9,00}\mathrm{s}-\mathrm{0,00}\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,78}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Diese vier Werte sind Intervallmittel. Sie sind nicht automatisch Momentangeschwindigkeiten.

Unter der zusätzlichen Annahme einer kontinuierlichen eindimensionalen Bewegung beträgt die kleinste mit den Messpunkten vereinbare Weglänge von A über B und C nach D: $4\mathrm{m}+3\mathrm{m}+6\mathrm{m}=13\mathrm{m}$.

Damit ist die mittlere Schnelligkeit mindestens $\frac{13\mathrm{m}}{9\mathrm{s}}\approx \mathrm{1,44}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ohne eine obere Grenze für die Geschwindigkeit oder weitere Messpunkte gibt es aus diesen vier Orten allein keine endliche obere Grenze für die tatsächlich zurückgelegte Weglänge: Zwischen zwei Messpunkten könnten zusätzliche Hin- und Rückbewegungen verborgen sein.

Was bleibt unaufgelöst?

Für den Zeitpunkt \(t=1{,}00\,\mathrm{s}\) ist kein Ort gemessen. Der Wert \(x=2{,}0\,\mathrm{m}\) wäre zwar mit einer linearen Bewegung von A nach B vereinbar, aber er folgt nicht aus den beiden Messpunkten allein. Ebenfalls vereinbar wären zum Beispiel ein langsamer Start mit späterer schneller Bewegung oder eine zwischenzeitliche Richtungsumkehr, solange die Bewegung bei \(t=2{,}00\,\mathrm{s}\) wieder am gemessenen Ort liegt.

Daraus folgt eine zentrale Regel: Ein berechneter Intervallmittelwert beschreibt ein Intervall. Er füllt die nicht gemessene Zeit nicht mit erfundenen Einzelwerten auf.

Mediennachweis: MikeRun, „Average-velocity-and-instantaneous-velocity-in-a-position-time-graph.svg“, 11.11.2017, eigene Arbeit des Urhebers, Wikimedia Commons, Lizenz CC BY-SA 4.0, Lizenzstand geprüft am 04.10.2026.

Diese zweite Grafik zeigt den fachlichen Übergang von einer Sekantensteigung zu einer Tangentenidee bei immer kleineren Zeitintervallen. Bei einem echten Messdatensatz darf dieser Grenzübergang aber nur dann praktisch genutzt werden, wenn die zeitliche Auflösung der Messung dafür ausreicht.

Messunsicherheit am Datenfall

Nimm für das Intervall A–B die angegebenen Grenzen ernst. Dann liegt die Ortsänderung konservativ zwischen \(3{,}6\,\mathrm{m}\) und \(4{,}4\,\mathrm{m}\). Die Zeitdauer liegt zwischen \(1{,}90\,\mathrm{s}\) und \(2{,}10\,\mathrm{s}\). Eine konservative Quotientenabschätzung ergibt daher ungefähr:

$\mathrm{1,71}\mathrm{m}/\mathrm{s}\le {\overline{v}}_{AB}\le \mathrm{2,32}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Diese Rechnung ist eine einfache Intervallabschätzung und kein vollständiger GUM-Nachweis. Für ältere Lernende kann ein Unsicherheitsmodell mit Standardunsicherheiten, Korrelationen und Sensitivitätskoeffizienten ergänzt werden.

Wenn \(u_x=0{,}2\,\mathrm{m}\) und \(u_t=0{,}05\,\mathrm{s}\) ausdrücklich als voneinander unabhängige Standardunsicherheiten der Einzelmessungen modelliert werden, dann gilt näherungsweise: $u_{\Delta x}=\sqrt{2}{u}_x$ und $u_{\Delta t}=\sqrt{2}{u}_t$. Für $\overline{v}=\Delta x/\Delta t$ kann bei unkorrelierten Größen die lineare Unsicherheitsfortpflanzung verwendet werden. Diese Rechnung ist eine Erweiterung, weil sie zusätzliche statistische Modellannahmen benötigt.

Zwei typische Fehlschlüsse

Fehlschluss 1: „Zwischen zwei Messpunkten ist die Bewegung geradlinig im Diagramm.“ Eine eingezeichnete Gerade ist zunächst eine Interpolation. Aus den Endpunkten allein folgt nur deren Sekantensteigung. Dass die Geschwindigkeit im gesamten Intervall konstant war, ist eine zusätzliche Modellannahme.

Fehlschluss 2: „Die mittlere Geschwindigkeit ist dasselbe wie die mittlere Schnelligkeit.“ Im Datenfall A–D ist die gesamte Ortsänderung nur \(7\,\mathrm{m}\), während die über die Messpunkte mindestens erforderliche Weglänge \(13\,\mathrm{m}\) beträgt. Deshalb ergeben sich unterschiedliche Mittelwerte. Richtungswechsel machen diesen Unterschied sichtbar.

G/M/E-Differenzierung durch unterschiedliche Operationen

G – Grundniveau: Du liest zwei Messpunkte ab, bildest eine Differenz und dividierst. Die zentrale Operation lautet: Endwert minus Anfangswert, anschließend durch die Zeitdauer teilen. Außerdem markierst Du unbekannte Zwischenwerte ausdrücklich als „nicht gemessen“.

M – mittleres Niveau: Du vergleichst mehrere Intervalle, unterscheidest Vorzeichen und Beträge, leitest eine minimale Weglänge ab und prüfst, welche Aussagen durch Daten gedeckt oder nur modellabhängig sind. Die zentrale Operation lautet: vergleichen, begrenzen und Aussagen klassifizieren.

E – erweitertes Niveau: Du entwickelst Unsicherheitsgrenzen, prüfst Interpolationsmodelle, verwendest gegebenenfalls Unsicherheitsfortpflanzung und begründest eine Entscheidung über eine Kennlinie oder ein Energieversprechen. Die zentrale Operation lautet: Modellannahmen explizit machen, Unsicherheit propagieren und eine Behauptung logisch testen.

G, M und E sind hier didaktische Niveaustufen und keine physikalischen Größen.

Datenfall B: Kennlinie ohne erfundene Zwischenwerte

Auch dieser Datensatz ist vollständig neu erstellt. Er beschreibt eine fiktive elektrische Komponente bei drei stationär abgelesenen Arbeitspunkten.

Stützstelle	Spannung \(U\) in V	Messgrenze \(U\)	Stromstärke \(I\) in A	Messgrenze \(I\)
K1	2,00	±0,05 V	0,40	±0,02 A
K2	4,00	±0,05 V	0,86	±0,02 A
K3	6,00	±0,05 V	1,33	±0,02 A

Modellannahmen: Die drei Wertepaare sind voneinander getrennte stationäre Messpunkte. Zwischen ihnen wurde nicht gemessen. Es wird kein lineares Bauteilgesetz vorausgesetzt.

Die Frage „Wie groß ist \(I\) bei \(U=5{,}00\,\mathrm{V}\)?“ ist deshalb aus den Daten allein nicht eindeutig beantwortbar. Eine lineare Interpolation zwischen K2 und K3 ergäbe nominell etwa \(1{,}10\,\mathrm{A}\). Dieser Wert ist aber ein Modellwert, kein Messwert. Erst wenn die Linearitätsannahme begründet und ihre Unsicherheit bewertet wird, darf dieser Wert in einer technischen Entscheidung verwendet werden.

Datenfall C: Energieversprechen prüfen

Der dritte vollständig neu erstellte Datenfall verwendet einen fiktiven Energiezähler.

Zeitpunkt \(t\) in min	kumulierte Energie \(E\) in kWh	angenommene Messgrenze \(E\)
0	0,00	±0,01 kWh
10	0,20	±0,01 kWh
20	0,30	±0,01 kWh

Modellannahmen: Der Zähler erfasst die kumulierte elektrische Energie eines Geräts ohne Rücksetzung. Die Zeitmarken werden für diese Papieraufgabe als exakt behandelt. Der Verbrauch ist nicht negativ. Der Leistungsverlauf zwischen den Zeitpunkten wurde nicht direkt gemessen.

Ein fiktives Energieversprechen lautet: „Die elektrische Leistung bleibt zu jeder Zeit unter oder gleich \(1{,}0\,\mathrm{kW}\).“

Von 0 bis 10 Minuten beträgt die nominelle Energiezunahme \(0{,}20\,\mathrm{kWh}\). Zehn Minuten sind \(1/6\,\mathrm{h}\). Die Intervallmittelleistung ist damit: $\overline{P}=\frac{\mathrm{0,20}\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}}{1/6\mathrm{h}}=\mathrm{1,20}\mathrm{k}\mathrm{W}$.

Selbst mit den angegebenen Messgrenzen ist die kleinste mit den Ablesungen vereinbare Energiezunahme \(0{,}18\,\mathrm{kWh}\). Wäre \(P(t)\) während der gesamten zehn Minuten stets höchstens \(1{,}0\,\mathrm{kW}\), könnte die Energiezunahme höchstens \(1{,}0\,\mathrm{kW}\cdot1/6\,\mathrm{h}\approx0{,}167\,\mathrm{kWh}\) betragen.

Transferentscheidung: Das Versprechen „zu jeder Zeit höchstens \(1{,}0\,\mathrm{kW}\)“ ist mit diesem Datenfall und den angegebenen Grenzen nicht vereinbar. Der genaue Leistungsverlauf bleibt trotzdem unaufgelöst. Wir wissen also nicht, wann und wie stark die Leistung über \(1{,}0\,\mathrm{kW}\) lag; wir können lediglich die universelle Obergrenze widerlegen. Diese Entscheidung ist stärker als eine erfundene Zwischenkurve, weil sie nur eine notwendige Folgerung aus dem Intervallmittel nutzt.

Medien zur Vertiefung

Das folgende deutschsprachige Video erläutert Ort-Zeit-Diagramme und unterschiedliche Bewegungsformen. Nutze es mit der Leitfrage: Welche Aussagen stammen aus Messpunkten und welche aus einem angenommenen Kurvenverlauf?

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Quelle: mathbydoing – making math easy, „Ort-Zeit-Diagramm, Gleichförmige Bewegung, Beschleunigte Bewegung einfach erklärt mit Beispielen“, veröffentlicht 16.10.2022, YouTube, abgerufen 04.10.2026.

Das nächste Video erklärt die Berechnung einer Durchschnittsgeschwindigkeit. Prüfe beim Anschauen kritisch die verwendete Sprache: Wird eine Ortsänderung oder eine tatsächlich zurückgelegte Weglänge verwendet? Diese Unterscheidung entscheidet darüber, ob fachlich eine mittlere Geschwindigkeit oder eine mittlere Schnelligkeit gemeint ist.

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Quelle: Educational Videos & Lectures, „Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen | Physik Lernvideo“, veröffentlicht 23.12.2013, YouTube, abgerufen 04.10.2026.

Quellen und fachliche Herkunft

1. JCGM, International Vocabulary of Metrology, VIM3, Eintrag 2.26 „measurement uncertainty“: JCGM 200:2012; offizielle BIPM/JCGM-Fassung; abgerufen am 04.10.2026.
2. BIPM/JCGM Publications: JCGM 100:2008(E), „Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement“, sowie Veröffentlichungsübersicht mit Ergänzung 2026; abgerufen am 04.10.2026.
3. LEIFIphysik, Zeit-Ort-Diagramm: Lehrquelle des FWU Instituts für Film und Bild; Seite abgerufen am 04.10.2026, Seitenfuß © 2026.
4. LEIFIphysik, Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm: Lehrquelle des FWU Instituts für Film und Bild; Seite abgerufen am 04.10.2026, Seitenfuß © 2026.
5. Wikimedia Commons, Mean-velocity-in-a-position-time-graph.svg: MikeRun, erstellt 14.10.2017, Lizenz CC BY-SA 4.0; Lizenz geprüft am 04.10.2026.
6. Wikimedia Commons, Average-velocity-and-instantaneous-velocity-in-a-position-time-graph.svg: MikeRun, erstellt 11.11.2017, Lizenz CC BY-SA 4.0; Lizenz geprüft am 04.10.2026.

Fachwerkstatt: Vom Messpunkt zur belastbaren Aussage

Die Fachwerkstatt funktioniert vollständig mit Tabellen, Papier, Lineal und Taschenrechner. Es sind keine gefährlichen Versuche notwendig.

Werkstattmodell

Verwende für jeden Datensatz das folgende Fünf-Felder-Modell:

Feld	Leitfrage	Ergebnisform
Daten	Welche Werte wurden tatsächlich gemessen?	Messpunkte mit Größen, Einheiten und Unsicherheiten
Operation	Welche Rechnung ist ohne Zusatzannahme zulässig?	Differenz, Quotient oder Intervallmittel
Lücke	Welche Informationen fehlen zwischen den Messpunkten?	Kennzeichnung als unaufgelöst
Modell	Welche zusätzliche Annahme soll geprüft werden?	zum Beispiel linear, konstant oder monoton
Entscheidung	Welche Aussage ist belegt, modellabhängig oder nicht entscheidbar?	begründeter Satz mit Bezug auf Daten und Modell

Checkliste für Deine Auswertung

1. Größen und Einheiten: Sind alle Achsen, Tabellenköpfe und Rechenergebnisse mit physikalischer Größe und Einheit beschriftet?
2. Messpunkt: Ist klar gekennzeichnet, welche Werte tatsächlich gemessen oder vorgegeben wurden?
3. Intervallmittel: Wurde \(\Delta x/\Delta t\) nur als Mittel über genau dieses Intervall interpretiert?
4. Unaufgelöster Verlauf: Wurden Zwischenwerte nicht ohne Modell als Tatsachen ausgegeben?
5. Messunsicherheit: Wurde angegeben, ob ±-Werte Grenzen, Standardunsicherheiten oder etwas anderes bedeuten?
6. Modellannahme: Ist jede Interpolation oder Kurvenform ausdrücklich als Modell gekennzeichnet?
7. Transfer: Folgt die Entscheidung logisch aus den Daten, auch wenn mehrere Zwischenverläufe möglich sind?
8. Sprache: Werden Geschwindigkeit, Schnelligkeit, Weglänge, Ortsänderung, Leistung und Energie sauber unterschieden?

Werkstattauftrag

Wähle Datenfall A, B oder C. Erstelle auf Papier zwei verschiedene Darstellungen, die durch dieselben Messpunkte gehen. Notiere anschließend mindestens drei Aussagen, die in beiden Darstellungen gelten, und mindestens drei Aussagen, die von der gewählten Zwischenkurve abhängen. Dein Ergebnis ist fachlich gut, wenn Du die robusten Aussagen klar von den modellabhängigen Aussagen trennst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche mittlere Geschwindigkeit ergibt sich im Datenfall A für das Intervall von 2,00 s bis 5,00 s? (-1,0 m/s) (!1,0 m/s) (!3,0 m/s) (!-3,0 m/s)

Welche Aussage ist aus den Messpunkten A und B ohne zusätzliche Bewegungsannahme belegt? (Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall beträgt 2,0 m/s) (!Der Ort bei 1,00 s beträgt genau 2,0 m) (!Die Geschwindigkeit war während des gesamten Intervalls konstant) (!Das Objekt bewegte sich niemals rückwärts)

Was bedeutet ein unaufgelöster Verlauf zwischen zwei Messpunkten? (Die Zwischenwerte sind durch die vorhandenen Daten nicht eindeutig bestimmt) (!Die Messpunkte sind falsch) (!Die Zeitachse darf nicht verwendet werden) (!Die mittlere Geschwindigkeit kann niemals berechnet werden)

Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit über A bis D im Datenfall A ungefähr? (0,78 m/s) (!1,44 m/s) (!2,00 m/s) (!7,00 m/s)

Welche minimale Weglänge ist im Datenfall A über die Messpunkte A B C D mit kontinuierlicher eindimensionaler Bewegung erforderlich? (13 m) (!7 m) (!9 m) (!18 m)

Was darf über den Ort bei 1,00 s im Datenfall A gesagt werden? (Er ist ohne zusätzliches Bewegungsmodell nicht eindeutig bestimmt) (!Er beträgt sicher 2,0 m) (!Er beträgt sicher 4,0 m) (!Er beträgt sicher 0,0 m)

Welche Aussage beschreibt Messunsicherheit fachlich am besten? (Sie charakterisiert die Streuung der einer Messgröße zugeschriebenen Werte auf Basis der verwendeten Information) (!Sie ist immer ein grober Rechenfehler) (!Sie verschwindet automatisch bei einer Diagrammzeichnung) (!Sie ist dasselbe wie der Messwert)

Was ist im Kennlinien-Datenfall B bei 5,00 V direkt gemessen? (Kein Stromwert bei 5,00 V) (!Genau 1,10 A) (!Genau 0,86 A) (!Genau 1,33 A)

Welche Folgerung ist im Energie-Datenfall C zum Versprechen höchstens 1,0 kW jederzeit begründet? (Das Versprechen ist mit den Daten und Grenzen nicht vereinbar) (!Die Leistung betrug ständig genau 1,20 kW) (!Die Leistung betrug nie mehr als 1,00 kW) (!Der genaue Leistungsverlauf ist vollständig bekannt)

Warum ist eine Gerade zwischen zwei Messpunkten nicht automatisch der reale Bewegungsverlauf? (Die Gerade fügt eine zusätzliche Interpolationsannahme hinzu) (!Eine Gerade kann keine Steigung haben) (!Messwerte dürfen nicht gezeichnet werden) (!Zeit und Ort besitzen dieselbe Einheit)

Memory

Intervallmittel	Änderung einer Größe geteilt durch die zugehörige Zeitspanne
Messpunkt	Direkt erfasster Wert mit festem Zeitbezug
Sekante	Gerade durch zwei Datenpunkte
Messunsicherheit	Kennzeichnung des möglichen Wertebereichs auf Grundlage der Messinformation
Kennlinie	Zusammenhang zwischen Eingangsgröße und Ausgangsgröße
Interpolation	Modellgestützte Schätzung zwischen Stützstellen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Beobachtung	Messwert
Modellannahme	Verbindungskurve
Intervallmittel	Sekantensteigung
Unaufgelöst	Zwischenverlauf
Wertebereich	Unsicherheitsintervall

Kreuzworträtsel

Sekante	Wie heißt die Gerade durch zwei Punkte eines Diagramms?
Intervall	Wie heißt ein Zeitabschnitt zwischen zwei Messzeitpunkten?
Kennlinie	Wie heißt die Darstellung eines Zusammenhangs zwischen Ein- und Ausgangsgröße?
Unsicherheit	Welcher Begriff ergänzt das Wort Mess zu einer metrologischen Kenngröße?
Interpolation	Wie heißt eine modellgestützte Schätzung zwischen Stützstellen?
Verschiebung	Wie heißt die gerichtete Ortsänderung vom Anfangs- zum Endort?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Aus zwei Zeit-Ort-Messpunkten lässt sich die über das dazwischenliegende Intervall berechnen.

Ein nicht gemessener Zwischenwert gehört zu einem .

Die Gerade durch zwei Punkte eines Diagramms heißt .

Eine Schätzung zwischen Messpunkten auf Grundlage eines zusätzlichen Modells heißt .

Bei einem Richtungswechsel können mittlere Geschwindigkeit und mittlere verschieden sein.

Eine Messangabe wird durch ihre aussagekräftiger.

Bei einer Kennlinie ist ein Wert zwischen zwei Stützstellen ohne Modell nicht direkt .

Im Energie-Datenfall widerlegt das Intervallmittel die behauptete universelle .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Messwerttabelle: Übertrage Datenfall A auf Papier und kennzeichne Messgröße, Zahlenwert, Einheit und Messgrenze in vier verschiedenen Spalten.
2. Zeit-Ort-Diagramm: Zeichne nur die vier Messpunkte A bis D in ein vollständig beschriftetes Koordinatensystem. Verbinde die Punkte zunächst nicht.
3. Intervallmittel: Berechne die drei mittleren Geschwindigkeiten AB, BC und CD und formuliere zu jedem Wert einen Satz, der ausdrücklich das Zeitintervall nennt.
4. Unaufgelöster Verlauf: Formuliere zwei verschiedene mögliche Bewegungsbeschreibungen zwischen A und B, die beide dieselben Endpunkte besitzen.

Standard

1. Modellvergleich: Zeichne zwischen A und B einmal eine Gerade und einmal eine gekrümmte Verbindung. Markiere, welche Aussagen für beide Modelle gleich bleiben.
2. Kennlinie: Nutze Datenfall B und entscheide, welche Stromwerte Messwerte und welche Modellwerte wären. Begründe, warum 1,10 A bei 5,00 V nicht direkt gemessen ist.
3. Fehlschlussanalyse: Schreibe eine kurze Korrektur zu der Aussage „Die mittlere Geschwindigkeit von 2,0 m/s bedeutet, dass das Objekt immer 2,0 m/s schnell war.“
4. Energieversprechen: Erstelle eine einseitige Prüfnotiz zu Datenfall C mit den Rubriken Daten, Rechnung, Unsicherheit und Entscheidung.

Schwer

1. Unsicherheitsintervall: Leite für das Intervall A–B die konservativen Grenzen der mittleren Geschwindigkeit nachvollziehbar her und prüfe, welche Annahmen in der Rechnung stecken.
2. Mehrdeutigkeit: Konstruiere zwei mathematisch unterschiedliche Zeit-Ort-Funktionen, die durch A und B verlaufen, aber bei 1,00 s verschiedene Orte haben. Kennzeichne beide ausdrücklich als Modelle.
3. Entscheidungslogik: Formuliere einen allgemeinen Beweis, warum ein Intervallmittel oberhalb einer behaupteten universellen Obergrenze diese Obergrenze widerlegen kann.
4. Messplanung: Entwirf auf Papier einen verbesserten Messplan für Datenfall A mit zusätzlichen Zeitpunkten. Begründe, welche offenen Fragen dadurch kleiner werden und welche weiterhin modellabhängig bleiben.

Lernkontrolle

1. Transfer Zeit-Ort-Daten: Du erhältst drei neue Messpunkte einer Bewegung. Begründe für einen frei gewählten Zwischenzeitpunkt, welche Aussage über den Ort möglich ist und welche nicht. Trenne Datenbeleg und Modellannahme.
2. Modellentscheidung: Zwei Gruppen verbinden dieselben Messpunkte einmal linear und einmal gekrümmt. Entscheide, welche berechneten Intervallmittel in beiden Gruppen gleich sein müssen und warum.
3. Messunsicherheit bewerten: Eine behauptete Grenzüberschreitung liegt nur knapp innerhalb der angegebenen Unsicherheit. Erkläre, warum die Entscheidung anders ausfallen kann als im Energie-Datenfall C.
4. Kennlinien-Transfer: Ein technisches Datenblatt enthält nur drei Stützstellen einer Kennlinie. Entwickle Kriterien dafür, wann eine lineare Interpolation vertretbar sein könnte und wann zusätzliche Messpunkte nötig wären.
5. Energie und Leistung: Erläutere, warum eine gemessene Energieänderung über zehn Minuten eine mittlere Leistung bestimmt, aber den momentanen Leistungsverlauf nicht vollständig festlegt.
6. Begriffsprüfung: Entwickle ein eigenes Beispiel, in dem mittlere Geschwindigkeit null ist, die mittlere Schnelligkeit aber größer als null. Begründe beide Aussagen mit Ortsänderung und Weglänge.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Formeln einsetzt, sondern die Reichweite Deiner Aussagen kontrollierst.

1. Du kannst Messpunkte, Einheiten und Unsicherheiten vollständig dokumentieren.
2. Du kannst \(\Delta x\), \(\Delta t\) und \(\bar v\) korrekt berechnen und interpretieren.
3. Du kannst mittlere Geschwindigkeit und mittlere Schnelligkeit unterscheiden.
4. Du kannst einen Zwischenverlauf als unaufgelöst kennzeichnen, statt ihn als gemessen auszugeben.
5. Du kannst eine Interpolation als Modellannahme erkennen und benennen.
6. Du kannst bei Kennlinien zwischen Stützstelle und Zwischenwert unterscheiden.
7. Du kannst ein Energie- oder Leistungsversprechen mit Intervallmitteln logisch prüfen.
8. Du kannst mindestens einen typischen Fehlschluss erkennen und fachlich korrigieren.
9. Du kannst für eine Entscheidung Datenbeleg, Unsicherheit und Modellannahme getrennt angeben.

OERs zum Thema

Als vertiefende enzyklopädische Einstiege eignen sich die Wikipedia-Artikel zu Geschwindigkeit und Messunsicherheit:

Verknüpfte Lernbereiche

Bewegungsmittelwerte und unaufgelöste Verläufe unterscheiden Kinematik Zeit-Ort-Diagramm Geschwindigkeit Messunsicherheit Interpolation Kennlinie Energie Leistung