Arabic:الدوال والتمثيل البياني

مقدمة

الدالة فكرة أساسية في الرياضيات لأنها تساعدك على وصف علاقة بين كميتين: كيف تتغير كمية عندما تتغير كمية أخرى. عندما تربط الزمن بالمسافة، أو عدد الدقائق بحجم الماء في خزان، أو قيمة المتغير x بقيمة y، فأنت تتعامل مع علاقة يمكن تمثيلها بالكلمات أو بجدول أو بمعادلة أو برسم بياني.

في هذا المقرر ستتعلم كيف تميز الدالة من علاقة ليست دالة، وكيف تحدد المدخلات والمخرجات، وكيف تقرأ المجال والمدى، وكيف تنتقل بين الجدول والمعادلة والرسم البياني. وستتعرف أيضًا إلى معدل التغير بوصفه طريقة لوصف سرعة تغير المخرجات بالنسبة إلى المدخلات، ثم ستقارن بين الدوال الخطية وبعض الدوال غير الخطية البسيطة.

تعامل مع الرسم البياني على أنه قصة مختصرة: موضع النقطة يخبرك بقيمتين معًا، واتجاه الرسم وشكله يساعدانك على تفسير العلاقة بينهما. لا يكفي أن ترسم خطًا أو منحنى؛ المهم أن تعرف ماذا يعني في السياق.

أهداف التعلم

1. تشرح معنى الدالة والمدخل والمخرج والمتغير المستقل والمتغير التابع بلغة واضحة.
2. تحدد مجال دالة ومداها من جدول أو وصف أو رسم بياني بسيط.
3. تمثل دالة بجدول قيم وبأزواج مرتبة وبمعادلة وبرسم على المستوى الإحداثي.
4. تميز من الرسم أو الأزواج المرتبة ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة.
5. تحسب معدل التغير المتوسط بين نقطتين وتفسر وحدته في سياق عملي.
6. تميز الدالة الخطية ذات معدل التغير الثابت من علاقة غير خطية يتغير فيها معدل التغير.
7. تفسر الميل والجزء المقطوع من المحور ومجال النموذج دون أن تمدد النموذج خارج سياقه من غير مبرر.

المتغيرات والمستوى الإحداثي

المتغير رمز يمكن أن تتغير قيمته. في كثير من المسائل نستخدم x للمتغير المستقل، أي القيمة التي نختارها أو نعرفها أولًا، ونستخدم y أو f(x) للمتغير التابع، أي القيمة التي تتحدد بناء على المدخل. هذه عادة شائعة وليست قانونًا يمنع استخدام رموز أخرى.

في المستوى الإحداثي يمثل المحور الأفقي عادة قيم x ويمثل المحور الرأسي قيم y. تكتب النقطة على صورة زوج مرتب مثل (3، 2): العدد الأول يحدد الحركة الأفقية، والثاني يحدد الحركة الرأسية.

الفكرة	معناها	مثال
المتغير المستقل	المدخل الذي نختاره أو نضبطه أو نلاحظه أولًا	الزمن بالدقائق
المتغير التابع	المخرج الذي تتغير قيمته بحسب المدخل	حجم الماء باللترات
الزوج المرتب	مدخل ومخرج يمثلان نقطة واحدة	(3، 9)
نقطة الأصل	تقاطع المحورين	(0، 0)

المستوى الإحداثي يتيح لك تمثيل كل زوج من قيم المدخل والمخرج بنقطة.

عند قراءة أي رسم، انتبه إلى أسماء المحاور ووحداتها ومقياس التدريج. فقد تمثل قيمة واحدة على المحور سنتيمترًا في رسم، وعشرة أمتار في رسم آخر.

ما الدالة؟

الدالة علاقة تعطي لكل مدخل مسموح به مخرجًا واحدًا فقط. يمكن لمدخلين مختلفين أن يعطيا المخرج نفسه، لكن لا يجوز للمدخل نفسه أن يعطي مخرجين مختلفين داخل الدالة الواحدة.

إذا كانت القاعدة f(x)=2x+1، فإن إدخال x=0 يعطي f(0)=1، وإدخال x=3 يعطي f(3)=7. تستطيع تنظيم القيم في جدول:

x	-2	-1	0	1	2	3
f(x)=2x+1	-3	-1	1	3	5	7

كل عمود في الجدول يصنع زوجًا مرتبًا يمكن رسمه. وعندما تصل النقاط المناسبة تحصل على صورة بصرية للعلاقة.

يمكن أن تكون رسوم الدوال خطوطًا أو منحنيات، لكن لكل قيمة أفقية مدخل مخرج واحد فقط.

من الطرق السريعة لفحص رسم ما اختبار الخط الرأسي: تخيل خطًا رأسيًا يتحرك من اليسار إلى اليمين. إذا قطع الرسم في أكثر من نقطة في الموضع الأفقي نفسه، فالعلاقة لا تمثل دالة y بدلالة x. والسبب أن قيمة x واحدة ستكون مرتبطة بأكثر من قيمة y.

المجال والمدى

المجال هو مجموعة قيم المدخل المسموح بها في الدالة، والمدى هو مجموعة قيم المخرج التي تنتج فعلًا عن تلك المدخلات.

في جدول محدود، المجال هو قيم x الموجودة في الصف أو العمود المخصص للمدخلات، والمدى هو قيم y الناتجة. أما في الرسم البياني، ففكر في الامتداد الأفقي للرسم لتحديد المجال، وفي الامتداد الرأسي لتحديد المدى.

السياق الواقعي قد يفرض قيودًا مهمة. إذا كان V(t)=20+3t يمثل حجم الماء باللترات بعد t دقيقة خلال تجربة مدتها عشر دقائق، فالمعادلة الحسابية تقبل قيمًا كثيرة لـ t، لكن نموذج التجربة نفسه يستخدم زمنًا من الصفر إلى عشر دقائق فقط. لذلك يجب أن تميز بين ما تسمح به الصيغة وما يسمح به الموقف الحقيقي.

التمثيل	كيف تجد المجال؟	كيف تجد المدى؟
جدول قيم	اجمع قيم المدخل المختلفة	اجمع قيم المخرج المختلفة
أزواج مرتبة	اقرأ الإحداثيات الأولى	اقرأ الإحداثيات الثانية
رسم بياني	تتبع امتداد الرسم أفقيًا	تتبع امتداد الرسم رأسيًا
موقف عملي	حدد المدخلات الممكنة والمعقولة في السياق	حدد المخرجات الناتجة عنها والمعقولة في السياق

عند تعلم دوال أكثر تقدمًا ستقابل قيودًا جبرية أيضًا؛ فمثلًا لا يسمح بالقسمة على صفر. لكن في هذه المرحلة ركز أولًا على فهم معنى مجموعة المدخلات ومجموعة المخرجات وسبب القيود.

من الجدول إلى الرسم البياني

لتمثيل دالة بيانيًا، يمكنك اختيار قيم مناسبة للمدخل، وحساب المخرجات، وتكوين أزواج مرتبة، ثم رسم النقاط. إذا كانت العلاقة خطية، فستقع النقاط على خط مستقيم.

لنأخذ y=2x+1. من الجدول السابق نجد النقاط (-2، -3) و(-1، -1) و(0، 1) و(1، 3) و(2، 5). بعد رسمها يظهر خط صاعد من اليسار إلى اليمين.

مثالان لدالتين خطيتين؛ اختلاف الميل يجعل أحد الخطين صاعدًا والآخر هابطًا.

لا تعتمد على شكل الرسم وحده. يجب أن تقرأ التدريج والعناوين. خط يبدو شديد الانحدار قد يكون نتيجة اختلاف مقياس المحورين، لذلك استخدم القيم العددية عندما تريد حساب معدل التغير.

صورة التمثيل	ما الذي يوضحه بسرعة؟	سؤال مفيد عند القراءة
الكلمات	معنى العلاقة في الحياة أو المسألة	ما الكميتان المرتبطتان؟
الجدول	قيم دقيقة لمدخلات محددة	ما المخرج المقابل لهذا المدخل؟
المعادلة	قاعدة حساب عامة	كيف أحسب المخرج لأي مدخل مسموح؟
الرسم البياني	الاتجاه والشكل والتغير بصريًا	أين تزداد العلاقة أو تنقص؟

الدوال الخطية ومعدل التغير

في الدالة الخطية يكون الرسم خطًا مستقيمًا ويكون معدل التغير ثابتًا. إذا اخترت نقطتين مختلفتين (x1، y1) و(x2، y2)، فإن معدل التغير المتوسط يساوي مقدار التغير في y مقسومًا على مقدار التغير في x:

معدل التغير = (y2 - y1) ÷ (x2 - x1)

في الدالة الخطية يسمى هذا العدد أيضًا الميل. فإذا زادت y بمقدار 6 عندما زادت x بمقدار 2، كان الميل 3. معنى العدد 3 يعتمد على الوحدات: قد يعني 3 لترات لكل دقيقة، أو 3 أمتار لكل ثانية، أو 3 وحدات نقدية لكل قطعة.

لنعد إلى V(t)=20+3t. العدد 20 هو قيمة البداية عندما t=0، والعدد 3 يخبرك بأن الحجم يزداد 3 لترات في كل دقيقة خلال النموذج.

حالة الخط	إشارة معدل التغير	التفسير
صاعد من اليسار إلى اليمين	موجب	المخرج يزداد عندما يزداد المدخل
أفقي	صفر	المخرج ثابت رغم تغير المدخل
هابط من اليسار إلى اليمين	سالب	المخرج ينقص عندما يزداد المدخل

رسم متحرك لدالة موضع: تغير شكل العلاقة مع الزمن يساعدك على التفكير في سرعة تغير الموضع.

عند مقارنة مقطعين من رسم موضع مقابل زمن، يخبرك معدل التغير المتوسط بكمية تغير الموضع لكل وحدة زمن. إذا كان معدل التغير أكبر مقدارًا، كان تغير الموضع أسرع خلال ذلك المقطع.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

يعرض الفيديو مثالًا عربيًا مناسبًا للمرحلة المتوسطة حول تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا. شاهده مع إيقافه عند الأمثلة، وحاول توقع موضع النقطة التالية قبل متابعة الشرح.

الدوال غير الخطية: مثال تربيعي

ليست كل الدوال خطوطًا مستقيمة. الدالة y=x² مثال بسيط على دالة تربيعية. رسمها الأساسي منحنى على شكل حرف U يسمى قطعًا مكافئًا. لاحظ أن معدل التغير ليس ثابتًا: الفرق بين قيم المخرج يتغير من خطوة إلى أخرى حتى عندما نزيد x بمقدار ثابت.

x	-2	-1	0	1	2
y=x²	4	1	0	1	4

الرسم الأساسي للدالة y=x²؛ أقل قيمة للمخرج هنا عند نقطة الأصل.

حركة بصرية للقطع المكافئ تساعدك على ملاحظة الشكل المنحني للدالة التربيعية.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

يعرض الفيديو العربي تمثيل الدوال التربيعية بيانيًا بمستوى مناسب لطلاب المرحلة المتوسطة. قارن بين شكل المنحنى فيه وشكل الخط المستقيم في الدالة الخطية.

خاصية	دالة خطية	دالة تربيعية بسيطة
الشكل المعتاد للرسم	خط مستقيم	منحنى على شكل U أو U مقلوبة بحسب المعادلة
معدل التغير	ثابت	يتغير من فترة إلى أخرى
مثال	y=2x+1	y=x²

تفسير العلاقات الرياضية

الرسم البياني ليس زينة؛ إنه وسيلة للاستدلال. عندما ترى علاقة بين متغيرين، اسأل: ما معنى كل محور؟ ما الوحدات؟ ما المجال الذي يمثل الموقف؟ ما قيمة البداية؟ هل معدل التغير ثابت أم متغير؟ وهل توجد نقاط خاصة مثل أعلى قيمة أو أقل قيمة ضمن المجال المدروس؟

افترض أن رسمًا يبين عدد الصفحات المقروءة مقابل الزمن. إذا صعد الرسم فهذا يعني أن العدد الكلي للصفحات المقروءة يزداد. وإذا كان جزء من الرسم أكثر انحدارًا من جزء آخر، فهذا يشير إلى معدل قراءة أكبر في ذلك الجزء، بشرط أن تكون مقاييس المحاور ثابتة ومقروءة بوضوح.

ولا تمدد نموذجًا خارج المجال من غير تفكير. إذا قست علاقة خلال عشر دقائق، فلا يكفي أن تمد خطها إلى مئة دقيقة وتفترض أن السلوك نفسه سيستمر دائمًا. النموذج الرياضي مفيد عندما يبقى مرتبطًا بالشروط التي بُني من أجلها.

أخطاء شائعة وأسئلة للتفكير

الخطأ الشائع	التصحيح
الاعتقاد أن كل علاقة دالة	افحص هل لكل مدخل مخرج واحد فقط
الخلط بين المجال والمدى	المجال للمدخلات والمدى للمخرجات الناتجة
حساب الميل من شكل الخط بالعين فقط	استخدم فرق المخرجات مقسومًا على فرق المدخلات
تجاهل وحدات القياس	اذكر وحدة معدل التغير مثل لتر لكل دقيقة
مد الرسم خارج سياقه بلا مبرر	تحقق من المجال الواقعي قبل التنبؤ
اعتبار كل منحنى غير دالة	بعض المنحنيات تمثل دوال ما دامت تجتاز اختبار الخط الرأسي

قبل الانتقال إلى الأنشطة، حاول أن تشرح لزميل بجملة واحدة الفرق بين الدالة والرسم البياني للدالة: الدالة هي العلاقة نفسها، أما الرسم البياني فهو إحدى طرق تمثيل تلك العلاقة.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

ما الشرط الأساسي لكي تكون العلاقة دالة؟ (أن يرتبط كل مدخل بمخرج واحد فقط) (!أن تكون جميع المخرجات مختلفة) (!أن يكون الرسم خطًا مستقيمًا دائمًا) (!أن تكون جميع المدخلات موجبة)

ماذا يمثل مجال الدالة؟ (مجموعة قيم المدخل المسموح بها) (!مجموعة النقاط الواقعة فوق المحور الأفقي) (!معدل تغير المخرجات) (!قيمة المخرج عند الصفر فقط)

إذا كانت f(x)=2x+1 فما قيمة f(3)؟ (7) (!5) (!6) (!8)

في الدالة y=3x+2 ما معدل التغير الثابت؟ (3) (!2) (!5) (!0)

إذا زادت y بمقدار 6 عندما زادت x بمقدار 2 فما معدل التغير؟ (3) (!12) (!8) (!4)

ماذا يعني أن يكون رسم دالة خطية أفقيًا؟ (أن معدل التغير يساوي صفرًا) (!أن المجال فارغ) (!أن المدى يساوي المجال دائمًا) (!أن العلاقة ليست دالة)

في تجربة تستمر عشر دقائق ما المجال الأنسب لمتغير الزمن في النموذج؟ (الأزمنة الواقعة ضمن مدة التجربة) (!كل الأعداد السالبة فقط) (!كل الأعداد الممكنة بلا قيد) (!قيمة الدقيقة العاشرة فقط)

متى يفشل رسم ما في اختبار الخط الرأسي؟ (عندما يقطع خط رأسي الرسم في أكثر من نقطة) (!عندما يقطع الرسم المحور الأفقي) (!عندما يكون الرسم صاعدًا) (!عندما يحتوي الرسم على نقطة الأصل)

كيف يختلف معدل التغير في الدالة y=x² عن الدالة الخطية؟ (يتغير معدل التغير من فترة إلى أخرى) (!يكون دائمًا صفرًا) (!لا يمكن حساب أي تغير فيها) (!يكون دائمًا سالبًا)

إذا كان المدخل نفسه مرتبطًا بمخرجين مختلفين في علاقة، فما الحكم؟ (العلاقة ليست دالة بالنسبة إلى هذا المدخل) (!العلاقة دالة خطية بالضرورة) (!المجال يساوي المدى) (!الميل يساوي واحدًا)

لعبة الذاكرة

الدالة	علاقة تعطي لكل مدخل مخرجًا واحدًا فقط
المجال	مجموعة قيم المدخل المسموح بها
المدى	مجموعة قيم المخرج الناتجة فعلًا
المتغير المستقل	قيمة نختارها أو نعرفها قبل تحديد المخرج
المتغير التابع	قيمة تتحدد بناء على المدخل
الميل	معدل التغير الثابت في دالة خطية

السحب والإفلات

طابق كل وصف بالتمثيل أو الفكرة المناسبة.	الفكرة
جدول قيم	يعرض مدخلات محددة مع المخرجات المقابلة لها
تمثيل بياني	يعرض الأزواج المرتبة كنقاط على مستوى إحداثي
اختبار الخط الرأسي	يفحص هل للمدخل الأفقي مخرج واحد فقط
معدل تغير ثابت	يميز العلاقة الخطية على مجالها
معدل تغير موجب	يدل على أن المخرج يزداد مع المدخل في خط صاعد
معدل تغير سالب	يدل على أن المخرج ينقص مع المدخل في خط هابط

كلمات متقاطعة

الدالة	ما العلاقة التي تعطي لكل مدخل مخرجًا واحدًا فقط؟
المجال	ما اسم مجموعة قيم الإدخال المسموح بها؟
المدى	ما اسم مجموعة قيم الإخراج الناتجة؟
الميل	ما العدد الذي يصف معدل التغير الثابت في الدالة الخطية؟
المتغير	ما اسم الرمز الذي يمكن أن تتغير قيمته؟
التربيعية	ما نوع الدالة التي يظهر رسمها الأساسي على شكل حرف U؟

مهام مفتوحة

سهل

1. بناء جدول قيم: اختر الدالة y=2x-1 وخمس قيم صحيحة بسيطة لـ x، ثم احسب المخرجات واكتب الأزواج المرتبة وتحقق من حساباتك.
2. رسم نقاط: ارسم مستوى إحداثيًا على ورق مربعات ومثل عليه الأزواج التي أنشأتها، ثم صل النقاط وسم المحورين بوضوح.
3. آلة الدالة: صمم بطاقة أو مخططًا صغيرًا يصور الدالة كآلة تستقبل مدخلًا وتطبق قاعدة ثم تعطي مخرجًا، وأضف ثلاثة أمثلة من صنعك.
4. وصف رسم بياني: اختر رسمًا بسيطًا من هذا المقرر واكتب خمس جمل تصف المجال التقريبي والاتجاه ونقاطًا بارزة من دون نسخ النص المحيط به.

متوسط

1. قياس معدل التغير: حرّك جسمًا صغيرًا آمنًا على سطح مستو وسجل موضعه كل خمس ثوان لعدة قراءات، ثم أنشئ جدولًا ورسمًا واحسب معدل التغير المتوسط بين فترتين.
2. مقارنة ميلين: ارسم دالتين خطيتين لهما ميلان مختلفان، ثم اشرح كتابة كيف يؤثر مقدار الميل وإشارته في اتجاه كل خط وانحداره.
3. نموذج موقف واقعي: ابتكر موقفًا بسيطًا له قيمة بداية ومعدل تغير ثابت، واكتب معادلة وجدولًا ورسمًا وفسر وحدات الميل والمقطع.
4. مقابلة تعليمية: اسأل معلمًا أو فردًا بالغًا تعرفه كيف يستخدم الرسوم البيانية أو معدلات التغير في دراسة أو عمل، ثم لخص الأفكار الرياضية فقط من دون تسجيل بيانات شخصية.

متقدم

1. نمذجة حركة: أنشئ مقطع فيديو قصيرًا أو سلسلة صور لحركة جسم آمن على مسار مستقيم، واربط الأزمنة بالمواضع في جدول ثم فسر المقاطع ذات معدل التغير الأكبر أو الأصغر.
2. مقارنة دالتين: مثل y=2x+1 وy=x² على المجال من -3 إلى 3 باستخدام جدولين ورسم واحد، ثم قارن الشكل ومعدل التغير وابحث عن نقاط تقارب أو تقاطع تقريبية.
3. نقد رسم بياني: أنشئ رسمين للبيانات نفسها بمقياسين مختلفين على أحد المحاور، ثم اكتب كيف يمكن للمقياس أن يغير الانطباع البصري من غير أن يغير القيم الأصلية.
4. فيديو تعليمي: أعد فيديو من دقيقتين إلى ثلاث دقائق يشرح المجال والمدى واختبار الخط الرأسي بمثالين من رسمك، مع تجنب إظهار أي معلومات شخصية.

مجالات تعلم مرتبطة

الدوال والتمثيل البياني المستوى الإحداثي المعادلات الخطية الميل ومعدل التغير الدوال التربيعية النمذجة الرياضية قراءة البيانات والرسوم

يمكنك ربط هذا الموضوع أيضًا بالعلوم عند تمثيل المسافة والزمن أو درجة الحرارة والزمن، وبالتقنية عند عرض البيانات، وبالاقتصاد عند وصف التكلفة أو الإيراد بنماذج مناسبة. هذه الروابط لا تعني أن كل علاقة في الحياة خطية؛ بل تساعدك على اختيار نموذج وفحص مدى ملاءمته.

مسرد

المصطلح	المعنى
الدالة	علاقة تعطي كل مدخل مسموح به مخرجًا واحدًا فقط
المدخل	القيمة التي تدخل في قاعدة الدالة
المخرج	القيمة التي تنتج بعد تطبيق قاعدة الدالة
المتغير المستقل	المتغير الذي يمثل المدخل عادة
المتغير التابع	المتغير الذي تتحدد قيمته بناء على المدخل
المجال	مجموعة قيم المدخل المسموح بها
المدى	مجموعة قيم المخرج التي تنتج فعلًا
الزوج المرتب	زوج من القيم يمثل نقطة على صورة مدخل ثم مخرج
التمثيل البياني	مجموعة نقاط تعرض العلاقة على مستوى إحداثي
معدل التغير	مقدار تغير المخرج بالنسبة إلى مقدار تغير المدخل
الميل	معدل التغير الثابت للدالة الخطية
الدالة الخطية	دالة يكون رسمها خطًا مستقيمًا ومعدل تغيرها ثابتًا
الدالة التربيعية	دالة تتضمن حدًا تربيعيًا ويكون رسمها الأساسي قطعًا مكافئًا
اختبار الخط الرأسي	طريقة بصرية لفحص ما إذا كان الرسم يمثل دالة للمخرج بدلالة المدخل