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ABI LF - Lineare Substitution bei Stammfunktionen nutzen

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Einleitung

ABI LF - Lineare Substitution bei Stammfunktionen nutzen

Mini-Beschreibung: Bestimme Stammfunktionen bei geeigneten linear verketteten Termen mithilfe linearer Substitutionsideen. Verbinde die Kettenregel rückwärts mit der Stammfunktionsbildung und prüfe jedes Ergebnis durch Ableitung.

Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, Kursstufe, Vorbereitung auf das schriftliche Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

Prüfungsrahmen 2027: Für das Leistungsfach gelten der Bildungsplan 2016 und der Facherlass zur Abiturprüfung 2027. Dieser Kurs trainiert Analysis auf erhöhtem Niveau. Die digitalen Werkzeuge hier dienen dem Lernen; sie sind nicht automatisch als Prüfungshilfsmittel zugelassen. Im Abitur 2027 wird Teil A ohne Formelsammlung und WTR bearbeitet; erst nach Abgabe von Teil A werden die für Teil B zugelassenen Hilfsmittel verwendet.

Datenschutz: Verwende in öffentlichen Aufgaben, Kommentaren oder KI-Anfragen keine personenbezogenen Daten.

Leitidee: Kettenregel vorwärts ↔ Stammfunktion rückwärts

Aus $\frac{d}{d x} G (a x + b) = a \cdot G^{'} (a x + b)$ folgt für $a \neq 0$ : $\int g (a x + b) d x = \frac{1}{a} G (a x + b) + C$ , wenn $G^{'} = g$ gilt.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

lineare Verkettungen der Form $a x + b$ erkennen.
die Kettenregel rückwärts zur Stammfunktionsbildung nutzen.
den Korrekturfaktor $\frac{1}{a}$ begründen und sicher einsetzen.
Stammfunktionen von Potenz-, Exponential-, trigonometrischen und geeigneten Kehrwerttermen bestimmen.
Rechenwege formal prüfen, indem Du Deine Stammfunktion ableitest.
zwischen linearer Substitution, allgemeinen Substitutionsideen und ungeeigneten Ansätzen unterscheiden.
Ergebnisse mit digitalen Werkzeugen kontrollieren, ohne die mathematische Begründung durch das Werkzeug zu ersetzen.

Vorwissen-Check

Bearbeite zuerst ohne Hilfsmittel.

Check A – Kettenregel: $F (x) = e^{3 x - 2}$ . Bestimme $F^{'} (x)$ .

Lösung und Feedback: $F^{'} (x) = 3 e^{3 x - 2}$ . Der Faktor $3$ stammt aus der Ableitung der inneren Funktion.

Check B – Grundstammfunktion: Bestimme eine Stammfunktion zu $g (x) = \cos x$ .

Lösung und Feedback: $G (x) = \sin x$ , denn $G^{'} (x) = \cos x$ .

Check C – lineare innere Funktion: Identifiziere bei $f (x) = (5 x + 1)^{4}$ die innere Funktion und ihre Ableitung.

Lösung und Feedback: $u (x) = 5 x + 1$ und $u^{'} (x) = 5$ .

Check D – Stammfunktionen sind nicht eindeutig: Erkläre, warum $F (x) + C$ für jedes $C \in ℝ$ wieder eine Stammfunktion zu $f$ ist.

Lösung und Feedback: Konstanten verschwinden beim Ableiten: $(F (x) + C)^{'} = F^{'} (x) = f (x)$ .

Visualisierung der Kettenregel; Wikimedia Commons, freie Lizenz laut Dateiseite

Kernidee: Kettenregel rückwärts

Sei $G$ eine Stammfunktion von $g$ , also $G^{'} = g$ . Für $a \neq 0$ definieren wir $H (x) = \frac{1}{a} G (a x + b)$ .

Dann gilt mit der Kettenregel: $H^{'} (x) = \frac{1}{a} \cdot G^{'} (a x + b) \cdot a = G^{'} (a x + b) = g (a x + b)$ .

Damit ist bewiesen: $\int g (a x + b) d x = \frac{1}{a} G (a x + b) + C$

Mit einem zusätzlichen konstanten Faktor $c$ : $\int c \cdot g (a x + b) d x = \frac{c}{a} G (a x + b) + C$

Merksatz: Beim Ableiten wird mit der inneren Ableitung multipliziert. Beim rückwärts gerichteten Schritt zur Stammfunktion musst Du bei linearer innerer Funktion durch diese konstante innere Ableitung teilen.

Substitutionssicht

Setze $u = a x + b$ . Dann ist $d u = a d x$ und damit $d x = \frac{1}{a} d u$ .

Somit: $\int g (a x + b) d x = \int g (u) \frac{1}{a} d u = \frac{1}{a} G (u) + C = \frac{1}{a} G (a x + b) + C$ .

Wichtig: Der sichere mathematische Nachweis bleibt die Ableitung der gefundenen Stammfunktion.

Interaktives Modell: Substitution als Variablenwechsel

Das folgende GeoGebra-Modell visualisiert Substitution und erlaubt schrittweises Erkunden.

Arbeitsauftrag: Verändere die Eingaben. Beobachte, wann der Integrand die Form „äußere Funktion mit passender innerer Struktur“ besitzt. Prüfe jeden automatisch dargestellten Schritt selbst durch Ableiten.

Dynamische Flächenidee

Das nächste Modell zeigt, wie sich bei einer Substitution die Beschreibung eines Integrals verändert.

Denkfrage: Warum ändert eine korrekte Substitution die mathematische Größe nicht, obwohl Variable, Funktionsterm und gegebenenfalls Grenzen anders aussehen?

Visueller Rechenweg

Beispiel 1: $\int (3 x - 1)^{4} d x$

Schritt 1 – Struktur erkennen: $u = 3 x - 1$ , also $u^{'} = 3$ .

Schritt 2 – Grundstammfunktion: $\int u^{4} d u = \frac{u^{5}}{5} + C$ .

Schritt 3 – Korrekturfaktor: $\frac{1}{3} \cdot \frac{(3 x - 1)^{5}}{5} = \frac{(3 x - 1)^{5}}{15}$ .

Ergebnis: $F (x) = \frac{(3 x - 1)^{5}}{15} + C$ .

Ableitungscheck: $F^{'} (x) = \frac{1}{15} \cdot 5 (3 x - 1)^{4} \cdot 3 = (3 x - 1)^{4}$ .

Beispiel 2: Exponentialfunktion

$\int 4 e^{- 2 x + 1} d x$

$u = - 2 x + 1, u^{'} = - 2$

$\int 4 e^{- 2 x + 1} d x = \frac{4}{- 2} e^{- 2 x + 1} + C = - 2 e^{- 2 x + 1} + C$ .

Check: $\frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x + 1}) = (- 2) \cdot (- 2) e^{- 2 x + 1} = 4 e^{- 2 x + 1}$ .

Beispiel 3: Trigonometrische Funktion

$\int - 6 \sin (3 x + 2) d x$

Da $\int \sin u d u = - \cos u + C$ , gilt: $\int - 6 \sin (3 x + 2) d x = \frac{- 6}{3} \cdot (- \cos (3 x + 2)) + C = 2 \cos (3 x + 2) + C$ .

Check: $\frac{d}{d x} (2 \cos (3 x + 2)) = - 6 \sin (3 x + 2)$ .

Beispiel 4: Logarithmus

Auf einem Intervall, auf dem $5 x - 4 \neq 0$ gilt: $\int \frac{5}{5 x - 4} d x = \ln | 5 x - 4 | + C$ .

Denn $\frac{d}{d x} \ln | 5 x - 4 | = \frac{5}{5 x - 4}$ .

Beispiel 5: Summe mehrerer Terme

Bestimme eine Stammfunktion zu $f (x) = e^{2 x + 1} + 3 \sin (4 x) - 5 (2 x - 1)^{2}$ .

Termweise: $\int e^{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 1}$

$\int 3 \sin (4 x) d x = - \frac{3}{4} \cos (4 x)$

$\int - 5 (2 x - 1)^{2} d x = - \frac{5}{6} (2 x - 1)^{3}$

Also: $F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x + 1} - \frac{3}{4} \cos (4 x) - \frac{5}{6} (2 x - 1)^{3} + C$ .

Pflichtcheck: $F^{'} (x) = e^{2 x + 1} + 3 \sin (4 x) - 5 (2 x - 1)^{2} = f (x)$ .

Wann ist lineare Substitution geeignet?

Prüfe, ob der entscheidende innere Term die Form $a x + b$ mit $a \neq 0$ hat.

Geeignet: $e^{7 x - 3}$ , $\cos (4 x + 1)$ , $(2 x - 5)^{8}$ , $\frac{1}{3 x + 2}$ .

Nicht als lineare Substitution: $e^{x^{2}}$ , $\sin (x^{3} + 1)$ , $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Leistungsfach-Blick: Ein nichtlinearer innerer Term kann bei passendem zusätzlichen Faktor trotzdem durch allgemeine Substitution integrierbar sein. Beispiel: $\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C$ . Das ist keine lineare Substitution, sondern ein Transfer zur allgemeinen Substitutionsidee.

Interaktive Beispiele mit Hilfen und Feedback

Übung A

Bestimme eine Stammfunktion: $\int 7 (2 x - 5)^{3} d x$ .

Hilfe: Nutze $u = 2 x - 5$ und die Grundstammfunktion zu $u^{3}$ .

Lösung: $F (x) = \frac{7}{8} (2 x - 5)^{4} + C$ . Feedback: Ableiten liefert $\frac{7}{8} \cdot 4 (2 x - 5)^{3} \cdot 2 = 7 (2 x - 5)^{3}$ .

Übung B

Bestimme eine Stammfunktion: $\int 9 \cos (6 x - 1) d x$ .

Hilfe: Die innere Ableitung ist $6$ .

Lösung: $F (x) = \frac{3}{2} \sin (6 x - 1) + C$ . Feedback: $F^{'} (x) = \frac{3}{2} \cdot 6 \cos (6 x - 1) = 9 \cos (6 x - 1)$ .

Übung C

Bestimme eine Stammfunktion: $\int \frac{3}{3 x + 7} d x$ .

Hilfe: Nutze $\int \frac{1}{u} d u = \ln | u | + C$ .

Lösung: $F (x) = \ln | 3 x + 7 | + C$ . Feedback: Die Betragsstriche sind für die allgemeine reelle Stammfunktion auf geeigneten Intervallen wichtig.

Übung D – Verfahren selbst wählen

Untersuche, welche der drei Aufgaben mit der linearen Regel lösbar ist: $\int e^{5 x + 2} d x$ , $\int 2 x e^{x^{2}} d x$ , $\int e^{x^{2}} d x$ .

Lösung: Nur das erste Integral ist direkt lineare Substitution. Das zweite nutzt allgemeine Substitution mit $u = x^{2}$ . Das dritte besitzt keine elementare Stammfunktion und wird nicht durch lineare Substitution gelöst.

Fehleranalyse

Fehler 1: Korrekturfaktor vergessen

Falsch: $\int e^{3 x} d x = e^{3 x} + C$ .

Prüfung: $\frac{d}{d x} e^{3 x} = 3 e^{3 x} \neq e^{3 x}$ .

Korrekt: $\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ .

Fehler 2: Potenzregel ohne innere Ableitung

Falsch: $\int (2 x + 1)^{4} d x = \frac{(2 x + 1)^{5}}{5} + C$ .

Ableitung des falschen Ergebnisses: $2 (2 x + 1)^{4}$ .

Korrekt: $\int (2 x + 1)^{4} d x = \frac{(2 x + 1)^{5}}{10} + C$ .

Fehler 3: Vorzeichen bei Sinus und Kosinus

Merke: $\int \cos u d u = \sin u + C$ , aber $\int \sin u d u = - \cos u + C$ .

Fehler 4: Betrag beim Logarithmus

Für $\int \frac{1}{a x + b} d x$ lautet eine allgemeine Stammfunktion auf geeigneten Intervallen: $\frac{1}{a} \ln | a x + b | + C$ .

Fehler 5: KI-Ergebnis ungeprüft übernehmen

Eine KI behauptet: $\int e^{4 x + 1} d x = e^{4 x + 1} + C$ .

Mathematische Prüfung: $\frac{d}{d x} e^{4 x + 1} = 4 e^{4 x + 1}$ .

Das Ergebnis ist also falsch. Korrekt ist: $\frac{1}{4} e^{4 x + 1} + C$ .

Regel: KI-Ausgaben mathematisch prüfen; sie ersetzen keinen Beweis und keinen Ableitungscheck.

Selbstkontrolle

Löse zunächst ohne digitale Hilfe.

$\int e^{- 5 x + 2} d x$
$\int 8 \cos (4 x + 3) d x$
$\int 6 (3 x - 1)^{5} d x$
$\int \frac{2}{2 x - 9} d x$
$\int (2 e^{2 x} - 4 \sin (2 x)) d x$
Begründe formal, warum der Faktor $\frac{1}{a}$ notwendig ist.

Ergebnisse:

$- \frac{1}{5} e^{- 5 x + 2} + C$
$2 \sin (4 x + 3) + C$
$\frac{1}{3} (3 x - 1)^{6} + C$
$\ln | 2 x - 9 | + C$
$e^{2 x} + 2 \cos (2 x) + C$
Setze $H (x) = \frac{1}{a} G (a x + b)$ und leite mit der Kettenregel ab.

Transfer

Transfer 1: Bestimmtes Integral

Berechne $\int_{0}^{1} 6 e^{3 x - 1} d x$ .

Eine Stammfunktion ist $F (x) = 2 e^{3 x - 1}$ .

Damit: $\int_{0}^{1} 6 e^{3 x - 1} d x = 2 e^{2} - 2 e^{- 1} = 2 (e^{2} - e^{- 1})$ .

Kontrollfrage: Warum brauchst Du bei dieser direkten Methode keine neuen Integrationsgrenzen?

Transfer 2: Modellierung

Eine Änderungsrate sei $r (t) = 12 e^{- 0,5 t}$ für $t \geq 0$ .

Die aufsummierte Änderung von $0$ bis $T$ ist: $\int_{0}^{T} 12 e^{- 0,5 t} d t = {[- 24 e^{- 0,5 t}]}_{0}^{T} = 24 (1 - e^{- 0,5 T})$ .

Deute: Das Vorzeichen des Faktors in der Stammfunktion ist negativ, die bestimmte aufsummierte Änderung ist für $T > 0$ dennoch positiv.

Transfer 3: Grenzen bei echter Substitution

Für bestimmte Integrale kannst Du bei der Substitution die Grenzen umrechnen.

Auftrag: Erkläre an einem eigenen Beispiel, warum nach $u = a x + b$ die Grenzen ebenfalls in $u$ -Werte übersetzt werden müssen, wenn Du vollständig in der neuen Variablen weiterrechnest.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich erst nach einer vollständigen Rechnung mit Ableitungscheck.

Sicher: Ich erkenne $a x + b$ , wähle eine Grundstammfunktion und korrigiere mit $\frac{1}{a}$ .
Sicher: Ich kann die Regel mit der Kettenregel beweisen.
Sicher: Ich kann Potenz-, Exponential-, Sinus-, Kosinus- und Kehrwertbeispiele lösen.
Sicher: Ich erkenne Aufgaben, die keine lineare Substitution sind.
Sicher: Ich kann ein Ergebnis durch Ableitung vollständig verifizieren.
Leistungsfach: Ich kann zwischen Rechenregel, Begründung, Modellinterpretation und digitaler Kontrolle unterscheiden.

Reflexion

Rechenstrategie: Welche Struktur erkennst Du künftig zuerst, bevor Du integrierst?
Fehlerkontrolle: Welcher Fehler ist für Dich am wahrscheinlichsten und wie entdeckst Du ihn durch Ableiten?
Begründung: Warum ist „durch die innere Ableitung teilen“ keine bloße Merkhilfe, sondern eine Folge der Kettenregel?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Stammfunktion gehört zu f von x gleich e hoch 3x? (e hoch 3x geteilt durch 3 plus C) (!3 mal e hoch 3x plus C) (!e hoch 3x plus C) (!e hoch x plus C)

Welche innere Ableitung gehört zu 5x minus 2? (5) (!minus 2) (!x) (!5x)

Welche Aussage beschreibt die lineare Substitution korrekt? (Bei einer linearen inneren Funktion wird der Korrekturfaktor durch die konstante innere Ableitung bestimmt) (!Jede verkettete Funktion besitzt dadurch eine elementare Stammfunktion) (!Der Integrand wird immer mit der inneren Ableitung multipliziert) (!Die Integrationskonstante darf weggelassen werden)

Welche Stammfunktion passt zu cos von 4x? (ein Viertel mal sin von 4x plus C) (!4 mal sin von 4x plus C) (!minus ein Viertel mal cos von 4x plus C) (!sin von x plus C)

Welche Stammfunktion passt zu minus 6 mal sin von 3x plus 2? (2 mal cos von 3x plus 2 plus C) (!minus 2 mal cos von 3x plus 2 plus C) (!2 mal sin von 3x plus 2 plus C) (!minus 6 mal cos von 3x plus 2 plus C)

Wie prüfst Du eine gefundene Stammfunktion am zuverlässigsten? (Du leitest sie ab und vergleichst mit dem Integranden) (!Du setzt x gleich null) (!Du verdoppelst die Integrationskonstante) (!Du vergleichst nur die Vorzeichen)

Welche Funktion besitzt eine lineare innere Funktion? (e hoch 7x minus 3) (!e hoch x Quadrat) (!sin von x hoch drei) (!e hoch sin x)

Welche allgemeine Stammfunktion gehört zu 1 geteilt durch ax plus b? (eins geteilt durch a mal ln Betrag von ax plus b plus C) (!a mal ln Betrag von ax plus b plus C) (!ln Betrag von x plus C) (!eins geteilt durch ax plus b Quadrat plus C)

Warum erscheint bei der Stammfunktion ein Faktor eins geteilt durch a? (Weil die Kettenregel beim Ableiten den Faktor a erzeugt) (!Weil jede Stammfunktion normiert werden muss) (!Weil die Integrationskonstante sonst fehlt) (!Weil der Exponent immer um a erhöht wird)

Welche Aussage zu digitalen Werkzeugen ist korrekt? (Sie können beim Prüfen helfen ersetzen aber keine mathematische Begründung) (!Sie sind im Abitur immer ohne Einschränkung erlaubt) (!Sie machen den Ableitungscheck überflüssig) (!Sie liefern automatisch einen Beweis)

Memory

Lineare Verkettung	Innerer Term ax plus b
Kettenregel	Äußere Ableitung mal innere Ableitung
Stammfunktion	Ableitung ergibt den Integranden
Korrekturfaktor	Kehrwert der inneren Steigung
Exponentialterm	Grundstammfunktion e hoch u
Kosinusterm	Grundstammfunktion sin u
Sinusterm	Grundstammfunktion minus cos u
Kehrwertterm	Logarithmus mit Betrag

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rückwärts angewandte Kettenregel	Stammfunktion bilden
Innere Steigung	Korrekturfaktor bestimmen
Ableitungscheck	Ergebnis verifizieren
Lineare innere Funktion	ax plus b
Logarithmus	Kehrwertterm integrieren

Kreuzworträtsel

Kettenregel	Welche Ableitungsregel wird bei der linearen Substitution rückwärts genutzt?
Stammfunktion	Welche Funktion wird gesucht wenn ihre Ableitung der Integrand ist?
Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Ableitung	Womit prüfst Du eine gefundene Stammfunktion?
Integrand	Wie heißt die Funktion unter dem Integralzeichen?
Logarithmus	Welche Funktion tritt beim Integrieren eines Kehrwertterms auf?

LearningApps

Lückentext

Bei einer linearen Verkettung hat der innere Term die Form

.

Beim Ableiten einer Verkettung erzeugt die Kettenregel die

.

Beim Bilden einer Stammfunktion wird deshalb bei konstanter innerer Ableitung durch diese

.

Ist G eine Stammfunktion von g, dann ist bei a ungleich null der Term ein durch a mal G von ax plus b eine

von g von ax plus b.

Eine gefundene Stammfunktion wird durch

überprüft.

Für den Kehrwert einer linearen Funktion entsteht ein

.

Bei ln einer linearen Funktion müssen für die allgemeine reelle Form

berücksichtigt werden.

Ein digital berechnetes Ergebnis ersetzt keinen mathematischen

.

Offene Aufgaben

Leicht

Fehlerkarte: Gestalte eine Karte mit einem typischen Fehler, dem Ableitungscheck und der korrigierten Lösung.
Erklärbild: Zeichne einen Pfeilweg von $g (a x + b)$ zur Stammfunktion und zurück zur Ableitung.
Mini-Erklärvideo: Erstelle ein höchstens zweiminütiges Video zu $\int e^{4 x - 1} d x$ ohne personenbezogene Daten.
Aufgabenvariation: Erfinde drei Aufgaben mit Potenz-, Exponential- und trigonometrischem Term und gib jeweils einen Ableitungscheck an.

Standard

GeoGebra-Experiment: Verändere in einem dynamischen Modell die Parameter $a$ und $b$ und beschreibe die Wirkung des Faktors $\frac{1}{a}$ .
Lösungswege vergleichen: Löse ein Integral einmal über die Rückwärts-Kettenregel und einmal mit $u = a x + b$ . Zeige die Äquivalenz.
KI-Fehlerdiagnose: Lasse Dir zwei Lösungsvorschläge erzeugen und prüfe jeden Schritt durch Ableiten. Dokumentiere nur mathematisch geprüfte Aussagen.
Modellierungsaufgabe: Erfinde einen realistischen Änderungsraten-Term mit linear verketteter Exponentialfunktion und deute ein bestimmtes Integral.

Schwer

Beweis: Formuliere und beweise die Regel $\int g (a x + b) d x = \frac{1}{a} G (a x + b) + C$ mit klaren Voraussetzungen.
Verfahrenswahl: Stelle sechs Integrale zusammen, von denen einige linear, einige allgemein substituierbar und einige nicht elementar integrierbar sind. Begründe die Einteilung.
Parameteraufgabe: Untersuche $f_{k} (x) = e^{k x + 1}$ für $k \neq 0$ . Bestimme eine Stammfunktion und diskutiere den Grenzfall $k \to 0$ .
Abiturtraining: Entwickle eine mehrschrittige Analysisaufgabe, in der Stammfunktionsbildung, bestimmtes Integral, Interpretation und Begründung verbunden werden.

Lernkontrolle

Verfahrensbegründung: Leite die lineare Substitutionsregel aus der Kettenregel her und benenne die entscheidende Voraussetzung an die innere Funktion.
Fehleranalyse: Eine Lösung enthält den Faktor $a$ statt $\frac{1}{a}$ . Zeige durch Ableiten, warum der Ansatz scheitert, und korrigiere ihn.
Bestimmtes Integral: Löse ein bestimmtes Integral mit linear verkettetem Exponentialterm auf zwei Wegen und erkläre, wann Integrationsgrenzen transformiert werden.
Modellinterpretation: Interpretiere die Stammfunktion einer exponentiellen Änderungsrate im Sachkontext und prüfe Einheiten sowie Vorzeichen.
Verfahrenswahl: Entscheide bei mehreren Integralen, ob lineare Substitution, allgemeine Substitution oder ein anderes Verfahren sinnvoll ist. Begründe jede Entscheidung.
Beweisprüfung: Prüfe einen vorgegebenen Beweis der linearen Substitutionsregel auf Vollständigkeit, korrekte Voraussetzungen und korrekte Anwendung der Kettenregel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du erkennst lineare innere Funktionen sicher.
Du bestimmst Stammfunktionen formal korrekt und mit Integrationskonstante.
Du begründest den Faktor $\frac{1}{a}$ mit der Kettenregel.
Du führst bei jeder zentralen Rechnung einen Ableitungscheck durch.
Du kannst Verfahren vergleichen und begründet auswählen.
Du bearbeitest mehrschrittige Aufgaben mit Interpretation und Transfer.
Du prüfst digitale oder KI-generierte Ergebnisse mathematisch und übernimmst sie nicht ungeprüft.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Dieser Kurs ist auf den Prüfungsjahrgang 2027 im Mathematik-Leistungsfach an allgemein bildenden Gymnasien in Baden-Württemberg ausgerichtet. Maßgeblich sind der Bildungsplan 2016 und der Facherlass 2027. Der Bildungsplan fordert die Bestimmung von Stammfunktionen und die Nutzung der Ableitungsregeln zur Überprüfung; in den offiziellen Jahresplanungen wird die Integration durch lineare Substitution ausdrücklich genannt.

Prüfungstipp: Trainiere den Kernalgorithmus auch hilfsmittelfrei. Nutze GeoGebra, Videos und KI hier zum Lernen und Prüfen, nicht als Ersatz für zugelassene Prüfungswerkzeuge oder eine eigene Begründung.

Medienlabor

Freies Bildmaterial: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien besitzen freie Lizenzen beziehungsweise Public-Domain-Freigaben gemäß ihrer jeweiligen Dateiseite.

Videoimpulse: Die eingebetteten YouTube-Videos ergänzen die Rechenwege. Stoppe vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.

Dynamische Modelle: Die GeoGebra-Applets dienen zum Erkunden von Variablenwechsel, Schrittfolgen und Grenzen. Ein Applet-Ergebnis gilt erst nach mathematischer Kontrolle als übernommen.

OERs zum Thema

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

Substitution bei bestimmten Integralen: Grenzen transformieren und Hauptsatz sicher verbinden.
Allgemeine Substitution: Nichtlineare innere Funktionen und passende Ableitungsfaktoren erkennen.
Partielle Integration: Die Produktregel rückwärts verwenden.
Integralaufgaben im Sachkontext: Bestände aus Änderungsraten rekonstruieren und interpretieren.

Verknüpfte Lernbereiche

Integralrechnung

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