ABI LF - Eine vollständige Mathematik-Abiturprüfung simulieren

ABI LF - Eine vollständige Mathematik-Abiturprüfung simulieren

Mini-Beschreibung: Bearbeite eine vollständig neu entwickelte, realitätsnahe Mathematik-Abiturprüfung für das Leistungsfach in Baden-Württemberg unter echten Zeitbedingungen. Die Simulation besteht aus Teil A ohne WTR und ohne mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung sowie Teil B mit den zugelassenen Hilfsmitteln. Geprüft werden Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Feedback öffnest Du erst nach Deiner Abgabe.

Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur.

Stand: Prüfungsjahrgang 2027. Grundlage sind der Facherlass Mathematik 2027 und die seit 2025 geltende Aufgabenstruktur für das Leistungsfach. Diese Seite ist eine neu entwickelte Übungsprüfung und keine Original-Abiturprüfung.

Prüfungsrahmen 2027

1. Gesamtzeit: 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit.
2. Teil A: 30 BE; vier Pflichtaufgaben und zwei aus sechs Wahlaufgaben; Abgabe spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn.
3. Teil B: 70 BE; Analysis 30 BE, Analytische Geometrie 20 BE, Stochastik 20 BE.
4. Teil A: ohne WTR und ohne mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung.
5. Teil B: nach Abgabe von Teil A mit dem zugelassenen WTR und der mathematisch-naturwissenschaftlichen Formelsammlung des IQB.
6. Während der gesamten Prüfung: Geodreieck ohne Schablonen, Zirkel und Nachschlagewerk zur deutschen Rechtschreibung nach den amtlichen Vorgaben.
7. Wichtig: Übungswerkzeuge auf dieser Seite wie GeoGebra, Videos oder LearningApps sind keine automatischen Prüfungshilfsmittel.

Amtlicher Facherlass Mathematik 2027 Struktur und Rahmenbedingungen Leistungsfach Modifikation der Aufgabenstruktur ab 2025

Lernziele

Du trainierst, unter Zeitdruck mathematische Verfahren selbstständig auszuwählen, mehrschrittige Modelle aufzubauen, Rechnungen formal sauber zu dokumentieren und Ergebnisse zu begründen. Im Leistungsfach sollst Du insbesondere zwischen Darstellungen wechseln, Argumentationen prüfen und mathematische Aussagen nachvollziehbar absichern.

Nach der Simulation kannst Du:

1. Analysis: Ableitungen, Integrale, Funktionsuntersuchungen und Modellierungen sicher verbinden.
2. Analytische Geometrie: Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen zur Modellierung räumlicher Situationen einsetzen.
3. Stochastik: Binomialmodelle, Kenngrößen und einen einseitigen Hypothesentest sachgerecht auswerten.
4. Mathematisches Argumentieren: Rechenwege und Begründungen so dokumentieren, dass jeder wesentliche Schritt prüfbar ist.
5. Prüfungsstrategie: Zeit, Auswahl und Kontrolle über beide Prüfungsteile planen.

Vorwissen-Check

Starte die Uhr noch nicht. Beantworte für Dich jeweils mit sicher, teilweise oder unsicher:

1. Kannst Du $f^{\prime }(x)$ und $f^{″}(x)$ bilden und ihre Bedeutung am Graphen erklären?
2. Kannst Du ein bestimmtes Integral als Bestandsänderung oder Flächenbilanz deuten?
3. Kannst Du mit Skalarprodukt, Normalenvektor, Geraden- und Ebenengleichung arbeiten?
4. Kannst Du $P(X=k)$, $P(X<=k)$, Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung bestimmen?
5. Kannst Du Nullhypothese, Ablehnungsbereich sowie Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang erklären?

Noch unsicher? Nutze zuerst die Medien im Abschnitt Interaktive Vorbereitung nach der Simulation und simuliere die Prüfung danach erneut.

Prüfungsstart

Regel: Lege Papier, Schreibzeug, Geodreieck, Zirkel und Rechtschreibnachschlagewerk bereit. Für Teil A bleiben WTR, Formelsammlung, GeoGebra, Videos, KI und andere digitale Hilfen geschlossen.

Zeitplan-Vorschlag:

1. Minute 0–10: Aufgaben prüfen und Teil A grob sichten.
2. Minute 10–90: vier Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben bearbeiten.
3. Minute 90–110: Teil A kontrollieren und abgeben.
4. Minute 110–290: Teil B bearbeiten.
5. Minute 290–300: Reinschrift und Einheiten kontrollieren.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Rechen- oder Begründungsfehler enthalten. Prüfe mathematische Aussagen selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen Beweis.

Teil A – ohne WTR und ohne Formelsammlung

Maximal 110 Minuten – 30 BE

Bearbeite P1 bis P4 vollständig und wähle zusätzlich zwei der Aufgaben W1 bis W6.

Pflichtaufgaben

P1 – Analysis – 5 BE

Gegeben ist $f(x)=x{e}^{-x}$.

1. Bestimme $f^{\prime }(x)$.
2. Bestimme die Koordinaten des einzigen Extrempunkts und begründe seine Art.

P2 – Analysis – 5 BE

Gegeben ist $g(x)=3x^2-6x$. Bestimme alle positiven Werte von $b$ mit

${\int }_0^{b}g(x)dx=0.$

Deute das Ergebnis als Flächenbilanz.

P3 – Analytische Geometrie – 5 BE

Gegeben sind

$A(1|0|1),B(3|1|0),C(2|-1|2).$

1. Zeige, dass das Dreieck $ABC$ bei $A$ rechtwinklig ist.
2. Berechne seinen Flächeninhalt exakt.

P4 – Stochastik – 5 BE

Bei drei unabhängigen Versuchen tritt ein Ereignis jeweils mit Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,2}$ ein. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Treffer.

1. Berechne $P(X=1)$.
2. Berechne $P(X>=1)$.

Wahlaufgaben – wähle zwei aus sechs

W1 – Analysis – 5 BE

Für positive $a$ ist

$f_a(x)=x^3-3ax.$

Bestimme $a$ so, dass der lokale Hochpunkt von $f_a$ die y-Koordinate $4$ besitzt.

W2 – Analysis – 5 BE

Eine differenzierbare Funktion $F$ erfüllt

$F^{\prime }(x)=(x+1)(x-2)$

und $F(0)=0$.

Bestimme die Monotonieintervalle von $F$ und begründe, wie viele reelle Nullstellen $F$ besitzt.

W3 – Analytische Geometrie – 5 BE

Gegeben sind

$E:x+y+z=6$

und

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right).$

1. Bestimme den Schnittpunkt von $g$ und $E$.
2. Gib einen exakten Ausdruck für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene an.

W4 – Analytische Geometrie – 5 BE

Gegeben sind die Ebenenschar

$E_a:x+2y+az=4$

und die Gerade

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right).$

Bestimme $a$ so, dass $g$ parallel zu $E_a$ ist. Untersuche anschließend, ob $g$ dann sogar vollständig in $E_a$ liegt.

W5 – Stochastik – 5 BE

Eine faire Münze wird viermal geworfen. $X$ zählt die Anzahl der Köpfe.

1. Begründe ohne vollständige Wahrscheinlichkeitstabelle, dass $P(X<=1)=P(X>=3)$.
2. Berechne den gemeinsamen Wert.

W6 – Stochastik – 5 BE

Für zwei Ereignisse gilt

$P(A)=\mathrm{0,4},P(B)=\mathrm{0,5},P(A\cap B)=\mathrm{0,2.}$

1. Prüfe, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.
2. Berechne $P(A\cup B)$.

Abgabe Teil A

STOPP. Notiere Deine gewählten Wahlaufgaben. Lege Teil A weg. Erst jetzt darfst Du für die Simulation WTR und die amtlich zugelassene Formelsammlung verwenden.

Teil B – mit zugelassenen Hilfsmitteln

Restzeit bis insgesamt 300 Minuten – 70 BE

Bearbeite alle drei Aufgaben.

I Analysis – Zufluss nach einem Starkregen – 30 BE

Nach einem Starkregen beschreibt das Modell

$r(t)=12t{e}^{-t/2}$

für nichtnegative $t$ die Zuflussrate in ein Speicherbecken. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden und $r(t)$ die Zuflussrate in ${\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$.

a) 3 BE Beschreibe die Werte $r(0)$ und $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}r(t)$ im Sachzusammenhang.

b) 5 BE Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Zuflussrate und die maximale Zuflussrate.

c) 5 BE Zeige, dass der Graph von $r$ bei $t=4$ einen Wendepunkt besitzt. Erläutere die Bedeutung dieses Zeitpunkts für die Veränderung der Zuflussrate.

d) 4 BE Bestimme näherungsweise die beiden Zeitpunkte, zu denen die Zuflussrate $6{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$ beträgt.

e) 5 BE Berechne die Wassermenge, die in den ersten sechs Stunden zufließt.

f) 8 BE Für die bis zum Zeitpunkt $t$ zugeflossene Wassermenge gilt

$V(t)={\int }_0^{t}r(x)dx.$

Leite einen Funktionsterm für $V(t)$ her und bestimme den Zeitpunkt, zu dem erstmals $36{\mathrm{m}}^3$ zugeflossen sind.

II Analytische Geometrie – Dachfläche und Inspektionsdrohne – 20 BE

Eine Koordinateneinheit entspricht einem Meter. Drei Punkte einer ebenen Dachfläche sind

$A(0|0|8),B(6|0|11),C(0|4|10).$

Eine Inspektionsdrohne startet bei

$P(2|-2|12)$

und fliegt auf der Geraden

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 12\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ für nichtnegative Parameterwerte.

a) 5 BE Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ durch $A$, $B$ und $C$.

b) 6 BE Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Flugbahn mit der Dachfläche.

c) 4 BE Bestimme den Schnittwinkel zwischen Flugbahn und Dachfläche.

d) 5 BE Bestimme den Abstand des Startpunkts $P$ von $E$. Vergleiche ihn mit der Flugstrecke von $P$ bis $S$ und erkläre den Unterschied geometrisch.

III Stochastik – Qualitätskontrolle – 20 BE

Ein Hersteller betrachtet ein Bauteil als fehlerhaft oder fehlerfrei. Im bisherigen Prozess beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,04}$. Für eine Stichprobe von $80$ Bauteilen wird Unabhängigkeit modelliert. $X$ zählt die fehlerhaften Bauteile.

a) 4 BE Berechne unter $p=\mathrm{0,04}$ die Wahrscheinlichkeiten $P(X=0)$ und $P(X<=2)$.

b) 4 BE Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung von $X$.

c) 5 BE Es soll auf dem Signifikanzniveau von höchstens $5\mathrm{\%}$ geprüft werden, ob sich die Fehlerwahrscheinlichkeit erhöht hat. Formuliere Null- und Gegenhypothese und bestimme einen Ablehnungsbereich mit mindestens einem kritischen Wert $k$.

d) 4 BE Angenommen, tatsächlich gilt $p=\mathrm{0,07}$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test aus Teil c die Nullhypothese verwirft. Interpretiere das Ergebnis.

e) 3 BE Beschreibe Fehler 1. Art und Fehler 2. Art in diesem Sachzusammenhang.

Endabgabe

Beende jetzt die Prüfung. Notiere:

1. Deine tatsächliche Gesamtarbeitszeit.
2. Welche zwei Wahlaufgaben aus Teil A Du gewählt hast.
3. Bei welchen Aufgaben Du unsicher warst.
4. Ob Du in den letzten zehn Minuten eine systematische Kontrolle durchgeführt hast.

Erst danach öffnest Du den folgenden Feedbackbereich.

Feedback nach Abgabe

Teil A – Erwartungshorizont

P1

$f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}.$

Da $e^{-x}>0$, gilt $f^{\prime }(x)=0$ genau für $x=1$. Vor $1$ ist $f^{\prime }(x)>0$, danach $f^{\prime }(x)<0$. Also liegt ein Hochpunkt bei

$H(1|1/e).$

P2

${\int }_0^b(3x^2-6x)dx=[x^3-3x^2{]}_0^b=b^2(b-3).$

Für positive $b$ folgt $b=3$. Die positiven und negativen orientierten Flächenanteile gleichen sich auf $[0,3]$ aus.

P3

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2-1-1=0.$

Also ist der Winkel bei $A$ recht. Weiter:

$A_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

P4

$P(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})(\mathrm{0,2})(\mathrm{0,8}{)}^2=\mathrm{0,384.}$

$P(X>=1)=1-(\mathrm{0,8}{)}^3=\mathrm{0,488.}$

W1

${f_a}^{\prime }(x)=3x^2-3a$, also $x=\pm \sqrt{a}$. Der Hochpunkt liegt bei $x=-\sqrt{a}$. Seine y-Koordinate ist

$2a^{3/2}.$

Aus $2a^{3/2}=4$ folgt

$a=2^{2/3}.$

W2

$F^{\prime }(x)>0$ für $x<-1$ und $x>2$, sowie $F^{\prime }(x)<0$ für $-1<x<2$.

Aus $F(0)=0$ erhält man nach Integration

$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x.$

Es gilt $F(-1)=\frac{7}{6}>0$ und $F(2)=-\frac{10}{3}<0$. Zusammen mit dem Verhalten einer kubischen Funktion und der Nullstelle $x=0$ folgt: $F$ besitzt drei reelle Nullstellen.

W3

Einsetzen der Geraden in die Ebene:

$(1+t)+(1+2t)+(1-t)=6$

liefert $t=\frac{3}{2}$. Damit

$S(5/2|4|-1/2).$

Mit $\overrightarrow{v}=(1,2,-1)$ und $\overrightarrow{n}=(1,1,1)$ gilt für den Schnittwinkel $\alpha$:

$\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$

Also

$\alpha =\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right).$

W4

Normalenvektor: ${\overrightarrow{n}}_a=(1,2,a)$, Richtungsvektor: $\overrightarrow{v}=(2,-1,1)$.

Parallelität verlangt

${\overrightarrow{n}}_a\cdot \overrightarrow{v}=2-2+a=a=0.$

Für $a=0$ erfüllt der Stützpunkt $(2|1|0)$ die Ebene, denn $2+2=4$. Daher liegt die gesamte Gerade in $E_0$.

W5

Bei $p=\mathrm{0,5}$ ist die Binomialverteilung symmetrisch um $2$. Deshalb gilt die Gleichheit.

$P(X<=1)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})}{16}=\frac{5}{16}=P(X>=3).$

W6

$P(A)P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,2}=P(A\cap B).$

Also sind $A$ und $B$ unabhängig.

$P(A\cup B)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,7.}$

Teil B – Erwartungshorizont

I Analysis

a) $r(0)=0$. Direkt zu Beginn gibt es im Modell keinen Zufluss. Für große $t$ nähert sich $r(t)$ dem Wert $0$; der Zufluss klingt langfristig ab.

b)

$r^{\prime }(t)=12(1-\frac{t}{2})e^{-t/2}=6(2-t)e^{-t/2}.$

Maximum bei $t=2$:

$r(2)=\frac{24}{e}\approx \mathrm{8,83}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}.$

c)

$r^{″}(t)=3(t-4)e^{-t/2}.$

Vor $4$ ist $r^{″}(t)<0$, danach $r^{″}(t)>0$. Also liegt bei $t=4$ ein Wendepunkt. Zu diesem Zeitpunkt ist die Abnahme der Zuflussrate am stärksten; danach nimmt die Rate weiter ab, aber zunehmend langsamer.

d)

$12t{e}^{-t/2}=6.$

Mit WTR oder numerischer Graphik:

$t_1\approx \mathrm{0,715}$ und $t_2\approx \mathrm{4,307}$ Stunden.

e)

Eine Stammfunktion ist

$-24(t+2)e^{-t/2}.$

Daher

${\int }_0^{6}12t{e}^{-t/2}dt=48-192e^{-3}\approx \mathrm{38,44.}$

In den ersten sechs Stunden fließen etwa $\mathrm{38,44}{\mathrm{m}}^3$ zu.

f)

$V(t)=48-24(t+2)e^{-t/2}.$

Gesucht ist $V(t)=36$. Numerisch folgt

$t\approx \mathrm{5,385}$ Stunden.

II Analytische Geometrie

a)

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 3\end{array}\right),\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right).$

Ein Normalenvektor ist zum Beispiel

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right).$

Damit

$E:x+y-2z=-16.$

b)

Einsetzen der Geraden liefert

$5t-24=-16$, also $t=\mathrm{1,6}$.

Damit

$S(\mathrm{3,6}|\mathrm{1,2}|\mathrm{10,4}).$

c)

Mit $\overrightarrow{v}=(1,2,-1)$ und $\overrightarrow{n}=(1,1,-2)$:

$\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{n}|}=\frac{5}{6}.$

Also beträgt der Schnittwinkel ungefähr $\mathrm{56,4}$ Grad.

d)

$d(P,E)=\frac{|2-2-24+16|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{8}{\sqrt{6}}\approx \mathrm{3,27}\mathrm{m}.$

Die geflogene Strecke bis $S$ beträgt

$\mathrm{1,6}\sqrt{6}\approx \mathrm{3,92}\mathrm{m}.$

Sie ist länger als der Ebenenabstand, weil die Flugbahn nicht senkrecht zur Dachfläche verläuft.

III Stochastik

Es gilt $X\sim B(80;\mathrm{0,04})$.

a)

$P(X=0)=\mathrm{0,9}{6}^{80}\approx \mathrm{0,0382.}$

$P(X<=2)\approx \mathrm{0,3748.}$

b)

$E(X)=80\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{3,2.}$

$\sigma =\sqrt{80\cdot \mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,96}}\approx \mathrm{1,753.}$

c)

Die Nullhypothese beschreibt eine Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens $\mathrm{0,04}$, die Gegenhypothese eine größere Fehlerwahrscheinlichkeit.

Der kleinste kritische Wert mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von höchstens $5\mathrm{\%}$ ist $k=7$. Der Ablehnungsbereich beginnt damit bei sieben fehlerhaften Bauteilen.

Unter $p=\mathrm{0,04}$ gilt

$P(X>=7)\approx \mathrm{0,0412.}$

d)

Für $p=\mathrm{0,07}$ gilt

$P(X>=7)\approx \mathrm{0,3273.}$

Der Test erkennt bei dieser tatsächlichen Fehlerquote die Verschlechterung mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $\mathrm{32,7}\mathrm{\%}$.

e)

Fehler 1. Art: Der Prozess wird als verschlechtert eingestuft, obwohl die Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens $\mathrm{0,04}$ beträgt.

Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Fehlerwahrscheinlichkeit wird durch den Test nicht erkannt.

Punkteprofil

Teil A: maximal 30 BE. Teil B: Analysis 30 BE, Geometrie 20 BE, Stochastik 20 BE. Insgesamt: 100 BE.

Nutze für eine offizielle Umrechnung in Notenpunkte immer die für Deinen Prüfungsjahrgang gültige amtliche Tabelle.

Fehleranalyse

Ordne jeden verlorenen Punkt einer Ursache zu:

1. Fachfehler: Begriff, Satz oder Verfahren war nicht sicher.
2. Strategiefehler: Du hast ein unnötig langes oder ungeeignetes Verfahren gewählt.
3. Darstellungsfehler: Rechenweg, Begründung, Einheit oder Antwortsatz war nicht nachvollziehbar.
4. Kontrollfehler: Vorzeichen, Rundung, Übertrag oder Taschenrechnereingabe wurde nicht geprüft.
5. Zeitfehler: Du hast zu lange an einer Teilaufgabe festgehalten.

Grundregel: Korrigiere nicht nur das Ergebnis. Notiere, an welcher Entscheidung Dein Lösungsweg falsch abgebogen ist.

Interaktive Vorbereitung nach der Simulation

Diese Werkzeuge sind nur zum Lernen gedacht. Sie sind nicht automatisch in der Abiturprüfung zugelassen.

Analysis visuell

Dynamisches Modell: Ableitung und Tangente

Interaktives Beispiel: Verschiebe den Punkt entlang des Graphen. Vergleiche Tangentensteigung und Wert der Ableitungsfunktion. Formuliere anschließend in einem Satz, warum $f^{\prime }(x_0)$ eine lokale Änderungsrate beschreibt.

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Analytische Geometrie visuell

Interaktives Beispiel: Erzeuge in der 3D-Ansicht einen Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Ändere einen Richtungsvektor und beobachte, wann Gerade und Ebene parallel werden.

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Stochastik visuell

Interaktives Beispiel: Verändere $n$ und $p$. Beobachte, wie sich Lage und Streuung der Binomialverteilung ändern. Prüfe Deine Vermutung jeweils rechnerisch.

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Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1 – Analysis

Untersuche $h(x)=(x-1)e^{-x}$ auf Extremstellen.

Hilfe: Faktorisiere $h^{\prime }(x)$ so, dass das Vorzeichen leicht erkennbar wird.

Feedback: $h^{\prime }(x)=(2-x)e^{-x}$. Wegen $e^{-x}>0$ liegt die einzige Extremstelle bei $x=2$; dort liegt ein Hochpunkt.

Übung 2 – Geometrie

Entscheide, ob die Gerade mit Richtungsvektor $(1,2,1)$ parallel zur Ebene mit Normalenvektor $(2,-1,0)$ ist.

Hilfe: Prüfe das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor.

Feedback: $(1,2,1)\cdot (2,-1,0)=0$. Die Gerade ist zur Ebene parallel.

Übung 3 – Stochastik

Für $X\sim B(20;\mathrm{0,3})$: Formuliere die Wahrscheinlichkeit für mindestens vier Treffer als Gegenwahrscheinlichkeit.

Hilfe: „Mindestens 4“ ergänzt sich zu „höchstens 3“.

Feedback: $P(X>=4)=1-P(X<=3)$.

Selbstkontrolle

Prüfe nach jeder vollständigen Probeklausur:

1. Habe ich jede Variable mit Bedeutung und Einheit eingeführt?
2. Habe ich bei Extrem-, Schnitt- oder Testentscheidungen nicht nur gerechnet, sondern begründet?
3. Habe ich Rundungen erst am Ende vorgenommen?
4. Habe ich WTR-Ergebnisse durch Plausibilität, Vorzeichen oder Größenordnung kontrolliert?
5. Sind Skizzen, Graphen und Rechenwege eindeutig beschriftet?
6. Habe ich in Teil A wirklich ohne nicht zugelassene Hilfen gearbeitet?

Kompetenzcheck

Bewerte Dich nach der Korrektur mit sicher, teilweise oder noch üben:

1. Analysis: Ich kann ein Modell aus Funktion, Ableitung und Integral mehrschrittig auswerten.
2. Analytische Geometrie: Ich kann algebraische und räumliche Argumente verbinden.
3. Stochastik: Ich kann einen Hypothesentest aufstellen, berechnen und interpretieren.
4. Argumentation: Ich kann begründen, warum ein Ergebnis gilt.
5. Verfahren: Ich kann selbstständig eine geeignete Methode wählen.
6. Prüfung: Ich halte Teil-A-Zeitgrenze und Endkontrolle ein.

Transfer

1. Verändere im Starkregenmodell den Parameter $12$ oder den Exponentenfaktor $\frac{1}{2}$ und untersuche, wie sich Maximum und Wendepunkt ändern.
2. Verändere die Flugrichtung der Drohne so, dass sie senkrecht auf die Dachfläche trifft. Begründe Deine Wahl mit Vektoren.
3. Untersuche, wie sich der Ablehnungsbereich des Qualitätstests bei einer größeren Stichprobe verändert.
4. Formuliere zu einer eigenen Alltagssituation ein mathematisches Modell, das mindestens zwei Inhaltsbereiche verbindet.

Reflexion

Beantworte nach der Korrektur kurz:

1. Wo habe ich mathematisch richtig gedacht, aber unklar dokumentiert?
2. Wo habe ich einen Rechenweg gewählt, der unnötig lang war?
3. Welche Aufgabe hätte ich mit einer Skizze schneller verstanden?
4. Welche drei Routinen sollen bis zur nächsten Simulation automatisiert sein?
5. Welche Art von Begründung fällt mir noch schwer: algebraisch, geometrisch, stochastisch oder modellierend?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein aiMOOC zur gezielten Fehlerkorrektur:

1. ABI LF - Analysis auf Abiturniveau
2. ABI LF - Analytische Geometrie auf Abiturniveau
3. ABI LF - Stochastik auf Abiturniveau
4. ABI LF - Prüfungstaktik Mathematik
5. ABI LF - Begründungen und Beweise im Mathematik-Abitur

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Bewertungseinheiten umfasst Teil A dieser Leistungsfach-Struktur? (30 BE) (!20 BE) (!50 BE) (!70 BE)

Bis wann muss Teil A spätestens abgegeben werden? (110 Minuten nach Prüfungsbeginn) (!90 Minuten nach Prüfungsbeginn) (!120 Minuten nach Prüfungsbeginn) (!Erst am Ende der Gesamtprüfung)

Welcher Ausdruck kennzeichnet einen Extremstellenkandidaten einer differenzierbaren Funktion? (f' von x gleich 0) (!f von x gleich 0) (!f von x gleich 0 zwingend) (!Integral von f gleich 0)

Woran erkennt man die Orthogonalität zweier Vektoren? (Ihr Skalarprodukt ist 0) (!Ihre Beträge sind gleich) (!Ihre Summe ist 0) (!Ihre ersten Komponenten sind gleich)

Welche Verteilung modelliert die Anzahl von Treffern in unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit? (Binomialverteilung) (!Normalverteilung immer) (!Gleichverteilung) (!Exponentialverteilung)

Was beschreibt ein bestimmtes Integral einer Änderungsrate über ein Zeitintervall? (Die gesamte Bestandsänderung) (!Nur die momentane Steigung) (!Nur den Anfangswert) (!Immer eine Wahrscheinlichkeit)

Wie prüft man, ob eine Gerade parallel zu einer Ebene ist? (Richtungsvektor der Geraden ist orthogonal zum Normalenvektor der Ebene) (!Richtungsvektor und Normalenvektor sind identisch) (!Stützpunkt der Geraden ist der Ursprung) (!Ebene besitzt keinen Normalenvektor)

Was bedeutet ein Fehler 1. Art bei einem Hypothesentest? (Die Nullhypothese wird verworfen obwohl sie zutrifft) (!Die Nullhypothese wird beibehalten obwohl sie falsch ist) (!Die Stichprobe ist zu groß) (!Der Erwartungswert ist negativ)

Wann ist ein WTR-Ergebnis in einer Abiturlösung ausreichend dokumentiert? (Wenn Ansatz Rechenziel und Ergebnis nachvollziehbar angegeben sind) (!Wenn nur die Dezimalzahl notiert wird) (!Wenn die Tasteneingabe nicht überprüft wird) (!Wenn keine Einheit angegeben wird)

Welche Aussage zu KI-Ausgaben in Mathematik ist richtig? (Sie müssen mathematisch überprüft werden und ersetzen keinen Beweis) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie dürfen nie Fehler enthalten) (!Sie ersetzen jede eigene Begründung)

Memory

Ableitung	lokale Änderungsrate
Integral	akkumulierte Bestandsänderung
Normalenvektor	senkrecht zur Ebene
Skalarprodukt	Orthogonalitätsprüfung
Binomialverteilung	Anzahl von Treffern
Signifikanzniveau	Grenze für Fehler erster Art

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ableitung	Extremstellen untersuchen
Bestimmtes Integral	Gesamtänderung bestimmen
Skalarprodukt	Orthogonalität prüfen
Normalenvektor	Ebene beschreiben
Binomialverteilung	Trefferanzahl modellieren

Kreuzworträtsel

Ableitung	Wie heißt die Funktion, die lokale Änderungsraten beschreibt?
Integral	Welcher Begriff beschreibt die aufsummierte Änderung über ein Intervall?
Vektor	Wie heißt ein gerichtetes mathematisches Objekt im Raum?
Ebene	Welche geometrische Fläche wird durch einen Normalenvektor beschrieben?
Hypothese	Wie heißt eine statistisch zu prüfende Annahme?
Streuung	Welcher Oberbegriff beschreibt die Variabilität einer Verteilung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im Leistungsfach dauert die schriftliche Mathematikprüfung insgesamt . Teil A muss spätestens nach abgegeben werden. In Teil A werden insgesamt erreicht. In Teil B entfallen auf Analysis . Die Analytische Geometrie umfasst in Teil B . Die Stochastik umfasst in Teil B ebenfalls . Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor zum Normalenvektor ist. Bei einem Hypothesentest bezeichnet das vorab festgelegte Risiko für einen Fehler erster Art das .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Fehlerprotokoll: Erstelle aus Deiner Simulation eine Tabelle mit Aufgabe, Fehlerart, korrigiertem Ansatz und Kontrollregel.
2. Formelsprache: Formuliere fünf häufige Abiturbegründungen einmal in Worten und einmal mit geeigneter mathematischer Schreibweise.
3. Graphenskizze: Zeichne den Graphen des Starkregenmodells qualitativ und markiere Maximum, Wendepunkt und zwei Stellen mit gleicher Zuflussrate.
4. Vektorbild: Erstelle eine beschriftete Skizze der Dachfläche mit Normalenvektor und Flugbahn.

Standard

1. Zeitstrategie: Entwickle einen persönlichen 110-Minuten-Plan für Teil A und teste ihn an einer zweiten Aufgabenserie.
2. Parameterexperiment: Untersuche die Funktionsschar $r_a(t)=at{e}^{-t/2}$ und beschreibe den Einfluss von $a$.
3. Drohnenmodell: Konstruiere eine zweite Flugbahn, die parallel zur Dachfläche verläuft, und begründe sie rechnerisch.
4. Testdesign: Verändere im Qualitätskontrollmodell Stichprobenumfang oder Signifikanzniveau und dokumentiere die Folgen.

Schwer

1. Modellkritik: Prüfe, welche Annahmen des Starkregenmodells realistisch sind und wo das Modell physikalisch begrenzt ist.
2. Beweisprüfung: Schreibe zu einer selbst gewählten Aussage aus Analysis oder Stochastik einen formal nachvollziehbaren Beweis oder Gegenbeweis.
3. Prüfungskonstruktion: Entwickle eine eigene 20-BE-Aufgabe, die mindestens zwei Darstellungen verbindet und einen Anteil im Anforderungsbereich III enthält.
4. Mündliche Verteidigung: Nimm ein fünfminütiges Erklärvideo zu einer schwierigen Lösung auf und begründe jeden wesentlichen Schritt ohne personenbezogene Daten.

Lernkontrolle

1. Transfer Analysis: Ein anderes Zuflussmodell besitzt denselben Maximalwert, aber sein Maximum tritt später auf. Entwickle einen möglichen Funktionsterm und begründe Deine Konstruktion.
2. Transfer Geometrie: Eine Flugbahn schneidet zwei parallele Ebenen. Leite her, wovon die Strecke zwischen den Schnittpunkten abhängt.
3. Transfer Stochastik: Erkläre, warum eine Vergrößerung des Stichprobenumfangs die Trennschärfe eines Tests verändern kann.
4. Argumentationsanalyse: Prüfe die Aussage „Wenn $f^{″}(x_0)=0$, dann liegt bei $x_0$ immer ein Wendepunkt vor“ und widerlege oder bestätige sie begründet.
5. Methodenwahl: Vergleiche für ein geeignetes Problem einen algebraischen, grafischen und numerischen Lösungsweg und entscheide, welcher im Abitur am effizientesten dokumentierbar ist.
6. Qualitätssicherung: Entwickle eine Kontrollroutine, mit der Du WTR-Ergebnisse auf Plausibilität prüfst, ohne die gesamte Rechnung zu wiederholen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du:

1. eine vollständige Probeklausur unter Zeitbedingungen bearbeitet hast,
2. einen nachvollziehbaren Lösungsweg mit korrekter mathematischer Notation dokumentierst,
3. in Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik mehrschrittige Aufgaben selbstständig lösen kannst,
4. Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretierst,
5. Begründungen und Beweise kritisch prüfst,
6. Fehler systematisch analysierst und verbesserte Lösungswege formulierst,
7. Hilfsmittel regelkonform einsetzt und Ergebnisse eigenständig kontrollierst.

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematik-Abitur Analysis Differentialrechnung Integralrechnung Analytische Geometrie Vektorrechnung Stochastik Binomialverteilung Hypothesentest Mathematisches Modellieren Mathematisches Argumentieren