ABI LF - Ablehnungs- und Annahmebereich bestimmen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Entwickle Entscheidungsbereiche für binomialverteilte Testgrößen anhand vorgegebener Fehlerwahrscheinlichkeiten beziehungsweise Signifikanzvorgaben. Zielgruppe ist das Leistungsfach Mathematik mit Blick auf das schriftliche Abitur in Baden-Württemberg.

Beim Hypothesentest legst Du vor der Beobachtung fest, welche Trefferzahlen unter der Nullhypothese noch akzeptabel sind und welche zur Ablehnung von $H_0$ führen.

Eine typische Testgröße ist binomialverteilt:

$X\sim B(n;p_0)$

Dabei ist $n$ der Stichprobenumfang, $p_0$ die unter $H_0$ angenommene Trefferwahrscheinlichkeit und $X$ die Trefferzahl.

Zentrale Bedingung:

$P(X\in A)\le \alpha$

Der Bereich $A$ heißt Ablehnungsbereich. Sein Gegenbereich wird im Schulkontext meist Annahmebereich genannt. Fachlich bedeutet ein Ergebnis dort nur, dass $H_0$ nicht verworfen wird.

Abiturbezug Baden-Württemberg – Stand Prüfungsjahr 2027: Für das Mathematik-Leistungsfach sind die jeweils aktuellen Hinweise und zugelassenen Hilfsmittel des Kultusministeriums maßgeblich. Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Lernapps, Videos oder KI sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden und ersetzen keinen Beweis. Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Binomialverteilung: eine Testgröße als $X\sim B(n;p_0)$ modellieren.
2. Signifikanzniveau: $\alpha$ als Obergrenze für den Fehler 1. Art deuten.
3. Ablehnungsbereich: kritische Bereiche bei links-, rechts- und zweiseitigen Tests bestimmen.
4. Annahmebereich: den Gegenbereich zum Ablehnungsbereich korrekt angeben.
5. WTR: kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten zur Grenzwertsuche einsetzen.
6. Mathematisches Argumentieren: Grenzwerte durch Nachbarwahrscheinlichkeiten begründen.

Vorwissen-Check

1. Binomialmodell: Unterscheide $P(X=k)$ und $P(X\le k)$.
2. Gegenereignis: Nutze $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.
3. Erwartungswert: Berechne $\mu =np$.
4. Standardabweichung: Berechne $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.
5. Hypothese: Formuliere passende Aussagen für $H_0$ und $H_1$.

Kurzlösung: Für $X\sim B(50;\mathrm{0,4})$ gilt $\mu =20$. Außerdem ist $P(X\ge 25)=1-P(X\le 24)$.

Entscheidungsbereiche

Begriff	Bedeutung
Ablehnungsbereich	Ergebnisse führen zum Verwerfen von $H_0$
Annahmebereich	$H_0$ wird nicht verworfen
kritische Zahl	Grenze zwischen den Entscheidungsbereichen
Signifikanzniveau	Obergrenze $\alpha$ für den Fehler 1. Art

Da $X$ nur ganzzahlige Werte annimmt, wird das vorgegebene Signifikanzniveau häufig nicht exakt ausgeschöpft. Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit kann also kleiner als $\alpha$ sein.

Dynamisches Histogramm: Verändere $n$, $p_0$ und die kritische Grenze. Beobachte die farbig markierten Randbereiche.

Rechtsseitiger Test

Ein rechtsseitiger Test ist passend, wenn besonders große Trefferzahlen gegen $H_0$ sprechen.

$H_0:p=p_0$

$H_1:p>p_0$

Gesucht ist die kleinste ganze Zahl $k$ mit

$P(X\ge k)\le \alpha$.

Dann führt jede Trefferzahl ab $k$ zur Ablehnung von $H_0$.

Beispiel: Rechtsseitige Grenze

Gegeben ist $X\sim B(200;\mathrm{0,40})$ und $\alpha =\mathrm{0,05}$.

WTR-Schritt 1:

$P(X\ge 92)=1-P(X\le 91)\approx \mathrm{0,04918}$

WTR-Schritt 2: Nachbarwert

$P(X\ge 91)\approx \mathrm{0,06549}$

Damit ist 92 die kleinste zulässige kritische Zahl. Der Ablehnungsbereich umfasst die Trefferzahlen 92 bis 200, der Annahmebereich die Trefferzahlen 0 bis 91.

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Linksseitiger Test

Ein linksseitiger Test ist passend, wenn besonders kleine Trefferzahlen gegen $H_0$ sprechen.

$H_0:p=p_0$

$H_1:p<p_0$

Gesucht ist die größte ganze Zahl $k$ mit

$P(X\le k)\le \alpha$.

Beispiel: Linksseitige Grenze

Gegeben ist $X\sim B(100;\mathrm{0,5})$ und $\alpha =\mathrm{0,05}$.

$P(X\le 41)\approx \mathrm{0,04431}$

$P(X\le 42)\approx \mathrm{0,06661}$

Damit ist 41 die größte zulässige kritische Zahl. Der Ablehnungsbereich umfasst die Trefferzahlen 0 bis 41, der Annahmebereich die Trefferzahlen 42 bis 100.

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Zweiseitiger Test

Ein zweiseitiger Test ist passend, wenn sowohl ungewöhnlich kleine als auch ungewöhnlich große Trefferzahlen gegen $H_0$ sprechen.

$H_0:p=p_0$

$H_1:p\ne p_0$

Wenn die Aufgabe eine gleichmäßige Aufteilung verlangt, erhält jede Seite höchstens

$\frac{\alpha }{2}$.

Für $X\sim B(100;\mathrm{0,5})$ und $\alpha =\mathrm{0,05}$ gilt:

$P(X\le 39)\approx \mathrm{0,01760}$

$P(X\le 40)\approx \mathrm{0,02844}$

Wegen der Symmetrie ist die rechte Grenze entsprechend bei 61. Ein möglicher Ablehnungsbereich umfasst damit die Trefferzahlen 0 bis 39 sowie 61 bis 100.

Prüfungsrelevant: Bei diskreten Verteilungen muss die konkrete Aufgabenregel zur Aufteilung der Fehlerwahrscheinlichkeit beachtet werden.

WTR-Schema

Testart	Rechenidee
linksseitig	$P(X\le k)\le \alpha$
rechtsseitig	$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$
zweiseitig	beide Randbereiche nach der Aufgabenregel kontrollieren

Merksatz: Prüfe immer auch den benachbarten ganzzahligen Wert. Erst dadurch zeigst Du, dass Deine kritische Zahl tatsächlich maximal beziehungsweise minimal gewählt wurde.

Interaktive Beispiele

Testseite erkennen

1. Rechtsseitiger Test: Begründe, warum große Werte kritisch sind.
2. Linksseitiger Test: Begründe, warum kleine Werte kritisch sind.
3. Zweiseitiger Test: Erkläre, weshalb zwei Randbereiche betrachtet werden.

Grenzwertsuche als Schrittfolge

1. Starte nahe dem Erwartungswert.
2. Verschiebe die Grenze zum Rand der Verteilung.
3. Beobachte die kumulierte Wahrscheinlichkeit.
4. Stoppe beim ersten zulässigen ganzzahligen Wert.
5. Prüfe anschließend den Nachbarwert.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1

Gegeben ist $X\sim B(80;\mathrm{0,3})$. Bestimme für $\alpha =\mathrm{0,05}$ den rechtsseitigen Ablehnungsbereich.

Hilfe: Suche die kleinste Zahl $k$ mit $P(X\ge k)\le \mathrm{0,05}$.

Feedback: $P(X\ge 32)\approx \mathrm{0,03604}$, aber $P(X\ge 31)\approx \mathrm{0,05875}$. Daher beginnt der Ablehnungsbereich bei 32.

Übung 2

Gegeben ist $X\sim B(120;\mathrm{0,75})$. Bestimme für $\alpha =\mathrm{0,05}$ den linksseitigen Ablehnungsbereich.

Hilfe: Suche die größte Zahl $k$ mit $P(X\le k)\le \mathrm{0,05}$.

Feedback: $P(X\le 81)\approx \mathrm{0,03930}$, aber $P(X\le 82)\approx \mathrm{0,05955}$. Daher endet der Ablehnungsbereich bei 81.

Übung 3

Gegeben ist $X\sim B(150;\mathrm{0,2})$. Bestimme für $\alpha =\mathrm{0,01}$ einen linksseitigen Ablehnungsbereich.

Hilfe: Ein kleineres Signifikanzniveau verkleinert in der Regel den zulässigen Randbereich.

Feedback: $P(X\le 18)\approx \mathrm{0,00689}$, aber $P(X\le 19)\approx \mathrm{0,01275}$. Daher endet der Ablehnungsbereich bei 18.

Fehleranalyse

Typischer Fehler	Korrektur
Falsche Testseite	zuerst $H_1$ deuten
Beim rechtsseitigen Test die linke kumulierte Wahrscheinlichkeit benutzt	Gegenereignis verwenden
Grenze um eins verschoben	Nachbarwert prüfen
Signifikanzniveau als exakt erreichbare Wahrscheinlichkeit verstanden	Diskretheit beachten
$H_0$ als bewiesen bezeichnet	nur von Nichtverwerfen sprechen

Selbstkontrolle

1. Testart bestimmen: Welche Testseite passt, wenn eine Trefferwahrscheinlichkeit gestiegen sein soll?
2. Grenzzahl: Warum reicht ein einzelner WTR-Wert nicht als Begründung?
3. Diskretheit: Warum wird $\alpha$ häufig nicht exakt erreicht?
4. Entscheidungsregel: Wie verknüpfst Du Trefferzahl und Entscheidung?
5. Interpretation: Warum beweist ein Ergebnis im Annahmebereich $H_0$ nicht?

Transfer

Eine Schule untersucht mit anonymisierten, simulierten Daten, ob sich ein langfristiger Anteil von $p_0=\mathrm{0,35}$ verändert hat.

1. Modellieren: Formuliere geeignete Hypothesen.
2. Entscheidungsbereich: Wähle einen Stichprobenumfang und entwickle einen zweiseitigen Test bei $\alpha =\mathrm{0,05}$.
3. Variation: Wiederhole die Rechnung bei $\alpha =\mathrm{0,01}$.
4. Interpretation: Erkläre die Veränderung der Entscheidungshürde.

Kompetenzcheck

Ich kann	Nachweis
die Testart bestimmen	links, rechts oder zweiseitig begründen
eine kritische Zahl bestimmen	kumulierte Wahrscheinlichkeit korrekt wählen
die Grenze absichern	Nachbarwert prüfen
WTR-Ergebnisse deuten	mathematische Begründung ergänzen
eine Entscheidungsregel formulieren	Trefferzahl und Entscheidung verbinden

Reflexion

1. Strategie: Welcher Prüfschritt verhindert bei Dir Off-by-one-Fehler?
2. Visualisierung: Welche Information zeigt ein farbiges Histogramm besonders schnell?
3. Begründung: Was muss trotz WTR rechnerisch nachvollziehbar bleiben?
4. Prüfungsvorbereitung: Welche Werkzeuge sind in Deinem tatsächlichen Prüfungsjahrgang zugelassen?

Folgekurs

1. ABI LF - Fehler erster und zweiter Art untersuchen
2. ABI LF - Teststärke bestimmen
3. ABI LF - Signifikanztests modellieren
4. Konfidenzintervall

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Bedingung bestimmt bei einem rechtsseitigen Test die kritische Zahl? (Die rechte Randwahrscheinlichkeit ist höchstens alpha) (!Die linke Randwahrscheinlichkeit ist mindestens alpha) (!Die Einzelwahrscheinlichkeit ist genau alpha) (!Der Erwartungswert ist gleich alpha)

Wo liegt der Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Test? (Bei kleinen Trefferzahlen) (!Bei großen Trefferzahlen) (!Nur beim Erwartungswert) (!Immer in der Mitte)

Was bedeutet ein Ergebnis im Annahmebereich? (Die Nullhypothese wird nicht verworfen) (!Die Nullhypothese ist bewiesen) (!Die Alternativhypothese ist bewiesen) (!Der Fehler erster Art ist ausgeschlossen)

Warum wird der Nachbarwert geprüft? (Um die kritische Grenze abzusichern) (!Um den Erwartungswert zu ändern) (!Um die Stichprobe zu vergrößern) (!Um die Nullhypothese umzubenennen)

Welche Wahrscheinlichkeit wird rechtsseitig oft über das Gegenereignis berechnet? (Die Wahrscheinlichkeit eines rechten Randbereichs) (!Die Wahrscheinlichkeit des Erwartungswerts) (!Die Wahrscheinlichkeit negativer Trefferzahlen) (!Die Wahrscheinlichkeit einer unmöglichen Stichprobe)

Was beschreibt das Signifikanzniveau? (Eine Obergrenze für den Fehler erster Art) (!Die Wahrscheinlichkeit dass die Nullhypothese wahr ist) (!Die Stichprobengröße) (!Die Standardabweichung)

Warum kann die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner sein als alpha? (Weil die Binomialverteilung diskret ist) (!Weil der Erwartungswert immer ganzzahlig ist) (!Weil der WTR Fehler entfernt) (!Weil jede Stichprobe gleich ausfällt)

Wann ist ein zweiseitiger Test passend? (Wenn Abweichungen in beide Richtungen gegen die Nullhypothese sprechen) (!Wenn nur große Werte kritisch sind) (!Wenn nur kleine Werte kritisch sind) (!Wenn kein Signifikanzniveau existiert)

Was gehört zu einer vollständigen Entscheidungsregel? (Beobachtete Trefferzahl und daraus folgende Testentscheidung) (!Nur der Erwartungswert) (!Nur die Stichprobengröße) (!Nur das Taschenrechnermenü)

Was gilt für digitale Übungswerkzeuge im Abitur? (Die Zulassung hängt von den offiziellen Vorgaben des Prüfungsjahrgangs ab) (!Jedes Lernvideo ist automatisch erlaubt) (!Jede Lernapp ist automatisch erlaubt) (!Jede KI-Ausgabe gilt als Beweis)

Memory

Ablehnungsbereich	Ergebnisse führen zum Verwerfen der Nullhypothese
Annahmebereich	Nullhypothese wird nicht verworfen
Signifikanzniveau	Obergrenze für den Fehler erster Art
Grenzzahl	Trennt die Entscheidungsbereiche
Rechtsseitiger Test	Große Trefferzahlen sind kritisch
Linksseitiger Test	Kleine Trefferzahlen sind kritisch

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gegenereignis	Rechter Randbereich
Nachbarprüfung	Kritische Grenze
Nullhypothese	Ausgangsannahme
Alternativhypothese	Testseite
Diskretheit	Wahrscheinlichkeitssprünge

Kreuzworträtsel

Binomialverteilung	Welche Verteilung modelliert die Trefferzahl bei Bernoulli-Versuchen?
Signifikanzniveau	Wie heißt die Obergrenze für den Fehler erster Art?
Ablehnungsbereich	Wie heißt der Bereich zum Verwerfen der Nullhypothese?
Annahmebereich	Wie heißt der Gegenbereich zum Ablehnungsbereich im Schulkontext?
Grenzzahl	Wie heißt die kritische Grenze zwischen zwei Entscheidungsbereichen?
Zufallsvariable	Wie heißt die Größe, die die Trefferzahl modelliert?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem rechtsseitigen Test liegen ungewöhnliche Ergebnisse am Rand der Verteilung.

Die Obergrenze für den Fehler erster Art heißt .

Der kritische Bereich heißt .

Der Gegenbereich heißt im Schulkontext häufig .

Für einen rechten Randbereich nutzt man häufig das .

Die kritische Zahl wird durch einen überprüft.

Ein Ergebnis im Annahmebereich bedeutet, dass die Nullhypothese nicht wird.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Histogramm markieren: Zeichne ein Binomialhistogramm und färbe einen vorgegebenen Ablehnungsbereich.
2. Testseite erklären: Formuliere je eine Sachgeschichte für einen links- und einen rechtsseitigen Test.
3. WTR-Protokoll: Dokumentiere einen kumulierten Binomialrechenweg verständlich.
4. Grenzwert prüfen: Begründe an einem Beispiel die Nachbarprüfung.

Standard

1. Entscheidungsregel entwickeln: Entwickle einen vollständigen rechtsseitigen Test mit selbst gewählten Parametern.
2. Signifikanzniveau vergleichen: Vergleiche Entscheidungsbereiche für drei verschiedene Werte von $\alpha$.
3. GeoGebra-Experiment: Variiere Parameter und notiere drei begründete Beobachtungen.
4. Fehlerdiagnose: Erstelle eine fehlerhafte Musterlösung und korrigiere drei typische Fehler.

Schwer

1. Zweiseitiger Test: Entwickle einen zweiseitigen Ablehnungsbereich für eine unsymmetrische Binomialverteilung.
2. Minimalitätsbeweis: Begründe formal, warum Deine rechtsseitige kritische Zahl minimal ist.
3. Modellkritik: Prüfe die Voraussetzungen des Binomialmodells in einem komplexen Kontext.
4. Abituraufgabe entwerfen: Entwickle eine mehrschrittige Leistungsfach-Aufgabe mit Modellierung, WTR, Entscheidung und Begründung.

Lernkontrolle

1. Transfer einer Testregel: Begründe, wie sich eine rechtsseitige kritische Zahl bei kleinerem Signifikanzniveau verändert.
2. Vergleich zweier Modelle: Erkläre, warum kritische Trefferzahlen bei verschiedenen Stichprobenumfängen nicht direkt vergleichbar sind.
3. Fehlerbewertung: Korrigiere eine Lösung, die bei einem rechten Randbereich die falsche kumulierte Wahrscheinlichkeit verwendet.
4. Diskrete Grenze: Begründe, warum die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau liegen kann.
5. Entscheidungslogik: Erkläre, warum Nichtverwerfen nicht dasselbe wie Beweisen ist.
6. Werkzeugwahl: Begründe, welche Schritte Du ohne WTR und welche mit WTR bearbeitest.

Lernnachweis

1. Modellierung: binomialverteilte Testgröße korrekt festlegen.
2. Hypothesen: Null- und Alternativhypothese passend formulieren.
3. Testart: links, rechts oder zweiseitig begründen.
4. Grenzwertsuche: kritische Zahl mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
5. Nachbarprüfung: kritische Grenze absichern.
6. Entscheidungsbereich: Ablehnungs- und Annahmebereich vollständig angeben.
7. Entscheidungsregel: Ergebnis in den Sachkontext zurückübersetzen.
8. Prüfungskompetenz: offizielle Hilfsmittelvorgaben des Prüfungsjahrgangs beachten.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Hypothesentest Binomialverteilung Nullhypothese Alternativhypothese Signifikanzniveau Fehler 1. Art Fehler 2. Art Teststärke Wissenschaftlicher Taschenrechner Abitur Mathematik Baden-Württemberg