Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

الدوال والمعادلات المتقدمة

مقدمة

الدالة طريقة رياضية تربط كل قيمة مسموح بها للمتغير المستقل بقيمة واحدة فقط للمتغير التابع. في المرحلة الثانوية العليا لا يكفي أن تعرف شكل الرسم؛ بل تحتاج إلى الانتقال بمرونة بين الصيغة الجبرية والجدول والرسم البياني والوصف اللفظي، وأن تختار أداة حل مناسبة للمعادلات الناتجة. في هذا المقرر ستدرس الدوال كثيرة الحدود والأسية واللوغاريتمية ودوال أخرى، ثم تربطها بحل المعادلات والمتباينات والنمذجة.

قبل البدء، ينبغي أن تكون مرتاحًا مع العمليات الجبرية الأساسية، تحليل المقادير، قوانين الأسس، مفهوم الجذر، الإحداثيات، وحل المعادلات الخطية والتربيعية. سنستخدم أيضًا أفكارًا تمهيدية من الهندسة التحليلية مثل الميل ونقاط التقاطع.

من الأفكار المركزية أن حل المعادلة $f (x) = g (x)$ يعني البحث عن قيم $x$ التي يتساوى عندها طرفا المعادلة؛ بيانيًا هي إحداثيات $x$ لنقاط تقاطع منحنيي $y = f (x)$ و $y = g (x)$ . هذه الرؤية تربط الجبر بالرسم وتساعدك على التحقق من معقولية الحلول.

أهداف التعلم

بنهاية المقرر تستطيع أن تحدد المجال والمدى والسلوك الطرفي للدوال، وتفسر أثر التحويلات على الرسوم البيانية، وتحلل كثيرات الحدود وتربط الجذور بالعوامل، وتحل معادلات أسية ولوغاريتمية مع مراعاة شروط المجال، وتتعامل مع معادلات كسرية وجذرية وقيمة مطلقة، وتستخدم الحل البياني أو العددي عندما لا يتوافر حل جبري بسيط، وتبني نماذج تطبيقية وتقيّم ملاءمتها.

ستتدرب كذلك على التحقق من الحل بالتعويض، وعلى اكتشاف الحلول الدخيلة التي قد تظهر بعد التربيع أو ضرب طرفي معادلة في تعبير يمكن أن يساوي صفرًا، وعلى تفسير النتيجة ضمن سياق المسألة بدل الاكتفاء برقم مجرد.

الدوال والتمثيلات والتحويلات

إذا كتبنا $y = f (x)$ فإن المجال هو مجموعة قيم $x$ المسموح بها، والمدى هو مجموعة القيم التي يمكن أن تنتج للدالة. قد يفرض التعبير قيودًا على المجال؛ فالمقام لا يجوز أن يساوي صفرًا، وما تحت جذر تربيعي حقيقي يجب أن يكون غير سالب، ومدخل اللوغاريتم الحقيقي يجب أن يكون موجبًا.

يمكنك قراءة معلومات مهمة من الرسم: الأصفار حيث يقطع المنحنى محور $x$ ، وقيمة $f (0)$ إن كانت معرفة، وفترات التزايد والتناقص، والقيم العظمى والصغرى المحلية، والتماثل، والسلوك عندما تصبح $x$ كبيرة موجبة أو سالبة.

التحويلات تسمح ببناء رسوم جديدة من رسم معروف. إذا كانت $y = f (x)$ معلومة، فإن $y = f (x - h) + k$ تنقل الرسم أفقيًا بمقدار $h$ ورأسيًا بمقدار $k$ . أما $y = a f (x)$ فتغيّر المقياس الرأسي وقد تعكس الرسم حول محور $x$ عندما يكون $a$ سالبًا. والتحويل $y = f (b x)$ يغيّر المقياس الأفقي بعامل مرتبط بـ $1 / | b |$ .

مثال محلول: انطلق من $f (x) = x^{2}$ . الدالة $g (x) = - 2 (x - 3)^{2} + 5$ ناتجة عن انتقال ثلاث وحدات إلى اليمين وخمس وحدات إلى أعلى، وتمدد رأسي بمعامل 2، وانعكاس حول محور $x$ . لذلك رأس القطع المكافئ هو $(3, 5)$ ويفتح إلى أسفل.

الدالة العكسية تعكس أدوار المدخل والمخرج. إذا كانت الدالة واحدًا لواحد على مجال مناسب، فإن رسم $f^{- 1}$ هو انعكاس رسم $f$ حول المستقيم $y = x$ . هذه الفكرة ستكون حاسمة عند فهم العلاقة بين الأسس واللوغاريتمات.

كثيرات الحدود والجذور

كثيرة الحدود لها الصورة العامة $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ حيث $a_{n} \neq 0$ ، والعدد $n$ هو الدرجة. تتحكم الدرجة وإشارة المعامل الرئيس في السلوك الطرفي. وبوجه عام، الدرجات الزوجية تجعل الطرفين يتجهان في الاتجاه نفسه، والدرجات الفردية تجعلهما يتجهان في اتجاهين متعاكسين.

إذا كان $P (r) = 0$ فإن $r$ جذر للمعادلة $P (x) = 0$ ، ووفق مبرهنة العامل يكون $x - r$ عاملًا في كثيرة الحدود. وقد يتكرر الجذر؛ فإذا ظهر العامل $(x - r)^{m}$ فعدد $m$ يسمى تعدد الجذر. عند جذر ذي تعدد فردي يقطع الرسم محور $x$ عادة، وعند تعدد زوجي يلامسه ثم يرتد.

مثال محلول: حل $x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 0$ . نجمع الحدود: $x^{2} (x - 4) - 1 (x - 4) = (x^{2} - 1) (x - 4)$ . ثم $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . إذن الجذور هي $x = - 1, 1, 4$ . يمكنك التحقق بتعويض كل قيمة في كثيرة الحدود الأصلية.

عندما لا يظهر التحليل مباشرة، جرّب البحث المنظم عن جذور نسبية محتملة، أو القسمة التركيبية بعد العثور على جذر، أو التعويض الذي يخفض الدرجة. في معادلة من الشكل $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ضع $u = x^{2}$ فتحصل على $u^{2} - 5 u + 4 = 0$ ، ومنه $u = 1$ أو $u = 4$ ، فتكون الحلول الحقيقية $x = \pm 1, \pm 2$ .

المميز في المعادلة التربيعية $a x^{2} + b x + c = 0$ هو $Δ = b^{2} - 4 a c$ . إذا كان موجبًا فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان صفرًا فهناك جذر حقيقي مكرر، وإذا كان سالبًا فلا توجد جذور حقيقية وتظهر جذور مركبة عند توسيع مجموعة الأعداد.

الدوال الأسية والنمو والتناقص

الدالة الأسية الأساسية هي $f (x) = a^{x}$ حيث $a > 0$ و $a \neq 1$ . مجالها جميع الأعداد الحقيقية، ومداها القيم الموجبة فقط. إذا كان $a > 1$ فهي متزايدة، وإذا كان $0 < a < 1$ فهي متناقصة. تمر دائمًا بالنقطة $(0, 1)$ لأن $a^{0} = 1$ .

قوانين الأسس الأساسية هي $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ و $a^{m} / a^{n} = a^{m - n}$ و $(a^{m})^{n} = a^{m n}$ . عند حل معادلة أسية، ابحث أولًا عن إمكانية كتابة الطرفين بالأساس نفسه.

مثال محلول: لحل $3^{2 x - 1} = 27$ نكتب $27 = 3^{3}$ ، ثم بما أن الأساس نفسه وموجب وغير مساو للواحد نحصل على $2 x - 1 = 3$ ، ومنه $x = 2$ .

إذا تعذر توحيد الأساس نستخدم اللوغاريتم. مثلًا في $5^{x} = 17$ نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: $x \ln 5 = \ln 17$ ، ومنه $x = \ln 17 / \ln 5$ .

من أشهر النماذج $A (t) = A_{0} (1 + r)^{t}$ للنمو المتقطع بمعدل نسبي $r$ لكل فترة، و $A (t) = A_{0} e^{k t}$ للنمو أو التناقص المستمر. عندما يكون $k > 0$ يحدث نمو، وعندما يكون $k < 0$ يحدث تناقص. لا يكفي اختيار نموذج أسي لأن البيانات تزداد؛ ينبغي مقارنة النموذج بالبيانات وفهم معنى المعلمات وحدود التنبؤ.

مثال تطبيقي: إذا استثمر مبلغ ابتدائي قدره 1000 وحدة نقدية بعائد سنوي 4 بالمئة يضاف مرة كل سنة، فإن النموذج بعد $t$ سنوات هو $A (t) = 1000 (1.04)^{t}$ . هذا المثال يبيّن كيف تتحول نسبة مئوية ثابتة لكل فترة إلى نمو أسي.

اللوغاريتمات بوصفها معكوس الأسس

التعريف المركزي هو $\log_{a} b = c$ إذا وفقط إذا كان $a^{c} = b$ ، مع الشروط $a > 0$ و $a \neq 1$ و $b > 0$ . لذلك اللوغاريتم يجيب عن سؤال: إلى أي أس نرفع الأساس لنحصل على العدد المطلوب؟

العلاقة العكسية تظهر في الهويتين $\log_{a} (a^{x}) = x$ و $a^{\log_{a} x} = x$ عندما يكون $x > 0$ . كما أن $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ و $\log_{a} (x / y) = \log_{a} x - \log_{a} y$ و $\log_{a} (x^{k}) = k \log_{a} x$ عندما تكون المدخلات في المجال الحقيقي الصحيح.

حركة توضح انعكاس الدالة الأسية إلى دالتها اللوغاريتمية العكسية — حركة تساعدك على رؤية العلاقة العكسية بين الدالة الأسية واللوغاريتمية.

مثال محلول: حل $\log_{2} (x - 1) = 3$ . نحول إلى الصورة الأسية: $x - 1 = 2^{3} = 8$ ، إذن $x = 9$ . التحقق من المجال ضروري: $x - 1 > 0$ ، والقيمة 9 تحقق الشرط.

مثال محلول أعمق: حل $\ln x + \ln (x - 3) = \ln 10$ . أولًا المجال يفرض $x > 3$ . نجمع اللوغاريتمين: $\ln [x (x - 3)] = \ln 10$ ، فينتج $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . التحليل يعطي $(x - 5) (x + 2) = 0$ . المرشحان 5 و-2، لكن شرط المجال يستبعد -2، إذن الحل الوحيد $x = 5$ .

قاعدة تغيير الأساس هي $\log_{a} x = \ln x / \ln a$ . وهي مفيدة عندما لا توفر الآلة الحاسبة زرًا للأساس المطلوب.

معادلات أخرى واستراتيجيات الحل

المعادلات الكسرية: ابدأ بتحديد القيم الممنوعة التي تجعل أي مقام صفرًا، ثم اضرب في المضاعف المشترك للمقامات، وحل المعادلة الناتجة، وأعد فحص كل حل في الأصل. مثال: $1 / (x - 1) + 1 / (x + 1) = 1$ مع الشرط $x \neq \pm 1$ . بعد التوحيد نحصل على $2 x = x^{2} - 1$ أي $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ، ومنه $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ، وكلاهما مسموح.

المعادلات الجذرية: اعزل الجذر قبل التربيع قدر الإمكان. مثال: $\sqrt{x + 1} = x - 1$ . لأن الطرف الأيسر غير سالب يلزم $x \geq 1$ . بالتربيع: $x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$ أي $x (x - 3) = 0$ . المرشحان 0 و3، لكن المجال والفحص في الأصل يتركان $x = 3$ فقط. القيمة 0 حل دخيل نتج عن عملية التربيع.

معادلات القيمة المطلقة: المعادلة $| u | = c$ مع $c \geq 0$ تعني $u = c$ أو $u = - c$ . أما إذا كان $c < 0$ فلا يوجد حل حقيقي. وفي المتباينات يجب التفكير في المسافة: $| x - a | < r$ يصف النقاط التي تبعد أقل من $r$ عن $a$ .

المعادلات المركبة من دوال: قد يكون التعويض مفيدًا. في $2^{2 x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ ضع $u = 2^{x}$ مع $u > 0$ . تصبح $u^{2} - 5 u + 4 = 0$ ، إذن $u = 1$ أو $u = 4$ . ومنه $2^{x} = 1$ يعطي $x = 0$ ، و $2^{x} = 4$ يعطي $x = 2$ .

عند حل متباينة تذكّر أن ضرب الطرفين في كمية سالبة يعكس إشارة المتباينة. وفي المتباينات الكسرية لا تضرب مباشرة في تعبير مجهول الإشارة؛ الأفضل نقل كل شيء إلى طرف واحد، تحديد الأصفار والقيم الممنوعة، ثم إنشاء جدول إشارة على الفترات.

الحل البياني والعددي وطريقة نيوتن

بعض المعادلات لا تمتلك حلًا جبريًا بسيطًا. عندها يمكن استخدام الرسم لتحديد فترة يوجد فيها الجذر، ثم طريقة عددية لتحسين التقريب. إذا كانت $f$ مستمرة وغيّرت إشارتها بين قيمتين، فهذه علامة قوية على وجود جذر بينهما.

طريقة نيوتن تبدأ بتخمين $x_{0}$ ثم تكرر العلاقة $x_{n + 1} = x_{n} - f (x_{n}) / f^{'} (x_{n})$ عندما تكون المشتقة معرفة وغير صفرية قرب النقاط المستخدمة. هندسيًا نرسم المماس عند النقطة الحالية ونأخذ تقاطعه مع محور $x$ كتخمين جديد.

مثال محلول تقريبي: لإيجاد $\sqrt{2}$ نحل $f (x) = x^{2} - 2 = 0$ . عند $x_{0} = 1.5$ نحصل على $x_{1} = 1.5 - (1. 5^{2} - 2) / (2 \cdot 1.5) \approx 1.4167$ . تكرار الخطوة يعطي تقريبًا أقرب إلى $1.4142$ .

طريقة نيوتن قوية لكنها ليست ضمانًا مطلقًا؛ قد تفشل إذا كان التخمين غير مناسب، أو كانت المشتقة قريبة من الصفر، أو أدى التكرار إلى الابتعاد عن الجذر. لذلك قارن بالتمثيل البياني وتحقق من قيمة $f (x)$ عند التقريب النهائي.

تطبيقات ونمذجة واختيار الدالة

اختيار نوع الدالة يعتمد على بنية الموقف. التغير بمقدار ثابت لكل وحدة يناسب نموذجًا خطيًا غالبًا، والتغير بنسبة مئوية ثابتة لكل فترة يناسب نموذجًا أسيًا، والعمليات التي تعكس الأسس أو تقيس مراتب مقدار متعددة قد تقود إلى لوغاريتمات، بينما المسارات المنحنية أو العلاقات ذات الانعطافات قد تحتاج إلى كثيرات حدود ضمن مجال محدد.

في النمذجة لا يكفي أن يمر المنحنى قرب البيانات. اسأل: هل المجال واقعي؟ هل القيم الناتجة معقولة؟ هل للمعلمات معنى؟ هل من الآمن الاستقراء خارج نطاق البيانات؟ نموذج كثيرة حدود عالي الدرجة قد يلائم نقاطًا كثيرة داخل نطاق معين لكنه يتصرف بصورة غير واقعية خارجه.

مثال مقارنة: إذا تضاعفت كمية كل ثلاث ساعات، فالعلاقة المناسبة هي $Q (t) = Q_{0} 2^{t / 3}$ . أما إذا زادت الكمية 20 وحدة كل ثلاث ساعات، فنموذج خطي من صورة $Q (t) = Q_{0} + (20 / 3) t$ أنسب. الفرق بين الزيادة النسبية والزيادة المطلقة هو مفتاح التمييز بين النمو الأسي والخطي.

يمكن للوغاريتمات تحويل علاقات أسية إلى علاقات خطية في متغير محول. إذا كان $y = C e^{k x}$ فإن $\ln y = \ln C + k x$ . هذا لا يعني أن كل بيانات تبدو مستقيمة بعد التحويل تصنع نموذجًا صحيحًا؛ يجب أن تكون افتراضات السياق منطقية أيضًا.

أخطاء شائعة وكيف تتجنبها

من الأخطاء الشائعة نسيان المجال، مثل قبول قيمة تجعل مدخل اللوغاريتم غير موجب أو المقام صفرًا. وخطأ آخر هو توزيع الأس أو اللوغاريتم بصورة غير صحيحة؛ فعمومًا $\log (x + y)$ لا يساوي $\log x + \log y$ ، كما أن $(x + y)^{2}$ لا يساوي $x^{2} + y^{2}$ .

عند التربيع أو رفع طرفي معادلة لقوة زوجية قد تظهر حلول دخيلة. وعند قراءة الرسم قد يؤدي مقياس المحاور إلى إيهامك بأن نقطة ما جذر دقيق، لذلك استخدم الرسم للتقدير ثم تحقق جبريًا أو عدديًا. وعند استخدام آلة حاسبة احتفظ بعدد كاف من الأرقام أثناء الحساب ثم قرّب في النهاية.

وأخيرًا، لا تخلط بين $f^{- 1} (x)$ و $1 / f (x)$ . الرمز الأول يدل على الدالة العكسية عندما توجد، والثاني يدل على مقلوب قيمة الدالة.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

إذا كان P(3)=0 لكثيرة حدود P، فما العامل الذي يضمنه مبرهنة العامل؟ (x-3) (!x+3) (!3x-1) (!x-9)

ما مجال الدالة الحقيقية f(x)=ln x؟ (x أكبر من صفر) (!x أصغر من صفر) (!جميع الأعداد الحقيقية) (!x لا يساوي صفرًا فقط)

أي نموذج يناسب كمية تتضاعف كل فترة زمنية ثابتة؟ (نمو أسي) (!نمو خطي) (!دالة ثابتة) (!تناقص خطي)

ما حل المعادلة 2 أس x يساوي 8؟ (x يساوي 3) (!x يساوي 2) (!x يساوي 4) (!x يساوي 8)

إذا كان مميز معادلة تربيعية سالبًا، فماذا يحدث بالنسبة للجذور الحقيقية؟ (لا توجد جذور حقيقية) (!يوجد جذران حقيقيان مختلفان) (!يوجد جذر حقيقي مكرر) (!كل عدد حقيقي حل)

ما الخطوة الضرورية بعد تربيع طرفي معادلة جذرية؟ (فحص الحلول في المعادلة الأصلية) (!قبول كل الجذور الناتجة مباشرة) (!حذف جميع الحلول السالبة دائمًا) (!تحويل المعادلة إلى لوغاريتم)

ماذا تمثل حلول المعادلة f(x)=g(x) على الرسم؟ (قيم x لنقاط تقاطع المنحنيين) (!قيم y عند محور الصادات فقط) (!ميل المنحنى الأول دائمًا) (!نقاط تقاطع المنحنى مع محور الصادات)

أي عبارة صحيحة عن الدالة الأسية a أس x عندما a أكبر من 1؟ (هي متزايدة ومداها موجب) (!هي متناقصة ومداها جميع الأعداد) (!تمر دائمًا بنقطة الأصل) (!مجالها الأعداد الموجبة فقط)

لماذا نحدد القيم الممنوعة قبل حل معادلة كسرية؟ (لأن المقام لا يجوز أن يساوي صفرًا) (!لأن البسط يجب أن يكون موجبًا) (!لأن كل كسر يساوي صفرًا) (!لأن المتغير يجب أن يكون عددًا صحيحًا)

ما الفكرة الهندسية الأساسية في طريقة نيوتن؟ (استخدام تقاطع المماس مع محور x لتكوين تقريب جديد) (!استخدام مساحة تحت المنحنى فقط) (!استبدال المنحنى بدائرة) (!إيجاد نقطة تقاطع مع محور y فقط)

لعبة الذاكرة

المجال	مجموعة المدخلات المسموح بها للدالة
الجذر	قيمة للمتغير تجعل قيمة الدالة صفرًا
المميز	كمية تحدد طبيعة جذور المعادلة التربيعية
اللوغاريتم	العملية العكسية للأس عند أساس محدد
التعدد	عدد مرات تكرار عامل مرتبط بجذر
التقارب	اقتراب متتالية من قيمة محددة أثناء التكرار

السحب والإفلات

صِل كل فكرة بالوصف المناسب.	الدوال والمعادلات
نمو بنسبة ثابتة	نموذج أسي
تغير بمقدار ثابت	نموذج خطي
مدخل لوغاريتم حقيقي	يجب أن يكون موجبًا
جذر ذو تعدد زوجي	يلامس الرسم المحور عادة ثم يرتد
تربيع طرفي معادلة	قد ينتج حلولًا دخيلة
طريقة نيوتن	تكرار يعتمد على المماس والمشتقة

كلمات متقاطعة

مجال	ما اسم مجموعة قيم المدخلات المسموح بها للدالة؟
لوغاريتم	ما العملية التي تعكس عملية الرفع إلى أس؟
مميز	ما الكمية التي تحدد طبيعة جذور المعادلة التربيعية؟
متباينة	ما الاسم العام لعبارة تقارن بين كميتين بإشارات أكبر أو أصغر؟
تقارب	ما اسم اقتراب التكرارات العددية من قيمة محددة؟
تحليل	ما العملية الجبرية التي تحول كثيرة حدود إلى حاصل ضرب عوامل؟

مهام مفتوحة

سهل

خريطة عائلة الدوال: أنشئ ملصقًا أو صفحة رقمية تقارن الدالة الخطية والتربيعية والأسية واللوغاريتمية من حيث الشكل والمجال والمدى ومثال تطبيقي واحد لكل نوع.
تحويلات الرسم: اختر دالة أساسية وارسمها ثم ارسم ثلاث تحويلات لها، واكتب تحت كل رسم وصفًا عربيًا دقيقًا للتحويل.
صيد الجذور: اختر كثيرة حدود قابلة للتحليل من الدرجة الثالثة أو الرابعة، وحلها خطوة بخطوة ثم تحقق من الجذور بالتعويض والرسم التقريبي.
بطاقة قوانين اللوغاريتم: صمم بطاقة تعليمية تشرح قوانين الضرب والقسمة والأس وتغيير الأساس مع مثال صحيح ومثال مضاد لخطأ شائع.

متوسط

مقارنة نموين: أنشئ جدولًا ورسمًا يقارنان نموذجًا خطيًا وآخر أسيًا يبدأان بالقيمة نفسها، ثم فسّر متى يبدأ الفرق بينهما في الازدياد بوضوح.
تحقيق في الحلول الدخيلة: كوّن ثلاث معادلات جذرية، وحلها مع تسجيل المرحلة التي قد تُنتج حلًا دخيلًا، ثم تحقق من كل حل في المعادلة الأصلية.
مقابلة عن استخدام الدوال: أجر مقابلة قصيرة مع معلم أو مهندس أو مختص مالي حول موقف يستخدم فيه الدوال أو النماذج، ولخّص كيف يختار نوع الدالة وما حدود النموذج دون نشر بيانات شخصية.
فيديو مثال محلول: سجّل فيديو قصيرًا أو عرضًا صوتيًا مرئيًا تشرح فيه معادلة أسية أو لوغاريتمية من اختيارك مع شرط المجال والتحقق النهائي.

متقدم

مختبر طريقة نيوتن: استخدم آلة حاسبة أو جدولًا إلكترونيًا لتنفيذ خمس تكرارات لطريقة نيوتن على دالة مناسبة، وغيّر قيمة البداية وقارن سرعة التقارب أو فشله.
ملاءمة كثيرة حدود: اجمع مجموعة صغيرة من بيانات غير شخصية أو أنشئها بنفسك، وجرّب ملاءمتها بكثيرة حدود من درجتين مختلفتين، ثم ناقش خطر المبالغة في الملاءمة والاستقراء خارج المجال.
تحقيق في الدالة العكسية: اختر دالة غير واحد لواحد على مجالها الكامل، وحدد مجالًا مقيدًا يجعلها قابلة للعكس، ثم ارسم الدالة وعكسها مع المستقيم y=x وفسّر الانعكاس.
مشروع قرار بالنموذج: صمّم مسألة تطبيقية واقعية يمكن تمثيلها بنمو أسي أو تناقص أسي، وقدّر المعلمات من معلومات واضحة، ثم اختبر حساسية النتيجة لتغير إحدى المعلمات وناقش حدود الاستنتاج.

مجالات تعلم مرتبطة

الدوال والمعادلات المتقدمة

ترتبط هذه الوحدة مباشرة بالجبر، والهندسة التحليلية، والإحصاء والنمذجة، والفيزياء، والاقتصاد والتمويل، وعلوم الحاسوب. كما تمهد لدراسة التفاضل والتكامل لأن فهم سلوك الدوال والميل والتحويلات والجذور ضروري قبل دراسة المشتقات والتكاملات بعمق.

مسرد

المصطلح	التعريف
الدالة	قاعدة تربط كل مدخل مسموح به بمخرج واحد فقط.
المجال	مجموعة قيم المدخل التي تكون الدالة معرفة عندها.
المدى	مجموعة قيم المخرج الممكنة للدالة.
الجذر	قيمة للمتغير تجعل الدالة مساوية للصفر.
كثيرة الحدود	مجموع حدود تتضمن قوى صحيحة غير سالبة للمتغير بمعاملات ثابتة.
التعدد	عدد مرات ظهور عامل مرتبط بجذر معين في التحليل.
الدالة الأسية	دالة يكون المتغير فيها في الأس مثل a أس x ضمن شروط الأساس.
اللوغاريتم	العملية العكسية للرفع إلى قوة بالنسبة إلى أساس محدد.
المميز	التعبير b تربيع ناقص 4ac الذي يحدد طبيعة جذور المعادلة التربيعية.
الحل الدخيل	قيمة تظهر أثناء خطوات الحل لكنها لا تحقق المعادلة الأصلية.
التقارب	اقتراب قيم متتالية أو تكرارات عددية من قيمة ثابتة.
النموذج الرياضي	تمثيل رياضي مبسط لموقف حقيقي بهدف الوصف أو التنبؤ ضمن افتراضات محددة.