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ABI LF - Hypothesentests unter Abiturbedingungen bearbeiten

Einleitung

ABI LF - Hypothesentests unter Abiturbedingungen bearbeiten

Mini-Beschreibung: Bearbeite vollständige neue prüfungsnahe Aufgaben von der Modellierung über die Testregel bis zur fachlich präzisen Interpretation. Du kombinierst Binomialverteilung, WTR, Entscheidungsbereiche und Fehleranalyse und trainierst die Anforderungsbereiche I bis III für das Mathematik-Leistungsfach in Baden-Württemberg.

Dieser aiMOOC ist bewusst kompakt im Erklärungstext und umfangreich beim aktiven Rechnen. Die vollständigen Aufgaben sind vor allem Teil-B-nah; kurze Argumentationsaufgaben trainieren zusätzlich den hilfsmittelfreien Teil.

Lernziele

Modellieren: Du erkennst, wann $X \sim B (n, p)$ ein passendes Modell ist.
Hypothesen formulieren: Du wählst $H_{0}$ und $H_{1}$ passend zur Fragestellung.
Testregel bestimmen: Du berechnest kritische Werte und formulierst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich.
WTR einsetzen: Du berechnest kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten und kontrollierst Grenzwerte.
Fehler analysieren: Du unterscheidest Fehler erster und zweiter Art sowie Signifikanzniveau und tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit.
Interpretieren: Du übersetzt die Testentscheidung fachlich präzise in den Sachzusammenhang.
AFB I bis III: Du reproduzierst, wendest mehrschrittig an und beurteilst Testentscheidungen und Modellannahmen.

Prüfungsrahmen Baden-Württemberg: Abitur 2027

Für das Mathematik-Leistungsfach nennt der Facherlass 2027 eine Bearbeitungszeit von 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit. Teil A wird ohne die später ausgegebenen Hilfsmittel bearbeitet und spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn abgegeben. Danach stehen für Teil B die zugelassene mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung des IQB und der im Kurs eingeführte zulässige WTR zur Verfügung. Der Facherlass verlangt Leistungen aus allen drei Anforderungsbereichen; der Schwerpunkt liegt im AFB II, AFB III wird stärker als AFB I gewichtet.

Wichtig: Dieser Kurs orientiert sich am Stand für die Abiturprüfung 2027. Für einen anderen Prüfungsjahrgang musst Du den jeweils aktuellen Facherlass prüfen. GeoGebra, Lernvideos, LearningApps und KI sind Übungswerkzeuge; daraus folgt nicht, dass sie in der Prüfung zugelassen sind.

Kultusministerium Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur

Facherlass für die Abiturprüfung 2027

Bildungsplan Mathematik Leistungsfach: Daten und Zufall

Medien- und KI-Hinweis

Wikimedia Commons: Die eingebundenen Commons-Dateien führen über ihre Dateiseiten zu Urheber- und Lizenzangaben.
GeoGebra: Die Applets dienen zum Erkunden von Verteilungen, Testgrenzen und Fehlerwahrscheinlichkeiten.
YouTube: Die eingebetteten Erklärvideos sind Ergänzungen; rechne die Aufgaben selbst und prüfe jeden Schritt.
KI: KI-Ausgaben können Rechen-, Rundungs- oder Interpretationsfehler enthalten. Prüfe Wahrscheinlichkeiten mit einem zweiten Verfahren und Begründungen mathematisch. Eine KI-Antwort ersetzt keinen Beweis.

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst ohne WTR.

Für $X \sim B (n, p)$ : Welche vier Bedingungen müssen im Sachkontext plausibel sein?
Wie berechnest Du $P (X \geq k)$ , wenn Dein WTR bequem nur $P (X \leq k)$ liefert?
Was bedeuten $E (X) = n p$ und $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ ?
Woran erkennst Du aus der Fragestellung, ob ein Test links-, rechts- oder zweiseitig ist?
Warum bedeutet „ $H_{0}$ nicht verwerfen“ nicht, dass $H_{0}$ bewiesen ist?

Lösung zum Vorwissen-Check

Feste Zahl $n$ von Wiederholungen, zwei Ausgänge pro Versuch, konstante Trefferwahrscheinlichkeit $p$ , hinreichende Unabhängigkeit.
$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .
$E (X)$ ist der Erwartungswert, $σ$ beschreibt die Streuung.
„kleiner“ führt typischerweise zum linksseitigen, „größer“ zum rechtsseitigen, „anders/abweicht“ zum zweiseitigen Test.
Die Daten liefern nur nicht genügend Evidenz zum Verwerfen; andere Parameterwerte bleiben möglich.

Dynamisches Vorwissen: Verändere $n$ und $p$ und beobachte Lage und Streuung.

Kompaktwissen: Vom Text zur Testentscheidung

Binomialmodell

Für eine Trefferzahl $X$ mit $n$ gleichartigen Bernoulli-Versuchen gilt

$X \sim B (n, p)$

und für $k = 0, \dots, n$

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Zum schnellen Plausibilitätscheck:

$E (X) = n p$

$Var (X) = n p (1 - p)$

$σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Hypothesen und Testrichtung

Aussage der Untersuchung	Alternative	Test
Anteil ist kleiner geworden	$H_{1} : p < p_{0}$	linksseitig
Anteil ist größer geworden	$H_{1} : p > p_{0}$	rechtsseitig
Anteil hat sich verändert	$H_{1} : p \neq p_{0}$	zweiseitig

Bei einseitigen Tests ist die zusammengesetzte Nullhypothese fachlich präzise:

$H_{0} : p \geq p_{0}$ gegen $H_{1} : p < p_{0}$

oder

$H_{0} : p \leq p_{0}$ gegen $H_{1} : p > p_{0}$ .

Für die Berechnung des kritischen Bereichs wird der Randwert $p = p_{0}$ verwendet.

Testregel in fünf Schritten

Modell: Definiere die Zufallsvariable und begründe $X \sim B (n, p)$ .
Hypothesen: Formuliere $H_{0}$ und $H_{1}$ aus dem Untersuchungsziel.
Niveau: Lege das vorgegebene Signifikanzniveau $α$ zugrunde.
Grenze: Bestimme den kritischen Wert so, dass die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter $H_{0}$ höchstens $α$ ist.
Entscheidung: Vergleiche den beobachteten Wert mit der Testregel und interpretiere im Kontext.

Merke: Wegen der diskreten Binomialverteilung ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art häufig kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

WTR-Workflow

Beim rechtsseitigen Test suchst Du das kleinste $k$ mit

$P_{p_{0}} (X \geq k) \leq α$ .

Kontrolliere zusätzlich den Nachbarwert:

$P_{p_{0}} (X \geq k - 1) > α$ .

Beim linksseitigen Test suchst Du das größte $k$ mit

$P_{p_{0}} (X \leq k) \leq α$ .

Beim zweiseitigen Test verteilst Du das Fehlerrisiko auf beide Ränder, sofern die Aufgabenstellung nichts anderes festlegt. Bei symmetrischem Modell $p_{0} = 0,5$ ist eine symmetrische Aufteilung besonders naheliegend.

Interaktives Beispiel 1: Vollständiger rechtsseitiger Hypothesentest

Prüfungsnahe Aufgabe – Qualitätskontrolle

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 8 % einer großen Serie elektronischer Bauteile einen bestimmten Fehler aufweisen. Es besteht der Verdacht, dass der Fehleranteil gestiegen ist. In einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 120 Bauteilen wird die Anzahl fehlerhafter Bauteile erfasst. Getestet wird auf dem Signifikanzniveau $α = 0,05$ .

AFB I: Definiere die Zufallsvariable und formuliere die Hypothesen.
AFB II: Bestimme die Testregel.
AFB II: In der Stichprobe werden 16 fehlerhafte Bauteile gefunden. Führe die Testentscheidung durch.
AFB III: Bestimme für den tatsächlichen Fehleranteil $p = 0,12$ die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art und beurteile die Aussagekraft des Tests.

Hilfe

Für den rechtsseitigen Test muss der Ablehnungsbereich rechts liegen. Suche das kleinste $k$ , für das $P (X \geq k) \leq 0,05$ gilt. Beim Fehler zweiter Art gilt tatsächlich $p = 0,12$ , der Test entscheidet aber trotzdem gegen ein Verwerfen von $H_{0}$ .

Interaktives Modell: Variiere $n$ , $p_{0}$ , $α$ und die Testseite.

Feedback und vollständige Lösung

1. Modell und Hypothesen

$X =$ Anzahl fehlerhafter Bauteile in der Stichprobe.

Unter dem Randfall der Nullhypothese gilt

$X \sim B (120, 0,08)$ .

Passend zur Fragestellung:

$H_{0} : p \leq 0,08$

$H_{1} : p > 0,08$ .

2. Kritischer Wert

Mit dem WTR:

$P_{0,08} (X \geq 15) \approx 0,05635$

und

$P_{0,08} (X \geq 16) \approx 0,03011$ .

Damit ist der kleinste zulässige kritische Wert $k = 16$ .

Ablehnungsbereich:

$K = {16, 17, \dots, 120}$ .

Bereich, in dem $H_{0}$ nicht verworfen wird:

$A = {0, 1, \dots, 15}$ .

Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art am Rand $p = 0,08$ beträgt etwa

$0,03011 = 3,011 %$ .

3. Beobachtung

Es wurde $x = 16$ beobachtet. Da $16 \in K$ , wird $H_{0}$ auf dem 5-%-Niveau verworfen.

Fachlich präzise Interpretation: Die Stichprobe liefert auf dem vorgegebenen Niveau statistische Evidenz dafür, dass der Fehleranteil über 8 % liegt. Damit ist nicht bewiesen, dass der tatsächliche Anteil zwingend größer als 8 % ist.

4. Fehler zweiter Art bei $p = 0,12$

Ein Fehler zweiter Art tritt ein, wenn der wahre Anteil 12 % beträgt, aber $X \leq 15$ beobachtet wird:

$β (0,12) = P_{0,12} (X \leq 15) \approx 0,63345$ .

Die Teststärke an dieser Stelle beträgt daher

$1 - β \approx 0,36655$ .

Beurteilung: Bei $n = 120$ erkennt der Test eine Erhöhung auf 12 % noch relativ häufig nicht. Das 5-%-Niveau kontrolliert primär den Fehler erster Art; es garantiert keinen kleinen Fehler zweiter Art.

Fehleranalyse und Testgüte

Fehler erster Art: $H_{0}$ wird verworfen, obwohl $H_{0}$ gilt.

Fehler zweiter Art: $H_{0}$ wird nicht verworfen, obwohl $H_{1}$ gilt.

Signifikanzniveau $α$ : vorgegebene obere Schranke für das Risiko erster Art.

Tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit: bei diskreten Tests oft kleiner als $α$ .

Teststärke: Für einen konkreten Alternativwert ist sie $1 - β$ .

Dynamische Fehleranalyse

AFB-III-Transfer: Stichprobenumfang verändern

Beim Qualitätskontrolltest aus Beispiel 1 wird der Stichprobenumfang auf 240 erhöht, das Signifikanzniveau bleibt 5 %. Eine passende rechtsseitige Regel verwirft $H_{0}$ ab $X \geq 27$ .

Für $n = 120$ war bei $p = 0,12$

$β \approx 0,633$ .

Für $n = 240$ ergibt sich

$β \approx 0,331$ .

Denkfrage: Warum wird der Fehler zweiter Art kleiner, obwohl die Testregel weiterhin den Fehler erster Art kontrollieren muss?

Feedback

Eine größere Stichprobe enthält mehr Information. Die Verteilungen zu verschiedenen Werten von $p$ lassen sich relativ besser trennen. Deshalb kann die Teststärke steigen, ohne das vorgegebene Signifikanzniveau zu überschreiten. Die genaue Veränderung ist diskret und muss für die jeweilige Testregel berechnet werden.

Interaktives Beispiel 2: Vollständiger zweiseitiger Hypothesentest

Prüfungsnahe Aufgabe – Stabilität eines Zufallsverfahrens

Ein digitales Zufallsverfahren soll mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Treffer erzeugen. Es soll geprüft werden, ob die Trefferwahrscheinlichkeit von 0,5 abweicht. Dazu werden 200 unabhängige Versuche durchgeführt. Verwende das Signifikanzniveau $α = 0,05$ und teile es wegen der Symmetrie gleich auf beide Ränder auf.

AFB I: Formuliere Hypothesen und Modell.
AFB II: Bestimme die beiden kritischen Grenzen.
AFB II: Beurteile das Ergebnis $x = 116$ .
AFB III: Erkläre, warum „Das Verfahren ist nachweislich unfair“ als Interpretation zu stark formuliert ist.

Hilfe

Arbeite pro Rand mit höchstens $0,025$ . Nutze die Symmetrie der Binomialverteilung bei $p = 0,5$ .

Feedback und vollständige Lösung

Es gilt

$H_{0} : p = 0,5$

gegen

$H_{1} : p \neq 0,5$ ,

unter $H_{0}$ also

$X \sim B (200, 0,5)$ .

Für den linken Rand:

$P (X \leq 85) \approx 0,02002$

aber

$P (X \leq 86) \approx 0,02798$ .

Wegen der Symmetrie gilt entsprechend:

$P (X \geq 115) \approx 0,02002$

aber

$P (X \geq 114) \approx 0,02798$ .

Damit ist

$K = {0, \dots, 85} \cup {115, \dots, 200}$ .

Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art beträgt

$2 \cdot 0,02002 \approx 0,04004$ .

Da $116 \in K$ , wird $H_{0}$ verworfen.

Interpretation: Das Ergebnis ist auf dem gewählten Niveau mit $p = 0,5$ so wenig vereinbar, dass $H_{0}$ verworfen wird. Ein statistischer Test beweist jedoch weder eine konkrete alternative Trefferwahrscheinlichkeit noch eine technische Ursache für die Abweichung.

Typische Fehler im Abitur

Fehler	Bessere Formulierung
„ $H_{0}$ ist wahr.“	„ $H_{0}$ wird nicht verworfen.“
„5 % Fehler.“	Benenne Fehlerart, Parameterfall und Wahrscheinlichkeit.
Testseite aus dem beobachteten Ergebnis wählen.	Testseite aus der Fragestellung vor Sichtung des Ergebnisses festlegen.
Nur einen WTR-Wert nennen.	Grenzwert und Nachbarwert zeigen, damit die Testgrenze begründet ist.
$α$ mit der tatsächlichen Irrtumswahrscheinlichkeit gleichsetzen.	Wegen Diskretheit kann das tatsächliche Risiko kleiner sein.
WTR-Ergebnis ungeprüft übernehmen.	Erwartungswert, Größenordnung und Gegenwahrscheinlichkeit zur Plausibilisierung nutzen.

Prüfungstraining unter Abiturbedingungen

Trainingsblock: 35 Minuten, danach 10 Minuten Kontrolle. Dieser Zeitrahmen ist eine Übungsorganisation und keine amtliche Teilaufgabenzeit.

Eine Saatgutfirma wirbt mit einer Keimwahrscheinlichkeit von mindestens 75 %. Es soll geprüft werden, ob die Keimwahrscheinlichkeit darunter liegt. Von 100 unabhängig ausgewählten Samen wird erfasst, wie viele keimen. Verwende $α = 0,05$ .

AFB I: Formuliere $H_{0}$ und $H_{1}$ .
AFB II: Bestimme die Testregel.
AFB II: Entscheide bei 72 gekeimten Samen.
AFB III: Erkläre, welche Art von Fehlentscheidung besonders problematisch wäre, wenn die Werbung nur dann geändert wird, wenn $H_{0}$ verworfen wird.
AFB III: Formuliere eine fachlich korrekte Ergebnisaussage in höchstens zwei Sätzen.

Hilfe

Der Test ist linksseitig. Suche das größte $k$ mit $P_{0,75} (X \leq k) \leq 0,05$ .

Feedback

$H_{0} : p \geq 0,75$

$H_{1} : p < 0,75$ .

Unter dem Randfall gilt $X \sim B (100, 0,75)$ .

Mit dem WTR:

$P (X \leq 67) \approx 0,04460$

und

$P (X \leq 68) \approx 0,06935$ .

Also ist der Ablehnungsbereich

$K = {0, 1, \dots, 67}$ .

Bei $x = 72$ wird $H_{0}$ nicht verworfen. Die Daten liefern auf dem 5-%-Niveau nicht genügend Evidenz dafür, dass die Keimwahrscheinlichkeit unter 75 % liegt. Das beweist nicht, dass sie mindestens 75 % beträgt.

Visuelle Vertiefung

Auftrag: Beschreibe bei verschiedenen Binomialverteilungen nicht nur „breiter“ oder „schmaler“, sondern begründe die Veränderung mit $E (X) = n p$ und $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

AFB-III-Ausblick: Wer sehr viele Tests gleichzeitig durchführt, erhöht die Chance, allein zufällig mindestens ein auffälliges Ergebnis zu erhalten. Das ist ein weiterführender Aspekt und ersetzt nicht die saubere Bearbeitung des einzelnen Binomialtests.

Selbstkontrolle

Bevor Du eine Lösung abgibst, prüfe:

Habe ich die Zufallsvariable mit Bedeutung und Einheit definiert?
Habe ich begründet, warum eine Binomialverteilung plausibel ist?
Passt die Richtung von $H_{1}$ zur Fragestellung?
Liegt das Gleichheitszeichen in $H_{0}$ ?
Ist meine Testgrenze durch Grenzwert und Nachbarwert abgesichert?
Habe ich Ablehnungsbereich und Bereich des Nichtverwerfens korrekt notiert?
Bezieht sich meine Schlussfolgerung ausdrücklich auf das vorgegebene Niveau?
Vermeide ich Wörter wie „bewiesen“, wenn nur eine statistische Testentscheidung vorliegt?
Habe ich bei Fehler II einen konkreten Alternativwert von $p$ angegeben?
Habe ich WTR- und KI-Ergebnisse auf Plausibilität geprüft?

Kompetenzcheck

Du bist abiturfit für diesen Baustein, wenn Du ohne Musterlösung:

aus einem neuen Sachtext selbstständig $n$ , $p$ , Zufallsvariable und Hypothesen festlegst,
die Testrichtung begründest, statt sie zu erraten,
eine diskrete Testgrenze mit kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten bestimmst,
tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit und vorgegebenes Signifikanzniveau unterscheidest,
Fehler erster und zweiter Art im Sachkontext formulierst,
den Einfluss eines größeren Stichprobenumfangs auf die Trennschärfe eines Tests argumentativ erklärst,
eine rechnerisch richtige, aber sprachlich überzogene Interpretation korrigierst.

Reflexion

Entscheidungssprache: Welche Formulierung verwendest Du künftig statt „ $H_{0}$ ist bewiesen“?
Risikoabwägung: In welchem eigenen Beispiel wären Fehler erster und zweiter Art unterschiedlich schwerwiegend?
Modellannahmen: Welche Folgen hätte es, wenn die Einzelversuche nicht unabhängig wären oder sich $p$ während der Stichprobe änderte?
KI-Kontrolle: Welche zwei mathematischen Prüfungen würdest Du bei einer KI-generierten Testlösung mindestens durchführen?

Folgekurs

Als nächstes eignen sich:

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Alternative passt zu der Frage, ob ein Anteil größer als 8 Prozent geworden ist? (H1 lautet p größer als 0,08) (!H1 lautet p kleiner als 0,08) (!H1 lautet p gleich 0,08) (!H1 lautet p mindestens 0,08)

Welcher Bereich führt bei einem Signifikanztest zum Verwerfen der Nullhypothese? (Ablehnungsbereich) (!Erwartungsbereich) (!Definitionsbereich) (!Wertebereich)

Was kontrolliert das Signifikanzniveau primär? (Das Risiko eines Fehlers erster Art) (!Das Risiko eines Fehlers zweiter Art für jeden Alternativwert) (!Die Größe der Stichprobe) (!Die Anzahl der richtigen Rechnungen)

Warum kann die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner als das Signifikanzniveau sein? (Weil die Binomialverteilung diskret ist) (!Weil der Erwartungswert immer ganzzahlig ist) (!Weil jeder Test zweiseitig ist) (!Weil der WTR abrundet)

Was ist bei einem rechtsseitigen Test typisch? (Große Trefferzahlen sprechen gegen die Nullhypothese) (!Kleine Trefferzahlen sprechen immer gegen die Nullhypothese) (!Nur der Erwartungswert entscheidet) (!Der Ablehnungsbereich liegt immer in der Mitte)

Welche Aussage ist nach Nichtverwerfen der Nullhypothese fachlich korrekt? (Die Daten reichen nicht zum Verwerfen der Nullhypothese) (!Die Nullhypothese ist bewiesen) (!Die Alternativhypothese ist unmöglich) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit ist exakt bekannt)

Was beschreibt ein Fehler zweiter Art? (Die Nullhypothese wird nicht verworfen obwohl die Alternative gilt) (!Die Nullhypothese wird verworfen obwohl sie gilt) (!Der Taschenrechner liefert einen Rundungsfehler) (!Die Stichprobe enthält zu viele Beobachtungen)

Welche Größe hängt beim Binomialmodell direkt vom Stichprobenumfang und von der Trefferwahrscheinlichkeit ab? (Der Erwartungswert) (!Der Aufgabenoperator) (!Der Prüfungsjahrgang) (!Die Testseite unabhängig vom Kontext)

Wozu dient beim Bestimmen einer kritischen Grenze die Kontrolle des Nachbarwerts? (Sie zeigt dass die gewählte Grenze wirklich die äußerste zulässige ist) (!Sie ersetzt die Formulierung der Hypothesen) (!Sie beweist die Alternativhypothese) (!Sie macht den WTR überflüssig)

Was sollte mit einer KI erzeugten Hypothesentest-Lösung geschehen? (Rechenweg und Interpretation müssen mathematisch geprüft werden) (!Sie kann ungeprüft als Beweis verwendet werden) (!Nur die Rechtschreibung muss kontrolliert werden) (!Der WTR darf dann nicht mehr verwendet werden)

Memory

Nullhypothese	Ausgangsaussage des Tests
Alternativhypothese	untersuchte Gegenrichtung
Ablehnungsbereich	führt zum Verwerfen von H0
Signifikanzniveau	obere Schranke für das Risiko erster Art
Teststärke	Wahrscheinlichkeit eine konkrete Alternative zu erkennen
Binomialmodell	feste Versuchszahl mit zwei Ausgängen und konstantem p
Kritischer Wert	Grenze der Testentscheidung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Modellieren	Zufallsvariable und Binomialmodell festlegen
Hypothesen	Untersuchungsrichtung mathematisch formulieren
Grenze	kritischen Wert mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Entscheiden	Beobachtung mit der Testregel vergleichen
Interpretieren	Ergebnis präzise in den Sachkontext zurückübersetzen

Kreuzworträtsel

Stichprobe	Welche Auswahl aus einer Grundgesamtheit wird untersucht?
Testregel	Was legt fest, bei welchen Beobachtungen H0 verworfen wird?
Nullhypothese	Wie heißt die Ausgangshypothese eines statistischen Tests?
Binomialtest	Welcher Test passt bei binomialverteilter Trefferzahl?
Varianz	Welche Kenngröße ist bei der Binomialverteilung gleich np mal eins minus p?
Histogramm	Welche Darstellung zeigt diskrete Wahrscheinlichkeiten als Säulen?

LearningApps

Lückentext

Bei einer festen Zahl unabhängiger Bernoulli-Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit kann die Trefferzahl durch eine

modelliert werden. Die zu prüfende Ausgangsaussage heißt

. Werte, bei denen diese Hypothese verworfen wird, bilden den

. Das vorgegebene maximale Risiko für einen Fehler erster Art wird durch das

begrenzt. Wegen der diskreten Verteilung kann die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit unter diesem Grenzwert

sein. Wird die Nullhypothese nicht verworfen, obwohl die Alternative gilt, liegt ein Fehler

Art vor. Bei der Interpretation darf Nichtverwerfen nicht mit mathematischem

verwechselt werden. Ergebnisse aus WTR oder KI müssen immer auf mathematische

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Histogramm markieren: Zeichne für ein selbst gewähltes $n$ und $p_{0}$ ein schematisches Histogramm und markiere einen möglichen rechtsseitigen Ablehnungsbereich.
Hypothesen formulieren: Erfinde drei kurze Sachsituationen zu links-, rechts- und zweiseitigen Tests und formuliere jeweils $H_{0}$ und $H_{1}$ .
WTR-Protokoll: Dokumentiere an einem Beispiel, welche kumulierten Wahrscheinlichkeiten Du zur Bestimmung eines kritischen Werts eingibst und wie Du den Nachbarwert kontrollierst.
Fehlerkarte: Gestalte eine Lernkarte, die Fehler erster und zweiter Art mit demselben Sachbeispiel gegenüberstellt.

Standard

Prüfungsaufgabe entwickeln: Erstelle eine neue einseitige Aufgabe mit mindestens vier Teilaufgaben aus AFB I und II und gib eine vollständige Musterlösung an.
Alpha-Vergleich: Löse denselben Test mit zwei verschiedenen Signifikanzniveaus und erkläre, wie sich der Ablehnungsbereich verändert.
Fehler-II-Experiment: Berechne für drei konkrete Alternativwerte die jeweilige Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art und stelle die Werte grafisch dar.
Dynamische Untersuchung: Untersuche in einem GeoGebra-Applet systematisch, wie sich die Testgrenze bei wachsendem $n$ verändert, und formuliere zwei begründete Beobachtungen.

Schwer

Stichprobenplanung: Vergleiche zwei Stichprobenumfänge bei gleichem Signifikanzniveau und beurteile, welcher Test eine vorgegebene Abweichung besser erkennt.
Zweiseitiges Design: Entwickle eine zweiseitige Aufgabe mit $p_{0} \neq 0,5$ . Begründe, warum symmetrische kritische Trefferzahlen nicht automatisch eine gleichmäßige Aufteilung des Fehlerrisikos bedeuten.
KI-Lösung prüfen: Lass Dir außerhalb einer Prüfung eine Hypothesentest-Lösung von einer KI erzeugen, anonymisiere den Kontext vollständig und prüfe Modell, Wahrscheinlichkeiten, Testregel und Interpretation mit eigener Rechnung.
Abi-Simulation: Bearbeite eine selbst erstellte mehrschrittige Stochastikaufgabe unter Zeitlimit, markiere anschließend AFB I bis III und überarbeite nur die fachlich unpräzisen Stellen.

Lernkontrolle

Abhängige Versuche: Ein Produktionsprozess verändert sich während der Stichprobe. Erkläre, warum ein einfaches Binomialmodell fraglich wird und welche Aussage des Tests dadurch gefährdet ist.
Strengere Entscheidung: Zwei Teams testen dieselbe Nullhypothese mit 5 % beziehungsweise 1 %. Vergleiche qualitativ die Ablehnungsbereiche und die Risiken erster und zweiter Art.
Folgenabwägung: Entwickle einen Kontext, in dem ein Fehler zweiter Art schwerer wiegt als ein Fehler erster Art, und erläutere, welche Konsequenzen das für die Testplanung haben könnte.
Stichprobengröße: Begründe ohne konkrete Rechnung, warum eine größere Stichprobe häufig eine bessere Trennung zwischen $p_{0}$ und einem festen Alternativwert erlaubt.
Interpretation: Korrigiere die Aussage „Weil der Test signifikant ist, ist die Abweichung groß und praktisch wichtig“.
Werkzeugkontrolle: Beschreibe zwei unabhängige Plausibilitätskontrollen für ein vom WTR ausgegebenes Binomialergebnis.
Begründungsprüfung: Eine KI nennt nur eine Testgrenze, aber keinen Nachbarwert. Erkläre, warum die Lösung trotz möglicherweise richtiger Zahl unvollständig begründet ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du:

ein neues Sachproblem selbstständig als Binomialmodell strukturierst,
Hypothesen und Testrichtung fachlich begründest,
kritische Werte mit nachvollziehbaren Wahrscheinlichkeitsrechnungen bestimmst,
einen WTR korrekt und kontrolliert einsetzt,
Ablehnungsbereich und Nichtverwerfungsbereich eindeutig angibst,
Signifikanzniveau und tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit unterscheidest,
Fehler erster und zweiter Art im konkreten Kontext formulierst,
eine Testentscheidung ohne Überinterpretation in den Sachzusammenhang zurückübersetzt,
Zusammenhänge zwischen Stichprobenumfang, Fehlerwahrscheinlichkeiten und Teststärke erklären kannst,
Lösungen aus digitalen Werkzeugen oder KI mathematisch prüfst,
bei einer Prüfung ausschließlich die für Deinen Prüfungsjahrgang zugelassenen Hilfsmittel verwendest.