Arabic:التمثيل البياني والعلاقات الرياضية
التمثيل البياني والعلاقات الرياضية
مقدمة
عندما تقول إن ثمن ثلاثة أقلام يساوي تسع وحدات نقدية، أو إن المسافة التي تقطعها دراجة تزداد مع مرور الزمن، فأنت تصف علاقة رياضية بين كميتين. ويمكنك تمثيل هذه العلاقة بالكلمات أو بجدول أو بأزواج مرتبة أو برسم بياني. يساعدك التمثيل البياني على رؤية النمط بسرعة، ومقارنة علاقات مختلفة، وتقدير قيم جديدة، واكتشاف ما إذا كانت العلاقة تزداد أو تنقص أو تبقى ثابتة.
في هذه الدورة ستتعلم كيف تنتقل بين الجدول والرسم والقاعدة الرياضية، وكيف تقرأ النقاط والمحاور والمقياس، وكيف تميز العلاقة التناسبية من علاقة خطية لا تمر بنقطة الأصل. ستتدرب أيضا على تفسير الرسوم في مواقف قريبة من حياتك مثل التكلفة والمسافة والزمن.
قبل البدء، من المفيد أن تكون مرتاحا مع الأعداد الصحيحة والكسور البسيطة والعمليات الأربع وفكرة النسبة. لا تحتاج إلى معرفة متقدمة بالدوال.
أهداف التعلم
بعد إكمال الدورة ستتمكن من:
- تحديد المحور الأفقي والمحور الرأسي ونقطة الأصل وقراءة إحداثيات نقطة.
- تمثيل علاقة رياضية بجدول وأزواج مرتبة ورسم بياني.
- تفسير معنى نقطة أو جزء من رسم في سياق مسألة واقعية.
- التعرف إلى العلاقة التناسبية من ثبات النسبة ومرور خطها بنقطة الأصل.
- مقارنة علاقتين خطيتين باستخدام معدل التغير والميل والجزء المقطوع.
- اختيار مقياس مناسب للرسم وتجنب أخطاء القراءة الشائعة.
العلاقات الرياضية وطرق تمثيلها
العلاقة الرياضية تربط بين قيم متغيرة. سنسمي الكمية التي نختارها أولا المدخل، والكمية التي تتغير تبعا لها المخرج. إذا كان ثمن الدفتر الواحد ثلاث وحدات نقدية، فإن عدد الدفاتر هو المدخل والتكلفة هي المخرج. يمكن كتابة القاعدة هكذا: ص = 3س، حيث س يمثل عدد الدفاتر وص يمثل التكلفة.
يمكن تنظيم القيم في جدول:
| عدد الدفاتر س | التكلفة ص |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
كل صف في الجدول يعطي زوجا مرتبا من قيمتين: قيمة س ثم قيمة ص. الأزواج السابقة هي صفر مع صفر، وواحد مع ثلاثة، واثنان مع ستة، وثلاثة مع تسعة، وأربعة مع اثني عشر. عند نقل هذه الأزواج إلى المستوى الإحداثي نحصل على نقاط تقع على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل.
العلاقة يمكن أن تكون متقطعة، مثل عدد الدفاتر، لأنك قد لا تشتري نصف دفتر. وقد تكون مستمرة، مثل الزمن أو المسافة، لأن القيم بين عددين يمكن أن تكون ذات معنى. لذلك لا تصل كل النقاط بخط تلقائيا؛ اسأل أولا إن كانت القيم الواقعة بينها ممكنة في الموقف.
المستوى الإحداثي وقراءة النقاط
المستوى الإحداثي شبكة تساعدك على تحديد موضع كل نقطة باستخدام عددين. المحور الأفقي يمثل عادة س، والمحور الرأسي يمثل عادة ص. يلتقي المحوران عند نقطة الأصل حيث تكون قيمة كل محور صفرا. يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع، لكن كثيرا من مسائل الحياة اليومية في هذه المرحلة تستخدم الربع الأول لأن الكميات مثل العدد والزمن والتكلفة تكون غير سالبة.
لقراءة نقطة، ابدأ من نقطة الأصل وتحرك أفقيا حتى قيمة س، ثم رأسيا حتى قيمة ص. ترتيب الإحداثيين مهم؛ فالنقطة التي لها س يساوي اثنين وص يساوي خمسة ليست هي النقطة التي لها س يساوي خمسة وص يساوي اثنين.
انتبه إلى المقياس. إذا كانت العلامات على المحور تقفز بمقدار اثنين في كل مرة، فلا تقرأها كما لو كانت تقفز بمقدار واحد. ويجب أن يكون لكل محور مقياس واضح يناسب القيم التي تريد تمثيلها.
من الجدول إلى الرسم البياني
لتحويل جدول إلى رسم بياني، حدد أولا أي كمية ستوضع على المحور الأفقي وأيها على المحور الرأسي، ثم اختر مقياسا مناسبا، ثم مثل كل صف من الجدول كنقطة. بعد ذلك افحص النمط: هل النقاط على خط مستقيم؟ هل ترتفع كلما اتجهت إلى اليمين؟ هل تنخفض؟ هل تبدو متفرقة بلا اتجاه واضح؟
لنأخذ علاقة أخرى: أجرة رحلة تبدأ بخمس وحدات نقدية ثم تزداد وحدتين لكل كيلومتر. يمكن وصفها بالقاعدة ص = 2س + 5.
| المسافة بالكيلومترات س | الأجرة ص |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 7 |
| 2 | 9 |
| 3 | 11 |
| 4 | 13 |
الرسم لهذه العلاقة خطي، لكنه لا يمر بنقطة الأصل؛ فعندما تكون المسافة صفرا تبقى هناك أجرة بداية مقدارها خمس وحدات. لذلك هي علاقة خطية لكنها ليست تناسبا مباشرا.
لا يكفي شكل الخط وحده للحكم على الموقف. يجب أن تربط كل نقطة بمعناها. إذا كانت النقطة عند س يساوي ثلاثة وص يساوي أحد عشر في مثال الرحلة، فهذا يعني أن رحلة طولها ثلاثة كيلومترات تكلف إحدى عشرة وحدة نقدية.
التناسب والميل ومعدل التغير
في التناسب المباشر تكون النسبة ص إلى س ثابتة لكل قيمة موجبة من س، ويكون الرسم خطا مستقيما يمر بنقطة الأصل. في مثال الدفاتر كانت التكلفة لكل دفتر ثابتة وتساوي ثلاث وحدات، ولذلك العلاقة تناسبية.
يمكنك التفكير في الميل بوصفه مقدار تغير ص عندما تتغير س. إذا ارتفع الرسم كلما تحركت إلى اليمين فالميل موجب، وإذا انخفض فالميل سالب، وإذا كان أفقيا فالميل صفر. في العلاقات الخطية يكون معدل التغير ثابتا؛ أي إن الزيادة نفسها في س تقابلها زيادة أو نقصان منتظم في ص.
لمقارنة مستقيمين صاعدين على المقياس نفسه، يكون المستقيم الأكثر انحدارا عادة ذا ميل موجب أكبر. لكن إذا اختلف مقياس المحاور بين رسمين، فقد يبدو أحدهما أشد انحدارا بصريا دون أن يكون معدل تغيره أكبر. لذلك اقرأ القيم ولا تعتمد على الشكل وحده.
الرسوم المتحركة والتغير مع الزمن
الرسم المتحرك مفيد لأنه يوضح أن الرسم البياني ليس مجرد صورة ثابتة؛ كل موضع للنقطة يمثل زوجا من القيم في لحظة معينة. في الرسم المتحرك التالي راقب كيف يتغير موضع النقطة، ثم اسأل نفسك: ما قيمة المدخل الآن؟ وما قيمة المخرج المقابلة؟ وهل يتغير المخرج بسرعة ثابتة أم متغيرة؟
إذا كان المحور الأفقي يمثل الزمن والمحور الرأسي يمثل موضع جسم، فإن النقطة تخبرك بموضع الجسم عند زمن معين. خط مستقيم صاعد يعني تغيرا منتظما، أما خط منحني فيشير إلى أن معدل التغير نفسه يتغير.
تفسير الرسوم ومقارنة العلاقات
عند قراءة أي رسم، ابدأ بخمسة أسئلة: ما الكميتان؟ ما وحدة كل محور؟ ما المقياس؟ ماذا تعني نقطة معينة؟ وما الاتجاه العام؟ هذه الأسئلة تمنعك من قراءة الرسم كصورة فقط.
يمكن للتمثيل بالنقاط أن يظهر علاقة بين متغيرين حتى عندما لا تقع النقاط على خط واحد تماما. قرب النقاط من اتجاه صاعد يوحي بأن القيمتين تميلان إلى الزيادة معا، لكن هذا لا يعني وحده أن إحداهما تسبب الأخرى.
للمقارنة بين علاقتين خطيتين، انظر إلى نقطتي البداية ومعدل التغير. مثلا: الخطة أ تكلف 4 وحدات لكل ساعة من دون رسم بداية، والخطة ب تبدأ عند 6 وحدات ثم تضيف وحدتين لكل ساعة. الخطة أ تبدأ أقل، لكن تكلفتها تزيد أسرع. قد تكون إحدى الخطتين أرخص في البداية ثم تتجاوز الأخرى لاحقا. الرسم البياني يجعل نقطة التقاطع بين الخطين مرئية، وهي تمثل قيمة تتساوى عندها العلاقتان.
أخطاء شائعة وكيف تتجنبها
تبديل الإحداثيين: اقرأ س أولا ثم ص. نسيان المقياس: افحص المسافات المكتوبة على كل محور. افتراض أن كل خط يمر بالأصل: بعض العلاقات الخطية لها قيمة بداية غير صفرية. وصل نقاط متقطعة بلا سبب: لا تصل القيم إذا كانت القيم الوسطية غير ممكنة. الحكم من الشكل فقط: قد يغير المقياس مظهر الانحدار. نسيان السياق: النقطة ليست مجرد عددين؛ لها معنى ووحدة في المسألة.
عندما تنتهي من رسم علاقة، اختبره بسؤالين: هل النقاط التي رسمتها تطابق الجدول أو القاعدة؟ وهل تفسيرك لوحدات المحورين منطقي في الموقف؟
مهام تفاعلية
اختبار: اختبر معرفتك
أين تقع نقطة الأصل في المستوى الإحداثي؟ (عند الصفر على المحورين) (!عند الواحد على المحورين) (!على المحور الأفقي فقط) (!على المحور الرأسي فقط)
أي وصف يدل على تناسب مباشر؟ (نسبة المخرج إلى المدخل ثابتة ويمر الرسم بنقطة الأصل) (!الرسم خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل) (!المخرج ثابت مهما تغير المدخل) (!النقاط موزعة بلا نمط)
ماذا يعني الميل الموجب في رسم خطي؟ (يزداد المخرج عندما يزداد المدخل) (!ينقص المخرج عندما يزداد المدخل) (!يبقى المخرج ثابتا دائما) (!لا توجد علاقة بين المتغيرين)
عند تحويل جدول إلى رسم، ماذا يمثل كل صف؟ (زوجا مرتبا يمكن تمثيله بنقطة) (!محورا جديدا في الرسم) (!مقياسا جديدا للمحور) (!عنوانا للرسم فقط)
لماذا لا تمثل القاعدة ص = 2س + 5 تناسبا مباشرا؟ (لأن قيمة المخرج عند مدخل صفر ليست صفرا) (!لأن الرسم لا يمكن أن يكون خطا) (!لأن معدل التغير يتغير كل مرة) (!لأن المتغير س لا يظهر في القاعدة)
إذا كان مستقيمان صاعدين مرسومين بالمقياس نفسه، فأيهما له ميل موجب أكبر؟ (المستقيم الأكثر انحدارا إلى أعلى) (!المستقيم الأقرب إلى المحور الأفقي) (!المستقيم الذي يبدأ من قيمة أصغر دائما) (!المستقيم الذي يحتوي نقاطا أقل)
ما أول شيء يجب فحصه قبل مقارنة شكل رسمين؟ (مقياس كل محور ووحدته) (!لون الخطين فقط) (!عدد الكلمات في العنوان) (!مكان الرسم على الصفحة)
متى يكون من غير المناسب وصل نقاط الرسم بخط متصل؟ (عندما تمثل القيم حالات متقطعة لا تسمح بالقيم الوسطية) (!عندما تكون النقاط على خط مستقيم) (!عندما يكون المحور الأفقي واضحا) (!عندما يكون المقياس ثابتا)
ماذا تمثل نقطة التقاطع بين رسمين لعلاقتين؟ (حالة تعطي فيها العلاقتان القيمة نفسها للمدخل نفسه) (!أكبر قيمة ممكنة في كل علاقة) (!بداية كل رسم بالضرورة) (!خطأ في اختيار المقياس)
في علاقة تكلفة الدفاتر ص = 3س، ماذا يعني أن س يساوي ثلاثة وص يساوي تسعة؟ (ثلاثة دفاتر تكلف تسع وحدات نقدية) (!تسعة دفاتر تكلف ثلاث وحدات نقدية) (!ثلاث وحدات نقدية تكلف تسعة دفاتر) (!لا يمكن تفسير القيم في سياق المسألة)
لعبة الذاكرة
| المدخل | الكمية التي نختار قيمها أولا في العلاقة |
| المخرج | الكمية التي تتحدد أو تتغير تبعا للمدخل |
| الزوج المرتب | قيمتان تحددان موضع نقطة على المستوى |
| نقطة الأصل | موضع التقاء المحورين عند الصفر |
| المقياس | مقدار الزيادة بين العلامات المتتابعة على محور |
| الميل | وصف لمعدل تغير المخرج بالنسبة إلى المدخل |
السحب والإفلات
| طابق العبارة مع معناها الصحيح. | العلاقة الرياضية |
|---|---|
| زيادة ثابتة في المخرج | علامة على معدل تغير ثابت في علاقة خطية |
| يمر بنقطة الأصل | خاصية أساسية في رسم التناسب المباشر |
| خط يصعد نحو اليمين | يشير إلى ميل موجب |
| نقاط منفصلة | قد تمثل بيانات متقطعة لا تصل بينها قيم ممكنة |
| جدول قيم | ينظم أزواج المدخلات والمخرجات |
| تغيير المقياس | قد يغير مظهر انحدار الرسم دون تغيير العلاقة نفسها |
كلمات متقاطعة
| المحور | خط أفقي أو رأسي نقرأ عليه قيم المتغيرات |
| الأصل | نقطة التقاء المحورين عندما تكون القيم صفرا |
| الميل | مقدار يصف معدل تغير خط مستقيم |
| تناسب | علاقة تكون فيها النسبة بين كميتين ثابتة |
| جدول | تنظيم للمدخلات والمخرجات في صفوف وأعمدة |
| إحداثي | قيمة تساعد على تحديد موضع نقطة على محور |
مهام مفتوحة
سهل
- خريطة إحداثية: ارسم شبكة من المحورين ومثل عليها ست نقاط تختارها، ثم اكتب إحداثيات كل نقطة بوضوح.
- جدول قيم: أنشئ جدولا لعلاقة تكلفة مقدارها وحدتان لكل قطعة لخمسة مدخلات مختلفة، ثم مثل القيم على رسم.
- قراءة رسم: اختر رسما بيانيا بسيطا من كتابك وحدد عنوانه ومحوريه ومقياسه، ثم اشرح معنى نقطتين منه بجملتين.
- بطاقة خطأ شائع: صمم بطاقة صغيرة تشرح خطأ تبديل س وص وتبين بمثال كيف يتغير موضع النقطة.
متوسط
- مقارنة علاقتين: ارسم علاقتين خطيتين على الشبكة نفسها، إحداهما تمر بالأصل والأخرى لها قيمة بداية غير صفرية، ثم اشرح الفرق.
- تجربة حركة: امش مسافة قصيرة بسرعة منتظمة تقريبا مع زميل يراقب الزمن، وسجل ثلاث أو أربع قراءات آمنة ثم أنشئ رسم مسافة مقابل زمن.
- ملصق التناسب: أنشئ ملصقا يوضح كيف تتحقق من التناسب باستخدام جدول وقاعدة ورسم، مع مثال واحد من حياتك اليومية.
- شرح مصور: سجل فيديو قصيرا لا يظهر فيه أشخاص إن لم ترغب، تشرح فيه كيف تحول جدولا من أربعة صفوف إلى نقاط على المستوى الإحداثي.
متقدم
- تصميم خطة أسعار: ابتكر خطتين لخدمة خيالية لهما قيمة بداية ومعدل تغير مختلفان، وأنشئ جدولا ورسما وحدد متى تتساويان إن أمكن.
- تحقيق في المقياس: ارسم العلاقة نفسها مرتين بمقياسين مختلفين، ثم اكتب تفسيرا يبين لماذا يمكن أن يبدو الميل مختلفا بصريا رغم بقاء العلاقة نفسها.
- تحليل بيانات صفية: اجمع بيانات غير شخصية وآمنة مثل عدد صفحات كتاب وكتلته لعدة كتب، ومثلها بنقاط ثم صف النمط من دون ادعاء علاقة سببية.
- دليل التمثيلات: أنشئ دليلا من صفحة واحدة يربط بين وصف لفظي وجدول وقاعدة ورسم لعلاقة واحدة، ثم اشرح ما الذي يكشفه كل تمثيل بصورة أفضل.
مجالات تعلم مرتبطة
ترتبط هذه الدورة أيضا بموضوعات الجبر والهندسة التحليلية والعلوم، لأن الرسوم البيانية تستخدم لوصف تغير السرعة ودرجة الحرارة والمسافة وغيرها من الكميات.
مسرد
- العلاقة الرياضية
- وصف أو قاعدة تربط قيما من متغير بمتغير آخر.
- المدخل
- القيمة التي نبدأ بها عند استخدام العلاقة.
- المخرج
- القيمة التي نحصل عليها أو تتحدد تبعا للمدخل.
- الزوج المرتب
- قيمتان تكتبان بترتيب ثابت لتحديد نقطة على المستوى.
- المستوى الإحداثي
- شبكة من محور أفقي ومحور رأسي تستخدم لتمثيل النقاط والعلاقات.
- نقطة الأصل
- نقطة التقاء المحورين عندما تكون قيمتهما صفرا.
- المقياس
- مقدار الزيادة المنتظمة بين علامات المحور.
- العلاقة الخطية
- علاقة يظهر تمثيلها البياني على شكل خط مستقيم عندما يكون معدل التغير ثابتا.
- التناسب المباشر
- علاقة خطية تكون فيها النسبة بين المخرج والمدخل ثابتة ويمر رسمها بنقطة الأصل.
- الميل
- مقدار يصف سرعة تغير المخرج بالنسبة إلى تغير المدخل في خط مستقيم.
- الجزء المقطوع
- قيمة المخرج عندما تكون قيمة المدخل صفرا.
- التمثيل بالنقاط
- رسم يضع كل زوج من البيانات كنقطة لعرض نمط العلاقة بين متغيرين.
