ABI - Mein Mathematik-Abitur-Portfolio

ABI - Mein Mathematik-Abitur-Portfolio

Mini-Beschreibung: Dokumentiere aussagekräftige Lösungen, Funktionsanalysen, Vektormodelle, stochastische Simulationen, Klausurfehler, Verbesserungen und Generalproben. Zeige Deinen Kompetenzzuwachs mit Kompetenzprofilen und Vorher-Nachher-Vergleichen.

Zielgruppe: Mathematik-Abitur Baden-Württemberg, Basisfach und Leistungsfach.

Portfolio-Regel: Sammle nicht möglichst viel, sondern möglichst aussagekräftige Mathematik. Jeder Eintrag soll zeigen: Aufgabe → Idee → Rechnung/Modell → Begründung → Kontrolle → Verbesserung → Erkenntnis.

Prüfungsrahmen Baden-Württemberg

Stand dieses aiMOOCs ist der Prüfungsjahrgang 2027. Für andere Jahrgänge musst Du den jeweils gültigen Facherlass prüfen. Das Kultusministerium veröffentlicht Terminplan, Leitfaden, Facherlass, Korrekturrichtlinien und die zugelassene mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung zentral.

Für das Leistungsfach Mathematik 2027 nennt der Facherlass den Bildungsplan 2016 als Grundlage. Die schriftliche Prüfung hat eine Bearbeitungszeit von 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit. Teil A wird ohne die später ausgegebenen Hilfsmittel bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben; anschließend werden die vorgesehenen Hilfsmittel für Teil B ausgegeben.

Für das Portfolio gilt deshalb:

1. Prüfungsjahrgang: Trage Deinen Jahrgang ein und verlinke den gültigen Facherlass.
2. Hilfsmittel: Übungswerkzeuge wie GeoGebra sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.
3. KI: Prüfe jede KI-Ausgabe mathematisch. Eine plausible Antwort ersetzt keinen Beweis.
4. Datenschutz: Verwende keine personenbezogenen Daten, Namen, Notenlisten oder erkennbaren Klausurfotos anderer Personen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Mathematisches Argumentieren: Rechenwege und Begründungen nachvollziehbar darstellen.
2. Analysis: Funktionen untersuchen, Ergebnisse deuten und grafisch kontrollieren.
3. Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden und Ebenen modellieren und prüfen.
4. Stochastik: Zufallsmodelle, Verteilungen und Simulationen vergleichen.
5. Fehleranalyse: Klausurfehler klassifizieren und gezielt verbessern.
6. Selbstdiagnose: Kompetenzprofile vor und nach einer Lernphase vergleichen.
7. Prüfungsvorbereitung: Generalproben unter realistischen Bedingungen auswerten.

Dein Portfolio-Aufbau

Baustein	Nachweis
Analysis	Lösung + Graph + Deutung
Geometrie	Modell + Skizze + Kontrolle
Stochastik	Rechnung + Simulation
Fehler	Ursache + Korrektur
Generalprobe	Zeit + Strategie + Reflexion
Kompetenz	Vorher-Nachher-Profil

Basisfach: verständige Verfahren, anschauliche Argumentation, sichere Grundideen, passende Modelle.

Leistungsfach: zusätzlich vertiefte Formalisierung, Begründung, Modellierung, Parameterbetrachtungen und anspruchsvollere Vernetzung.

Vorwissen-Check

Bewerte Dich vor dem Kurs mit 0 bis 3.

0 = noch unsicher, 1 = mit Hilfe, 2 = weitgehend selbstständig, 3 = sicher und begründet.

Kompetenz	Vorher	Nachher
Ableitung deuten	0–3	0–3
Integral deuten	0–3	0–3
Vektoren modellieren	0–3	0–3
Ebenen untersuchen	0–3	0–3
Binomialmodell prüfen	0–3	0–3
Simulation bewerten	0–3	0–3
Fehler erklären	0–3	0–3

Denkfrage: Wo ist Deine größte Lücke nicht beim Rechnen, sondern beim Begründen?

Analysis im Portfolio

Eine Funktionsanalyse soll nicht nur eine Liste von Ergebnissen sein. Verknüpfe Term, Ableitungen, Graph und Deutung.

Beispiel:

$f(x)=x^3-3x$

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$

$f^{″}(x)=6x$

Kritische Stellen:

$f^{\prime }(x)=0⟺3x^2-3=0⟺x=\pm 1$

Funktionswerte:

$f(-1)=2$

$f(1)=-2$

Mit $f^{″}(-1)=-6<0$ liegt bei $(-1|2)$ ein Hochpunkt vor.

Mit $f^{″}(1)=6>0$ liegt bei $(1|-2)$ ein Tiefpunkt vor.

Wendestelle:

$f^{″}(x)=0⟺x=0$

Portfolio-Nachweis: Ergänze eine Skizze, markiere Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt und erkläre, welche Information jeweils aus $f$, $f^{\prime }$ und $f^{″}$ stammt.

Dynamischer Graph

Verändere in GeoGebra Parameter und beobachte, welche Eigenschaften erhalten bleiben.

Untersuche zum Beispiel:

$f_a(x)=x^3-3ax$

für $a>0$.

Basisfach: Beschreibe die Veränderung der Extremstellen anschaulich.

Leistungsfach: Bestimme die Extremstellen in Abhängigkeit von $a$ und begründe die Anzahl.

Interaktives Beispiel: Integral und Bedeutung

Gegeben sei:

$g(x)=x^2-2x$

Berechne:

${\int }_0^{2}g(x)dx$

Rechnung:

${\int }_0^2(x^2-2x)dx={[\frac{x^3}{3}-x^2]}_0^2=-\frac{4}{3}$

Feedback: Das Ergebnis ist eine orientierte Fläche. Eine negative Zahl ist deshalb möglich. Die geometrische Fläche muss bei Vorzeichenwechseln getrennt berechnet werden.

Hilfe: Zeichne zuerst den Graphen und bestimme die Nullstellen.

Analytische Geometrie im Portfolio

Punkte:

$A=(1|0|2)$

$B=(4|2|3)$

Verbindungsvektor:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Länge:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}$

Eine Ebene sei gegeben durch:

$E:x_1-2x_2+x_3=4$

Normalenvektor:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Punktprobe für $P=(2|0|2)$:

$2-2\cdot 0+2=4$

Also gilt $P\in E$.

Portfolio-Nachweis: Ergänze eine Skizze und notiere neben jeder Rechnung, was sie geometrisch bedeutet.

Dynamische Geometrie

Baue ein Modell aus Gerade und Ebene.

Basisfach: Verändere einen Richtungsvektor und beschreibe, wann die Gerade die Ebene schneidet.

Leistungsfach: Formuliere die Lagebeziehung zusätzlich mit Richtungs- und Normalenvektoren.

Stochastik im Portfolio

Ein Treffer tritt mit Wahrscheinlichkeit

$p=\mathrm{0,4}$

bei

$n=20$

unabhängigen Versuchen auf.

Dann gilt:

$X\sim B(20;\mathrm{0,4})$

Erwartungswert:

$E(X)=np=20\cdot \mathrm{0,4}=8$

Varianz:

$V(X)=np(1-p)=20\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{4,8}$

Standardabweichung:

$\sigma =\sqrt{\mathrm{4,8}}\approx \mathrm{2,19}$

Genau acht Treffer:

$P(X=8)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{8})\cdot \mathrm{0,}{4}^8\cdot \mathrm{0,}{6}^{12}$

Simulation statt bloßer Rechnung

Führe 50, 500 und 5000 simulierte Serien durch. Vergleiche die relative Häufigkeit von $X=8$ mit dem theoretischen Wert.

Beobachtung: Simulationen liefern empirische Näherungen. Sie beweisen keine exakte Wahrscheinlichkeit.

Portfolio-Nachweis: Dokumentiere Anzahl der Durchläufe, Ergebnis, Abweichung und Deine Erklärung.

Video: Gesamtüberblick

Das Video eignet sich als Wiederholung von Analysis, Stochastik und Vektorrechnung. Prüfe einzelne Verfahren immer gegen Deinen Unterricht, Bildungsplan und aktuellen Facherlass.

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Fortfahren Ausblenden

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Ableitung und Deutung

Gegeben ist:

$h(x)=x^4-4x^2$

1. Bestimme $h^{\prime }(x)$.
2. Bestimme die kritischen Stellen.
3. Ordne die Stellen mithilfe von $h^{″}(x)$ ein.
4. Kontrolliere Dein Ergebnis grafisch.

Hilfe: Klammere in $h^{\prime }(x)$ zunächst $4x$ aus.

Feedback: Eine Gleichung $h^{\prime }(x)=0$ liefert zunächst nur Kandidaten. Die Art der Stelle muss geprüft werden.

Übung 2: Gerade und Ebene

Gegeben:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

$E:x_1+x_2-x_3=3$

1. Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.
2. Bestimme einen möglichen Schnittparameter.
3. Prüfe den Schnittpunkt durch Einsetzen.

Hilfe: Ersetze $x_1,x_2,x_3$ durch die drei Komponenten der Geraden.

Feedback: Ein berechneter Parameter ist erst nach der Punktprobe vollständig kontrolliert.

Übung 3: Binomialmodell prüfen

Eine Maschine produziert Teile. Ein Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,03}$ fehlerhaft. Es werden 40 Teile betrachtet.

1. Formuliere ein geeignetes Zufallsmodell.
2. Berechne den Erwartungswert der Fehlerzahl.
3. Erkläre, welche Annahmen für ein Binomialmodell nötig sind.
4. Plane eine Simulation mit mindestens 1000 Wiederholungen.

Hilfe: Prüfe feste Versuchszahl, zwei Ausgänge, konstantes $p$ und Unabhängigkeit.

Feedback: Eine Binomialrechnung ist nur sinnvoll, wenn das Modell zur Situation passt.

Fehleranalyse: Aus Fehlern Lernnachweise machen

Ein starker Portfolio-Eintrag zeigt nicht nur die richtige Lösung, sondern auch den Weg vom Fehler zur Verbesserung.

Fehler	Prüffrage	Verbesserung
Vorzeichen	Passt der Graph?	Gegenprobe
Fläche	Orientiert oder geometrisch?	Nullstellen prüfen
Extremum	Nur $f^{\prime }=0$?	Art prüfen
Vektor	Richtung korrekt?	Skizze
Ebene	Normalenvektor erkannt?	Skalarprodukt
Stochastik	Modell passend?	Annahmen prüfen
Rundung	Zu früh gerundet?	exakt weiterrechnen

Fehlerprotokoll:

1. Aufgabe kurz benennen.
2. Fehlerschritt markieren.
3. Fehlerart benennen.
4. Ursache erklären.
5. korrekten Schritt ausführen.
6. persönliche Prüfregel formulieren.

Beispiel:

Fehler: ${\int }_a^{b}f(x)dx$ wurde automatisch als geometrische Fläche interpretiert.

Neue Prüfregel: Erst Vorzeichen und Nullstellen prüfen, dann entscheiden, ob orientierte oder geometrische Fläche gefragt ist.

Kompetenzprofil: Vorher-Nachher

Erstelle am Anfang und nach zwei bis vier Wochen dasselbe Profil.

Bereich	0	1	2	3
Analysis	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet
Geometrie	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet
Stochastik	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet
Modellieren	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet
Argumentieren	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet
Kontrolle	unsicher	Hilfe	selbstständig	begründet

Reflexion: Wähle zwei Bereiche mit echtem Zuwachs und belege ihn jeweils mit einem konkreten Portfolio-Eintrag.

Generalprobe

Bearbeite eine vollständige Prüfung oder eine realistische Zusammenstellung unter Prüfungsbedingungen.

Dokumentiere:

1. Zeitmanagement: Start, Zwischenstände, Ende.
2. Aufgabenauswahl: Welche Aufgabe hast Du gewählt und warum?
3. Kontrollstrategie: Wo hast Du Ergebnisse geprüft?
4. Fehlerquote: Welche Fehler wären vermeidbar gewesen?
5. Nacharbeit: Welche drei Themen trainierst Du als Nächstes?

Leistungsfach 2027: Trainiere die Trennung von hilfsmittelfreiem Teil und anschließendem Teil mit zugelassenen Hilfsmitteln nach dem aktuellen Facherlass.

Basisfach: Nutze Generalproben für verständiges Erklären, mündliches Begründen, sichere Verfahren und flexible Darstellungen.

Selbstkontrolle

Vor Abgabe eines Portfolio-Eintrags:

1. Habe ich die Fragestellung beantwortet?
2. Sind Rechenwege nachvollziehbar?
3. Habe ich Ergebnisse mathematisch kontrolliert?
4. Ist die Bedeutung des Ergebnisses erklärt?
5. Sind Einheiten und Rundungen sinnvoll?
6. Ist klar, was mein eigener Beitrag ist?
7. Sind KI-Ausgaben geprüft?
8. Enthält der Eintrag keine personenbezogenen Daten?

Transfer

Übertrage eine bekannte Methode auf eine neue Situation.

Beispiel Analysis:

Aus

$f(x)=x^3-3x$

wird die Schar

$f_a(x)=x^3-3ax$.

Beispiel Geometrie:

Verändere den Normalenvektor einer Ebene und untersuche, wie sich ihre Lage ändert.

Beispiel Stochastik:

Halte $n$ fest und variiere $p$. Beschreibe die Veränderung von

$E(X)=np$

und

$V(X)=np(1-p)$.

Reflexion

Beantworte zum Abschluss knapp:

1. Welche Aufgabe zeigt meinen größten Kompetenzzuwachs?
2. Welcher Fehler tritt bei mir wiederholt auf?
3. Welche Kontrollstrategie funktioniert zuverlässig?
4. Wo kann ich rechnen, aber noch nicht gut begründen?
5. Welche Aufgabe könnte ich einer anderen Person verständlich erklären?
6. Welche drei Ziele nehme ich in die nächste Generalprobe mit?

Folgekurs

Arbeite anschließend gezielt weiter mit:

1. Mathematik Abitur - Analysis
2. Mathematik Abitur - Analytische Geometrie
3. Mathematik Abitur - Stochastik
4. Mathematik Abitur - Generalprobe
5. Mathematisches Argumentieren
6. Fehleranalyse in Mathematik

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was macht einen starken Portfolio-Eintrag aus? (Lösung, Begründung, Kontrolle und Reflexion) (!Nur das Endergebnis) (!Nur eine abgeschriebene Musterlösung) (!Nur ein Bildschirmfoto)

Was folgt aus f Strich von x gleich null zunächst? (Eine mögliche Extremstelle oder andere stationäre Stelle) (!Sicher ein Hochpunkt) (!Sicher ein Tiefpunkt) (!Sicher eine Nullstelle)

Was beschreibt ein Normalenvektor einer Ebene? (Eine Richtung senkrecht zur Ebene) (!Eine beliebige Richtung in der Ebene) (!Immer den Ortsvektor eines Ebenenpunkts) (!Die Länge der Ebene)

Welche Bedingung gehört zu einem Binomialmodell? (Konstante Trefferwahrscheinlichkeit) (!Beliebig viele verschiedene Ausgänge) (!Bei jedem Versuch anderes p) (!Keine feste Versuchszahl)

Was ist eine Simulation? (Eine empirische Nachbildung eines Zufallsvorgangs) (!Ein exakter Beweis) (!Eine Ableitungsregel) (!Eine Ebenengleichung)

Wozu dient eine Punktprobe? (Zur Kontrolle, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt) (!Zum Bestimmen jeder Ableitung) (!Zum Berechnen einer Varianz) (!Zum Ersetzen eines Beweises)

Was zeigt ein Vorher-Nachher-Kompetenzprofil? (Die Entwicklung ausgewählter Kompetenzen) (!Nur die letzte Klausurnote) (!Nur die Bearbeitungszeit) (!Nur die Zahl der Aufgaben)

Warum sollte man nicht zu früh runden? (Weil sich Rundungsfehler fortpflanzen können) (!Weil Dezimalzahlen verboten sind) (!Weil Ergebnisse immer ganzzahlig sein müssen) (!Weil Taschenrechner keine Dezimalzahlen anzeigen)

Was muss bei KI-Ausgaben in Mathematik geschehen? (Sie müssen mathematisch geprüft werden) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie ersetzen jede Rechnung) (!Sie dürfen nie hinterfragt werden)

Was ist bei Prüfungswerkzeugen wichtig? (Nur ausdrücklich zugelassene Hilfsmittel sind in der Prüfung erlaubt) (!Jedes Übungswerkzeug ist automatisch erlaubt) (!GeoGebra ist immer verpflichtend) (!Alle digitalen Werkzeuge sind immer zugelassen)

Memory

Ableitung	lokale Änderungsrate
Integral	orientierte Flächenbilanz
Normalenvektor	senkrecht zur Ebene
Skalarprodukt	Orthogonalität prüfen
Binomialverteilung	feste Versuchszahl und konstantes p
Erwartungswert	langfristiger Mittelwert des Modells
Simulation	empirische Näherung
Fehlerprotokoll	Ursache und Verbesserung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ableitung	Änderungsverhalten einer Funktion
Integral	aufsummierte Änderung
Richtungsvektor	Richtung einer Geraden
Normalenvektor	Senkrechte Richtung einer Ebene
Binomialmodell	Wiederholte Bernoulli-Versuche
Simulation	Näherung durch Zufallsexperimente

Kreuzworträtsel

Ableitung	Welche Größe beschreibt die lokale Änderung einer Funktion?
Skalarprodukt	Welches Rechenverfahren prüft bei Ergebnis null Orthogonalität?
Binomialmodell	Wie heißt das Modell für unabhängige Bernoulli-Versuche mit konstantem p?
Streuung	Welcher Sammelbegriff beschreibt die Schwankung um einen Mittelwert?
Extrempunkt	Wie heißt ein Hochpunkt oder Tiefpunkt allgemein?
Simulation	Wie heißt die computergestützte Nachbildung eines Zufallsvorgangs?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Funktionsanalyse verbindet Term, Ableitungen und .

Die Bedingung $f^{\prime }(x)=0$ liefert zunächst für stationäre Stellen.

Ein Vektor senkrecht zu einer Ebene heißt .

Beim Binomialmodell bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit .

Eine Simulation liefert eine empirische .

Ein negativer Integralwert kann eine orientierte beschreiben.

Zu einem Fehlerprotokoll gehört die Analyse der .

Ein Kompetenzprofil wird vor und nach einer Lernphase .

Eine KI-Antwort muss mathematisch werden.

In der Prüfung dürfen nur zugelassene verwendet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Portfolio-Titelseite: Gestalte eine anonyme Titelseite mit Prüfungsjahrgang, Basis- oder Leistungsfach und Deinen drei Lernzielen.
2. Funktionsanalyse: Dokumentiere eine vollständige Untersuchung einer Funktion mit mindestens einem Graphen und drei markierten Eigenschaften.
3. Fehlerprotokoll: Wähle einen echten eigenen Rechenfehler, erkläre seine Ursache und formuliere eine neue Prüfregel.
4. Kompetenzprofil: Erstelle Dein erstes Vorher-Profil mit sechs Kompetenzbereichen.

Standard

1. Vektormodell: Modelliere eine räumliche Situation mit Punkten, Vektoren, Gerade oder Ebene und ergänze eine dynamische GeoGebra-Darstellung.
2. Stochastische Simulation: Vergleiche bei einem Binomialmodell theoretische Wahrscheinlichkeit und mindestens drei Simulationsgrößen.
3. Klausurverbesserung: Überarbeite eine alte Klausuraufgabe vollständig und markiere, welche Änderung Deine Lösung verständlicher macht.
4. Erklärvideo Mathematik: Produziere ein kurzes Video oder eine Bildschirmaufnahme zu einem Rechenweg ohne personenbezogene Daten.

Schwer

1. Parameteraufgabe: Untersuche eine Funktions- oder Vektorschar und beschreibe, welche Eigenschaften vom Parameter abhängen.
2. Modellkritik: Finde eine stochastische Sachsituation, prüfe die Modellannahmen und zeige mindestens eine Grenze des Modells.
3. Generalprobe: Bearbeite eine realistische Abitur-Generalprobe unter Zeitbedingungen und werte Strategie, Fehler und Zeit aus.
4. Vorher-Nachher-Vergleich: Belege Deinen Kompetenzzuwachs mit zwei mathematischen Arbeiten, einem Profilvergleich und einer begründeten Reflexion.

Lernkontrolle

1. Strategievergleich: Löse eine Aufgabe auf zwei verschiedenen Wegen und begründe, welcher Weg für Dich kontrollierbarer ist.
2. Fehlerdiagnose: Analysiere eine fehlerhafte Musterlösung, lokalisiere den ersten falschen Schritt und erkläre dessen Folgen.
3. Modelltransfer: Übertrage ein bekanntes Binomialmodell auf eine neue Sachsituation und prüfe, ob alle Voraussetzungen erhalten bleiben.
4. Darstellungswechsel: Übersetze zwischen Funktionsterm, Graph und verbaler Deutung und erkläre, welche Information in jeder Darstellung besonders sichtbar ist.
5. Geometrische Begründung: Begründe eine Lagebeziehung von Gerade und Ebene rechnerisch und zusätzlich anschaulich.
6. Prüfungsreflexion: Entwickle aus drei eigenen Fehlertypen eine persönliche Kontrollroutine für die nächste Generalprobe.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis sind wichtig:

1. mindestens eine aussagekräftige Funktionsanalyse mit Graph und Begründung
2. mindestens ein Vektormodell mit geometrischer Deutung
3. mindestens eine stochastische Rechnung mit Simulation
4. mindestens ein überarbeitetes Fehlerprotokoll
5. mindestens eine Generalprobe mit Zeit- und Strategieauswertung
6. ein Vorher-Nachher-Kompetenzprofil
7. nachvollziehbare Rechenwege statt bloßer Ergebnisse
8. mathematische Kontrolle von digitalen oder KI-gestützten Ergebnissen
9. Beachtung des gültigen Prüfungsjahrgangs und Facherlasses
10. Datenschutz ohne personenbezogene Daten

OERs zum Thema

Offizielle Informationen Baden-Württemberg:

Termine und Informationen zum Abitur

Landesbildungsserver Mathematik

Materialien zur Analysis

Wikipedia:

Freie Medien in diesem aiMOOC: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien stehen unter den jeweils auf der Dateiseite ausgewiesenen freien Lizenzen oder sind gemeinfrei.

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematik-Abitur Analysis Differentialrechnung Integralrechnung Analytische Geometrie Vektorrechnung Stochastik Binomialverteilung Simulation Mathematisches Modellieren Mathematisches Argumentieren Prüfungsvorbereitung Fehleranalyse