ABI - Graphen transformationssicher lesen und verändern

ABI - Graphen transformationssicher lesen und verändern

Mini-Beschreibung: Untersuche Verschiebung, Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verkettungen von Funktionsgraphen. Im Mittelpunkt steht $g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$. Du verknüpfst Termänderung und geometrische Wirkung und liest Graphen in beide Richtungen sicher.

Zielgruppe: Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg; gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach mit gekennzeichneten Vertiefungen.

Kurzer Einstieg

Ein Graph wird nicht nur „breiter“ oder „verschoben“. Jede Veränderung lässt sich mathematisch beschreiben.

Liegt $P=(u|v)$ auf dem Graphen von $f$, also $v=f(u)$, dann gehört bei

$g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$

zum neuen Graphen der Punkt mit den Koordinaten

$x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$

und

$y^{\prime }=d+a\cdot v$.

Arbeitsauftrag: Verändere jeweils nur einen Schieberegler. Formuliere zuerst eine Vermutung, prüfe sie am Graphen und begründe sie anschließend rechnerisch.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Funktionsgraphen aus Termänderungen vorhersagen und Transformationen aus Graphen rekonstruieren.
2. die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ in $a\cdot f(b(x-c))+d$ geometrisch deuten.
3. horizontale und vertikale Veränderungen unterscheiden.
4. Punkte, Nullstellen, Extrempunkte, Definitionsmengen und Wertemengen übertragen.
5. typische Vorzeichen- und Klammerfehler erkennen und korrigieren.
6. im Basisfach anschaulich und verständig argumentieren und im Leistungsfach zusätzlich formal begründen.

Vorwissen-Check

1. Funktionswert: Was bedeutet $f(2)=5$ geometrisch?
2. Koordinatensystem: Wo liegt der Punkt $(-3|4)$?
3. Betrag: Vergleiche den Betrag von $-2$ mit dem Betrag von $\mathrm{0,5}$.
4. Funktion: Was geschieht bei $f(x)+3$ mit allen Funktionswerten?
5. Substitution: Welcher Wert erfüllt $x-4=0$?

Selbstkontrolle

$f(2)=5$ bedeutet: $(2|5)$ liegt auf dem Graphen. Der Punkt $(-3|4)$ liegt links der y-Achse und oberhalb der x-Achse. Der Betrag von $-2$ ist größer. Bei $f(x)+3$ werden alle y-Werte um $3$ erhöht. Aus $x-4=0$ folgt $x=4$.

Die zentrale Transformationsform

Wir betrachten

$g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$.

Dabei wird $b=0$ ausgeschlossen, wenn eine echte horizontale Transformation beschrieben werden soll.

1. Horizontalverschiebung: $c$ verschiebt den Graphen in x-Richtung. Ein positives $c$ bedeutet eine Verschiebung nach rechts.
2. Vertikalverschiebung: $d$ verschiebt den Graphen in y-Richtung. Ein positives $d$ bedeutet eine Verschiebung nach oben.
3. Streckung in y-Richtung: Der Betrag von $a$ bestimmt den vertikalen Skalierungsfaktor.
4. Spiegelung an der x-Achse: Sie tritt zusätzlich auf, wenn $a$ negativ ist.
5. Streckung in x-Richtung: Der horizontale Skalierungsfaktor ist $\frac{1}{|b|}$.
6. Spiegelung an der y-Achse: Sie tritt zusätzlich auf, wenn $b$ negativ ist.

Merksatz: Außen wirkt direkt auf y. Innen wirkt auf x, beim Streckfaktor jedoch mit Kehrwert.

Warum wirkt der Innenfaktor mit Kehrwert?

Nimm einen Ausgangspunkt $P=(u|f(u))$. Im neuen Term soll innen wieder $u$ stehen:

$b(x-c)=u$

$x-c=\frac{u}{b}$

$x=c+\frac{u}{b}$

Der neue y-Wert ist

$y=a\cdot f(u)+d$.

Damit gilt für die Koordinaten:

$x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$

$y^{\prime }=d+a\cdot v$.

Leistungsfach-Vertiefung: Diese beiden Gleichungen begründen formal die Kehrwert-Regel und ermöglichen die Transformation ganzer Punktmengen.

Verschiebungen sicher lesen

Für

$g(x)=f(x-c)+d$

werden die Punktkoordinaten zu

$x^{\prime }=u+c$

und

$y^{\prime }=v+d$.

Beispiel: Bei

$g(x)=f(x-3)-2$

wird ein Punkt $(1|5)$ zu $(4|3)$.

Streckung, Stauchung und Spiegelung

Für

$g(x)=a\cdot f(bx)$

werden die Koordinaten zu

$x^{\prime }=\frac{u}{b}$

und

$y^{\prime }=a\cdot v$.

Beispiel 1: $g(x)=3f(x)$ multipliziert alle y-Werte mit $3$.

Beispiel 2: $h(x)=f(2x)$ halbiert alle x-Koordinaten. Der Graph wird horizontal gestaucht.

Beispiel 3: $k(x)=-f(-x)$ spiegelt an der y-Achse und an der x-Achse.

Transformationen als Kette lesen

Betrachte

$g(x)=-2\cdot f(\frac{1}{2}(x-3))+1$.

Dann gilt:

$a=-2$

$b=\frac{1}{2}$

$c=3$

$d=1$

Die geometrische Wirkung:

1. In x-Richtung Streckung mit Faktor $2$.
2. Verschiebung um $3$ nach rechts.
3. Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung mit Faktor $2$.
4. Verschiebung um $1$ nach oben.

Für einen Ausgangspunkt $(u|v)$ gilt direkt:

$x^{\prime }=3+2u$

$y^{\prime }=1-2v$.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Wir wählen $f(x)=x^2$ und $P=(1|1)$.

Schritt 1: x-Koordinate

$x^{\prime }=3+2\cdot 1=5$

Schritt 2: y-Koordinate

$y^{\prime }=1-2\cdot 1=-1$

Schritt 3: Kontrolle

$g(x)=-\frac{1}{2}(x-3{)}^2+1$

$g(5)=-\frac{1}{2}\cdot 4+1=-1$

Damit liegt $(5|-1)$ auf dem neuen Graphen.

Achtung bei Klammern

Die Terme $f(b(x-c))$ und $f(bx-c)$ haben im Allgemeinen nicht dieselbe Horizontalverschiebung.

Denn

$bx-c=b(x-\frac{c}{b})$.

Beispiel:

$f(2x-6)=f(2(x-3))$.

Die Verschiebung beträgt also $3$ nach rechts, nicht $6$.

Interaktives Hauptlabor

1. Setze zunächst $a=1$, $b=1$, $c=0$ und $d=0$.
2. Verändere nur $a$ und notiere die Wirkung.
3. Stelle $a=1$ zurück und verändere nur $b$.
4. Untersuche anschließend $c$ und $d$.
5. Teste negative Werte für $a$ und $b$.
6. Formuliere am Ende selbst die beiden Koordinatengleichungen für $x^{\prime }$ und $y^{\prime }$.

Interaktives Beispiel: Sinusfunktion

Sei $f(x)=\sin (x)$ und

$g(x)=\mathrm{1,5}\sin (2(x+\frac{\pi }{4}))-\mathrm{0,5}$.

Dann gilt

$a=\mathrm{1,5}$, $b=2$, $c=-\frac{\pi }{4}$ und $d=-\mathrm{0,5}$.

Die Periode $2\pi$ wird zu $\pi$. Die Mittellinie liegt nun bei $y=-\mathrm{0,5}$. Die Amplitude ist $\mathrm{1,5}$.

Besondere Punkte mittransformieren

Für jeden Punkt $(u|v)$ gilt bei $g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$:

$x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$

$y^{\prime }=d+a\cdot v$.

Nullstelle: Ist $f(u)=0$, so hat der zugehörige Punkt des neuen Graphen die y-Koordinate $d$. Er liegt nur dann wieder auf der x-Achse, wenn $d=0$ gilt.

Extrempunkt: Ein Extrempunkt wird nach denselben Koordinatengleichungen übertragen. Bei negativem $a$ tauschen Maximum und Minimum ihre Rollen.

Wendepunkt: Auch ein Wendepunkt wird bei einer nicht entarteten Transformation entsprechend übertragen.

Definitionsmenge und Wertemenge

Ist $D_f$ die Definitionsmenge, dann entsteht $D_g$, indem jede x-Koordinate $u$ durch

$x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$

transformiert wird.

Ist $W_f$ die Wertemenge, dann entsteht $W_g$, indem jeder y-Wert $v$ durch

$y^{\prime }=d+a\cdot v$

transformiert wird.

Leistungsfach: Begründe diese Aussagen aus den Koordinatengleichungen.

Üben mit Hilfe und Feedback

Übung 1: Parameter lesen

Gegeben ist

$g(x)=3f(-2(x-1))+4$.

Bestimme $a$, $b$, $c$, $d$ und beschreibe die Transformation.

Hilfe

Vergleiche direkt mit $af(b(x-c))+d$. Denke beim Innenfaktor an den Kehrwert des horizontalen Skalierungsfaktors.

Feedback

$a=3$, $b=-2$, $c=1$, $d=4$. Horizontal: Spiegelung an der y-Achse und Stauchung mit Faktor $\frac{1}{2}$, danach Verschiebung nach rechts. Vertikal: Streckung mit Faktor $3$ und Verschiebung nach oben.

Übung 2: Beschreibung in einen Term übersetzen

Der Graph von $f$ soll an der y-Achse gespiegelt, in x-Richtung mit Faktor $3$ gestreckt, um $2$ nach links verschoben, in y-Richtung mit Faktor $\frac{1}{2}$ gestaucht und um $1$ nach unten verschoben werden.

Hilfe

Horizontaler Streckfaktor $3$ bedeutet für den Betrag des Innenfaktors $\frac{1}{3}$. Die Spiegelung an der y-Achse macht den Innenfaktor negativ.

Feedback

Eine passende Funktion ist

$g(x)=\frac{1}{2}f(-\frac{1}{3}(x+2))-1$.

Übung 3: Punkt übertragen

Auf dem Graphen von $f$ liegt $P=(6|-2)$. Bestimme den entsprechenden Punkt des Graphen von

$g(x)=-3f(2(x+1))+5$.

Hilfe

Nutze $x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$ und $y^{\prime }=d+a\cdot v$.

Feedback

$a=-3$, $b=2$, $c=-1$, $d=5$.

$x^{\prime }=-1+\frac{6}{2}=2$

$y^{\prime }=5+(-3)\cdot (-2)=11$

Also lautet der neue Punkt $(2|11)$.

Übung 4: Transformation rückwärts lesen

Gegeben sind die Koordinatengleichungen

$x^{\prime }=2-\frac{u}{4}$

und

$y^{\prime }=3+5v$.

Bestimme eine passende Transformationsform.

Hilfe

Vergleiche mit $x^{\prime }=c+\frac{u}{b}$ und $y^{\prime }=d+a\cdot v$.

Feedback

Es gilt $c=2$, $b=-4$, $d=3$ und $a=5$. Damit:

$g(x)=5f(-4(x-2))+3$.

Fehleranalyse

Fehler 1: Innenfaktor nicht invertiert

Falsche Aussage: Bei $f(3x)$ wird der Graph in x-Richtung mit Faktor $3$ gestreckt.

Korrektur:

$3x=u$

$x=\frac{u}{3}$

Also werden x-Abstände gedrittelt.

Fehler 2: Minus in der Klammer falsch gelesen

Falsche Aussage: $f(x-4)$ verschiebt um $4$ nach links.

Korrektur:

$x-4=u$

$x=u+4$

Also verschiebt sich der Graph um $4$ nach rechts.

Fehler 3: $f(2x-6)$ als Verschiebung um 6 lesen

$2x-6=2(x-3)$

Die Verschiebung beträgt $3$ nach rechts.

Fehler 4: Graphisches Bild mit Beweis verwechseln

Ein dynamischer Graph kann eine Vermutung unterstützen, aber er beweist sie nicht. Eine mathematische Begründung erfolgt zum Beispiel über

$b(x-c)=u$

und die daraus hergeleiteten Koordinatengleichungen.

KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden. Sie ersetzen keinen Beweis.

Weitere Transformationen und Ausblick

Die Form $af(b(x-c))+d$ beschreibt achsenparallele Skalierungen, Spiegelungen und Verschiebungen.

Eine andere Transformation ist die Spiegelung eines Funktionsgraphen an der Geraden $y=x$. Ist die Funktion umkehrbar, entsteht der Graph der Umkehrfunktion.

Leistungsfach-Ausblick: Die beiden Koordinatengleichungen verbinden Funktionsanalyse und Analytische Geometrie.

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Basisfach und Leistungsfach

Gemeinsamer Kern: Transformationen sicher erkennen, ausführen, grafisch deuten und begründet erklären.

Basisfach: Schwerpunkt auf verständigen Verfahren, charakteristischen Punkten und anschaulicher Argumentation.

Leistungsfach: Zusätzlich vertiefte Formalisierung, Mengenbetrachtungen, Verkettungen, Parameterabhängigkeiten und Modellierung.

Abitur Baden-Württemberg: Prüfungsbezug

Für den Prüfungsjahrgang 2027 verweist der Facherlass des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg auf die Kompetenzen des Bildungsplans 2016. Im Leistungsfach umfasst die schriftliche Mathematikprüfung $300$ Minuten einschließlich Auswahlzeit. Ein erster Teil wird ohne die später zugelassenen mathematischen Hilfsmittel bearbeitet; Formelsammlung und zugelassener wissenschaftlicher Taschenrechner werden erst danach verwendet.

Im Basisfach ist Mathematik im Facherlass 2027 als mündliche Prüfung vorgesehen. Analysis gehört zu den möglichen Sachgebieten.

Prüfungshinweis: Verbindlich sind immer der Facherlass Deines konkreten Prüfungsjahrgangs und die Hinweise Deiner Schule. Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg zum Abitur

Transfer: Vom Graphen zum Term

Angenommen, ein markanter Punkt wandert von $(0|0)$ nach $(3|-1)$, horizontale Abstände werden halbiert, der Graph wird an der x-Achse gespiegelt und vertikale Abstände werden verdoppelt.

Dann passt

$a=-2$, $b=2$, $c=3$ und $d=-1$.

Eine passende Funktion ist

$g(x)=-2f(2(x-3))-1$.

Denkfrage: Welche zusätzliche geometrische Wirkung hätte ein negativer Wert von $b$?

Kompetenzcheck

Bewerte Dich jeweils mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“.

1. Ich kann bei $f(x-c)$ die Richtung der Verschiebung korrekt nennen.
2. Ich kann die Kehrwert-Regel bei $f(bx)$ erklären.
3. Ich kann negative Werte von $a$ und $b$ geometrisch deuten.
4. Ich kann einen charakteristischen Punkt mit den Koordinatengleichungen übertragen.
5. Ich kann einen beschriebenen Transformationsprozess in einen Funktionsterm übersetzen.
6. Ich kann aus $f(4x-8)$ zuerst eine passende Klammerform herstellen.
7. Ich kann digitale Darstellungen nutzen, ohne sie mit einer mathematischen Begründung zu verwechseln.

Reflexion

1. Lernstrategie: Welche Regel hilft Dir am meisten gegen Vorzeichenfehler?
2. Mathematische Argumentation: Wann reicht eine Zeichnung, und wann brauchst Du eine Rechnung?
3. Darstellungswechsel: Fällt Dir Term zu Graph oder Graph zu Term leichter? Begründe.
4. Fehlerkultur: Welchen typischen Fehler erkennst Du jetzt am schnellsten?

Folgekurs

Passende nächste Themen sind Funktionenschar, Kurvendiskussion, Ableitung, Umkehrfunktion, Exponentialfunktion, Trigonometrische Funktion und Modellierung.

Funktionenscharen auf dem Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Wirkung hat der Parameter d? (Verschiebung in y-Richtung) (!Streckung in x-Richtung) (!Spiegelung an der y-Achse) (!Änderung des Innenfaktors)

Welche Verschiebung beschreibt f von x minus 5? (Um 5 nach rechts) (!Um 5 nach links) (!Um 5 nach oben) (!Um 5 nach unten)

Welcher horizontale Skalierungsfaktor gehört zum Innenfaktor 4? (Ein Viertel) (!Vier) (!Minus vier) (!Zwei)

Was bewirkt ein negativer Außenfaktor zusätzlich? (Spiegelung an der x-Achse) (!Spiegelung an der y-Achse) (!Verschiebung nach links) (!Verschiebung nach unten)

Was bewirkt ein negativer Innenfaktor zusätzlich? (Spiegelung an der y-Achse) (!Spiegelung an der x-Achse) (!Verschiebung nach oben) (!Vertikale Streckung)

Welche Klammerform ist zu 2x minus 6 äquivalent? (2 mal x minus 3 in Klammern) (!2 mal x minus 6 in Klammern) (!2 mal x plus 3 in Klammern) (!x minus 3)

Welche Formel beschreibt die neue x-Koordinate? (c plus u geteilt durch b) (!b mal u plus c) (!u plus b geteilt durch c) (!a plus u geteilt durch d)

Wann liegt eine transformierte ursprüngliche Nullstelle wieder auf der x-Achse? (Wenn d gleich null ist) (!Wenn c gleich null ist) (!Wenn b gleich eins ist) (!Wenn a größer als eins ist)

Welche Aussage zu dynamischen Graphen ist mathematisch korrekt? (Sie unterstützen Vermutungen, ersetzen aber keinen Beweis) (!Sie beweisen jede sichtbare Eigenschaft) (!Sie machen Rechnungen überflüssig) (!Sie sind automatisch im Abitur zugelassen)

Welche Änderung spiegelt nur an der x-Achse? (Der gesamte Funktionswert wird mit minus eins multipliziert) (!Im Funktionsargument wird x durch minus x ersetzt) (!Zum Funktionswert wird eins addiert) (!Das Funktionsargument wird verdoppelt)

Memory

Außenfaktor a	Vertikale Skalierung
Innenfaktor b	Horizontaler Kehrwertfaktor
Parameter c	Horizontalverschiebung
Parameter d	Vertikalverschiebung
Negatives a	Spiegelung an der x-Achse
Negatives b	Spiegelung an der y-Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Außenfaktor	Wirkung auf y-Abstände
Innenfaktor	Kehrwertwirkung auf x-Abstände
Minus außen	Spiegelung an der x-Achse
Minus innen	Spiegelung an der y-Achse
Klammer x minus c	Verschiebung nach rechts bei positivem c

Kreuzworträtsel

Translation	Wie heißt eine Verschiebung fachsprachlich?
Spiegelung	Welche Transformation entsteht bei negativem Außenfaktor zusätzlich?
Streckung	Wie heißt eine Vergrößerung von Abständen durch Skalierung?
Stauchung	Wie heißt eine Verkleinerung von Abständen durch Skalierung?
Definitionsmenge	Welche Menge enthält die zulässigen Eingabewerte?
Wertemenge	Welche Menge enthält die möglichen Funktionswerte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei $f(x-c)$ verschiebt ein positives $c$ den Graphen nach .

Der Parameter $d$ verändert die Lage des Graphen in .

Der Betrag von $a$ bestimmt die vertikale .

Ein negatives $a$ erzeugt zusätzlich eine an der x-Achse.

Bei $f(bx)$ ist der horizontale Skalierungsfaktor der von $|b|$.

Ein negatives $b$ spiegelt den Graphen an der .

Vor dem Ablesen einer Verschiebung aus $bx-c$ sollte der innere Term werden.

Ein dynamischer Graph unterstützt eine Vermutung, ersetzt aber keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphenvergleich: Zeichne einen einfachen Ausgangsgraphen und drei verschobene Varianten. Beschrifte die verwendeten Parameter.
2. Schieberegler: Nutze ein dynamisches Graphenwerkzeug und untersuche nur den Parameter $c$. Formuliere eine Regel in eigenen Worten.
3. Fehlersuche: Erfinde eine typische falsche Aussage zu $f(2x)$ und korrigiere sie mit einer kurzen Rechnung.
4. Punktabbildung: Wähle drei Punkte eines Graphen und übertrage sie mit einer selbst gewählten Transformation.

Standard

1. Transformation: Erstelle zu $g(x)=af(b(x-c))+d$ eine eigene visuelle Schrittfolge mit mindestens vier Transformationsschritten.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zur Kehrwert-Regel. Verwende keine personenbezogenen Daten.
3. Termrekonstruktion: Zeichne einen transformierten Graphen und lasse eine andere Person den Term rekonstruieren. Vergleicht die Begründungen.
4. Sinusfunktion: Untersuche experimentell, wie $b$ die Periode einer Sinusfunktion verändert, und leite eine allgemeine Regel ab.

Schwer

1. Definitionsmenge: Untersuche Transformationen einer Wurzel- oder Logarithmusfunktion und bestimme die neue Definitionsmenge.
2. Umkehrfunktion: Vergleiche die Spiegelung an der y-Achse mit der Spiegelung an $y=x$ und erkläre den Unterschied.
3. Modellierung: Entwickle einen realistischen Kontext, in dem Verschiebung und Skalierung eines bekannten Funktionsgraphen sinnvoll interpretiert werden.
4. Beweis: Leite aus $g(x)=af(b(x-c))+d$ die beiden Koordinatengleichungen her und begründe damit die Wirkung aller vier Parameter.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre, warum $f(5x)$ horizontal gestaucht wird. Nutze einen beliebigen Punkt des Ausgangsgraphen.
2. Vergleichen: Vergleiche $f(2(x-3))$ und $f(2x-3)$. Zeige rechnerisch und geometrisch, warum die Horizontalverschiebung verschieden ist.
3. Transfer: Ein charakteristischer Punkt wandert von $(4|-1)$ nach $(0|5)$. Entwickle mehrere mögliche Transformationen und erkläre, warum die Information allein nicht eindeutig ist.
4. Fehleranalyse: Eine Person behauptet, $-2f(-3(x+1))+4$ sei nur nach links und oben verschoben. Analysiere vollständig, was fehlt.
5. Modellieren: Ein Messkurvenverlauf soll zeitlich verzögert, zeitlich gestaucht und in seiner Amplitude verdoppelt werden. Formuliere einen passenden Term.
6. Darstellungswechsel: Beschreibe eine Transformation zuerst über neue Punktkoordinaten und übersetze sie anschließend in einen Funktionsterm.
7. Argumentieren: Erkläre, welche Aussagen Du aus einem dynamischen Graphen vermuten kannst und welche zusätzlich rechnerisch begründet werden sollten.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Form $af(b(x-c))+d$ sicher lesen kannst.
2. Transformationen vom Term zum Graphen und vom Graphen zum Term übersetzen kannst.
3. die Kehrwert-Regel für horizontale Skalierungen begründen kannst.
4. Punkte und besondere Stellen nachvollziehbar transformieren kannst.
5. typische Fehler bei Vorzeichen und Klammern erkennst und korrigierst.
6. zwischen anschaulicher Argumentation und formaler Begründung unterscheiden kannst.
7. im Leistungsfach zusätzlich Koordinatengleichungen und Mengenbetrachtungen sauber herleitest.

OERs zum Thema

Freie und offene Lernmedien:

Wikimedia Commons: FourGeometryTransformations.svg

Wikimedia Commons: Translated graph of a function.png

Wikimedia Commons: Phase shift.svg

Wikimedia Commons: 2D affine transformation matrix.svg

Wikimedia Commons: Animation zur Umkehrfunktion

GeoGebra: Graphen verschieben, strecken, stauchen und spiegeln

GeoGebra: Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen

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Verknüpfte Lernbereiche

Transformation von Funktionsgraphen Funktionsgraph Verschiebung Streckung Spiegelung Funktionenschar Kurvendiskussion Umkehrfunktion Analytische Geometrie