Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die e-Funktion $f(x)=e^x$ hat eine besondere Eigenschaft: Ihre Ableitung ist wieder dieselbe Funktion. Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$. In diesem kurzen Kurs lernst Du die wichtigsten Regeln und wendest sie direkt an.

Fach: Mathematik Klassen: 10 bis 13 Themen: Differentialrechnung, Exponentialfunktion, Logarithmus

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du $e^x$ und $\ln (x)$ ableiten, die Kettenregel nutzen und beide Funktionen als Umkehrfunktionen erklären.

Grundwissen

Die e-Funktion

Für $f(x)=e^x$ gilt:

$f^{\prime }(x)=e^x$

Die Steigung ist an jeder Stelle genauso groß wie der Funktionswert.

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Der natürliche Logarithmus

$\ln (x)$ ist nur für $x>0$ definiert. Es gilt:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln (x)=\frac{1}{x}$

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Umkehrfunktionen

Die Funktionen $e^x$ und $\ln (x)$ machen einander rückgängig:

$\ln (e^x)=x$

$e^{\ln (x)}=x$ für $x>0$

Ihre Graphen sind an der Geraden $y=x$ gespiegelt.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Funktion	Ableitung
$e^x$	$e^x$
$e^{u(x)}$	$u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$\ln (u(x))$	$\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$

Bei zusammengesetzten Funktionen brauchst Du die Kettenregel.

Beispiel 1: $f(x)=3e^{2x}$ ergibt $f^{\prime }(x)=6e^{2x}$.

Beispiel 2: $g(x)=\ln (5x+1)$ ergibt $g^{\prime }(x)=\frac{5}{5x+1}$. Dabei muss $5x+1>0$ gelten.

Aufgaben zum Video

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1. Videonotizen: Notiere die beiden wichtigsten Ableitungsregeln aus dem Video.
2. Stopp-Aufgabe: Pausiere nach der Erklärung von $e^x$. Erkläre mit einem Satz, was daran besonders ist.
3. Beispielanalyse: Schreibe zwei Beispielaufgaben aus dem Video ab und rechne sie selbst nach.
4. Umkehrfunktion: Erkläre nach dem Video, warum $\ln (x)$ und $e^x$ zusammengehören.
5. Fehlercheck: Formuliere einen typischen Fehler beim Ableiten von $e^{u(x)}$ oder $\ln (u(x))$ und verbessere ihn.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Ableitung von e hoch x? (e hoch x) (!x mal e hoch x) (!e hoch x plus 1) (!1 durch e hoch x)

Wie lautet die Ableitung von ln x? (1 durch x) (!ln x) (!x) (!e hoch x)

Für welche reellen x ist ln x definiert? (Für positive x) (!Für alle x) (!Nur für negative x) (!Nur für x gleich null)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von e hoch x? (ln x) (!x hoch e) (!1 durch x) (!Wurzel x)

Welche Regel brauchst Du bei e hoch u von x? (Kettenregel) (!Additionsregel) (!Dreisatz) (!Pythagoras)

Was ist die Ableitung von e hoch 2x? (2 mal e hoch 2x) (!e hoch 2x) (!2x mal e hoch x) (!e hoch x)

Was ist die Ableitung von ln 3x? (1 durch x) (!3 durch x) (!ln 3) (!3 mal ln x)

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von e hoch x? (Null Komma eins) (!Eins Komma null) (!Null Komma null) (!Eins Komma eins)

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von ln x? (Eins Komma null) (!Null Komma eins) (!Null Komma null) (!Eins Komma eins)

Was gilt für ln von e hoch x? (Das Ergebnis ist x) (!Das Ergebnis ist e) (!Das Ergebnis ist null) (!Das Ergebnis ist eins)

Memory

e-Funktion	eigene Ableitung
natürlicher Logarithmus	Kehrwertregel
Eulerzahl	Basis der natürlichen Exponentialfunktion
positiver Definitionsbereich	erlaubte Argumente von ln
Spiegelgerade	Symmetrieachse der Umkehrfunktionen
innere Funktion	Kettenfaktor

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
e-Funktion	bleibt beim Ableiten erhalten
Logarithmusfunktion	liefert den Kehrwert
Kettenregel	berücksichtigt die innere Ableitung
Umkehrfunktion	macht eine Zuordnung rückgängig
Definitionsbereich	begrenzt erlaubte Eingaben

Kreuzworträtsel

Ableitung	Wie heißt die Funktion, die die Steigung beschreibt?
Eulerzahl	Wie heißt die Zahl e auch?
Logarithmus	Welche Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion?
Kettenregel	Welche Regel wird bei einer inneren Funktion gebraucht?
Kehrwert	Wie heißt ein Ausdruck der Form eins durch x?
Tangente	Welche Gerade zeigt die Steigung an einem Punkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Funktion $e^x$ heißt natürliche . Ihre Ableitung ist wieder die Funktion . Der natürliche Logarithmus ist ihre . Für $\ln (x)$ sind nur Werte von $x$ erlaubt. Die Ableitung von $\ln (x)$ ist der von $x$. Bei $e^{u(x)}$ nutzt man die . Die innere Ableitung wird dabei als eingesetzt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Karte mit den vier wichtigsten Ableitungsregeln.
2. Graphenskizze: Zeichne $e^x$ und $\ln (x)$ in ein Koordinatensystem.
3. Erklärsatz: Erkläre in zwei einfachen Sätzen, warum $e^x$ besonders ist.
4. Mini-Quiz: Erfinde drei leichte Fragen mit Lösungen.

Standard

1. Rechenweg: Leite $4e^{3x}$ und $\ln (2x+5)$ ab und erkläre jeden Schritt.
2. Fehlersuche: Erfinde zwei falsche Ableitungen und korrigiere sie.
3. Lernvideo: Produziere ein einminütiges Erklärvideo zur Kettenregel bei der e-Funktion.
4. Vergleich: Vergleiche die Graphen von $e^x$ und $\ln (x)$ in einer Tabelle.

Schwer

1. Modellierung: Erstelle ein Wachstumsmodell $N(t)=N_0{e}^{kt}$ und deute seine Ableitung.
2. Begründung: Erkläre mithilfe der Umkehrfunktion, warum $e^{\ln (x)}=x$ nur für $x>0$ gilt.
3. Anwendung: Entwickle eine Sachaufgabe, in der eine Exponentialgleichung mit $\ln$ gelöst wird.
4. Untersuchung: Analysiere $h(x)=e^x+\ln (x)$ hinsichtlich Definitionsbereich, Ableitung und Monotonie.

Lernkontrolle

1. Regelwahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Funktionen, welche Ableitungsregel nötig ist, und begründe Deine Wahl.
2. Graph und Ableitung: Erkläre am Graphen von $e^x$, warum Funktionswert und Steigung zusammenpassen.
3. Transfer: Vergleiche die Ableitungen von $e^{2x}$ und $e^{x^2}$. Erkläre den Unterschied.
4. Fehlerdiagnose: Prüfe die Behauptung $(\ln (4x){)}^{\prime }=\frac{4}{x}$ und korrigiere sie.
5. Modellbewertung: Beurteile, was die Ableitung in einem exponentiellen Wachstumsmodell praktisch bedeutet.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis sollst Du:

1. die Grundregeln sicher anwenden,
2. die Kettenregel erklären,
3. den Definitionsbereich von $\ln (x)$ beachten,
4. einen vollständigen Rechenweg darstellen,
5. die Beziehung zwischen $e^x$ und $\ln (x)$ erklären,
6. eine neue Aufgabe selbstständig lösen.

Links

Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Ableitung Kettenregel Umkehrfunktion Differentialrechnung