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aiMOOC

ABI LF - Ableitungen hilfsmittelfrei bestimmen

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ABI LF - Ableitungen hilfsmittelfrei bestimmen

Mini-Beschreibung: Trainiere Ableitungen typischer Abiturfunktionsterme ohne digitale Hilfsmittel. Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, Baden-Württemberg. Du sicherst Potenz-, Summen-, Faktor-, Produkt- und Kettenregel, begründest Rechenwege und prüfst Ergebnisse auf Plausibilität.

Einleitung

Im hilfsmittelfreien Teil zählt nicht nur das Ergebnis. Du musst die Termstruktur erkennen, die passende Regel wählen, sauber rechnen und Dein Ergebnis unabhängig kontrollieren.

Die Animation veranschaulicht, wie sich die Tangentensteigung und damit $f^{'} (x)$ entlang eines Graphen verändert.

Prüfungskontext Baden-Württemberg

Stand: schriftliches Abitur 2027, allgemein bildendes Gymnasium, Leistungsfach Mathematik.

Nach den aktuellen Vorgaben umfasst die schriftliche Prüfung 300 Minuten. Für Teil A gelten 30 Bewertungseinheiten; dieser Teil ist spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn abzugeben. In Teil A stehen WTR und mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung nicht zur Verfügung. Welche Hilfsmittel im konkreten Prüfungsjahr zugelassen sind, bestimmt der aktuelle Facherlass.

Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg

Wichtig: GeoGebra, Lernvideos, LearningApps oder KI sind hier Übungswerkzeuge und nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden und ersetzen keinen Beweis.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

Potenzregel: Potenzen sicher ableiten.
Summenregel: Summanden getrennt ableiten.
Faktorregel: konstante Faktoren korrekt behandeln.
Produktregel: Produkte zweier x-abhängiger Faktoren ableiten.
Kettenregel: äußere und innere Funktion erkennen und ableiten.
Plausibilitätskontrolle: Grad, Vorzeichen, Faktoren und Testwerte zur Kontrolle nutzen.
Mathematische Begründung: fehlerhafte Rechenwege begründet korrigieren.

Vorwissen-Check

Löse ohne Hilfsmittel:

$x^{5} \to ?$
$3 x^{4} - 2 x + 7 \to ?$
Welche zusätzliche Regel brauchst Du bei $(2 x - 1)^{6}$ ?
Welche Regel brauchst Du bei $x^{2} \cdot e^{x}$ ?

Feedback

$5 x^{4}$
$12 x^{3} - 2$
Kettenregel
Produktregel

Ableitung als Steigung

Für eine differenzierbare Funktion beschreibt $f^{'} (x_{0})$ die Tangentensteigung an der Stelle $x_{0}$ .

$f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Arbeitsauftrag: Bewege den Punkt auf dem Graphen und vergleiche Tangentensteigung und Wert der Ableitungsfunktion.

Regelradar

Potenzregel

$f (x) = x^{n} ⟹ f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$

Beispiele:

$x^{- 3} \to - 3 x^{- 4}$

$x^{\frac{1}{2}} \to \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Summen- und Faktorregel

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$

$(c \cdot u)^{'} = c \cdot u^{'}$

$(c)^{'} = 0$

Produktregel

Für $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ gilt:

$f^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$

Merke: Nicht beide Faktoren einfach gleichzeitig ableiten.

Kettenregel

Für $f (x) = u (v (x))$ gilt:

$f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$

Kurz: äußere Ableitung an der inneren Funktion mal innere Ableitung.

Wichtige Grundbausteine

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

$(e^{g (x)})^{'} = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)$

$(\sin x)^{'} = \cos x$

$(\cos x)^{'} = - \sin x$

$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Potenz, Summe und Faktor

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{5} + 2 x^{- 2} - 7$

$f^{'} (x) = - \frac{3}{4} \cdot 5 x^{4} + 2 \cdot (- 2) x^{- 3}$

$f^{'} (x) = - \frac{15}{4} x^{4} - 4 x^{- 3}$

Plausibilitätscheck: Der Grad von $x^{5}$ sinkt auf $x^{4}$ ; der konstante Summand verschwindet.

Beispiel 2: Produktregel plus Kettenregel

$f (x) = (x^{2} - 1) e^{- 2 x}$

$u (x) = x^{2} - 1, v (x) = e^{- 2 x}$

$u^{'} (x) = 2 x, v^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x}$

$f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 1) (- 2 e^{- 2 x})$

$f^{'} (x) = e^{- 2 x} (2 x - 2 x^{2} + 2)$

Kontrolle: Bei $x = 0$ liefern beide Ergebnisformen den Wert $2$ .

Beispiel 3: Kettenregel

$g (x) = (3 x^{2} - 2 x + 1)^{4}$

Äußere Funktion: $u (z) = z^{4}$

Innere Funktion: $v (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

$u^{'} (z) = 4 z^{3}, v^{'} (x) = 6 x - 2$

$g^{'} (x) = 4 (3 x^{2} - 2 x + 1)^{3} (6 x - 2)$

Rechenwege prüfungstauglich darstellen

Struktur erkennen: Summe, Produkt oder Verkettung?
Regelgerüst notieren: zum Beispiel $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Teilableitungen einsetzen: innere Ableitung sichtbar machen.
Erst danach vereinfachen: nur so weit wie sinnvoll.

Beispiel:

$h (x) = x^{3} \sin (2 x)$

$h^{'} (x) = 3 x^{2} \sin (2 x) + x^{3} \cdot 2 \cos (2 x)$

$h^{'} (x) = 3 x^{2} \sin (2 x) + 2 x^{3} \cos (2 x)$

Warum die Produktregel zwei Summanden hat

Aus dem Differenzenquotienten

$\frac{u (x + h) v (x + h) - u (x) v (x)}{h}$

entsteht nach geeignetem Ergänzen und Zerlegen

$u (x + h) \frac{v (x + h) - v (x)}{h} + v (x) \frac{u (x + h) - u (x)}{h} .$

Für $h \to 0$ folgt

$u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x) .$

Damit ist die Produktregel aus dem Grenzwertprinzip begründet.

Plausibilitätskontrollen

Gradkontrolle:

$4 x^{7} - 3 x^{2} \to 28 x^{6} - 6 x$

Kettenfaktor:

$((5 x - 2)^{6})^{'} = 30 (5 x - 2)^{5}$

Produktstruktur:

$(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

Testwert: Vergleiche zwei äquivalente Ergebnisformen bei einem günstigen Wert wie $x = 0$ oder $x = 1$ .

Graphische Kontrolle: Ist der Ausgangsgraph lokal steigend, sollte die Ableitung dort positiv sein; bei fallendem Graphen negativ.

Fehleranalyse

Fehler A: Kettenfaktor vergessen

Falsch: $((2 x + 1)^{5})^{'} = 5 (2 x + 1)^{4}$

Richtig: $((2 x + 1)^{5})^{'} = 10 (2 x + 1)^{4}$

Fehler B: Produkt aus Ableitungen bilden

Falsch: $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x}$

Richtig: $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

Fehler C: Exponent bleibt stehen

Falsch: $(7 x^{4})^{'} = 28 x^{4}$

Richtig: $(7 x^{4})^{'} = 28 x^{3}$

Fehler D: unnötig ausmultiplizieren

Bei $(x^{2} + 1)^{5}$ ist die Kettenregel direkt effizient:

$((x^{2} + 1)^{5})^{'} = 10 x (x^{2} + 1)^{4}$

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{2} + 8$

Hilfe: Summanden getrennt ableiten.

Feedback:

f^{'} (x) = 30 x^{5} - 6 x

Übung 2

$f (x) = 4 x^{- 3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Hilfe: Potenzregel auf beide Summanden anwenden.

Feedback:

f^{'} (x) = - 12 x^{- 4} - x^{- \frac{1}{2}}

Übung 3

$f (x) = (4 x - 3)^{7}$

Hilfe: Potenzregel außen, innere Ableitung zusätzlich.

Feedback:

f^{'} (x) = 28 (4 x - 3)^{6}

Übung 4

$f (x) = x^{3} e^{x}$

Hilfe: Produktregel.

Feedback:

f^{'} (x) = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x}

Übung 5

$f (x) = (x^{2} + 2) e^{- x}$

Hilfe: Produktregel; beim zweiten Faktor zusätzlich Kettenregel.

Feedback:

f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - (x^{2} + 2) e^{- x}

Übung 6

$f (x) = \sin (3 x^{2} - 1)$

Hilfe: Äußere Sinus-Ableitung mal innere Ableitung.

Feedback:

f^{'} (x) = 6 x \cos (3 x^{2} - 1)

Übung 7 – Leistungsfach

$f (x) = x^{2} (2 x - 1)^{4}$

Hilfe: Produktregel außen, Kettenregel im zweiten Faktor.

Feedback:

f^{'} (x) = 2 x (2 x - 1)^{4} + 8 x^{2} (2 x - 1)^{3}

Übung 8 – Parameter

Für $a \in ℝ$ sei $f_{a} (x) = e^{a x} (x^{2} + 1)$ .

Feedback:

{f_{a}}^{'} (x) = a e^{a x} (x^{2} + 1) + 2 x e^{a x}

Selbstkontrolle

Arbeite ohne Video, GeoGebra, KI und Taschenrechner.

$f (x) = 2 x^{5} - 7 x^{- 2}$
$g (x) = (x^{2} - 4)^{3}$
$h (x) = x e^{- x}$
$p (x) = x^{2} \sin (2 x)$

Lösungen

$f^{'} (x) = 10 x^{4} + 14 x^{- 3}$
$g^{'} (x) = 6 x (x^{2} - 4)^{2}$
$h^{'} (x) = e^{- x} - x e^{- x}$
$p^{'} (x) = 2 x \sin (2 x) + 2 x^{2} \cos (2 x)$

Transfer

Gegeben ist $P (t) = t^{2} e^{- \frac{1}{4} t}$ .

$P^{'} (t) = 2 t e^{- \frac{1}{4} t} - \frac{1}{4} t^{2} e^{- \frac{1}{4} t}$

$P^{'} (t) = t e^{- \frac{1}{4} t} (2 - \frac{1}{4} t)$

Denkfrage: Welche Faktoren bestimmen das Vorzeichen von $P^{'} (t)$ für positive Werte von $t$ ?

Feedback: Für positive Werte von

t

sind die ersten beiden Faktoren positiv. Das Vorzeichen hängt daher vom letzten Faktor ab.

KI mathematisch prüfen

Prüfe bei KI-Ausgaben immer:

Wurde die richtige Regel gewählt?
Ist die innere Ableitung vorhanden?
Enthält die Produktregel beide Summanden?
Stimmen Exponenten und Vorzeichen?
Ist die Umformung wirklich äquivalent?

KI kann Vorschläge liefern, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis.

Kompetenzcheck

□ Ich erkenne Produkte zweier x-abhängiger Faktoren.
□ Ich erkenne Verkettungen auch bei Exponential- und trigonometrischen Funktionen.
□ Ich kombiniere Produkt- und Kettenregel sicher.
□ Ich kann Ergebnisse sinnvoll faktorisieren.
□ Ich kann mindestens zwei Plausibilitätskontrollen durchführen.
□ Ich kann fehlerhafte Rechenwege begründet korrigieren.

Reflexion

Welche Regel erkennst Du sofort?
Bei welcher Kombination machst Du noch Fehler?
Welche Kontrolle findet Deine typischen Fehler am schnellsten?
Kannst Du jeden Rechenschritt fachlich begründen?

Folgekurs

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Ableitung hat x hoch 6? (6x hoch 5) (!5x hoch 6) (!6x hoch 6) (!x hoch 5)

Welche Regel gilt für einen konstanten Faktor vor einer Funktion? (Faktorregel) (!Produktregel) (!Kettenregel) (!Quotientenregel)

Welche Regel brauchst Du für x hoch 2 mal e hoch x? (Produktregel) (!Potenzregel allein) (!Summenregel allein) (!Konstantenregel)

Welche Regel brauchst Du für eine Potenz von 3x minus 1? (Kettenregel) (!Summenregel allein) (!Produktregel) (!Konstantenregel)

Was geschieht mit einem konstanten Summanden beim Ableiten? (Er wird zu null) (!Er bleibt unverändert) (!Er wird verdoppelt) (!Er wird zum Exponenten)

Welche Ableitung hat e hoch 2x? (2 mal e hoch 2x) (!e hoch 2x) (!2x mal e hoch 2x) (!2 mal e hoch x)

Wie viele Summanden erzeugt die Produktregel zunächst? (Zwei) (!Einen) (!Drei) (!Vier)

Welche Kontrolle ist bei einem Polynom besonders schnell? (Grad der Ableitung prüfen) (!Immer eine Stammfunktion bilden) (!Immer ausmultiplizieren) (!Nur einen Graphen zeichnen)

Was muss bei der Kettenregel zusätzlich zur äußeren Ableitung auftreten? (Innere Ableitung) (!Zweite Ableitung) (!Stammfunktion) (!Nullstelle)

Was ist beim hilfsmittelfreien Training besonders wichtig? (Regelwahl und Rechenweg selbst begründen) (!Nur das Endergebnis notieren) (!Jeden Term mit Software prüfen) (!Alle Funktionen zuerst zeichnen)

Memory

$x^{n}$	Potenzregel
$u + v$	Summenregel
$c \cdot u$	Faktorregel
$u \cdot v$	Produktregel
$u (v (x))$	Kettenregel
$f^{'} (x_{0})$	Tangentensteigung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Potenzregel	Exponent wird Faktor und sinkt um eins
Summenregel	Summanden werden getrennt abgeleitet
Faktorregel	Konstanter Faktor bleibt erhalten
Produktregel	Zwei Ableitungsbeiträge werden addiert
Kettenregel	Äußere Ableitung wird mit innerer Ableitung multipliziert

Kreuzworträtsel

Potenzregel	Welche Regel brauchst Du bei einer einzelnen Potenz?
Produktregel	Welche Regel brauchst Du bei zwei x-abhängigen Faktoren?
Kettenregel	Welche Regel brauchst Du bei verschachtelten Funktionen?
Ableitung	Wie heißt die Funktion der momentanen Änderungsrate?
Tangente	Welche Gerade besitzt am Berührpunkt die Steigung der Ableitung?
Faktorregel	Welche Regel behandelt konstante Vorfaktoren?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Regelkarte: Gestalte eine kompakte Übersicht zu den fünf Ableitungsregeln.
Fehlersuche: Erfinde zwei typische falsche Ableitungen und korrigiere sie.
Graph und Ableitung: Skizziere eine Funktion und eine plausible Ableitungsfunktion.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zur Kettenregel ohne personenbezogene Daten.

Standard

Aufgabenserie: Entwickle fünf Aufgaben mit steigender Schwierigkeit und Lösungen.
Produktregel begründen: Erläutere die Produktregel aus dem Differenzenquotienten.
Plausibilitätscheck: Prüfe eine Ableitung mit mindestens drei unabhängigen Kontrollen.
GeoGebra-Prüfung: Löse zuerst von Hand und kontrolliere danach grafisch.

Schwer

Parameterfunktion: Entwickle eine Parameterfunktion mit Produkt- und Kettenregel.
Beweisprüfung: Schreibe einen scheinbar korrekten Beweis mit genau einem Fehler und korrigiere ihn.
Abituraufgabe entwickeln: Erstelle eine mehrschrittige Analysis-Aufgabe mit Transferanteil.
KI-Audit Mathematik: Prüfe mehrere KI-Ableitungen unabhängig und dokumentiere Fehler.

Lernkontrolle

Regelwahl begründen: Bestimme die Ableitung von $f (x) = x^{2} e^{- 3 x}$ und begründe jeden Regelwechsel.
Fehler beurteilen: Widerlege die Behauptung $((x^{2} + 1)^{4})^{'} = 4 (x^{2} + 1)^{3}$ und korrigiere sie.
Darstellungen vergleichen: Zeige, dass zwei unterschiedlich aussehende Ableitungen derselben Funktion äquivalent sind.
Plausibilität übertragen: Entwickle für $f (x) = e^{- x} (x + 1)$ mindestens drei hilfsmittelfreie Kontrollen.
Modell interpretieren: Nutze $P^{'} (t)$ , um Wachstums- und Abnahmebereiche eines Modells zu begründen.
Verfahren wählen: Vergleiche Ausmultiplizieren und direkte Kettenregel bei $(x^{2} + 1)^{5}$ und begründe Deine Wahl.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

Potenz-, Summen-, Faktor-, Produkt- und Kettenregel sicher auswählen.
Mehrere Regeln in einem Term korrekt kombinieren.
Rechenwege formal nachvollziehbar dokumentieren.
Ergebnisse durch Grad, Vorzeichen, Testwerte oder Graphverhalten plausibilisieren.
Fehlerhafte Rechnungen fachsprachlich begründet korrigieren.
Äquivalente Ergebnisformen erkennen und umformen.
Mathematische Aussagen selbst prüfen, auch wenn sie von Software oder KI stammen.

OERs zum Thema

Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Schlüsselkonzept Ableitung

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