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aiMOOC

ABI LF - Anforderungsbereich III gezielt trainieren

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Einleitung

Mini-Beschreibung: Bearbeite offene Aufgaben, in denen Verfahren nicht vorgegeben werden und Ergebnisse beurteilt, verallgemeinert oder übertragen werden müssen. Du trainierst im Leistungsfach eigenständige mathematische Argumentation in Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur.

Stand: Prüfungsjahrgang 2027. Maßgeblich bleiben immer der für Deinen Prüfungsjahrgang veröffentlichte Facherlass und die offiziellen Prüfungshinweise. Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Videos oder KI sind nicht automatisch als Prüfungshilfsmittel zugelassen.

Der Anforderungsbereich III verlangt mehr als ein bekanntes Verfahren sauber auszuführen. Du musst bei komplexen oder neuen Situationen selbst entscheiden, welche Mathematik trägt, Deine Wahl begründen, Ergebnisse prüfen und daraus Folgerungen, Verallgemeinerungen oder Bewertungen ableiten.

$AFB III \approx Verfahren wählen + begründen + prüfen + übertragen$

Für das Leistungsfach ist dabei formale Präzision wichtig: Ein plausibles Ergebnis ist noch kein Beweis. Eine KI-Ausgabe ist ebenfalls kein Beweis. Du prüfst Voraussetzungen, Rechenweg und Schlussfolgerung selbst.

Prüfungsrahmen Baden-Württemberg 2027

Der Facherlass 2027 nennt für das Leistungsfach die drei Sachgebiete Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. In Klausuren der Qualifikationsphase sollen alle drei Anforderungsbereiche vorkommen; AFB III wird gegenüber AFB I stärker akzentuiert. Die schriftliche Abiturprüfung umfasst 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit. Teil A wird ohne IQB-Formelsammlung und ohne WTR bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben; anschließend stehen für Teil B die zugelassenen Hilfsmittel zur Verfügung.

Der Facherlass setzt für 2027 zusätzlich grundlegende Kenntnisse zu Umkehrfunktionen sowie zu Varianz und Standardabweichung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen voraus. Nicht Gegenstand der schriftlichen Prüfung sind 2027 Mittelwertberechnungen mithilfe der Integralrechnung, uneigentliche Integrale, Näherungsverfahren und Beweise mit Vektoren.

Offizielle Quellen:

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Mathematisch argumentieren: aus Voraussetzungen logisch tragfähige Folgerungen entwickeln.
Problemlösen: bei offenen Aufgaben selbstständig ein geeignetes Verfahren wählen und die Wahl begründen.
Modellieren: Annahmen, Grenzen und Aussagekraft eines Modells prüfen.
Verallgemeinern: von einem Beispiel zu einer Parameter- oder Strukturaussage übergehen.
Beurteilen: mathematische Behauptungen mit Kriterien, Rechnungen, Gegenbeispielen oder Beweisen bewerten.
Transfer: Argumentationsideen zwischen Analysis, Geometrie und Stochastik übertragen.
Fehleranalyse: überzeugend klingende, aber mathematisch unvollständige Lösungen erkennen und korrigieren.
KI und Mathematik: KI-Ausgaben rechnerisch und logisch prüfen, statt sie als Beweis zu übernehmen.

Vorwissen-Check

Bearbeite zunächst ohne digitale Werkzeuge. Entscheidend ist nicht nur das Ergebnis, sondern Deine Begründung.

Check A – Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar

$f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x, a > 0.$

Ohne die vollständige Kurvendiskussion auszuführen: Entscheide, ob die Aussage stimmt.

„Verdoppelt man $a$ , verdoppelt sich der horizontale Abstand der beiden Extremstellen.“

Selbstkontrolle

${f_{a}}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a = 0 ⟺ x = \pm \sqrt{a} .$

Der horizontale Abstand beträgt

$d_{x} = 2 \sqrt{a} .$

Für $2 a$ gilt

$d_{x} (2 a) = 2 \sqrt{2 a} = \sqrt{2} \cdot d_{x} (a) .$

Die Aussage ist falsch. Entscheidend ist die Abhängigkeit $d_{x} \propto \sqrt{a}$ .

Check B – Analytische Geometrie

Gegeben sind

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$

und

$g_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} t \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) .$

Untersuche die Lage von $g_{t}$ zu $E$ in Abhängigkeit von $t$ .

Selbstkontrolle

Mit $\vec{n} = (1, 1, 1)$ und $\vec{u} = (1, 1, - 2)$ gilt

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 + 1 - 2 = 0.$

Also ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt vollständig in ihr.

Der Stützpunkt $(t, 0, 0)$ liegt genau dann in $E$ , wenn

$t = 3.$

Damit gilt:

$t = 3 : g_{t} \subset E$

und

$t \neq 3 : g_{t} ∥ E, g_{t} \cap E = \emptyset .$

Check C – Stochastik

Vergleiche

$X \sim B (100; 0,5)$

und

$Y \sim B (200; 0,25) .$

Beurteile die Behauptung:

„Beide Zufallsgrößen haben denselben Erwartungswert, also sind ihre Ergebnisse gleich stark vorhersehbar.“

Selbstkontrolle

$E (X) = 100 \cdot 0,5 = 50$

und

$E (Y) = 200 \cdot 0,25 = 50.$

Aber

$V (X) = 100 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 25$

und

$V (Y) = 200 \cdot 0,25 \cdot 0,75 = 37,5.$

Damit

$σ_{X} = 5, σ_{Y} \approx 6,12.$

Gleicher Erwartungswert bedeutet nicht gleiche Streuung. Die Behauptung ist daher nicht begründet.

AFB III erkennen

Eine Aufgabe wird nicht allein durch einen bestimmten Operator zu AFB III. Entscheidend sind Kontext, Offenheit und mathematische Komplexität.

Typische Signale sind:

Verfahren wählen: Es ist nicht vorgegeben, ob Du algebraisch, grafisch, geometrisch oder stochastisch argumentierst.
Beurteilen: Ein Urteil muss mathematisch begründet werden.
Verallgemeinern: Ein Beispiel wird auf einen Parameter oder eine ganze Klasse übertragen.
Gegenbeispiel: Eine allgemeine Behauptung wird durch ein geeignetes Beispiel widerlegt.
Modellkritik: Annahmen und Grenzen eines Modells werden reflektiert.
Beweisidee: Du entwickelst selbst eine tragfähige Argumentationskette.
Transfer: Eine bekannte Idee wird in einem neuen Zusammenhang eingesetzt.

Merksatz: Wenn eine Aufgabe nur fragt „Welche Formel passt?“, ist das meist noch nicht AFB III. Wenn sie fragt „Welche Idee trägt – und warum?“, beginnt der Kern von AFB III.

Interaktive Beispiele

Analysis: Von der Rechnung zur Verallgemeinerung

Für

$f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x, a > 0$

gilt

${f_{a}}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a$

und damit

$x_{1} = - \sqrt{a}, x_{2} = \sqrt{a} .$

Die zugehörigen Funktionswerte sind

$f_{a} (- \sqrt{a}) = 2 a^{3 / 2}$

und

$f_{a} (\sqrt{a}) = - 2 a^{3 / 2} .$

Damit kannst Du zwei Skalierungsgesetze formulieren:

$d_{x} = 2 \sqrt{a}$

und

$d_{y} = 4 a^{3 / 2} .$

AFB-III-Frage: Ein Parameterwechsel $a \mapsto k a$ verändert die horizontale und vertikale Ausdehnung unterschiedlich. Verallgemeinere:

$d_{x} (k a) = \sqrt{k} d_{x} (a)$

und

$d_{y} (k a) = k^{3 / 2} d_{y} (a) .$

Begründe, warum dies mehr Information liefert als die bloße Bestimmung einzelner Extrempunkte.

Arbeitsauftrag zum dynamischen Graphen: Verändere den betrachteten Punkt und beobachte Tangentensteigung, erste und zweite Ableitung. Formuliere danach eine eigene Regel, die mindestens zwei der Größen $f$ , $f^{'}$ und $f^{″}$ verknüpft. Prüfe die Regel an einem Gegenbeispiel.

Analytische Geometrie: Fallunterscheidung statt Schnellschluss

Für

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$

und

$g_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} t \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$

zeigt das Skalarprodukt zunächst nur:

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) = 0.$

Daraus folgt nicht automatisch „kein Schnittpunkt“. Zwei Fälle bleiben:

$g_{t} \subset E$

oder

$g_{t} ∥ E .$

Die Punktprobe trennt die Fälle.

AFB-III-Frage: Formuliere eine allgemeine Entscheidungsstrategie für die Lage einer Geraden

$g : \vec{x} = \vec{p} + s \vec{u}$

zu einer Ebene

$E : \vec{n} \cdot \vec{x} = d .$

Deine Strategie soll ohne konkrete Zahlen funktionieren.

Muster einer tragfähigen Argumentation

Prüfe $\vec{n} \cdot \vec{u}$ .
Ist das Ergebnis ungleich null, gibt es genau einen Schnittpunkt.
Ist das Ergebnis null, prüfe zusätzlich $\vec{n} \cdot \vec{p} = d$ .
Ist auch diese Gleichung erfüllt, liegt die Gerade in der Ebene.
Andernfalls ist die Gerade echt parallel zur Ebene.

Stochastik: Gleicher Mittelwert ist nicht gleiche Aussage

Für eine Binomialverteilung gilt

$E (X) = n p$

und

$V (X) = n p (1 - p) .$

Damit können zwei Zufallsgrößen denselben Erwartungswert, aber verschiedene Varianzen besitzen.

Arbeitsauftrag: Erzeuge mit dem interaktiven Modell zwei unterschiedliche Binomialverteilungen mit ungefähr gleichem Erwartungswert. Vergleiche ihre Streuung und formuliere eine begründete Aussage zur Vorhersagbarkeit.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Gegenbeispiel in der Analysis

Beurteile:

„Ist $f^{'} (x_{0}) = 0$ , dann besitzt $f$ bei $x_{0}$ ein lokales Extremum.“

Hilfe

Suche keine komplizierte Funktion. Eine einfache Potenzfunktion genügt.

Feedback

Ein Gegenbeispiel ist

$f (x) = x^{3} .$

Es gilt

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$

und damit

$f^{'} (0) = 0.$

Trotzdem besitzt $f$ bei $x = 0$ kein Extremum. Die allgemeine Aussage ist widerlegt.

Übung 2: Parameterabhängigkeit in der Analysis

Für

$g_{a} (x) = x^{4} - 2 a x^{2}, a > 0$

untersuche, wie viele Extremstellen vorliegen und wie deren $x$ -Koordinaten von $a$ abhängen. Formuliere anschließend eine allgemeine Aussage.

Hilfe

${g_{a}}^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 a x = 4 x (x^{2} - a) .$

Feedback

Kritische Stellen sind

$x = 0, x = \pm \sqrt{a} .$

Mit

${g_{a}}^{″} (x) = 12 x^{2} - 4 a$

folgt

${g_{a}}^{″} (0) = - 4 a < 0$

und

${g_{a}}^{″} (\pm \sqrt{a}) = 8 a > 0.$

Für jedes $a > 0$ gibt es also ein lokales Maximum bei $x = 0$ und zwei lokale Minima bei $x = \pm \sqrt{a}$ .

Übung 3: Windschief statt „muss sich schneiden“

Beurteile die Aussage:

„Zwei Geraden im Raum, deren Richtungsvektoren nicht parallel sind, schneiden sich.“

Verwende

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

und

$h : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) .$

Hilfe

Vergleiche die dritte Koordinate beider Geraden.

Feedback

Auf $g$ gilt stets $x_{3} = 0$ , auf $h$ stets $x_{3} = 1$ . Ein Schnittpunkt ist unmöglich. Die Richtungsvektoren sind dennoch nicht parallel. Die Geraden sind windschief.

Übung 4: Geometrische Strategie verallgemeinern

Gegeben sind eine Ebene

$E : \vec{n} \cdot \vec{x} = d$

und eine Geradenschar

$g_{t} : \vec{x} = {\vec{p}}_{t} + s \vec{u} .$

Entwickle eine Entscheidungskette, die für jedes $t$ zwischen Schnittpunkt, parallel und Gerade liegt in Ebene unterscheidet.

Hilfe

Die beiden entscheidenden Größen sind

$\vec{n} \cdot \vec{u}$

und

$\vec{n} \cdot {\vec{p}}_{t} - d .$

Feedback

Eine vollständige Lösung enthält eine Fallunterscheidung. Ein einzelnes Skalarprodukt reicht nur dann, wenn es ungleich null ist.

Übung 5: Streuung beurteilen

Eine Fertigung A erzeugt pro Tag

$X \sim B (100; 0,5)$ ,

eine Fertigung B

$Y \sim B (200; 0,25) .$

Beide haben denselben Erwartungswert. Beurteile, ob daraus dieselbe Streuung folgt.

Hilfe

Vergleiche $n p (1 - p)$ .

Feedback

$V (X) = 25$ ,

$V (Y) = 37,5.$

Derselbe Erwartungswert bestimmt die Streuung nicht eindeutig.

Übung 6: Off-by-one-Fehler in der Stochastik

Eine Lösung behauptet:

$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k) .$

Prüfe die Aussage und korrigiere sie.

Hilfe

Schreibe zuerst das Gegenereignis zu $X \geq k$ in Worten.

Feedback

Das Gegenereignis zu $X \geq k$ ist

$X \leq k - 1.$

Daher gilt

$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1) .$

Fehleranalyse

Fehler 1: „Ableitung null, also Maximum“

Unvollständiger Schluss:

$f^{'} (x_{0}) = 0 \Rightarrow x_{0} ist Maximum .$

Korrektur: $f^{'} (x_{0}) = 0$ ist zunächst nur eine notwendige Bedingung für viele innere Extremstellen. Du brauchst eine weitere Untersuchung, zum Beispiel einen Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ oder ein geeignetes Kriterium mit höheren Ableitungen.

Fehler 2: „Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor, also kein Schnitt“

Aus

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$

folgt nur: Gerade und Ebene sind parallel oder die Gerade liegt in der Ebene. Erst eine Punktprobe trennt beide Fälle.

Fehler 3: Erwartungswert mit Sicherheit verwechseln

Aus

$E (X) = E (Y)$

folgt nicht

$V (X) = V (Y) .$

Eine Beurteilung der Streuung verlangt mindestens eine geeignete Streuungsgröße.

Fehler 4: KI-Antwort ungeprüft übernehmen

Eine KI kann einen formal überzeugenden, aber falschen Rechenweg erzeugen. Prüfe deshalb:

Sind die Voraussetzungen korrekt übernommen?
Ist jede Umformung äquivalent?
Werden Sonderfälle übersehen?
Passt das Ergebnis zur Größenordnung oder Geometrie?
Ist eine allgemeine Behauptung wirklich bewiesen oder nur an Beispielen getestet?

Regel: KI kann beim Erklären, Variieren und Prüfen helfen. Sie ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Bewerte jede Aussage mit sicher, teilweise oder noch trainieren.

Ich kann eine allgemeine Behauptung gezielt mit einem Gegenbeispiel prüfen.
Ich kann bei Parameteraufgaben notwendige Fallunterscheidungen erkennen.
Ich kann eine Methode auswählen, ohne dass sie in der Aufgabe genannt wird.
Ich kann erklären, warum meine Methode zur Fragestellung passt.
Ich kann zwischen numerischer Evidenz und einem Beweis unterscheiden.
Ich kann in Geometrie algebraische und räumliche Argumente miteinander verbinden.
Ich kann Erwartungswert und Streuung getrennt interpretieren.
Ich kann ein Ergebnis auf Plausibilität, Randfälle und Modellannahmen prüfen.
Ich kann einen Lösungsweg auf eine ähnliche, aber nicht identische Situation übertragen.
Ich kann eine KI-Ausgabe mathematisch kontrollieren.

Transfer

Die drei Inhaltsgebiete unterscheiden sich, aber AFB III nutzt wiederkehrende Denkstrategien.

Strategie A – Gegenbeispiel

Analysis:

$f^{'} (0) = 0$

widerlegt allein noch nicht die Möglichkeit eines Sattelpunktes.

Geometrie: Nicht parallele Richtungsvektoren garantieren im Raum keinen Schnittpunkt.

Stochastik: Gleicher Erwartungswert garantiert keine gleiche Varianz.

Strategie B – Fallunterscheidung

Analysis: Verhalten hängt vom Parameter $a$ ab.

Geometrie:

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$

führt zu zwei Unterfällen.

Stochastik: Ein Ereignis wie $X \geq k$ verlangt eine saubere Abgrenzung vom Gegenereignis.

Strategie C – Invariante und Veränderliche trennen

Frage immer: Welche Größe bleibt gleich, welche ändert sich?

$E (X) = 50$

kann konstant bleiben, während $V (X)$ variiert.

Genau dieses Denken hilft auch bei Funktionenscharen und geometrischen Parameterscharen.

Kompetenzcheck

Bearbeite die folgenden drei Aufgaben ohne vorgegebenes Verfahren.

A – Analysis

Für

$f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x, a > 0$

behauptet jemand:

„Die Verbindung der beiden Extrempunkte wird mit wachsendem $a$ nur gestreckt, ihre Steigung bleibt aber konstant.“

Prüfe die Behauptung vollständig.

Kontrollimpuls

Die Extrempunkte sind

$H = (- \sqrt{a}, 2 a^{3 / 2})$

und

$T = (\sqrt{a}, - 2 a^{3 / 2}) .$

Die Steigung der Verbindungsgeraden ist

$m = \frac{- 4 a^{3 / 2}}{2 \sqrt{a}} = - 2 a .$

Sie ist also nicht konstant.

B – Geometrie

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene. Formuliere eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gerade vollständig in der Ebene liegt. Begründe Deine Bedingung.

Kontrollimpuls

Bei

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$

ist zusätzlich

$\vec{n} \cdot \vec{p} = d$

notwendig und hinreichend.

C – Stochastik

Zwei Binomialverteilungen besitzen denselben Erwartungswert $μ$ . Leite eine Bedingung her, unter der sie trotzdem verschiedene Varianzen besitzen, und gib ein konkretes Beispiel an.

Kontrollimpuls

Aus

$n p = μ$

folgt

$V (X) = n p (1 - p) = μ (1 - p) .$

Bei gleichem $μ$ , aber unterschiedlichem $p$ , kann die Varianz verschieden sein.

Reflexion

Beantworte schriftlich in wenigen Sätzen:

Bei welcher Aufgabe musste ich ein Verfahren wirklich selbst wählen?
Wo habe ich zunächst zu früh geschlossen?
Welches Gegenbeispiel war besonders wirksam?
Welche Rechnung war nur ein Zwischenschritt und welche Aussage war die eigentliche Begründung?
Welche meiner Lösungen würde auch ohne Taschenrechner, GeoGebra oder KI tragen?
Wo müsste ich für eine Abiturreinschrift präziser formulieren?

Folgekurs

Als nächstes eignet sich:

ABI LF - Eine vollständige Mathematik-Abiturprüfung simulieren

Dort setzt Du die hier trainierten AFB-III-Strategien unter Zeitbedingungen in Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik ein.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was kennzeichnet AFB III besonders? (Ein geeignetes Verfahren selbst wählen und das Ergebnis begründet reflektieren) (!Eine bekannte Formel ohne Begründung einsetzen) (!Nur Definitionen wiedergeben) (!Eine Rechnung exakt nach Vorlage abschreiben)

Welche Aussage folgt aus f'(x0)=0 im Allgemeinen sicher? (x0 ist eine kritische Stelle der Funktion) (!x0 ist immer ein Maximum) (!x0 ist immer ein Minimum) (!f ist an x0 nicht differenzierbar)

Was folgt aus dem Skalarprodukt n mal u gleich null bei Gerade und Ebene? (Die Gerade ist zur Ebene parallel oder liegt in ihr) (!Die Gerade schneidet die Ebene immer) (!Die Gerade ist windschief zur Ebene) (!Die Ebene besitzt keinen Normalenvektor)

Was zeigt ein einziges Gegenbeispiel zu einer Allaussage? (Die Allaussage ist falsch) (!Die Allaussage ist bewiesen) (!Die Allaussage gilt nur für positive Zahlen) (!Das Gegenbeispiel ist irrelevant)

Welche Größe beschreibt bei einer Binomialverteilung die Streuung? (Die Varianz) (!Nur der Erwartungswert) (!Nur die Anzahl der Versuche) (!Nur der größte mögliche Wert)

Welche Formel ist für das Gegenereignis zu X größer oder gleich k korrekt? (P von X größer oder gleich k ist eins minus P von X kleiner oder gleich k minus eins) (!P von X größer oder gleich k ist eins minus P von X kleiner oder gleich k) (!P von X größer oder gleich k ist P von X kleiner oder gleich k) (!P von X größer oder gleich k ist immer eins halb)

Was ist bei einer Parameteraufgabe besonders wichtig? (Mögliche Fallunterscheidungen vollständig zu prüfen) (!Nur einen beliebigen Parameterwert einzusetzen) (!Den Parameter zu ignorieren) (!Immer denselben Standardweg zu verwenden)

Welche Aussage über KI-Ausgaben in Mathematik ist richtig? (Sie müssen mathematisch geprüft werden und ersetzen keinen Beweis) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie dürfen nie für Übungszwecke verwendet werden) (!Sie sind immer fehlerfrei wenn Formeln vorkommen)

Was bedeutet beurteilen in einer mathematischen Aufgabe? (Ein Urteil mit mathematischen Argumenten begründen) (!Nur Ja oder Nein schreiben) (!Nur einen Graphen zeichnen) (!Nur das Ergebnis eines Taschenrechners nennen)

Welche Aussage zu Übungswerkzeugen gilt für das Abitur? (Ihre Nutzung im Training bedeutet nicht automatisch dass sie in der Prüfung zugelassen sind) (!GeoGebra ist immer in jeder Prüfung zugelassen) (!YouTube darf während jeder Prüfung verwendet werden) (!Jede KI ist automatisch ein zugelassenes Hilfsmittel)

Memory

Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine Aussage durch einen passenden Einzelfall
Fallunterscheidung	Trennt mathematisch verschiedene Parameter- oder Lagefälle
Verallgemeinerung	Überführt eine Beobachtung in eine allgemeine Aussage
Plausibilitätsprüfung	Prüft Größenordnung und innere Stimmigkeit eines Ergebnisses
Varianz	Maß für die Streuung einer Zufallsgröße
Normalenvektor	Steht senkrecht auf einer Ebene
Transfer	Überträgt eine Idee auf einen neuen Zusammenhang

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Strategie
Allaussage widerlegen	Gegenbeispiel
Parameterbereiche trennen	Fallunterscheidung
Ergebnis auf Größenordnung prüfen	Plausibilitätsprüfung
Beobachtung auf eine Klasse übertragen	Verallgemeinerung
Lösung auf neuen Kontext anwenden	Transfer

Kreuzworträtsel

Gegenbeispiel	Wie heißt ein einzelner Fall, der eine allgemeine Behauptung widerlegt?
Varianz	Welche Kenngröße misst die quadratische Streuung einer Zufallsgröße?
Tangente	Welche Gerade beschreibt lokal die Steigung eines Funktionsgraphen?
Normalenvektor	Welcher Vektor steht senkrecht auf einer Ebene?
Binomialverteilung	Welche Verteilung modelliert die Anzahl von Erfolgen in unabhängigen Bernoulli-Versuchen?
Transfer	Wie heißt die Übertragung einer Methode auf einen neuen Zusammenhang?

LearningApps

Lückentext

Im Anforderungsbereich III wählst Du ein geeignetes

selbstständig aus.

Eine allgemeine Behauptung kann durch ein einziges

widerlegt werden.

Bei einer Geraden parallel zu einer Ebene trennt eine

die Fälle parallel und enthalten.

Bei einer Binomialverteilung beschreibt die

die Streuung.

Aus einem einzelnen Zahlenbeispiel folgt noch keine

.

Ein mathematisches Urteil benötigt eine nachvollziehbare

.

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen

.

Ein im Training verwendetes digitales Werkzeug ist nicht automatisch ein zugelassenes

.

Offene Aufgaben

Leicht

Gegenbeispiel Analysis: Finde zwei verschiedene Funktionen mit $f^{'} (0) = 0$ , von denen nur eine bei $x = 0$ ein Extremum besitzt. Begründe den Unterschied.
Gerade und Ebene: Erfinde eine Gerade, die vollständig in der Ebene $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$ liegt. Begründe Deine Konstruktion.
Streuung vergleichen: Finde zwei Binomialverteilungen mit demselben Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz.
Fehlerkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte zu einem typischen AFB-III-Fehler mit falschem Schluss, Gegenargument und korrekter Regel.

Standard

Funktionenschar untersuchen: Erfinde eine Funktionenschar mit einem Parameter und formuliere eine Behauptung über die Anzahl ihrer Extremstellen. Prüfe sie vollständig.
Geometrisches Gegenbeispiel: Konstruiere zwei windschiefe Geraden und erkläre ohne Zeichnung sowie mit einer 3D-Skizze, warum sie sich nicht schneiden.
Stochastisches Urteil: Entwickle eine Situation, in der zwei Modelle denselben Erwartungswert besitzen, aber wegen unterschiedlicher Streuung zu verschiedenen Bewertungen führen.
Erklärvideo AFB III: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du den Unterschied zwischen „berechnen“ und „beurteilen“ an einem mathematischen Beispiel zeigst.

Schwer

Parameter und Beweis: Formuliere zu einer Funktionenschar eine Allaussage über Extremstellen oder Wendestellen und beweise sie für alle zulässigen Parameterwerte oder widerlege sie vollständig.
Geometrische Entscheidungslogik: Entwickle einen allgemeinen Entscheidungsbaum für die Lage von Gerade und Ebene aus $\vec{n} \cdot \vec{u}$ und einer Punktprobe. Begründe, warum alle Fälle erfasst sind.
Stochastische Modellkritik: Erstelle zwei unterschiedliche Binomialmodelle für denselben Sachkontext. Vergleiche Erwartungswert, Varianz und Modellannahmen und beurteile, welches Modell unter welchen Voraussetzungen sinnvoller ist.
AFB-III-Aufgabe entwerfen: Entwickle selbst eine mehrschrittige Abituraufgabe, in der das Verfahren nicht vorgegeben wird. Baue mindestens einen Transfer, eine Beurteilung und eine mathematische Begründung ein. Erstelle dazu einen Erwartungshorizont.

Lernkontrolle

Transfer Analysis: Erkläre, warum das Prüfen einzelner Parameterwerte keine allgemeine Aussage über eine Funktionenschar beweist. Entwickle eine Strategie, mit der Du die Aussage stattdessen absicherst.
Transfer Geometrie: Leite aus $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ eine vollständige Fallunterscheidung für Gerade und Ebene ab und begründe, warum kein weiterer Lagefall möglich ist.
Transfer Stochastik: Zwei Zufallsgrößen besitzen denselben Erwartungswert. Zeige an einem selbst gewählten Beispiel, warum daraus keine gleiche Risikobewertung folgt.
Modellkritik: Nenne ein mathematisches Ergebnis aus einer Modellierung und formuliere zwei Bedingungen, unter denen seine Interpretation nicht mehr tragfähig wäre.
Beweisprüfung: Analysiere eine fremde oder KI-generierte mathematische Lösung. Markiere Voraussetzungen, Schlussregeln, mögliche Lücken und den Punkt, an dem aus Rechnung tatsächlich eine Begründung wird.
Gebietsübergreifender Transfer: Beschreibe, wie die Strategien Gegenbeispiel, Fallunterscheidung und Plausibilitätsprüfung jeweils in Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik eingesetzt werden können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du wählst bei offenen Problemen selbstständig ein geeignetes mathematisches Verfahren.
Du stellst Rechenwege nachvollziehbar und formal korrekt dar.
Du begründest Urteile mit mathematischen Kriterien.
Du erkennst notwendige Fallunterscheidungen.
Du unterscheidest Beispiel, Vermutung, Gegenbeispiel und Beweis.
Du verallgemeinerst Ergebnisse korrekt über Parameter oder Klassen von Objekten.
Du interpretierst Erwartungswert und Streuung getrennt.
Du prüfst Modellannahmen und Grenzen.
Du kontrollierst digitale und KI-generierte Ergebnisse eigenständig.
Du beachtest den für Deinen Prüfungsjahrgang gültigen Facherlass und die zugelassenen Hilfsmittel.