ABI - Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten bestimmen

ABI - Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten bestimmen

Mini-Beschreibung: Übersetze Formulierungen wie höchstens, mindestens, mehr als und zwischen in passende Wahrscheinlichkeitsausdrücke und berechne sie effizient. Nutze den WTR und Histogramm-Markierungen, damit Randwerte sichtbar bleiben.

Einleitung

Bei kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten ist meist nicht das Rechnen die größte Hürde, sondern das korrekte Übersetzen der Sprache.

Beispiel: „mindestens 6 Treffer“ bedeutet nicht $P(X>6)$, sondern

$P(X\ge 6)=1-P(X\le 5).$

Der entscheidende Schritt ist also:

Text → Ungleichung → markierte Säulen im Histogramm → geeignete WTR-Rechnung.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. binomialverteilte Zufallsgrößen sicher erkennen und als $X\sim B(n;p)$ notieren.
2. sprachliche Angaben in Ereignisse wie $X\le k$, $X\ge k$ oder $a\le X\le b$ übersetzen.
3. kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Verteilungsfunktion $F(k)=P(X\le k)$ berechnen.
4. Gegenwahrscheinlichkeiten gezielt einsetzen.
5. Randwerte im Histogramm markieren und typische Plus-eins-/Minus-eins-Fehler vermeiden.
6. Ergebnisse mit dem WTR kontrollieren und mathematisch begründen.
7. im Leistungsfach Umformungen formal mit Ereignissen und Komplementen erklären.

Vorwissen-Check

Prüfe kurz:

1. Was bedeutet $X\sim B(n;p)$?
2. Welche Werte kann eine Trefferzahl $X$ bei $n$ Versuchen annehmen?
3. Wie lautet die Einzelwahrscheinlichkeit $P(X=k)$?
4. Was ist das Gegenereignis zu $X\ge k$?
5. Warum gilt immer $P(\Omega )=1$?

Wenn Du bei mehreren Punkten unsicher bist, wiederhole zuerst Bernoulli-Kette, Binomialverteilung und Gegenwahrscheinlichkeit.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Stand: Prüfungsjahrgang 2027. Für das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg sind die jeweils gültigen Vorgaben des Facherlasses maßgeblich. Der im Kurs eingeführte zugelassene wissenschaftliche Taschenrechner kann im dafür vorgesehenen Prüfungsteil verwendet werden. Menübezeichnungen unterscheiden sich je nach Modell.

GeoGebra, LearningApps, Videos und andere Online-Werkzeuge in diesem aiMOOC sind Übungswerkzeuge und damit nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

Wichtig: Prüfe vor der Abiturprüfung immer die aktuellen Vorgaben Deiner Schule und des Kultusministeriums.

Basisfach: verständiges Übersetzen, anschauliche Histogrammargumentation und sichere Verfahren.

Leistungsfach: zusätzlich formale Ereignisumformungen, begründete Wahl des Gegenereignisses und Modellierungsfragen.

Kernidee: Die Verteilungsfunktion

Für $X\sim B(n;p)$ gilt

$F(k)=P(X\le k)=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}.$

Der WTR übernimmt diese Summe meist mit einer kumulierten Binomialfunktion, häufig sinngemäß

$\mathrm{binomcdf}(n,p,k).$

Merke: Die kumulierte Funktion liefert direkt eine Wahrscheinlichkeit vom Typ

$P(X\le k).$

Sprachübersetzer

höchstens $k$:

$P(X\le k)=F(k)$

weniger als $k$:

$P(X<k)=P(X\le k-1)=F(k-1)$

mindestens $k$:

$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)=1-F(k-1)$

mehr als $k$:

$P(X>k)=1-P(X\le k)=1-F(k)$

zwischen $a$ und $b$, beide Grenzen eingeschlossen:

$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1)$

mehr als $a$, höchstens $b$:

$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$

mindestens $a$, weniger als $b$:

$P(a\le X<b)=F(b-1)-F(a-1)$

Histogramm-Markierungen

Bei einer Binomialverteilung steht jede Säule für eine ganzzahlige Trefferzahl.

Nutze vor jeder Rechnung diese Vier-Schritt-Regel:

1. Schreibe das Ereignis als Ungleichung.
2. Markiere die erste und letzte enthaltene Säule.
3. Prüfe, ob die Randwerte dazugehören.
4. Übersetze erst danach in eine kumulierte Rechnung.

Beispiel „mehr als 6“:

$X>6$

Die Säule bei $6$ gehört nicht dazu. Markiert werden $7,8,\dots ,n$.

Beispiel „mindestens 6“:

$X\ge 6$

Die Säule bei $6$ gehört dazu.

Dynamisches Histogramm

Verändere $n$, $p$ und die Grenzen. Beobachte genau, welche Säulen eingefärbt werden.

Denkfrage: Warum muss bei $P(X\ge k)$ im Gegenereignis der Wert $k-1$ erscheinen?

Interaktives Beispiel: Würfel

Ein fairer Würfel wird $30$-mal geworfen. Als Treffer zählt eine Sechs.

$X\sim B(30;\frac{1}{6})$

Gesucht: Wahrscheinlichkeit für höchstens 6 Sechsen.

Schritt 1 – Sprache:

$X\le 6$

Schritt 2 – Histogramm: Markiere die Säulen $0,1,\dots ,6$.

Schritt 3 – WTR:

$P(X\le 6)=F(6)$

Schritt 4 – Ergebnis:

$P(X\le 6)\approx \mathrm{0,7765.}$

Also ungefähr

$\mathrm{77,65}\mathrm{\%}$.

Gleiche Situation, andere Formulierung

Gesucht: mindestens 6 Sechsen.

$P(X\ge 6)=1-P(X\le 5)$

$P(X\ge 6)\approx \mathrm{0,3836.}$

Achte auf den Unterschied:

$P(X\ge 6)\ne P(X>6).$

Für mehr als 6 gilt

$P(X>6)=1-P(X\le 6)\approx \mathrm{0,2235.}$

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Interaktives Beispiel: Zwischen zwei Grenzen

Wieder gilt

$X\sim B(30;\frac{1}{6}).$

Gesucht: mindestens 4 und höchstens 7 Sechsen.

Markierung: Die Säulen $4,5,6,7$ gehören dazu.

$P(4\le X\le 7)=P(X\le 7)-P(X\le 3)$

$=F(7)-F(3)$

$\approx \mathrm{0,6467.}$

Der häufigste Fehler wäre

$F(7)-F(4).$

Damit würde die Säule bei $X=4$ fälschlich entfernt.

WTR effizient nutzen

Je nach Taschenrechner heißt die kumulierte Funktion beispielsweise binomcdf, Bcd oder ähnlich.

Für $X\sim B(n;p)$ reichen meist drei Eingaben:

$n,p,k.$

Dabei steht $k$ in der kumulierten Funktion für die obere Grenze in

$P(X\le k).$

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Kontrollstrategie: Schätze vor dem Tastendruck, ob das Ergebnis eher nahe bei $0$, $\mathrm{0,5}$ oder $1$ liegen sollte.

Dynamische Kontrolle

Vergleiche bei verschiedenen Werten von $n$ und $p$ die Einzelwahrscheinlichkeiten mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1 – höchstens

$X\sim B(25;\mathrm{0,4})$. Bestimme

$P(X\le 8).$

Hilfe: Die Form ist bereits WTR-gerecht.

Kontrolle:

$P(X\le 8)\approx \mathrm{0,2735.}$

Wenn Dein Ergebnis größer als $\mathrm{0,7}$ ist, hast Du wahrscheinlich das Gegenereignis berechnet.

Übung 2 – mindestens

$X\sim B(25;\mathrm{0,4})$. Bestimme

$P(X\ge 8).$

Hilfe: Das Gegenereignis endet bei $7$.

$P(X\ge 8)=1-F(7).$

Kontrolle:

$P(X\ge 8)\approx \mathrm{0,8464.}$

Übung 3 – strenge Grenze

$X\sim B(40;\mathrm{0,2})$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mehr als 9 Treffer.

Hilfe:

$X>9$

ist das Gegenereignis zu

$X\le 9.$

Kontrolle:

$P(X>9)=1-F(9)\approx \mathrm{0,2682.}$

Übung 4 – Intervall

$X\sim B(20;\mathrm{0,3})$. Bestimme

$P(5\le X\le 8).$

Hilfe: Subtrahiere alles bis einschließlich $4$ von allem bis einschließlich $8$.

$P(5\le X\le 8)=F(8)-F(4).$

Kontrolle:

$P(5\le X\le 8)\approx \mathrm{0,6492.}$

Fehleranalyse

Fehler 1: „mindestens 5“ wird zu $X>5$.

Richtig:

$X\ge 5.$

Fehler 2: Bei $P(X\ge 5)$ wird $1-F(5)$ gerechnet.

Das berechnet

$P(X>5).$

Richtig ist

$P(X\ge 5)=1-F(4).$

Fehler 3: Beim Intervall $5\le X\le 8$ wird $F(8)-F(5)$ gerechnet.

Dadurch geht $P(X=5)$ verloren.

Richtig:

$F(8)-F(4).$

Fehler 4: WTR-Ergebnis wird ohne Ereignis angegeben.

Im Abitur sollte der Rechenweg erkennen lassen, welche Wahrscheinlichkeit berechnet wurde.

Fehler 5: Modellannahmen werden ignoriert.

Vor dem Rechnen muss geprüft werden, ob eine Bernoulli-Kette als Modell sinnvoll ist.

Randwert-Ampel

Vor jeder Rechnung stelle Dir zwei Fragen:

Ist die linke Grenze enthalten?

Bei $\ge$: ja. Bei $>$: nein.

Ist die rechte Grenze enthalten?

Bei $\le$: ja. Bei $<$: nein.

Dann markiere die zugehörigen ganzzahligen Säulen.

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: Übersetze sicher, markiere das Histogramm, nutze Gegenereignisse verständig und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Leistungsfach: Begründe zusätzlich formal, zum Beispiel

$\{X\ge k\}=\Omega \setminus \{X\le k-1\}$

und damit

$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1).$

Bei Modellierungsaufgaben gehört außerdem die Prüfung der Annahmen zum Rechenweg.

KI und mathematische Kontrolle

KI kann beim Erzeugen von Übungsaufgaben, beim Formulieren von Lösungsansätzen oder beim Erklären von Begriffen helfen.

Aber:

1. Prüfe jede Ungleichung selbst.
2. Kontrolliere Randwerte im Histogramm.
3. Vergleiche numerische Ergebnisse mit einer Überschlagsrechnung.
4. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine Begründung.

Verwende keine personenbezogenen Daten in KI-Eingaben.

Selbstkontrolle

Kannst Du ohne WTR sofort ergänzen?

$P(X<7)=P(X\le ◻)$

$P(X\ge 7)=1-P(X\le ◻)$

$P(X>7)=1-P(X\le ◻)$

$P(3\le X\le 7)=F(7)-F(◻)$

Lösung:

$6,6,7,2.$

Transfer

Ein Hersteller modelliert die Zahl fehlerhafter Bauteile in einer Stichprobe durch

$X\sim B(n;p).$

Die Aussage „Es werden nur Stichproben akzeptiert, in denen weniger als $k$ fehlerhafte Teile gefunden werden“ führt auf

$P(X<k)=F(k-1).$

Die mathematische Übersetzung bleibt gleich, auch wenn sich der Sachkontext ändert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie wird höchstens 8 Treffer notiert? (X kleiner oder gleich 8) (!X kleiner 8) (!X größer oder gleich 8) (!X größer 8)

Wie wird weniger als 8 Treffer für eine ganzzahlige Trefferzahl kumuliert berechnet? (P von X kleiner oder gleich 7) (!P von X kleiner oder gleich 8) (!1 minus P von X kleiner oder gleich 7) (!1 minus P von X kleiner oder gleich 8)

Welches Gegenereignis gehört zu mindestens 6 Treffern? (Höchstens 5 Treffer) (!Höchstens 6 Treffer) (!Mindestens 5 Treffer) (!Mehr als 6 Treffer)

Welche Säule gehört bei mindestens 4 Treffern noch zum Ereignis? (Die Säule bei 4) (!Die Säule bei 3) (!Nur die Säulen ab 5) (!Keine Randwertsäule)

Was liefert eine kumulierte Binomialfunktion typischerweise direkt? (Höchstens k Treffer) (!Genau k Treffer) (!Mindestens k Treffer) (!Mehr als k Treffer)

Welche Grenze wird bei mindestens k im Gegenereignis verwendet? (k minus 1) (!k) (!k plus 1) (!n minus k)

Welche Werte werden bei mindestens 4 und höchstens 7 im Histogramm markiert? (4 bis 7 einschließlich) (!5 bis 7 einschließlich) (!4 bis 6 einschließlich) (!5 bis 6 einschließlich)

Warum ist eine Histogramm-Markierung vor der Rechnung nützlich? (Sie macht eingeschlossene Randwerte sichtbar) (!Sie ersetzt die Modellprüfung) (!Sie macht den WTR überflüssig) (!Sie beweist automatisch die Binomialverteilung)

Was ist bei einer KI-generierten Lösung besonders zu prüfen? (Ungleichungen Randwerte und Rechenergebnis) (!Nur die Rechtschreibung) (!Nur die Länge des Rechenwegs) (!Nur die Darstellung des Histogramms)

Was gilt für Online-Werkzeuge im Abitur? (Sie sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel) (!Sie sind immer zugelassen) (!Sie ersetzen den WTR) (!Sie dürfen ohne Vorgaben verwendet werden)

Memory

höchstens	kleiner oder gleich
mindestens	größer oder gleich
mehr als	größer
weniger als	kleiner
Gegenereignis	Ergänzung zu eins
kumuliert	aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
X kleiner oder gleich k	höchstens k
X größer oder gleich k	mindestens k
X größer k	mehr als k
X kleiner k	weniger als k
beide Randwerte enthalten	zwischen a und b einschließlich

Kreuzworträtsel

Gegenereignis	Wie heißt das Ereignis, das genau die nicht enthaltenen Ergebnisse umfasst?
Histogramm	Welche Darstellung zeigt die Einzelwahrscheinlichkeiten als Säulen?
Trefferzahl	Welche Zufallsgröße zählt die Erfolge einer Bernoulli-Kette?
Binomial	Wie heißt die Verteilung einer Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette?
Randwert	Welcher Wert wird bei mindestens oder höchstens besonders leicht übersehen?
kumuliert	Wie heißt eine Wahrscheinlichkeit, bei der mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummiert werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer kumulierten Binomialwahrscheinlichkeit werden mehrere zusammengefasst. Das Wort höchstens führt auf die Relation . Bei mindestens k Treffern endet das Gegenereignis bei . Bei mehr als k Treffern wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis von eins abgezogen. Bei einem eingeschlossenen Intervall muss die untere Grenze durch das Subtrahieren bis erhalten bleiben. Vor dem WTR-Einsatz hilft eine , Randwertfehler zu vermeiden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Sprachübersetzung: Erfinde acht Alltagssätze mit höchstens, mindestens, mehr als und weniger als und übersetze sie in Ungleichungen für $X$.
2. Histogramm: Zeichne ein kleines Binomialhistogramm und markiere jeweils die Säulen für $X\le 4$ und $X\ge 4$.
3. Randwerte: Erstelle eine Merkkarte, die den Unterschied zwischen $X\ge k$ und $X>k$ erklärt.
4. WTR: Dokumentiere für Deinen Taschenrechner den Menüweg zur kumulierten Binomialwahrscheinlichkeit.

Standard

1. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Randwertfehler und korrigiere sie mit Histogramm-Markierungen.
2. Modellierung: Formuliere eine realistische Bernoulli-Ketten-Aufgabe mit einer mindestens-Bedingung und löse sie vollständig.
3. Gegenwahrscheinlichkeit: Löse dieselbe Aufgabe einmal durch Addition von Einzelwahrscheinlichkeiten und einmal über das Gegenereignis. Vergleiche den Aufwand.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, das $P(a\le X\le b)$ visuell erklärt.

Schwer

1. Formal begründen: Beweise mit Ereignismengen, warum $P(X\ge k)=1-F(k-1)$ gilt.
2. Parametervergleich: Untersuche mit einem dynamischen Histogramm, wie sich dieselbe kumulierte Grenze bei verändertem $p$ verhält.
3. Modellkritik: Entwickle ein Beispiel, bei dem eine Binomialverteilung zunächst plausibel wirkt, aber eine Modellannahme verletzt ist.
4. Abiturtraining: Entwirf eine mehrteilige Aufgabe mit Basisfach- und Leistungsfach-Erweiterung sowie Erwartungshorizont.

Lernkontrolle

1. Übersetzen und begründen: Eine Zufallsvariable ist binomialverteilt. Erkläre ohne Zahlenbeispiel, warum bei „mindestens $k$“ die Grenze $k-1$ in der Gegenwahrscheinlichkeit erscheint.
2. Darstellungen verknüpfen: Zeichne ein Histogramm zu einem selbst gewählten $n$ und $p$. Markiere $a<X\le b$ und leite daraus eine Rechnung mit $F$ ab.
3. Fehler diagnostizieren: Eine Lösung verwendet für $P(5\le X\le 9)$ den Ausdruck $F(9)-F(5)$. Erkläre exakt, welche Wahrscheinlichkeit fehlt.
4. Modelltransfer: Übertrage die Methode auf einen neuen Kontext aus Qualitätskontrolle, Medizin oder Technik und benenne die Voraussetzungen der Binomialverteilung.
5. Werkzeugkritik: Vergleiche eine WTR-Ausgabe, eine GeoGebra-Ausgabe und eine selbst formulierte Rechnung. Begründe, warum eine numerische Übereinstimmung allein noch keine vollständige mathematische Lösung darstellt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. sprachliche Bedingungen korrekt als Ereignisse formulierst.
2. Randwerte im Histogramm sicher ein- oder ausschließt.
3. kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit $F(k)=P(X\le k)$ umformst.
4. Gegenereignisse effizient nutzt.
5. WTR-Ergebnisse sinnvoll rundest und im Kontext interpretierst.
6. im Leistungsfach Ereignisumformungen formal begründest.
7. Binomialmodell und Werkzeugwahl kritisch prüfst.

OERs zum Thema

Freie Medien aus Wikimedia Commons:

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Die Lizenzangaben stehen jeweils auf der zugehörigen Wikimedia-Commons-Dateiseite.

Verknüpfte Lernbereiche

Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten Bernoulli-Kette Binomialverteilung Zufallsvariable Gegenwahrscheinlichkeit Histogramm Verteilungsfunktion Stochastik Mathematik-Abitur

Reflexion

Beantworte für Dich:

1. Welches Signalwort führt bei Dir am häufigsten zu Randwertfehlern?
2. Hilft Dir zuerst die Ungleichung oder zuerst die Histogramm-Markierung?
3. Kannst Du erklären, warum $F(a)$ beim Subtrahieren die Säule $X=a$ mit entfernt?
4. Kannst Du ein WTR-Ergebnis auf Plausibilität prüfen, bevor Du es übernimmst?

Folgekurs

Als Nächstes passen besonders:

1. Binomialverteilung - Erwartungswert und Standardabweichung
2. Binomialverteilung - Sigma-Regeln
3. Hypothesentest
4. Normalverteilung
5. Stochastik im Mathematik-Abitur