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M10 G - Wahrscheinlichkeit für den MSA sichern

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M10 G - Wahrscheinlichkeit für den MSA sichern

Mini-Beschreibung: Sichere Baumdiagramme, Pfadregeln, bedingte Wahrscheinlichkeiten und geeignete Visualisierungen für MSA-Anforderungen. Zielgruppe: Klasse 10, G-Niveau mit MSA-Ziel in Baden-Württemberg.

Der Kurs orientiert sich am Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I Baden-Württemberg, Klasse 10, Daten und Zufall. Dort sind für das G-Niveau Baumdiagramme, Pfadregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit und geeignete Visualisierungen ausdrücklich als MSA-relevant gekennzeichnet.

Einleitung

Wahrscheinlichkeit wird im MSA nicht durch langes Auswendiglernen sicher, sondern durch Darstellen – Rechnen – Begründen – Prüfen. Du arbeitest deshalb immer wieder mit Baumdiagrammen, kleinen Tabellen, Zufallsexperimenten und kurzen Rechenwegen.

G-Kern mit MSA-Ziel: zweistufige Zufallsexperimente, Produktregel, Summenregel, bedingte Wahrscheinlichkeit und passende Visualisierungen.

MSA-Brücke: Du sollst nicht nur ein Ergebnis nennen, sondern zeigen, woher die verwendeten Zahlen kommen.

Erweiterung über diesen Kurs hinaus: Stochastische Unabhängigkeit wird hier nicht als eigener Schwerpunkt ausgearbeitet.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

Zufallsexperiment: Ergebnisse und Ereignisse übersichtlich darstellen.
Baumdiagramm: ein zweistufiges Zufallsexperiment korrekt aufbauen.
Pfadregeln: entlang eines Pfades multiplizieren und passende Pfade addieren.
Bedingte Wahrscheinlichkeit: erkennen, welche Grundmenge nach einer Bedingung noch zählt.
Vierfeldertafel: einfache Häufigkeiten ordnen und daraus bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Modellieren: Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentieren.
Digitale Ergebnisse: Simulationen und KI-Ausgaben auf Plausibilität prüfen.

Vorwissen-Check

Selbstcheck: Wenn Du mindestens drei Lücken sicher lösen konntest, starte direkt mit dem Baumdiagramm. Sonst wiederhole kurz Grundwahrscheinlichkeiten.

Zufall sichtbar machen

Ein Zufallsexperiment hat mögliche Ergebnisse. Ein Ereignis fasst passende Ergebnisse zusammen.

Bei einem fairen Würfel gilt zum Beispiel:

$P (gerade Zahl) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Interaktives Zufallsexperiment A: Würfelprobe

Wirf einen fairen Würfel 20-mal und notiere nur, ob das Ergebnis gerade oder ungerade ist.
Bestimme die relative Häufigkeit der geraden Ergebnisse mit $h = \frac{Anzahl gerade}{20}$ .
Wiederhole mit 50 Würfen oder nutze eine Tabellenkalkulation zur Simulation.
Vergleiche mit $P (gerade) = \frac{1}{2}$ .
Begründe, warum die Simulation nicht genau $0,5$ ergeben muss.

Feedback: Kleine Stichproben schwanken. Eine Simulation liefert Beobachtungswerte, keinen mathematischen Beweis.

Digitale Kontrolle

Bei einer digitalen Simulation prüfst Du:

Ist die Zufallsquelle passend eingestellt?
Sind alle möglichen Ergebnisse berücksichtigt?
Wurde oft genug wiederholt?
Liegt das Ergebnis in einem plausiblen Bereich?
Kannst Du das Ergebnis zusätzlich rechnerisch begründen?

Datenschutz: Verwende für Lernsimulationen keine personenbezogenen Daten.

KI-Hinweis: Eine KI kann Rechenwege vorschlagen. Prüfe aber jeden Nenner, jede Pfadwahrscheinlichkeit und jede Begründung selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Baumdiagramme sicher lesen und zeichnen

Ein Baumdiagramm zeigt nacheinander ablaufende Zufallsschritte. An jeder Verzweigung müssen die Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben.

Beispiel: In einer Urne liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Start
├─ Rot   3/5
│  ├─ Rot   2/4
│  └─ Blau  2/4
└─ Blau  2/5
   ├─ Rot   3/4
   └─ Blau  1/4

Die zweite Stufe ändert sich, weil nach dem ersten Zug nur noch vier Kugeln vorhanden sind.

Schritt-für-Schritt-Check

Schritt 1: Was passiert zuerst?

Schritt 2: Welche Ergebnisse sind möglich?

Schritt 3: Welche Wahrscheinlichkeiten stehen an der ersten Verzweigung?

Schritt 4: Ändert der erste Schritt die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Schritt?

Schritt 5: Prüfe an jeder Verzweigung:

$P (Ast 1) + P (Ast 2) = 1$

Übung mit Hilfestufen: zweimal ziehen

In einer Box liegen vier grüne und zwei gelbe Chips. Ziehe zweimal ohne Zurücklegen.

Aufgabe: Bestimme die Wahrscheinlichkeit, zweimal Grün zu ziehen.

Hilfestufe 1: Der erste grüne Ast hat $\frac{4}{6}$ .

Hilfestufe 2: Nach einem grünen Chip bleiben drei grüne unter fünf Chips.

Hilfestufe 3: Multipliziere die beiden Astwahrscheinlichkeiten.

Rechenweg:

$P (G G) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$

Feedback: Wenn Dein zweiter Faktor wieder $\frac{4}{6}$ war, hast Du fälschlich mit Zurücklegen gerechnet.

Pfadregeln

Produktregel: UND auf einem Pfad

Wenn beide Schritte eines bestimmten Pfades eintreten sollen, multiplizierst Du die Astwahrscheinlichkeiten.

$P (Rot und Blau) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

Merksatz: Entlang eines Pfades wird multipliziert.

Summenregel: passende Pfade zusammenfassen

Das Ereignis „genau eine rote Kugel“ kann über zwei Pfade eintreten:

$P (R B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

$P (B R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$

Dann:

$P (genau eine rote) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$

Merksatz: Passende vollständige Pfade werden addiert.

Interaktives Zufallsexperiment B: Münze und Würfel

Wirf zuerst eine Münze und danach einen Würfel.

Gesuchtes Ereignis: Kopf und eine gerade Zahl.

$P (K) = \frac{1}{2}$

$P (gerade) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P (K und gerade) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Führe das Experiment 24-mal durch und vergleiche die beobachtete Häufigkeit mit $\frac{1}{4}$ .

MSA-Brücke: Schreibe nicht nur $\frac{1}{4}$ , sondern zeige die beiden Faktoren.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist bereits etwas bekannt. Dadurch wird die Menge, auf die Du schaust, kleiner.

Die Grundform lautet:

$P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Für das G-Niveau ist besonders wichtig, die Idee zu verstehen:

Bedingung zuerst – neue Grundmenge bestimmen – darin den passenden Anteil suchen.

Beispiel mit Spielkarten-Symbolen

Eine Sammlung enthält 40 Karten.

Davon tragen 16 Karten einen Stern. Von diesen 16 Sternkarten sind 12 blau.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „blau“, wenn bereits bekannt ist, dass die Karte einen Stern trägt.

Die neue Grundmenge enthält nur noch 16 Sternkarten.

$P (blau ∣ Stern) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 75 %$

Wichtig: Der Nenner ist hier nicht 40, sondern 16.

Interaktives Zufallsexperiment C: Bedingung als Filter

Lege 20 Zettel bereit:

8 Zettel erhalten ein Dreieck.
12 Zettel erhalten einen Kreis.
Färbe 6 Dreiecke und 3 Kreise zusätzlich rot.
Ziehe zufällig einen Zettel.
Betrachte anschließend nur die Zettel mit Dreieck.

Unter der Bedingung „Dreieck“ gilt:

$P (rot ∣ Dreieck) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Denkfrage: Warum wäre $\frac{6}{20}$ hier die falsche Rechnung?

Feedback: Weil die Bedingung „Dreieck“ die Grundmenge von 20 auf 8 Zettel verkleinert.

Vierfeldertafel als MSA-Visualisierung

Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen.

Im Kartenbeispiel nehmen wir an: 40 Karten, 20 blau, 20 nicht blau, 16 mit Stern. Von den Sternkarten sind 12 blau.

	Stern	kein Stern	Summe
blau	12	8	20
nicht blau	4	16	20
Summe	16	24	40

Aus der Tabelle kannst Du direkt lesen:

$P (blau ∣ Stern) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

und

$P (Stern ∣ blau) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

Achtung: Diese beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich.

Baumdiagramm oder Vierfeldertafel?

Darstellung	Besonders geeignet für
Baumdiagramm	aufeinanderfolgende Zufallsschritte
Vierfeldertafel	zwei Merkmale und Teilgruppen
Rechnung	eindeutige Begründung des Ergebnisses

MSA-Brücke: Wähle die Darstellung so, dass die gegebene Information schnell sichtbar wird.

Typische Fehler

Fehler	So prüfst Du
Nenner trotz Bedingung nicht geändert	Bedingte Grundmenge markieren
Beim Ziehen ohne Zurücklegen gleiche Brüche verwendet	Bestand nach jedem Zug neu zählen
Pfade addiert statt multipliziert	Auf einem einzelnen Pfad multiplizieren
Nur einen passenden Pfad berücksichtigt	Alle zum Ereignis gehörenden Pfade markieren
Ergebnis größer als $1$	Wahrscheinlichkeit muss zwischen $0$ und $1$ liegen
Simulation als Beweis verwendet	Exakten Rechenweg ergänzen

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: mit Zurücklegen

Eine Urne enthält zwei rote und drei blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen.

Berechne $P (R R)$ .

Hilfestufe 1: Nach dem Zurücklegen bleibt die Verteilung gleich.

Hilfestufe 2: Beide roten Äste haben $\frac{2}{5}$ .

Lösung:

$P (R R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

Feedback: Wenn sich Dein zweiter Bruch geändert hat, hast Du ohne Zurücklegen gerechnet.

Übung 2: ohne Zurücklegen

Eine Urne enthält zwei rote und drei blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

Berechne $P (R R)$ .

Hilfestufe 1: Nach einem roten Zug bleibt eine rote Kugel unter vier Kugeln.

Lösung:

$P (R R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

Feedback: Vergleiche $\frac{4}{25}$ und $\frac{1}{10}$ . Das Zurücklegen verändert die zweite Stufe.

Übung 3: mindestens einmal Treffer

Bei einem einfachen Spiel beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch $\frac{1}{4}$ . Zwei Versuche sind gleich aufgebaut.

Nutze das Gegenereignis „kein Treffer“.

$P (kein Treffer) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Daher:

$P (mindestens ein Treffer) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

Feedback: Bei „mindestens einmal“ kann das Gegenereignis den Rechenweg verkürzen.

Übung 4: Bedingung erkennen

In einer Box liegen 30 Karten. 18 Karten sind hell. Von den hellen Karten tragen 9 einen Punkt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „Punkt“ unter der Bedingung „hell“.

$P (Punkt ∣ hell) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Feedback: Der Nenner ist 18, weil nur die hellen Karten betrachtet werden.

Selbstkontrolle

Prüfe bei jeder MSA-Aufgabe:

Habe ich das Zufallsexperiment verstanden?
Habe ich eine passende Darstellung gewählt?
Stimmen die Astwahrscheinlichkeiten an jeder Verzweigung zusammen zu $1$ ?
Habe ich auf einem Pfad multipliziert?
Habe ich mehrere passende Pfade addiert?
Habe ich bei einer Bedingung die neue Grundmenge verwendet?
Liegt mein Ergebnis zwischen $0$ und $1$ beziehungsweise zwischen $0 %$ und $100 %$ ?
Kann ich meinen Rechenweg in einem Satz begründen?

Transfer

Ein Qualitätscheck untersucht zufällig ausgewählte Bauteile. 50 Bauteile werden in zwei Merkmale eingeteilt: „geprüft“ oder „nicht geprüft“ sowie „auffällig“ oder „unauffällig“.

Auftrag: Erfinde passende Häufigkeiten, die insgesamt 50 ergeben. Stelle sie in einer Vierfeldertafel dar. Formuliere anschließend eine bedingte Wahrscheinlichkeit und berechne sie.

Transferfrage: Wie kann eine ungünstig gewählte Grundmenge eine Prozentangabe irreführend wirken lassen?

Kompetenzcheck

Ich kann …	Selbstcheck
ein zweistufiges Baumdiagramm erstellen	unsicher / teilweise / sicher
Produktregel anwenden	unsicher / teilweise / sicher
Summenregel anwenden	unsicher / teilweise / sicher
eine Bedingung als neue Grundmenge erkennen	unsicher / teilweise / sicher
eine Vierfeldertafel lesen	unsicher / teilweise / sicher
Ergebnis und Rechenweg begründen	unsicher / teilweise / sicher

Wenn Du bei mindestens zwei Punkten „unsicher“ gewählt hast, wiederhole zuerst die passenden Beispiele und löse danach den Quiz-Bereich.

Reflexion

Rechenweg reflektieren: Welcher Schritt fällt Dir am leichtesten?
Fehleranalyse: Bei welchem typischen Fehler musst Du besonders aufmerksam sein?
Darstellungen vergleichen: Wann hilft Dir ein Baumdiagramm mehr als eine Tabelle?
Digitale Mathematik reflektieren: Wie prüfst Du, ob eine Simulation oder KI-Antwort plausibel ist?

Folgekurs

Als nächster Kurs bietet sich M10 G - Stochastik MSA-Prüfungstraining an. Dort werden gemischte Aufgaben unter Zeitbedingungen geübt, ohne das Niveau unnötig zu erweitern.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Regel verwendest Du entlang eines einzelnen Pfades? (Produktregel) (!Summenregel) (!Dreisatz) (!Subtraktionsregel)

Was muss an jeder vollständigen Verzweigung eines Baumdiagramms gelten? (Die Astwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1) (!Alle Astwahrscheinlichkeiten sind gleich) (!Jede Astwahrscheinlichkeit beträgt 0,5) (!Die Astwahrscheinlichkeiten werden addiert und verdoppelt)

Wie berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für mehrere passende vollständige Pfade? (Du addierst ihre Pfadwahrscheinlichkeiten) (!Du multiplizierst alle Endergebnisse) (!Du bildest immer das Gegenereignis) (!Du teilst durch die Zahl der Stufen)

Was verändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen? (Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe können sich ändern) (!Die erste Stufe verschwindet) (!Die Summe der Wahrscheinlichkeiten wird größer als 1) (!Jeder zweite Zug wird sicher)

Was bedeutet eine Bedingung bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit? (Es wird nur noch eine eingeschränkte Grundmenge betrachtet) (!Alle Ergebnisse werden gleich wahrscheinlich) (!Das Zufallsexperiment wird unmöglich) (!Die Wahrscheinlichkeit wird immer halbiert)

In einer Gruppe von 16 Sternkarten sind 12 blau. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für blau unter der Bedingung Stern? (12 von 16) (!12 von 40) (!16 von 12) (!28 von 40)

Welche Darstellung eignet sich besonders für zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen? (Vierfeldertafel) (!Zahlengerade) (!Koordinatensystem) (!Kreisumfang)

Welcher Wert kann keine Wahrscheinlichkeit sein? (1,2) (!0) (!0,35) (!1)

Was ist bei einer digitalen Zufallssimulation wichtig? (Das Ergebnis zusätzlich auf Plausibilität zu prüfen) (!Jedes Ergebnis ungeprüft zu übernehmen) (!Nur einen Versuch durchzuführen) (!Die theoretische Wahrscheinlichkeit zu ignorieren)

Welche Aussage passt zu einer KI-Antwort in Mathematik? (Sie muss mathematisch geprüft und begründet werden) (!Sie gilt automatisch als Beweis) (!Sie ersetzt den eigenen Rechenweg) (!Sie darf nicht mit einer Tabelle verglichen werden)

Memory

Produktregel	entlang eines Pfades multiplizieren
Summenregel	passende Pfade addieren
Bedingung	Grundmenge einschränken
Baumdiagramm	mehrstufigen Ablauf darstellen
Vierfeldertafel	zwei Merkmale ordnen
Gegenereignis	Ergänzung zur Wahrscheinlichkeit eins
Simulation	Zufallsexperiment oft wiederholen
Plausibilitätscheck	Ergebnis kritisch prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produktregel	entlang eines Pfades
Summenregel	mehrere passende Pfade
Bedingung	neue Grundmenge
Baumdiagramm	Ablauf in Stufen
Vierfeldertafel	zwei Merkmale

Kreuzworträtsel

Pfadregel	Welche Regel hilft beim Rechnen in einem Baumdiagramm?
Baumdiagramm	Welche Darstellung zeigt aufeinanderfolgende Zufallsschritte?
Ereignis	Wie heißt eine Zusammenfassung passender Ergebnisse?
Gegenereignis	Wie heißt die Ergänzung eines Ereignisses?
Vierfeldertafel	Welche Tabelle ordnet zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen?
Bedingung	Was schränkt bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit die Grundmenge ein?

LearningApps

Lückentext

Bei einem Baumdiagramm müssen die Wahrscheinlichkeiten an einer Verzweigung zusammen

ergeben.

Entlang eines vollständigen Pfades werden Wahrscheinlichkeiten

.

Mehrere zum Ereignis passende Pfade werden anschließend

.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann sich die Wahrscheinlichkeit in der zweiten

ändern.

Eine Bedingung schränkt die betrachtete

ein.

Eine Vierfeldertafel eignet sich zum Ordnen von zwei

.

Eine Simulation liefert beobachtete relative

.

Ein digitales Ergebnis muss zusätzlich auf

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Münzwurf-Protokoll: Wirf eine Münze 30-mal, notiere Kopf und Zahl und vergleiche die relative Häufigkeit mit $\frac{1}{2}$ .
Würfel-Baumdiagramm: Entwirf ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Münze und Würfel und zeichne das Baumdiagramm.
Fehlerkarte: Gestalte eine Karte mit einem typischen Fehler bei Pfadregeln und einer passenden Kontrollfrage.
Bedingungsfilter: Erfinde ein Beispiel, bei dem eine Bedingung die Grundmenge deutlich verkleinert.

Standard

Urnenmodell: Entwickle ein Urnenexperiment mit zwei Farben und berechne ein Ereignis mit Produkt- und Summenregel.
Vierfeldertafel erstellen: Erfinde vier konsistente Häufigkeiten, ergänze Randsummen und formuliere zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Simulation vergleichen: Simuliere ein selbst gewähltes Zufallsexperiment analog und digital und vergleiche beide Ergebnisse.
Erklärvideo Wahrscheinlichkeit: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu „Bedingung = neue Grundmenge“, ohne personenbezogene Daten zu verwenden.

Schwer

Darstellungswechsel: Löse dieselbe Aufgabe einmal mit Baumdiagramm und einmal mit Vierfeldertafel und vergleiche die Übersichtlichkeit.
MSA-Aufgabe entwickeln: Erstelle eine eigene zweistufige Prüfungsaufgabe mit Rechenweg, Darstellung, Lösung und Kontrollschritt.
KI-Fehleranalyse: Lass Dir zu einer selbst erfundenen Aufgabe einen Rechenweg von einer KI vorschlagen und prüfe jeden Schritt mathematisch.
Zufall und Alltag: Untersuche eine veröffentlichte Wahrscheinlichkeitsaussage aus Werbung, Medien oder Alltag und erkläre, welche Grundmenge verwendet wird.

Lernkontrolle

Darstellung wählen: Eine Aufgabe enthält zwei aufeinanderfolgende Ziehungen. Begründe, warum ein Baumdiagramm dafür geeignet ist und welche Informationen an die Äste gehören.
Modell prüfen: Zwei Lösungswege unterscheiden sich nur im zweiten Ast eines Urnenexperiments ohne Zurücklegen. Entscheide anhand des Bestands nach dem ersten Zug, welcher Weg zum Modell passt.
Bedingung erklären: Erkläre anhand eines selbst gewählten Beispiels, warum sich bei $P (A ∣ B)$ die Grundmenge verändert.
Darstellungen vergleichen: Übertrage Informationen aus einer Vierfeldertafel in eine sprachliche Aussage und formuliere daraus eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Simulation bewerten: Eine Simulation liefert bei 20 Versuchen $65 %$ , theoretisch sind $50 %$ zu erwarten. Erkläre, warum das kein Widerspruch sein muss und wie Du weiter prüfen würdest.
Fehler begründen: In einem Rechenweg wird bei „genau ein Treffer“ nur ein Pfad berücksichtigt. Erkläre den Fehler und beschreibe die notwendige Korrektur.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du kannst ein zweistufiges Zufallsexperiment als Baumdiagramm darstellen.
Du kannst Pfadwahrscheinlichkeiten mit der Produktregel berechnen.
Du kannst mehrere passende Pfade mit der Summenregel zusammenfassen.
Du erkennst, wann sich Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern.
Du kannst eine Bedingung als Einschränkung der Grundmenge erklären.
Du kannst einfache Vierfeldertafeln lesen und verwenden.
Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar.
Du prüfst digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben mathematisch.

Medien und Quellen

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons und sind dort mit freien Lizenzen beziehungsweise als gemeinfrei ausgewiesen. Die YouTube-Videos werden nur eingebettet; die Rechte verbleiben bei den jeweiligen Anbietern.

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