ABI LF - Stochastische Kenngrößen im Sachkontext bewerten

ABI LF - Stochastische Kenngrößen im Sachkontext bewerten

Mini-Beschreibung: Interpretiere Erwartungswert und Streuungsmaße in realitätsnahen Modellen und vermeide die Überinterpretation einzelner Kennzahlen. Du arbeitest auf Leistungsfachniveau mit Produktions-, Mess- und Gewinnmodellen, begründest mathematisch und reflektierst die Aussagegrenzen von Modellen.

Zielgruppe: Mathematik Leistungsfach, gymnasiale Oberstufe, Baden-Württemberg, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur.

Einleitung

Eine Zahl wie „im Mittel 500 g“ sagt noch nicht, wie zuverlässig eine Abfüllanlage arbeitet. Ebenso bedeutet ein positiver erwarteter Gewinn nicht, dass jedes einzelne Geschäft Gewinn bringt. In diesem aiMOOC lernst Du deshalb, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung nicht nur zu berechnen, sondern im Sachkontext zu bewerten.

Für das Leistungsfach ist entscheidend: Du wählst geeignete Verfahren selbst, formulierst präzise, prüfst Modellannahmen und begründest, was eine Kennzahl aussagt – und was nicht.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Dieser Kurs ist auf den Abiturjahrgang 2027 ausgerichtet, Stand September 2026. Nach dem Facherlass 2027 werden für das Leistungsfach grundlegende Kenntnisse zu Varianz und Standardabweichung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen einschließlich Berechnung und Verständnis vorausgesetzt. Im Leistungsfach gehören außerdem Normalverteilung, Erwartungswert, Standardabweichung und Dichtefunktion zum abiturrelevanten Stochastikbereich.

Offizielle Informationen zum Abitur in Baden-Württemberg

Facherlass Abitur 2027

Prüfungshinweis: Digitale Übungswerkzeuge, GeoGebra-Applets, Videos und Online-Rechner in diesem Kurs sind Lernmittel. Sie sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel. Maßgeblich sind immer die Vorgaben für Deinen Prüfungsjahrgang.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Erwartungswerte als langfristige mittlere Lage einer Zufallsgröße interpretieren.
2. Varianz und Standardabweichung berechnen und ihre Einheiten korrekt deuten.
3. Kenngrößen von Binomialverteilungen im Sachkontext verwenden.
4. Produktions-, Mess- und Gewinnmodelle formal aufstellen und auswerten.
5. lineare Transformationen von Zufallsgrößen auf Erwartungswert und Streuung übertragen.
6. Verteilungen mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlicher Streuung vergleichen.
7. Aussagen über einzelne Beobachtungen von Aussagen über eine Verteilung unterscheiden.
8. Modellannahmen, Aussagegrenzen und mögliche Fehlinterpretationen begründet benennen.
9. KI-generierte Rechenwege mathematisch überprüfen, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

Vorwissen-Check

Prüfe zunächst ohne Hilfsmittel:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

$E(X)=np$ für $X\sim B(n,p)$.

Check 1: Für $X\sim B(80;\mathrm{0,25})$: Bestimme $E(X)$.

Feedback: $E(X)=80\cdot \mathrm{0,25}=20$.

Check 2: Was bedeutet $E(X)=20$?

Feedback: Nicht: „Es treten sicher 20 Erfolge auf.“ Sondern: Bei sehr vielen Wiederholungen liegt der durchschnittliche Wert von $X$ langfristig bei 20.

Check 3: Welche Einheit hat die Standardabweichung, wenn $X$ in Gramm gemessen wird?

Feedback: Gramm. Die Varianz hätte dagegen die Einheit ${\mathrm{g}}^2$.

Check 4: Darf man aus einem Erwartungswert allein auf geringe Schwankungen schließen?

Feedback: Nein. Dafür benötigt man mindestens eine Streuungsinformation und häufig zusätzlich Kenntnisse über die Verteilungsform.

Die drei zentralen Kenngrößen

Für eine diskrete Zufallsgröße $X$ mit Werten $x_i$ und Wahrscheinlichkeiten $p_i$ gilt:

$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{p}_i$

gleichwertig:

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$

und

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}$.

Interpretation:

1. $E(X)$ beschreibt die langfristige mittlere Lage.
2. $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ misst quadratische Abweichungen vom Erwartungswert.
3. ${\sigma }_X$ beschreibt die typische Größenordnung der Streuung in derselben Einheit wie $X$.

Denkfrage: Zwei Verteilungen können denselben Erwartungswert besitzen und trotzdem völlig unterschiedliche Risiken haben. Welche der beiden Darstellungen im GIF würdest Du als „planbarer“ bezeichnen – und unter welcher zusätzlichen Annahme wäre diese Bewertung sinnvoll?

Interaktives Modell: Erwartungswert und Streuung verändern

Beobachte nicht nur die Zahlenwerte. Beschreibe, wie sich Wahrscheinlichkeitsmasse relativ zum Erwartungswert verteilt.

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Lineare Transformationen

Gerade Gewinn- und Kostenmodelle entstehen oft aus einer Zufallsgröße $X$ durch

$Y=aX+b$.

Dann gilt:

$E(Y)=aE(X)+b$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=a^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$

${\sigma }_Y=|a|{\sigma }_X$.

Wichtig: Eine feste Verschiebung $b$ verändert den Erwartungswert, aber nicht die Streuung. Eine Multiplikation mit $a$ skaliert die Standardabweichung mit $|a|$.

Modell 1: Produktion

Eine Fertigungslinie produziert pro Schicht 200 Bauteile. Modellhaft sei jedes Bauteil unabhängig mit Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,03}$ fehlerhaft.

$X\sim B(200;\mathrm{0,03})$

$E(X)=200\cdot \mathrm{0,03}=6$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=200\cdot \mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,97}=\mathrm{5,82}$

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{5,82}}\approx \mathrm{2,41}$

Sachdeutung: Langfristig sind im Mittel etwa sechs fehlerhafte Bauteile pro Schicht zu erwarten. Die Standardabweichung von etwa 2,41 Bauteilen beschreibt die Streuung der Fehlerzahl um diesen Erwartungswert.

Nicht zulässig: „In jeder Schicht gibt es ungefähr zwischen 3,59 und 8,41 Fehler.“ Die Standardabweichung liefert ohne zusätzliche Aussage über die Verteilung keine harte Intervallgrenze.

Übung Produktion

Ein Hersteller senkt die Fehlerwahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,03}$ auf $\mathrm{0,02}$, die Stückzahl bleibt bei 200.

Berechne die neuen Kenngrößen und bewerte, ob der Prozess dadurch nur „besser im Mittel“ oder auch „weniger streuend“ wird.

Hilfe

Nutze $E(X)=np$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.

Feedback

$E(X)=4$ und $\sigma =\sqrt{\mathrm{3,92}}\approx \mathrm{1,98}$. Sowohl erwartete Fehlerzahl als auch absolute Streuung sinken. Für eine vollständige Qualitätsbewertung können weitere Kriterien nötig sein.

Modell 2: Messungen und Abfüllung

Ein Abfüllprozess werde modellhaft durch

$X\sim N(500;\mathrm{2,}{5}^2)$

beschrieben. $X$ ist die Füllmasse in Gramm.

Interpretation: $E(X)=500\mathrm{g}$ beschreibt die Lage des Modells.

$\sigma =\mathrm{2,5}\mathrm{g}$ beschreibt die Streuung.

Bei einer Toleranz von $495\mathrm{g}$ bis $505\mathrm{g}$ liegt die Grenze jeweils zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

$P(|X-500|>5)\approx \mathrm{0,0455}$

Im Modell liegen damit ungefähr 4,55 % außerhalb dieser Toleranz.

Beobachtung: Wenn $\sigma$ größer wird und $E(X)$ gleich bleibt, wird die Glockenkurve breiter und niedriger. Mehr Masse liegt weiter vom Zentrum entfernt.

Dynamisches Modell zur Normalverteilung

Verändere zuerst nur $\mu$, danach nur $\sigma$. Formuliere jeweils eine Aussage zur Lage und eine zur Form der Dichtekurve.

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Messen ist selbst ein Modellierungsproblem

Messwerte entstehen nicht losgelöst von Messgerät, Auflösung, Kalibrierung und Messverfahren. Eine kleine Standardabweichung bedeutet daher nicht automatisch, dass Messwerte richtig sind: Ein systematischer Messfehler kann viele eng beieinanderliegende, aber verschobene Werte erzeugen.

Merksatz: Präzision und Richtigkeit sind nicht dasselbe.

Modell 3: Gewinn

Eine Firma produziert 1000 Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,92}$ verkaufsfähig. Sei

$X\sim B(1000;\mathrm{0,92})$.

Pro verkaufsfähigem Teil werden 4 € Deckungsbeitrag erzielt. Die fixen Kosten des Loses betragen 3650 €.

Damit:

$G=4X-3650$.

Zunächst:

$E(X)=920$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=1000\cdot \mathrm{0,92}\cdot \mathrm{0,08}=\mathrm{73,6}$

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{73,6}}\approx \mathrm{8,58}$.

Für den Gewinn gilt:

$E(G)=4\cdot 920-3650=30$.

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(G)=16\cdot \mathrm{73,6}=\mathrm{1177,6}$.

${\sigma }_G=4\cdot \mathrm{8,58}\approx \mathrm{34,3}$ €.

Bewertung: Der erwartete Gewinn ist positiv. Trotzdem ist ein Verlust möglich.

$G<0⟺4X-3650<0⟺X\le 912$.

Mit der Binomialverteilung ergibt sich modellhaft

$P(G<0)=P(X\le 912)\approx \mathrm{0,190}$.

Also kann trotz positivem Erwartungswert in ungefähr 19 % der modellierten Produktionslose ein Verlust auftreten.

Kernaussage: Erwartungswert und Risiko müssen getrennt betrachtet werden.

Zwei Strategien mit gleichem Erwartungswert

Strategie A liefert mit gleicher Wahrscheinlichkeit 80 € oder 120 €.

$E(A)=100$ €, ${\sigma }_A=20$ €.

Strategie B liefert mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0 € oder 200 €.

$E(B)=100$ €, ${\sigma }_B=100$ €.

Beide Strategien haben denselben Erwartungswert, aber eine stark unterschiedliche Streuung. Welche Strategie „besser“ ist, folgt daraus noch nicht automatisch: Die Bewertung hängt vom Ziel, von Verlustgrenzen und vom Umgang mit Risiko ab.

Rechenwege sichtbar machen

Schrittfolge für Sachaufgaben:

1. Zufallsgröße festlegen: Was genau wird gezählt oder gemessen?
2. Modell begründen: Welche Verteilung und welche Annahmen werden verwendet?
3. Kenngrößen berechnen: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung.
4. Einheiten prüfen: Passt die Einheit zur Zufallsgröße?
5. Im Kontext formulieren: Keine reine Formelantwort.
6. Aussagegrenzen nennen: Was folgt nicht aus der Kennzahl?

Beispiel:

$X\sim B(n,p)$

$\Downarrow$

$E(X)=np$

$\Downarrow$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)$

$\Downarrow$

${\sigma }_X=\sqrt{np(1-p)}$

$\Downarrow$

Erst jetzt folgt die Sachinterpretation.

Fehleranalyse

Fehler 1: „Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichste Wert.“

Das ist im Allgemeinen falsch. Erwartungswert und Modalwert sind verschiedene Begriffe.

Fehler 2: „Fast alle Werte liegen zwischen $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$.“

Das ist ohne Verteilungsannahme falsch. Selbst bei der Normalverteilung liegen dort nur etwa 68 %.

Fehler 3: „Ein kleiner Erwartungswert bedeutet kleine Streuung.“

Falsch. Lage und Streuung sind unterschiedliche Eigenschaften.

Fehler 4: „Positive Gewinnerwartung bedeutet sichere Rentabilität.“

Falsch. Eine Verteilung kann trotz positivem Erwartungswert erhebliche Verlustwahrscheinlichkeit besitzen.

Fehler 5: „Die Varianz hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße.“

Falsch. Die Varianz besitzt die quadrierte Einheit.

Fehler 6: „Eine kleine Standardabweichung beweist ein gutes Messverfahren.“

Falsch. Systematische Abweichungen oder falsche Modellannahmen können trotzdem bestehen.

KI mathematisch prüfen

Wenn eine KI einen Rechenweg liefert, prüfe mindestens:

1. Stimmen Modell und Zufallsgröße?
2. Wurden Wahrscheinlichkeiten korrekt interpretiert?
3. Sind Formeln und Parameter richtig eingesetzt?
4. Stimmen Einheiten?
5. Ist die Schlussfolgerung stärker als die Mathematik erlaubt?
6. Wurde eine Näherung als Näherung gekennzeichnet?
7. Lässt sich der Rechenweg unabhängig kontrollieren?

Grundsatz: Eine KI-Ausgabe ersetzt weder mathematische Begründung noch Beweis.

Selbstkontrolle

Bewerte Dich jeweils mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“:

1. Ich kann $E(X)$, $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ und ${\sigma }_X$ berechnen.
2. Ich kann jede Kenngröße in einem Sachkontext mit korrekter Einheit deuten.
3. Ich kann erklären, warum $E(X)$ keine Vorhersage des nächsten Einzelwerts ist.
4. Ich kann bei $Y=aX+b$ die Kenngrößen ohne neue Verteilungstabelle bestimmen.
5. Ich kann zwei Modelle mit gleichem Erwartungswert anhand ihrer Streuung unterscheiden.
6. Ich kann mindestens zwei Modellannahmen kritisch prüfen.

Transfer

Ein Produktionsleiter sagt: „Unsere mittlere Füllmenge liegt exakt beim Sollwert. Der Prozess ist deshalb optimal.“

Bewerte diese Aussage. Eine starke Antwort sollte mindestens unterscheiden zwischen

1. Lage der Verteilung,
2. Streuung,
3. Toleranzgrenzen,
4. Verteilungsannahme,
5. möglichen systematischen Fehlern,
6. wirtschaftlichen Folgen von Ausschuss oder Überfüllung.

Kompetenzcheck Leistungsfach

Kompetenz A – Modellieren: Du kannst aus einem Text eine geeignete Zufallsgröße und ein stochastisches Modell entwickeln.

Kompetenz B – Formalisieren: Du kannst Kenngrößen exakt angeben und Transformationen mathematisch begründen.

Kompetenz C – Interpretieren: Du kannst jede Zahl in die Sprache des Sachkontexts zurückübersetzen.

Kompetenz D – Bewerten: Du kannst erklären, welche Entscheidung eine Kennzahl unterstützt und welche zusätzliche Information fehlt.

Kompetenz E – Prüfen: Du kannst fremde Rechenwege, auch KI-Ausgaben, auf mathematische und modellbezogene Fehler untersuchen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Erwartungswert einer Zufallsgröße am treffendsten? (Den langfristigen Mittelwert bei vielen Wiederholungen) (!Den sicher eintretenden nächsten Wert) (!Den größten möglichen Wert) (!Die Breite der Verteilung)

Welche Einheit hat die Standardabweichung einer Masse in Gramm? (Gramm) (!Quadratgramm) (!Prozent) (!Keine Einheit)

Welche Einheit hat die Varianz einer Masse in Gramm? (Quadratgramm) (!Gramm) (!Quadratwurzelgramm) (!Keine Einheit)

Was gilt für Y gleich a mal X plus b? (E von Y ist a mal E von X plus b) (!E von Y ist E von X plus a plus b) (!Die Standardabweichung wächst immer um b) (!Die Varianz bleibt immer gleich)

Was bewirkt eine feste Addition b zu einer Zufallsgröße? (Sie verschiebt den Erwartungswert und lässt die Varianz unverändert) (!Sie verändert nur die Varianz) (!Sie halbiert die Standardabweichung) (!Sie macht die Verteilung normalverteilt)

Was folgt aus einem positiven erwarteten Gewinn? (Langfristig ist der durchschnittliche Gewinn im Modell positiv) (!Jedes einzelne Geschäft bringt Gewinn) (!Die Verlustwahrscheinlichkeit ist null) (!Die Standardabweichung ist klein)

Welche Formel gilt für eine binomialverteilte Zufallsgröße? (Varianz gleich n mal p mal eins minus p) (!Varianz gleich n mal p) (!Varianz gleich n plus p) (!Varianz gleich p geteilt durch n)

Welche Aussage zur Standardabweichung ist korrekt? (Sie misst die Streuung in derselben Einheit wie die Zufallsgröße) (!Sie ist immer gleich dem Erwartungswert) (!Sie gibt eine sichere Intervallgrenze an) (!Sie kann nur bei Normalverteilungen berechnet werden)

Zwei Gewinnmodelle haben denselben Erwartungswert. Was kann trotzdem verschieden sein? (Ihre Streuung und ihre Verlustwahrscheinlichkeit) (!Ihr Erwartungswert) (!Die Definition einer Zufallsgröße) (!Die Rechenregel für Summen)

Wie sollte eine mathematische KI-Ausgabe im Abiturtraining behandelt werden? (Durch unabhängige mathematische Prüfung) (!Als Beweis ohne weitere Kontrolle) (!Als automatisch zugelassenes Hilfsmittel) (!Als Ersatz für Modellannahmen)

Memory

Erwartungswert	langfristige mittlere Lage
Varianz	mittlere quadratische Abweichung
Standardabweichung	Streuung in Originaleinheit
lineare Transformation	Y gleich a mal X plus b
Binomialmodell	feste Versuchszahl und konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
Modellkritik	Annahmen und Aussagegrenzen prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
langfristige mittlere Lage	Erwartungswert
quadrierte Streuungsgröße	Varianz
Streuung in Originaleinheit	Standardabweichung
Verschiebung ohne Streuungsänderung	Addition einer Konstante
kritische Prüfung der Voraussetzungen	Modellbewertung

Kreuzworträtsel

Varianz	Welche Kenngröße verwendet quadrierte Abweichungen?
Streuung	Welcher Oberbegriff beschreibt die Variabilität von Werten?
Erwartungswert	Welche Kenngröße beschreibt die langfristige mittlere Lage?
Binomialmodell	Welches Modell passt zu unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstantem p?
Normalverteilung	Welche stetige Verteilung besitzt eine Glockenkurve?
Modellkritik	Wie heißt das Prüfen von Annahmen und Aussagegrenzen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der beschreibt die langfristige mittlere Lage einer Zufallsgröße. Die verwendet quadratische Abweichungen vom Erwartungswert. Die besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße. Bei einer linearen Transformation $Y=aX+b$ wird die Standardabweichung mit multipliziert. Ein positiver erwarteter Gewinn bedeutet nicht, dass die null ist. Eine mathematische Interpretation muss immer auch die berücksichtigen.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Zwei Maschinen vergleichen

Maschine A produziert Teile mit einem mittleren Durchmesser von $\mathrm{20,00}\mathrm{m}\mathrm{m}$ und ${\sigma }_A=\mathrm{0,08}\mathrm{m}\mathrm{m}$. Maschine B hat ebenfalls $\mathrm{20,00}\mathrm{m}\mathrm{m}$ als Erwartungswert, aber ${\sigma }_B=\mathrm{0,03}\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Aufgabe: Vergleiche die Prozesse sachgerecht.

Hilfe

Der Erwartungswert unterscheidet die Maschinen nicht. Konzentriere Dich auf die Streuung und nenne anschließend mindestens eine Aussage, die daraus noch nicht folgt.

Feedback

Maschine B streut im Modell deutlich weniger um denselben Erwartungswert. Das spricht für höhere Präzision. Ohne Informationen zu Toleranzgrenzen, systematischen Fehlern und Verteilungsform ist aber keine vollständige Qualitätsbewertung möglich.

Übung 2: Gewinnmodell transformieren

Für eine Zufallsgröße $X$ gilt $E(X)=250$ und ${\sigma }_X=12$. Der Gewinn werde modelliert durch

$G=7X-1600$.

Bestimme $E(G)$ und ${\sigma }_G$.

Hilfe

Nutze $E(aX+b)=aE(X)+b$ und ${\sigma }_{aX+b}=|a|{\sigma }_X$.

Feedback

$E(G)=7\cdot 250-1600=150$ und ${\sigma }_G=7\cdot 12=84$. Die fixen Kosten verschieben die Lage, verändern aber nicht die Streuung.

Übung 3: Aussage bewerten

„Da $\sigma =2$ gilt, liegen alle Beobachtungen höchstens 2 Einheiten vom Erwartungswert entfernt.“

Feedback

Falsch. Die Standardabweichung ist keine maximale Abweichung. Einzelwerte können deutlich weiter vom Erwartungswert entfernt liegen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Erwartungswert im Alltag: Finde ein Beispiel, bei dem ein langfristiger Mittelwert sinnvoll ist, aber kein einzelnes Ereignis vorhersagt.
2. Einheiten prüfen: Erstelle drei Beispiele zu Zufallsgrößen mit unterschiedlichen Einheiten und notiere jeweils die Einheiten von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
3. Fehlinterpretation erkennen: Formuliere eine typische falsche Aussage über die Standardabweichung und korrigiere sie.
4. Diagramm erklären: Beschreibe mit eigenen Worten, was sich bei gleicher Lage verändert, wenn eine Verteilung breiter wird.

Standard

1. Produktionsmodell: Entwickle für eine fiktive Produktionslinie ein Binomialmodell und interpretiere Erwartungswert sowie Standardabweichung.
2. Messmodell: Plane eine kleine Messreihe an einem ungefährlichen Alltagsgegenstand ohne personenbezogene Daten und diskutiere zufällige sowie systematische Fehler.
3. Gewinnmodell: Erfinde ein lineares Gewinnmodell $G=aX+b$ und untersuche, wie sich eine Änderung von $a$ auf Lage und Streuung auswirkt.
4. Zwei Modelle vergleichen: Konstruiere zwei diskrete Gewinnverteilungen mit gleichem Erwartungswert, aber deutlich verschiedener Standardabweichung.

Schwer

1. Modellkritik Produktion: Analysiere, wann die Unabhängigkeitsannahme eines Binomialmodells bei einer realen Produktionslinie problematisch sein könnte.
2. Toleranzentscheidung: Entwickle ein Qualitätskriterium, das Erwartungswert, Standardabweichung und Toleranzgrenzen gemeinsam berücksichtigt.
3. Fremdlösung prüfen: Lass Dir von einer KI einen Rechenweg zu einer selbst erstellten Stochastikaufgabe erzeugen und dokumentiere anschließend eine unabhängige mathematische Prüfung.
4. Mehrschrittige Abituraufgabe: Entwirf eine Aufgabe, die von einem Sachtext über Modellwahl und Kenngrößenberechnung zu einer begründeten wirtschaftlichen Entscheidung führt.

Lernkontrolle

1. Produktionsentscheidung: Zwei Produktionsverfahren haben unterschiedliche Erwartungswerte und Standardabweichungen der Ausschusszahl. Entwickle Kriterien für eine Entscheidung und begründe, warum keine einzelne Kennzahl genügt.
2. Messprozess bewerten: Ein Messgerät liefert Werte mit kleiner Standardabweichung, aber der Mittelwert liegt außerhalb des Sollwerts. Erkläre das Problem und schlage eine mathematisch begründete nächste Untersuchung vor.
3. Gewinn und Risiko: Zeige anhand eines selbst gewählten diskreten Beispiels, dass positiver Erwartungswert und relevante Verlustwahrscheinlichkeit gleichzeitig auftreten können.
4. Transformation begründen: Begründe aus der Definition der Varianz, warum für $Y=aX+b$ die Beziehung $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=a^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ gilt.
5. Aussagegrenzen: Erkläre, warum Erwartungswert und Standardabweichung allein eine Verteilung im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmen.
6. Modellvergleich: Vergleiche ein Binomialmodell und ein Normalmodell danach, welche Art von Zufallsgröße jeweils beschrieben wird und welche Modellannahmen zu prüfen sind.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine Zufallsgröße aus einem Sachkontext präzise definieren kannst,
2. ein geeignetes stochastisches Modell auswählst und begründest,
3. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung korrekt berechnest,
4. Rechenwege formal nachvollziehbar dokumentierst,
5. Ergebnisse mit Einheit und Sachbezug interpretierst,
6. lineare Transformationen sicher behandelst,
7. mindestens eine Fehlinterpretation von Kenngrößen erkennst,
8. Modellannahmen und Aussagegrenzen explizit reflektierst,
9. eine Entscheidung nicht allein auf eine isolierte Kennzahl stützt.

Reflexion

Beantworte zum Abschluss:

1. Welche Information liefert der Erwartungswert, die die Standardabweichung nicht liefert?
2. Welche Information liefert die Standardabweichung, die der Erwartungswert nicht liefert?
3. Wann kann ein „guter Mittelwert“ ein schlechtes Gesamtbild verdecken?
4. Welche Modellannahme würdest Du in einer echten Produktionssituation zuerst prüfen?
5. Welche Aussage würdest Du nach diesem Kurs nicht mehr allein aufgrund einer einzelnen Kennzahl treffen?

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich an:

1. ABI LF - Binomialverteilung im Sachkontext modellieren
2. ABI LF - Normalverteilung modellieren und interpretieren
3. ABI LF - Hypothesentests begründen und bewerten
4. ABI LF - Fehler erster und zweiter Art im Sachkontext
5. ABI LF - Stochastische Modelle im Abitur verknüpfen

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Verknüpfte Lernbereiche

Stochastik Zufallsvariable Erwartungswert Varianz Standardabweichung Binomialverteilung Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Mathematische Modellierung Hypothesentest