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ABI - Extrempunkte mathematisch bestimmen

Einleitung

ABI - Extrempunkte mathematisch bestimmen

Bestimme lokale Extremstellen über notwendige und geeignete hinreichende Bedingungen und interpretiere sie im Kontext. Entscheidend ist nicht das bloße Schema $f^{'} (x) = 0$ , sondern die Prüfung der Kandidaten.

Ein lokales Maximum oder Minimum beschreibt das Verhalten einer Funktion in einer Umgebung. Für differenzierbare Funktionen an inneren Stellen gilt:

$lokales Extremum bei x_{0} ⟹ f^{'} (x_{0}) = 0$

Die Umkehrung gilt nicht automatisch.

Zielgruppe: Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg.

Basisfach: verständige Verfahren, Graphen, Vorzeichenwechsel, Interpretation.

Leistungsfach: zusätzlich präzisere Begründungen, höhere Ableitungen, Grenzfälle und Modellierung.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC

Extremstellen als Kandidaten und bestätigte Extremstellen unterscheiden.
die notwendige Bedingung $f^{'} (x_{0}) = 0$ korrekt einordnen.
einen Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ zur sicheren Entscheidung nutzen.
das Kriterium mit $f^{″} (x_{0})$ anwenden und den Fall $f^{″} (x_{0}) = 0$ richtig behandeln.
höhere Ableitungen bei geeigneten Funktionen nutzen.
Extrempunkte mit $(x_{0} ∣ f (x_{0}))$ angeben.
lokale Extremwerte in Sachzusammenhängen deuten.
Randstellen und nicht differenzierbare Stellen als mögliche Sonderfälle erkennen.
Rechenwege argumentativ absichern und digitale Ergebnisse prüfen.

Vorwissen-Check

Beantworte ohne Rechner:

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Bilde $f^{'} (x)$ .
Löse $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde $f^{″} (x)$ .
Überlege am Graphen: Welche der gefundenen Stellen ist Hoch-, welche Tiefstelle?

Kontrolle:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$

$f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1 oder x = 1$

$f^{″} (x) = 6 x$

$f^{″} (- 1) = - 6 < 0$ und $f^{″} (1) = 6 > 0$ .

Damit liegt bei $x = - 1$ ein lokales Maximum und bei $x = 1$ ein lokales Minimum.

Kernidee: Kandidat ist noch kein Extremum

Für $g (x) = x^{3}$ gilt:

$g^{'} (x) = 3 x^{2}$

also

$g^{'} (0) = 0$ .

Trotzdem besitzt $g$ bei $x = 0$ kein lokales Extremum. Die Funktion steigt links und rechts von $0$ weiter.

Merksatz: $f^{'} (x_{0}) = 0$ liefert bei einer differenzierbaren Funktion zunächst nur einen Kandidaten.

Notwendige Bedingung

Ist $f$ an einer inneren Stelle $x_{0}$ differenzierbar und besitzt dort ein lokales Extremum, dann gilt

$f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Aber:

$f^{'} (x_{0}) = 0$

ist allein nicht hinreichend.

Auch Sonderfälle gehören in den Blick:

Randstellen eines betrachteten Intervalls.
Stellen, an denen $f$ definiert, aber nicht differenzierbar ist.
stationäre Stellen ohne Extremum.

Beispiel:

$h (x) = | x |$

hat bei $x = 0$ ein Minimum, obwohl $h^{'} (0)$ nicht existiert.

Hinreichende Prüfung 1: Vorzeichenwechsel von f'

Das Vorzeichen von $f^{'}$ beschreibt die lokale Monotonie.

$f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f steigt$

$f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f fällt$

links von $x_{0}$	rechts von $x_{0}$	Ergebnis
$f^{'} > 0$	$f^{'} < 0$	Hochstelle
$f^{'} < 0$	$f^{'} > 0$	Tiefstelle
gleiches Vorzeichen	gleiches Vorzeichen	kein Extremum

Vorzeichenwechsel:

$+ \to - \Rightarrow lokales Maximum$

$- \to + \Rightarrow lokales Minimum$

Interaktives Modell: Steigung und Extrempunkt

Bewege im GeoGebra-Modell den Punkt auf dem Graphen. Beobachte gleichzeitig Tangentensteigung und Ableitung.

Denkfrage: Warum ist nicht die Nullstelle von $f^{'}$ allein entscheidend, sondern das Verhalten von $f^{'}$ links und rechts davon?

Beispiel 1: Vorzeichenwechsel vollständig

Gegeben:

$f (x) = x^{3} - 3 x$

1. Kandidaten bestimmen

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

$3 x^{2} - 3 = 0$

$x_{1} = - 1, x_{2} = 1$

2. Vorzeichen von $f^{'}$ prüfen

Bereich	Test	Vorzeichen	Verhalten von $f$
$x < - 1$	$f^{'} (- 2) = 9$	$+$	steigend
$- 1 < x < 1$	$f^{'} (0) = - 3$	$-$	fallend
$x > 1$	$f^{'} (2) = 9$	$+$	steigend

Damit:

$+ \to -$ bei $x = - 1$ : Hochstelle.

$- \to +$ bei $x = 1$ : Tiefstelle.

3. Punktkoordinaten

$f (- 1) = 2$

$f (1) = - 2$

$H (- 1 ∣ 2)$

$T (1 ∣ - 2)$

Hinreichende Prüfung 2: zweite Ableitung

Wenn

$f^{'} (x_{0}) = 0$

und

$f^{″} (x_{0}) > 0$ ,

dann besitzt $f$ bei $x_{0}$ ein lokales Minimum.

Wenn

$f^{'} (x_{0}) = 0$

und

$f^{″} (x_{0}) < 0$ ,

dann besitzt $f$ bei $x_{0}$ ein lokales Maximum.

Kurz:

$f^{″} (x_{0}) > 0 \Rightarrow Tiefstelle$

$f^{″} (x_{0}) < 0 \Rightarrow Hochstelle$

Achtung:

$f^{″} (x_{0}) = 0$

liefert keine Entscheidung.

Fehlerfalle: f(x0)=0

Vergleiche zwei Funktionen.

Fall A:

$f (x) = x^{4}$

$f^{'} (x) = 4 x^{3}$

$f^{'} (0) = 0$

$f^{″} (x) = 12 x^{2}$

$f^{″} (0) = 0$

Trotzdem liegt bei $x = 0$ ein Minimum.

Fall B:

$g (x) = x^{3}$

$g^{'} (0) = 0$

$g^{″} (0) = 0$

Hier liegt bei $x = 0$ kein Extremum.

Folgerung:

$f^{″} (x_{0}) = 0$

bedeutet weder automatisch Extremum noch automatisch Sattelpunkt. Prüfe weiter, zum Beispiel mit dem Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ .

Höhere Ableitungen

Für hinreichend oft differenzierbare Funktionen kann die erste von Null verschiedene höhere Ableitung entscheiden.

Gelten

$f^{'} (x_{0}) = f^{″} (x_{0}) = \dots = f^{(n - 1)} (x_{0}) = 0$

und

$f^{(n)} (x_{0}) \neq 0$ ,

dann gilt:

$n$ gerade und $f^{(n)} (x_{0}) > 0$ : lokales Minimum.
$n$ gerade und $f^{(n)} (x_{0}) < 0$ : lokales Maximum.
$n$ ungerade: kein lokales Extremum.

Für $f (x) = x^{4}$ ist

$f^{'} (0) = f^{″} (0) = f^{‴} (0) = 0$

und

$f^{(4)} (0) = 24 > 0$ .

Also liegt ein lokales Minimum vor.

Leistungsfach: Begründe, warum die Parität der ersten von Null verschiedenen Ableitung das lokale Verhalten bestimmt.

Visuelle Verbindung: f, f' und Tangente

Eine waagrechte Tangente bedeutet

$f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Ob dort tatsächlich ein Extremum liegt, entscheidet das lokale Verhalten der Funktion beziehungsweise der Ableitung.

Interaktives Beispiel: Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?

Untersuche im Modell:

Wo ist $f^{'} (x) = 0$ ?
Wo wechselt $f^{'}$ das Vorzeichen?
Wo bleibt das Vorzeichen gleich?
Was zeigt $f^{″}$ an denselben Stellen?

Entscheidungsweg statt Rezept

Schritt A: Definitionsbereich prüfen.

Welche Stellen kommen überhaupt infrage?

Schritt B: Innere differenzierbare Kandidaten bestimmen.

$f^{'} (x) = 0$

Schritt C: Sonderkandidaten ergänzen.

Randstellen oder Stellen ohne Ableitung, sofern sie zum Definitionsbereich gehören.

Schritt D: Kandidaten prüfen.

Bevorzugt über den Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ oder bei passender Situation über $f^{″}$ .

Schritt E: Funktionswert berechnen.

$y_{0} = f (x_{0})$

Schritt F: Ergebnis deuten.

Was bedeutet das Extremum mathematisch und im Sachkontext?

Beispiel 2: Sachkontext

Ein Modell beschreibt einen Wasserstand durch

$h (t) = - t^{3} + 6 t^{2} - 9 t + 20$

für $0 \leq t \leq 4$ . Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden und $h (t)$ der modellierte Wasserstand in Zentimetern.

Ableitung:

$h^{'} (t) = - 3 t^{2} + 12 t - 9$

$h^{'} (t) = - 3 (t - 1) (t - 3)$

Kandidaten:

$t = 1, t = 3$

Vorzeichen:

$h^{'} < 0$ für $0 < t < 1$

$h^{'} > 0$ für $1 < t < 3$

$h^{'} < 0$ für $3 < t < 4$

Daher:

$- \to +$ bei $t = 1$ : lokales Minimum.

$+ \to -$ bei $t = 3$ : lokales Maximum.

Werte:

$h (1) = 16$

$h (3) = 20$

Interpretation: Im Modell erreicht der Wasserstand nach einer Stunde lokal $16 cm$ und nach drei Stunden lokal $20 cm$ .

Transferfrage: Warum müssen für ein globales Maximum auf $[0, 4]$ zusätzlich die Randwerte geprüft werden?

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach

Kandidaten verständig bestimmen.
Vorzeichenwechsel grafisch und rechnerisch erklären.
zweite Ableitung sicher einsetzen.
Ergebnisse in Kontexten deuten.
Graph und Ableitungsgraph miteinander verknüpfen.

Leistungsfach

notwendige und hinreichende Bedingungen präzise unterscheiden.
höhere Ableitungen zur Entscheidung nutzen.
Grenzfälle und Gegenbeispiele analysieren.
lokale und globale Extrema in Modellierungen differenzieren.
Entscheidungen formal begründen und auf Voraussetzungen achten.

Abitur Baden-Württemberg: Prüfungshinweis

Für das Abitur in Baden-Württemberg gelten der Bildungsplan und der jeweilige Facherlass des Prüfungsjahrgangs. Für den Prüfungsjahrgang 2027 verweist der amtliche Facherlass im Fach Mathematik auf die Inhalte und Kompetenzen des Bildungsplans 2016.

Digitale Werkzeuge wie GeoGebra werden in diesem aiMOOC zum Lernen und Prüfen von Vermutungen verwendet. Sie sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

Prüfe für Deinen Jahrgang immer die aktuellen Regelungen des Kultusministeriums:

Termine und Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Wichtig: Eine KI-Ausgabe, ein CAS-Ergebnis oder ein Graph ersetzt keine mathematische Begründung. Prüfe Ableitungen, Nullstellen, Vorzeichen und Schlussfolgerungen selbst.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Direkt prüfen

Gegeben:

$f (x) = x^{3} - 12 x$

Bestimme alle lokalen Extrempunkte.

Hilfe 1:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$

Hilfe 2:

$3 x^{2} - 12 = 0$

Feedback:

Die Kandidaten sind $x = - 2$ und $x = 2$ . Mit $f^{″} (x) = 6 x$ erhältst Du bei $x = - 2$ ein Maximum und bei $x = 2$ ein Minimum.

Übung 2: Falle erkennen

Gegeben:

$g (x) = x^{6}$

Entscheide, ob $x = 0$ eine Extremstelle ist.

Hilfe:

$g^{'} (x) = 6 x^{5}$

Feedback:

$g^{'}$ wechselt bei $0$ von negativ zu positiv. Also liegt ein lokales Minimum vor. Dass mehrere Ableitungen bei $0$ verschwinden, widerlegt das Extremum nicht.

Übung 3: Ableitungsgraph lesen

Angenommen, $f^{'}$ hat bei $x = 2$ eine Nullstelle und ist links davon positiv, rechts davon negativ.

Feedback:

$+ \to -$ bedeutet: $f$ hat bei $x = 2$ eine lokale Hochstelle.

Übung 4: Kontext

Eine Gewinnfunktion besitzt bei $x = 120$ eine bestätigte lokale Maximumstelle.

Formuliere eine sinnvolle Interpretation, wenn $x$ die produzierte Stückzahl beschreibt.

Feedback:

Eine korrekte Aussage bezieht sich auf die lokale Umgebung: Bei ungefähr 120 Stück ist der modellierte Gewinn größer als bei hinreichend nahen Produktionsmengen. Für ein globales Gewinnmaximum reicht diese Aussage noch nicht.

Fehleranalyse

Fehler 1:

„ $f^{'} (2) = 0$ , also ist bei $x = 2$ ein Hochpunkt.“

Korrektur: Nur Kandidat. Hinreichende Prüfung fehlt.

Fehler 2:

„ $f^{″} (2) = 0$ , also liegt ein Sattelpunkt vor.“

Korrektur: Keine Entscheidung. Vorzeichenwechsel oder höhere Ableitungen prüfen.

Fehler 3:

„Die Extremstelle ist $(2 ∣ 5)$ .“

Korrektur: $x = 2$ ist die Extremstelle; $(2 ∣ 5)$ ist der Extrempunkt; $5$ ist der Extremwert.

Fehler 4:

„Der höchste lokale Punkt ist automatisch das globale Maximum.“

Korrektur: Für globale Extrema müssen der gesamte Definitionsbereich und gegebenenfalls Randwerte berücksichtigt werden.

Fehler 5:

„Der Rechner zeigt einen Hochpunkt, also ist die Begründung fertig.“

Korrektur: Graphische oder digitale Hinweise müssen mathematisch abgesichert werden.

Selbstkontrolle

Prüfe jede Aussage mit Ja oder Nein:

Habe ich den Definitionsbereich beachtet?
Habe ich $f^{'} (x) = 0$ nur als Kandidatensuche verstanden?
Habe ich jeden Kandidaten hinreichend geprüft?
Habe ich bei $f^{″} (x_{0}) = 0$ weitergeprüft?
Habe ich den $y$ -Wert bestimmt, wenn ein Extrempunkt verlangt ist?
Habe ich im Sachkontext Einheit und Bedeutung genannt?
Habe ich bei globalen Fragen Randwerte geprüft?
Kann ich meine Entscheidung ohne bloßen Verweis auf Software begründen?

Transfer

Untersuche die Funktion

$f_{a} (x) = x^{4} - 2 a x^{2}$

für $a > 0$ .

Bestimme die stationären Stellen in Abhängigkeit von $a$ .
Klassifiziere sie.
Beschreibe, wie sich die Lage der Extremstellen mit $a$ verändert.
Erkläre den Zusammenhang zwischen Parameter und Graph.

Leistungsfach-Vertiefung: Untersuche zusätzlich, was für $a = 0$ geschieht und warum das Kriterium mit der zweiten Ableitung dort zunächst keine Entscheidung liefert.

Kompetenzcheck

Ich kann ...

$f^{'} (x_{0}) = 0$ als notwendige Bedingung bei inneren differenzierbaren Extremstellen erklären.
aus dem Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ eine Extremart folgern.
$f^{″} (x_{0})$ korrekt als hinreichendes Kriterium einsetzen.
den Fall $f^{″} (x_{0}) = 0$ ohne Fehlschluss behandeln.
höhere Ableitungen bei geeigneten Funktionen verwenden.
Extremstellen, Extrempunkte und Extremwerte sprachlich unterscheiden.
lokale Aussagen von globalen Aussagen trennen.
ein Ergebnis in einem Modellkontext fachlich deuten.

Reflexion

Welche Prüfungsmethode findest Du am zuverlässigsten: Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung? Begründe.
Bei welchem Beispiel war $f^{'} (x) = 0$ besonders irreführend?
Welche Rolle spielen Graphen für Deine Vermutung, welche Rolle spielt die Rechnung für die Begründung?
Welche Deiner Lösungen könnte noch präziser zwischen notwendiger und hinreichender Bedingung unterscheiden?

Folgekurs

Passende nächste Themen:

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Aussage ist für eine differenzierbare Funktion an einer inneren lokalen Extremstelle notwendig? (Die erste Ableitung ist dort gleich null) (!Die zweite Ableitung ist dort gleich null) (!Der Funktionswert ist dort gleich null) (!Die erste Ableitung ist dort gleich eins)

Welcher Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ kennzeichnet eine lokale Hochstelle? (von positiv nach negativ) (!von negativ nach positiv) (!von null nach positiv) (!kein Vorzeichenwechsel)

Welcher Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ kennzeichnet eine lokale Tiefstelle? (von negativ nach positiv) (!von positiv nach negativ) (!von positiv nach positiv) (!kein Vorzeichenwechsel)

Was folgt aus $f^{'} (x_{0}) = 0$ allein? (Die Stelle ist zunächst nur ein Kandidat für eine Extremstelle) (!Dort liegt sicher ein Maximum) (!Dort liegt sicher ein Minimum) (!Dort liegt sicher ein Wendepunkt)

Was folgt aus $f^{'} (x_{0}) = 0$ und $f^{″} (x_{0}) > 0$ ? (Dort liegt ein lokales Minimum) (!Dort liegt ein lokales Maximum) (!Dort liegt sicher kein Extremum) (!Die Prüfung ist grundsätzlich unmöglich)

Was folgt aus $f^{'} (x_{0}) = 0$ und $f^{″} (x_{0}) < 0$ ? (Dort liegt ein lokales Maximum) (!Dort liegt ein lokales Minimum) (!Dort liegt sicher ein Sattelpunkt) (!Die Funktion ist dort nicht differenzierbar)

Was bedeutet $f^{″} (x_{0}) = 0$ bei einem stationären Kandidaten? (Die zweite Ableitung liefert hier keine Entscheidung) (!Es liegt sicher ein Sattelpunkt vor) (!Es liegt sicher ein Minimum vor) (!Es liegt sicher ein Maximum vor)

Welche Funktion zeigt, dass eine verschwindende erste Ableitung nicht für ein Extremum genügt? (Die Funktion x hoch drei) (!Die Funktion x hoch zwei) (!Die Funktion x hoch vier) (!Die Funktion x hoch sechs)

Was muss bei einer globalen Extremwertfrage auf einem abgeschlossenen Intervall zusätzlich geprüft werden? (Randwerte) (!nur Nullstellen der Funktion) (!nur Wendestellen) (!nur Symmetrie)

Was gehört zu einer vollständigen Angabe eines Extrempunkts? (Extremstelle und zugehöriger Funktionswert) (!nur die erste Ableitung) (!nur die zweite Ableitung) (!nur das Vorzeichen der Funktion)

Memory

notwendige Bedingung	$f^{'} (x_{0}) = 0$
Hochstelle	Vorzeichenwechsel $+ \to -$
Tiefstelle	Vorzeichenwechsel $- \to +$
zweites Ableitungskriterium	$f^{″} (x_{0}) \neq 0$
stationärer Nicht-Extrempunkt	kein Vorzeichenwechsel von $f^{'}$
Extrempunkt	$(x_{0} ∣ f (x_{0}))$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kandidat bestimmen	erste Ableitung gleich Null
Hochstelle bestätigen	Vorzeichenwechsel positiv nach negativ
Tiefstelle bestätigen	Vorzeichenwechsel negativ nach positiv
Zweite Ableitung ohne Entscheidung	Wert gleich Null
Extrempunkt vervollständigen	Funktionswert einsetzen

Kreuzworträtsel

Ableitung	Welche Funktion beschreibt die lokale Steigung?
Maximum	Wie heißt ein lokaler Hochwert?
Minimum	Wie heißt ein lokaler Tiefwert?
Kandidat	Wie heißt eine noch nicht hinreichend geprüfte stationäre Stelle?
Vorzeichen	Was muss links und rechts einer Stelle bei der ersten Ableitung verglichen werden?
Randwert	Was muss bei globalen Extremwertfragen auf abgeschlossenen Intervallen zusätzlich geprüft werden?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Graphensuche: Zeichne eine Funktion mit genau einem Hoch- und einem Tiefpunkt und markiere die zugehörigen Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ .
Gegenbeispiel: Erkläre mit $f (x) = x^{3}$ , warum $f^{'} (x) = 0$ nicht genügt.
Begriffe ordnen: Erstelle eine Mini-Grafik zu Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt.
Fehlerkarte: Formuliere einen typischen Fehler zur zweiten Ableitung und die passende Korrektur.

Standard

Vorzeichentabelle: Erstelle für eine selbst gewählte kubische Funktion eine Vorzeichentabelle von $f^{'}$ .
GeoGebra-Experiment: Verändere eine Funktion im dynamischen Modell und dokumentiere, wann aus einer stationären Stelle ein Extremum wird.
Sachmodell: Erfinde einen realistischen Kontext, in dem ein lokales Maximum sinnvoll interpretiert wird.
Methodenvergleich: Löse dieselbe Extremwertaufgabe einmal mit Vorzeichenwechsel und einmal mit $f^{″}$ .

Schwer

Höhere Ableitungen: Finde zwei Funktionen, bei denen $f^{'} (0) = f^{″} (0) = 0$ gilt, aber nur eine ein Extremum besitzt.
Parameteraufgabe: Untersuche $f_{a} (x) = x^{4} - 2 a x^{2}$ in Abhängigkeit von $a$ .
Beweisidee: Erkläre mit lokalen Monotonieaussagen, warum ein Vorzeichenwechsel von $f^{'}$ eine Extremstelle bestätigt.
Prüfungsdesign: Entwirf eine Abituraufgabe mit einer Fehleranalyse, einer Modellinterpretation und einem nicht entscheidenden Wert $f^{″} (x_{0}) = 0$ .

Lernkontrolle

Begründung statt Rezept: Eine Schülerin löst $f^{'} (x) = 0$ und nennt alle Lösungen Extremstellen. Erkläre präzise, warum das nicht genügt, und formuliere einen korrekten Entscheidungsweg.
Vergleich zweier Funktionen: Vergleiche $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4}$ an $x = 0$ . Nutze erste, zweite und gegebenenfalls höhere Ableitungen.
Graphentransfer: Skizziere einen möglichen Graphen von $f$ , wenn $f^{'}$ zwei Nullstellen besitzt und das Vorzeichen nacheinander positiv, negativ, positiv ist.
Modellkritik: Ein lokales Maximum einer Modellfunktion wird als „größter Wert überhaupt“ bezeichnet. Prüfe die Aussage und nenne zusätzliche Informationen, die für ein globales Maximum nötig wären.
Methodenwahl: Entscheide bei einer Funktion mit $f^{″} (x_{0}) = 0$ , welche Methode Du als Nächstes einsetzen würdest, und begründe die Wahl.
Randfall: Erkläre, warum $f (x) = | x |$ bei $x = 0$ ein Minimum besitzt, obwohl das Standardschema mit $f^{'} (0) = 0$ nicht anwendbar ist.