ABI - Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung berechnen

ABI - Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung berechnen

Mini-Beschreibung: Du berechnest und interpretierst die Streuungsmaße einer binomialverteilten Zufallsgröße. Im Mittelpunkt stehen $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ sowie die Frage, wie sich Änderungen von $n$ und $p$ auf die Verteilung auswirken.

Warum das 2027 wichtig ist

Für das Mathematik-Abitur 2027 in Baden-Württemberg nennt der offizielle Facherlass im Leistungsfach grundlegende Kenntnisse zu Standardabweichung und Varianz diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdrücklich als vorausgesetzt: Berechnung mit Formeln und Verständnis der Kenngrößen. Der Bildungsplan verlangt außerdem, Varianz und Standardabweichung zu berechnen, im Sachkontext zu erläutern und bei Binomialverteilungen mit dem Histogramm zu verknüpfen.

Prüfungshinweis: GeoGebra, LearningApps, Videos und KI sind hier Übungswerkzeuge. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in einer Abiturprüfung zugelassen. Für 2027 gelten der aktuelle Facherlass und die Hinweise Deiner Schule.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Binomialverteilungen als $X\sim B(n,p)$ erkennen.
2. den Erwartungswert $\mu =np$ bestimmen.
3. die Varianz mit $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$ berechnen.
4. die Standardabweichung mit $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ berechnen.
5. Änderungen von $n$ und $p$ rechnerisch und am Histogramm interpretieren.
6. typische Fehler in Abituraufgaben erkennen und korrigieren.

Basisfach: verständig rechnen, grafisch deuten und Ergebnisse im Kontext erklären.

Leistungsfach: zusätzlich Zusammenhänge formal begründen, Parameterwirkungen analysieren und Modelle kritisch beurteilen.

Vorwissen-Check

Bevor Du startest, solltest Du wissen:

1. Bernoulli-Kette: feste Versuchszahl $n$, zwei Ausgänge, konstante Trefferwahrscheinlichkeit $p$, unabhängige Versuche.
2. Erwartungswert der Binomialverteilung: $\mu =np$.
3. Punktwahrscheinlichkeit: $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Mini-Check: Für $X\sim B(20;\mathrm{0,3})$ gilt $\mu =20\cdot \mathrm{0,3}=6$. Wenn Dir dieser Schritt noch unsicher ist, wiederhole zuerst Erwartungswert der Binomialverteilung.

Kernformeln

$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$

$\sigma =\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{np(1-p)}$

Allgemein beschreibt die Varianz die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert:

$\mathrm{Var}(X)=E((X-E(X){)}^2)$

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz und liegt wieder in derselben Einheit wie $X$.

Wichtig: $\sigma$ ist keine Wahrscheinlichkeit und kein Erwartungswert.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Visuell verstehen: Histogramm und Streuung

Das Histogramm zeigt, wie die Wahrscheinlichkeitsmasse über mögliche Trefferzahlen verteilt ist. Eine größere Standardabweichung bedeutet eine stärkere absolute Streuung um $\mu =np$.

Arbeitsauftrag: Verändere $n$ und $p$. Beobachte gleichzeitig $\mu$, $\sigma$ und die Breite des Histogramms.

Rechenweg Schritt für Schritt

Gegeben sei $X\sim B(100;\mathrm{0,3})$.

1. Erwartungswert

$\mu =np=100\cdot \mathrm{0,3}=30$

2. Varianz

$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$

$\mathrm{Var}(X)=100\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}=21$

3. Standardabweichung

$\sigma =\sqrt{21}\approx \mathrm{4,58}$

Interpretation: Die Trefferzahl liegt nicht immer im Abstand $\mathrm{4,58}$ vom Erwartungswert. Die Zahl $\sigma \approx \mathrm{4,58}$ beschreibt die typische Größenordnung der Streuung der Trefferzahl um $\mu =30$.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Parameteränderungen interpretieren

Fall 1: $p$ fest, $n$ wächst

$\mathrm{Var}(X)=n\cdot p(1-p)$

Die Varianz wächst proportional mit $n$. Die Standardabweichung wächst nur mit $\sqrt{n}$:

$\sigma =\sqrt{n}\cdot \sqrt{p(1-p)}$

Beispiel bei $p=\mathrm{0,3}$:

$n$	$\mathrm{Var}(X)$	$\sigma$
100	21	$\approx \mathrm{4,58}$
400	84	$\approx \mathrm{9,17}$

Wenn $n$ vervierfacht wird, vervierfacht sich die Varianz, aber $\sigma$ verdoppelt sich.

Fall 2: $n$ fest, $p$ verändert sich

Entscheidend ist

$p(1-p)=p-p^2$.

Für festes $n$ ist die Streuung bei $p=\mathrm{0,5}$ maximal:

$\mathrm{Var}(X{)}_{max}=\frac{n}{4}$

${\sigma }_{max}=\frac{\sqrt{n}}{2}$

Bei $p$ nahe $0$ oder $1$ wird die Streuung klein. Die Werte $p$ und $1-p$ liefern dieselbe Varianz, aber unterschiedliche Erwartungswerte.

Anschauliches Modell: Galtonbrett

Bei jedem Hindernis kann eine Kugel nach links oder rechts abgelenkt werden. Bei idealisierten, unabhängigen Entscheidungen mit konstanter Wahrscheinlichkeit entsteht eine Binomialstruktur. Das Modell macht sichtbar, wie sich viele Einzelentscheidungen zu einer Verteilung bündeln.

Denkfrage: Warum verändert sich die Form, wenn die Rechts-Wahrscheinlichkeit nicht $\mathrm{0,5}$, sondern zum Beispiel $\mathrm{0,2}$ beträgt?

Leistungsfach: kurze Herleitung

Schreibe die Trefferzahl als Summe unabhängiger Bernoulli-Zufallsgrößen:

$X=Y_1+Y_2+\dots +Y_n$

mit

$P(Y_i=1)=p$

und

$P(Y_i=0)=1-p$.

Für eine Bernoulli-Zufallsgröße gilt

$\mathrm{Var}(Y_i)=p(1-p)$.

Wegen der Unabhängigkeit addieren sich die Varianzen:

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(Y_i)=np(1-p)$.

Damit folgt

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.

LF-Reflexion: Die Unabhängigkeit ist hier wesentlich. Ohne sie darfst Du Varianzen nicht einfach addieren.

Interaktives Beispiel

Ein Produktionsprozess liefert mit Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,04}$ ein fehlerhaftes Teil. Untersucht werden $n=250$ Teile. Sei $X$ die Zahl fehlerhafter Teile.

$X\sim B(250;\mathrm{0,04})$

$\mu =250\cdot \mathrm{0,04}=10$

$\mathrm{Var}(X)=250\cdot \mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,96}=\mathrm{9,6}$

$\sigma =\sqrt{\mathrm{9,6}}\approx \mathrm{3,10}$

Hilfe: Berechne immer zuerst $1-p$.

Feedback: Ein Ergebnis wie $\sigma =\mathrm{9,6}$ verwechselt Varianz und Standardabweichung.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A – Basisfach

Für $X\sim B(80;\mathrm{0,25})$:

$\mathrm{Var}(X)=80\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}=15$

$\sigma =\sqrt{15}\approx \mathrm{3,87}$

Hilfe: Prüfe, ob $0\le p\le 1$ gilt und ob Du $1-p$ korrekt eingesetzt hast.

Feedback: $15$ ist die Varianz, nicht die Standardabweichung.

Übung B – Leistungsfach

Vergleiche bei $n=100$ die Fälle $p=\mathrm{0,1}$, $p=\mathrm{0,5}$ und $p=\mathrm{0,9}$.

${\sigma }_{\mathrm{0,1}}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=3$

${\sigma }_{\mathrm{0,5}}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=5$

${\sigma }_{\mathrm{0,9}}=3$

Feedback: Die Streuung ist symmetrisch in $p$ und $1-p$. Die Erwartungswerte sind jedoch $10$, $50$ und $90$.

Fehleranalyse

1. Fehler: $\mathrm{Var}(X)=np$. Korrektur: Der Faktor $1-p$ fehlt.
2. Fehler: $\sigma =np(1-p)$. Korrektur: Das ist die Varianz; für $\sigma$ muss die Quadratwurzel gezogen werden.
3. Fehler: Größeres $p$ bedeutet immer größere Streuung. Korrektur: Bei festem $n$ ist die Streuung bei $p=\mathrm{0,5}$ maximal und nimmt danach wieder ab.
4. Fehler: Größeres $n$ macht die Verteilung absolut schmaler. Korrektur: $\sigma$ wächst mit $\sqrt{n}$; relativ zur Versuchszahl kann die Streuung dennoch kleiner werden.
5. Fehler: Eine KI-Antwort gilt als Beweis. Korrektur: Rechenwege, Annahmen und Formeln müssen mathematisch geprüft und begründet werden.

Streuung der relativen Häufigkeit als Transfer

Für die relative Häufigkeit

$H_n=\frac{X}{n}$

gilt

$\sigma (H_n)=\frac{\sigma (X)}{n}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

Damit sinkt die Streuung von $H_n$ wie $1/\sqrt{n}$. Das erklärt, warum sich relative Häufigkeiten bei großen Stichproben typischerweise stärker um $p$ konzentrieren, obwohl die absolute Streuung der Trefferzahl wächst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel gilt für die Varianz von $X\sim B(n,p)$? (n mal p mal eins minus p) (!n mal p) (!Quadratwurzel aus n mal p) (!n mal eins minus p)

Welche Formel gilt für die Standardabweichung einer Binomialverteilung? (Quadratwurzel aus n mal p mal eins minus p) (!n mal p mal eins minus p) (!n mal p) (!n Quadrat mal p)

Was passiert bei festem $p$ mit der Varianz, wenn $n$ vervierfacht wird? (Sie vervierfacht sich) (!Sie verdoppelt sich) (!Sie halbiert sich) (!Sie bleibt gleich)

Was passiert bei festem $p$ mit der Standardabweichung, wenn $n$ vervierfacht wird? (Sie verdoppelt sich) (!Sie vervierfacht sich) (!Sie halbiert sich) (!Sie bleibt gleich)

Bei welchem Wert von $p$ ist die Varianz für festes $n$ maximal? (p gleich 0,5) (!p gleich 0) (!p gleich 0,25) (!p gleich 1)

Welche Aussage über $p=\mathrm{0,2}$ und $p=\mathrm{0,8}$ bei gleichem $n$ stimmt? (Die Varianzen sind gleich) (!Die Erwartungswerte sind gleich) (!Die Standardabweichungen sind null) (!Die Verteilungen haben denselben Mittelpunkt)

Was ist bei $n=100$ und $p=\mathrm{0,5}$ die Standardabweichung? (5) (!25) (!50) (!10)

Welche Größe hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße $X$? (Die Standardabweichung) (!Die Varianz) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit) (!Die Versuchszahl)

Welche Annahme braucht die kurze Varianzherleitung über eine Summe von Bernoulli-Zufallsgrößen? (Unabhängigkeit der Versuche) (!Eine Trefferwahrscheinlichkeit größer als eins) (!Eine unendliche Versuchszahl) (!Eine stetige Zufallsgröße)

Welche Aussage zu Übungssoftware im Abitur ist richtig? (Die offizielle Zulassung der Hilfsmittel ist maßgeblich) (!Jedes Onlinewerkzeug ist automatisch zugelassen) (!GeoGebra ist immer ohne Einschränkung erlaubt) (!KI Ausgaben ersetzen einen mathematischen Nachweis)

Memory

Varianz	$np(1-p)$
Standardabweichung	$\sqrt{np(1-p)}$
Erwartungswert	$np$
Maximale Streuung bei festem n	$p=\mathrm{0,5}$
Bernoulli-Kette	unabhängige Wiederholungen
Histogramm	grafische Verteilung der Wahrscheinlichkeiten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Varianz	$np(1-p)$
Standardabweichung	Quadratwurzel der Varianz
Erwartungswert	$np$
Maximalstreuung	$p=\mathrm{0,5}$ bei festem $n$
Unabhängigkeit	Voraussetzung der Varianzsumme

Kreuzworträtsel

Varianz	Welche Kenngröße ist das Quadrat der Standardabweichung?
Bernoulli	Wie heißt ein Versuch mit genau zwei möglichen Ausgängen?
Histogramm	Welche Darstellung zeigt die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung als Säulen?
Streuung	Welcher Begriff beschreibt die Verteilung von Werten um einen Mittelpunkt?
Treffer	Wie heißt ein als Erfolg definierter Ausgang eines Bernoulli-Versuchs?
Binomialverteilung	Welche Verteilung beschreibt die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße lautet der Erwartungswert .

Die Varianz berechnet sich mit .

Die Standardabweichung ist die der Varianz.

Bei festem $n$ ist die Streuung bei maximal.

Wird $n$ bei festem $p$ vervierfacht, vervierfacht sich die .

Die Standardabweichung wächst bei festem $p$ proportional zu .

Die Werte $p$ und $1-p$ besitzen bei gleichem $n$ dieselbe .

Für die Addition der Varianzen der Bernoulli-Zufallsgrößen ist ihre entscheidend.

Selbstkontrolle

Ohne Hilfsmittel: Berechne für $X\sim B(40;\mathrm{0,5})$

$\mathrm{Var}(X)=40\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}=10$

$\sigma =\sqrt{10}\approx \mathrm{3,16}$

Mit Parametervergleich: Für $X\sim B(40;\mathrm{0,2})$ gilt

$\mathrm{Var}(X)=40\cdot \mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{6,4}$.

Die Streuung ist kleiner als bei $p=\mathrm{0,5}$.

Kompetenzcheck

Prüfe Dich selbst:

1. Kannst Du $\mathrm{Var}(X)$ und $\sigma$ ohne Formeltausch berechnen?
2. Kannst Du begründen, warum $p=\mathrm{0,5}$ bei festem $n$ die maximale Streuung liefert?
3. Kannst Du erklären, warum eine Vervierfachung von $n$ nur eine Verdopplung von $\sigma$ bewirkt?
4. Kannst Du einen Histogrammvergleich mit $\mu$ und $\sigma$ verbinden?
5. Kannst Du im Leistungsfach die Formel über unabhängige Bernoulli-Zufallsgrößen begründen?

Reflexion

Formuliere in zwei Sätzen den Unterschied zwischen Lage und Streuung einer Binomialverteilung. Verwende dabei $\mu =np$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.

KI-Check: Wenn Du eine KI zum Gegenlesen nutzt, überprüfe jeden Zahlenwert selbst. Eine plausible Formulierung ersetzt keine mathematische Begründung.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Lernkarte mit $\mu =np$, $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.
2. Histogramm-Vergleich: Erzeuge zwei Histogramme mit gleichem $n$, aber unterschiedlichen $p$, und beschreibe die Streuung.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen falschen Rechenweg zur Standardabweichung und markiere die genaue Fehlerstelle.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du Varianz und Standardabweichung unterscheidest.

Standard

1. Parameterexperiment: Untersuche mit GeoGebra fünf Werte von $p$ bei festem $n$ und protokolliere $\mu$ und $\sigma$.
2. Skalierung: Vergleiche $n=25$, $100$ und $400$ bei gleichem $p$ und erkläre das Wurzelgesetz für $\sigma$.
3. Sachkontext: Entwickle eine realistische Binomialaufgabe, berechne Varianz und Standardabweichung und interpretiere beide Größen.
4. Medienanalyse: Vergleiche ein Wikimedia-Histogramm mit einem selbst erzeugten dynamischen Histogramm und beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Schwer

1. Herleitung: Leite $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$ aus einer Summe unabhängiger Bernoulli-Zufallsgrößen her.
2. Maximum: Begründe algebraisch, warum $p(1-p)$ sein Maximum bei $p=\mathrm{0,5}$ besitzt.
3. Relative Häufigkeit: Untersuche $\sigma (X/n)$ für wachsendes $n$ und stelle einen Bezug zur Stabilisierung relativer Häufigkeiten her.
4. Modellkritik: Analysiere einen Anwendungsfall, in dem die Annahme unabhängiger Versuche fragwürdig ist, und erkläre die Folgen für das Binomialmodell.

Lernkontrolle

1. Parameterwirkung: Zwei Binomialverteilungen haben dasselbe $n$, aber verschiedene $p$. Erkläre, welche Informationen Du aus Erwartungswert und Standardabweichung über Lage und Streuung erhältst.
2. Vergleich von Stichprobenumfängen: Begründe ohne vollständiges Histogramm, wie sich eine Vervierfachung von $n$ auf Varianz, Standardabweichung und $\sigma (X/n)$ auswirkt.
3. Modellbewertung: Entscheide bei einem Sachkontext, ob ein Binomialmodell angemessen ist, und begründe dies mit den Bernoulli-Bedingungen.
4. Fehleranalyse: Eine Lösung behauptet bei $n=100$, $p=\mathrm{0,9}$ eine größere Streuung als bei $p=\mathrm{0,5}$. Widerlege oder bestätige die Aussage rechnerisch und grafisch.
5. Transfer zur Normalverteilung: Erkläre, welche Rollen Erwartungswert und Standardabweichung bei Binomial- und Normalverteilung jeweils spielen, ohne die Verteilungen gleichzusetzen.
6. Begründungskompetenz: Erkläre, warum Unabhängigkeit in der Varianzherleitung wichtig ist und welche Aussage ohne diese Voraussetzung nicht zulässig wäre.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. die Binomialparameter $n$ und $p$ korrekt aus einem Kontext zu entnehmen.
2. $\mu =np$, $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ sicher zu berechnen.
3. Varianz und Standardabweichung sprachlich korrekt zu interpretieren.
4. Parameteränderungen an Formel und Histogramm zu erklären.
5. typische Fehler zu erkennen und zu berichtigen.
6. im Leistungsfach die Varianzformel mit unabhängigen Bernoulli-Zufallsgrößen zu begründen.
7. digitale oder KI-gestützte Ergebnisse mathematisch zu kontrollieren.

OERs zum Thema

Freie Medien:

1. Wikimedia Commons: Binomial distribution pmf.svg – gemeinfrei.
2. Wikimedia Commons: Binomial-de.png – freie Lizenz laut Dateiseite.
3. Wikimedia Commons: Galton-Brett.svg – gemeinfrei.

Interaktive Modelle:

1. GeoGebra: Binomialverteilung und Standardabweichung
2. GeoGebra: Einfluss der Parameter n und p
3. GeoGebra: Histogramm mit n und p

Offizielle Grundlagen für 2027:

1. Kultusministerium Baden-Württemberg: Abitur 2027
2. Facherlass 2027
3. Bildungsplan Mathematik: Daten und Zufall

Verknüpfte Lernbereiche

Binomialverteilung Bernoulli-Kette Erwartungswert Varianz Standardabweichung Histogramm Normalverteilung Stochastik

Folgekurs

Als nächstes eignen sich ABI - Sigma-Regeln bei der Binomialverteilung, ABI - Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung und ABI - Hypothesentests mit der Binomialverteilung.