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ABI LF - Funktionen verketten

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ABI LF - Funktionen verketten

Mini-Beschreibung: Erkenne und bilde Verkettungen $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ und interpretiere innere und äußere Funktion. Nutze Funktionsmaschinen und Graphvergleiche und verbinde Verkettung mit Kettenregel und Modellierung.

Zielgruppe: Leistungsfach Mathematik, gymnasiale Oberstufe, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur in Baden-Württemberg.

Stand: Prüfungsjahrgang 2027. Grundlage sind der Bildungsplan 2016 in der Fassung von 2024 sowie die amtlichen Vorgaben zum Abitur 2027. Digitale Werkzeuge dieses Kurses dienen dem Lernen und sind nicht automatisch als Hilfsmittel in der Prüfung zugelassen.

Einleitung

Eine Verkettung führt Funktionen nacheinander aus:

$x ⟶ g (x) ⟶ f (g (x))$

Dabei ist bei

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$

$g$ die innere Funktion und $f$ die äußere Funktion. Du liest den Term von innen nach außen.

Das Thema ist für das Leistungsfach zentral: Der baden-württembergische Bildungsplan fordert das Erkennen und Bilden von Funktionsverkettungen, die Untersuchung zusammengesetzter Funktionen sowie im Leistungsfach die Anwendung von Produkt- und Kettenregel.

Bildungsplan BW: Funktionaler Zusammenhang

Bildungsplan BW: Zahl – Variable – Operation

Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Verkettungen in der Form $f (g (x))$ erkennen und bilden.
innere und äußere Funktion formal korrekt angeben.
die Reihenfolge von $f \circ g$ und $g \circ f$ unterscheiden.
die Definitionsmenge einer Verkettung bestimmen.
Verkettungen mit Funktionsmaschinen und Graphen interpretieren.
die Struktur einer Verkettung für die Kettenregel nutzen.
mehrschrittige Modellierungen als Funktionsketten darstellen und Ergebnisse begründen.
digitale oder KI-gestützte Ergebnisse mathematisch prüfen, statt sie als Beweis zu behandeln.

Vorwissen-Check

<details> <summary>Check 1: Was bedeutet $f (3)$ ?</summary> Du setzt $x = 3$ in den Funktionsterm von $f$ ein. Ein sicherer Umgang mit Funktionswerten ist Voraussetzung für Verkettungen. </details>

<details> <summary>Check 2: Löse $(x - 2)^{2} = 9$ .</summary> $x - 2 = 3$ oder $x - 2 = - 3$ , also $x = 5$ oder $x = - 1$ . Du brauchst solche Umformungen später bei Graph- und Modellaufgaben. </details>

<details> <summary>Check 3: Für welche $x$ ist $\sqrt{4 - x}$ definiert?</summary> Es muss $4 - x \geq 0$ gelten, also $x \leq 4$ . Genau solche Bedingungen entstehen bei Verkettungen. </details>

<details> <summary>Check 4: Leite $e^{x}$ , $x^{3}$ und $\ln (x)$ ab.</summary> $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ und $(\ln (x))^{'} = \frac{1}{x}$ für $x > 0$ . </details>

Funktionsmaschinen: Was passiert zuerst?

Seien

$g (x) = 3 x - 2$

und

$f (u) = u^{2} + 1$ .

Dann läuft die Maschine in zwei Stufen:

$x ⟶ 3 x - 2 ⟶ (3 x - 2)^{2} + 1$

also

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = (3 x - 2)^{2} + 1$ .

Für $x = 2$ erhältst Du

$2 ⟶ 4 ⟶ 17$ .

Merksatz: Bei $f (g (x))$ wird zuerst $g$ angewendet und danach $f$ .

Formaler Blick auf die Verkettung

Sind

$g : D_{g} \to W_{g}$

und

$f : D_{f} \to W_{f}$ ,

dann darf $f (g (x))$ nur gebildet werden, wenn der von $g$ erzeugte Wert in die Definitionsmenge von $f$ passt.

$D_{f \circ g} = {x \in D_{g} ∣ g (x) \in D_{f}}$

Beispiel:

$g (x) = 2 - x$

$f (u) = \sqrt{u}$

Dann gilt

$(f \circ g) (x) = \sqrt{2 - x}$

und wegen

$2 - x \geq 0$

folgt

$D_{f \circ g} = (- \infty, 2]$ .

Reihenfolge ist entscheidend

Im Allgemeinen gilt

$f \circ g \neq g \circ f$ .

Nimm

$f (x) = x^{2}$

und

$g (x) = x - 2$ .

Dann ist

$(f \circ g) (x) = (x - 2)^{2}$ ,

aber

$(g \circ f) (x) = x^{2} - 2$ .

Die erste Parabel ist nach rechts verschoben, die zweite nach unten.

Dynamischer Graphvergleich

Verändere im Applet die beteiligten Funktionen. Beobachte, wie aus innerer und äußerer Funktion der Graph der Verkettung entsteht.

Arbeitsauftrag: Stelle $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ ein. Vergleiche $f (g (x))$ und $g (f (x))$ . Begründe den Unterschied zuerst am Term und danach am Graphen.

<details> <summary>Hilfe</summary> Verfolge einen festen Startwert $x$ durch beide Maschinen. Die unterschiedlichen Zwischenwerte erklären die unterschiedlichen Endwerte. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Eine korrekte Begründung verbindet Term und Graph: $(x - 2)^{2}$ entsteht durch horizontale Verschiebung, $x^{2} - 2$ durch vertikale Verschiebung. </details>

Verkettungen erkennen

Die Variable kann mehrfach auftreten und trotzdem zu einer einzigen inneren Funktion gehören.

Beispiel:

$h (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$

Setze

$g (x) = - (x - 1)^{2}$

und

$f (u) = e^{u}$ .

Dann gilt

$h = f \circ g$ .

Bei

$p (x) = \ln (1 + x^{2})$

kannst Du wählen:

$g (x) = 1 + x^{2}$

und

$f (u) = \ln (u)$ .

Prüffrage: Kannst Du den gesamten inneren Ausdruck durch einen einzigen Platzhalter $u$ ersetzen? Wenn ja, ist die Verkettungsstruktur meist sichtbar.

Interaktives Beispiel 1

Gegeben ist

$h (x) = \sqrt{3 x^{2} + 1}$ .

Bestimme innere und äußere Funktion.

<details> <summary>Hilfe</summary> Ersetze $3 x^{2} + 1$ durch $u$ . </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $g (x) = 3 x^{2} + 1$ ist innen und $f (u) = \sqrt{u}$ ist außen. Damit ist $h (x) = f (g (x))$ . Zusätzlich gilt $g (x) \geq 1$ , daher ist die Wurzel für alle reellen $x$ definiert. </details>

Interaktives Beispiel 2

Gegeben sind

$f (u) = \frac{1}{u}$

und

$g (x) = x^{2} - 4$ .

Bilde $f \circ g$ und bestimme die Definitionsmenge.

<details> <summary>Hilfe</summary> Der Nenner darf nicht null werden. </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $(f \circ g) (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$ . Aus $x^{2} - 4 \neq 0$ folgt $x \neq - 2$ und $x \neq 2$ . Also gilt $D = ℝ ∖ {- 2, 2}$ . </details>

Verbindung zur Kettenregel

Ist

$h (x) = f (g (x))$ ,

dann lautet die Kettenregel

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .

Die Verkettungsstruktur entscheidet also direkt über die Ableitungsstruktur.

Visueller Rechenweg

Für

$h (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$

ergibt sich:

Schritt	Ausdruck
Innen	$g (x) = - (x - 1)^{2}$
Außen	$f (u) = e^{u}$
Innen ableiten	$g^{'} (x) = - 2 (x - 1)$
Außen ableiten	$f^{'} (u) = e^{u}$
Zusammensetzen	$h^{'} (x) = - 2 (x - 1) e^{- (x - 1)^{2}}$

Dynamische Herleitung der Kettenregel

Beobachte im Applet, wie eine kleine Änderung von $x$ zunächst die innere Funktion und danach die äußere Funktion verändert.

Für die Änderungsraten gilt anschaulich:

$\frac{Δ f}{Δ x} \approx \frac{Δ f}{Δ g} \cdot \frac{Δ g}{Δ x}$ .

Im Grenzübergang entsteht

$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ .

Begründung auf Leistungsfach-Niveau

Sei $h = f \circ g$ . Für kleine $t$ und zunächst $g (x + t) \neq g (x)$ lässt sich der Differenzenquotient zerlegen:

$\frac{h (x + t) - h (x)}{t} = \frac{f (g (x + t)) - f (g (x))}{g (x + t) - g (x)} \cdot \frac{g (x + t) - g (x)}{t}$ .

Ist $g$ in $x$ differenzierbar und $f$ in $g (x)$ differenzierbar, gehen die beiden Faktoren gegen

$f^{'} (g (x))$

und

$g^{'} (x)$ .

Damit folgt

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ .

Wichtig: Die Zerlegung erklärt die Regel, ersetzt aber nicht jede Feinheit eines vollständigen Analysis-Beweises. Im Leistungsfach solltest Du Voraussetzungen nennen und die Argumentationskette nachvollziehbar machen.

Animiertes Ableitungstraining

Dieses Applet erzeugt neue Funktionen und blendet Lösungsschritte schrittweise ein.

Arbeitsweise: Rechne zuerst ohne Hilfe. Öffne danach nur so viele Lösungsschritte, wie Du zur Fehlerdiagnose brauchst.

Graphen lesen statt nur Terme rechnen

Bei

$h = f \circ g$

liefert $g$ die Eingabe für $f$ . Deshalb kannst Du einen Punkt des Graphen schrittweise erzeugen:

$x ⟶ g (x) ⟶ f (g (x))$ .

Wenn $g (x_{1}) = g (x_{2})$ , dann folgt sofort

$h (x_{1}) = h (x_{2})$ .

Das ist ein starkes Werkzeug für Symmetrie- und Mehrdeutigkeitsargumente.

Beispiel:

$g (x) = x^{2}$

liefert für $x$ und $- x$ denselben inneren Wert. Daher ist jede Verkettung der Form

$h (x) = f (x^{2})$

gerade, sofern sie für die betrachteten Werte definiert ist.

Graphische Denkfrage

Warum ist

$h (x) = e^{- x^{2}}$

achsensymmetrisch zur $y$ -Achse?

<details> <summary>Begründung</summary> Die innere Funktion $g (x) = - x^{2}$ erfüllt $g (- x) = g (x)$ . Daher gilt auch $e^{g (- x)} = e^{g (x)}$ , also $h (- x) = h (x)$ . </details>

Modellierung als Funktionskette

Ein kreisförmiger Fleck breitet sich so aus, dass sein Radius in Zentimetern durch

$r (t) = 1 + 0.2 t$

mit $t$ in Sekunden beschrieben wird.

Die Fläche in Abhängigkeit vom Radius ist

$A (r) = π r^{2}$ .

Die reale Prozesskette lautet:

$t ⟶ r (t) ⟶ A (r (t))$ .

Damit

$A (t) = π (1 + 0.2 t)^{2}$ .

Mit der Kettenregel:

$A^{'} (t) = 2 π (1 + 0.2 t) \cdot 0.2$

also

$A^{'} (t) = 0.4 π (1 + 0.2 t)$ .

Die Einheit von $A^{'} (t)$ ist ${c m}^{2} / s$ . Das Ergebnis beschreibt die momentane Zunahme der Fläche.

Transferfrage

Verdoppelt sich die Flächenzunahme automatisch, wenn sich die Radiuszunahme verdoppelt?

<details> <summary>Feedback</summary> Nicht pauschal. Aus $A^{'} (t) = 2 π r (t) \cdot r^{'} (t)$ siehst Du, dass sowohl der aktuelle Radius als auch seine Änderungsrate eingehen. Eine Veränderung des Modells für $r (t)$ kann deshalb mehrere Effekte haben. </details>

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Struktur

Zerlege

$h (x) = \sin (2 x^{3} - 5)$

in innere und äußere Funktion.

<details> <summary>Hilfe</summary> Der Ausdruck, der anstelle des Arguments der Sinusfunktion steht, ist die innere Funktion. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $g (x) = 2 x^{3} - 5$ , $f (u) = \sin (u)$ , also $h = f \circ g$ . </details>

Übung B: Reihenfolge

Gegeben sind

$f (x) = e^{x}$

und

$g (x) = x^{2}$ .

Bilde beide Verkettungen.

<details> <summary>Hilfe</summary> Berechne getrennt $f (g (x))$ und $g (f (x))$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $(f \circ g) (x) = e^{x^{2}}$ , aber $(g \circ f) (x) = e^{2 x}$ . Die Verkettung ist also nicht kommutativ. </details>

Übung C: Definitionsmenge

Bestimme die Definitionsmenge von

$h (x) = \ln (5 - x^{2})$ .

<details> <summary>Hilfe</summary> Das Argument des Logarithmus muss positiv sein. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $5 - x^{2} > 0$ führt zu $x^{2} < 5$ , also $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ . </details>

Übung D: Kettenregel

Leite ab:

$h (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

<details> <summary>Hilfe</summary> Außen: Logarithmus. Innen: $1 + x^{2}$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $h^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot 2 x = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ . </details>

Übung E: Mehrstufige Verkettung

Untersuche die Struktur von

$h (x) = e^{\sin (x^{2})}$ .

<details> <summary>Hilfe</summary> Hier wirken drei Ebenen nacheinander: Quadrat, Sinus, Exponentialfunktion. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Eine mögliche Zerlegung ist $u (x) = x^{2}$ , $v (u) = \sin (u)$ , $w (v) = e^{v}$ . Damit $h = w \circ v \circ u$ und $h^{'} (x) = e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2}) \cdot 2 x$ . </details>

Fehleranalyse

Fehler 1: Reihenfolge vertauscht

Falsch:

$(f \circ g) (x) = g (f (x))$ .

Richtig:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ .

Diagnosefrage: Welche Funktion berührt das ursprüngliche $x$ zuerst?

Fehler 2: Kommutativität angenommen

Falsch:

$f \circ g = g \circ f$ .

Das gilt nur in besonderen Fällen. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die allgemeine Aussage.

Fehler 3: Definitionsmenge vergessen

Bei

$\sqrt{g (x)}$

muss $g (x) \geq 0$ gelten.

Bei

$\ln (g (x))$

muss $g (x) > 0$ gelten.

Bei

$\frac{1}{g (x)}$

muss $g (x) \neq 0$ gelten.

Fehler 4: Innere Ableitung vergessen

Falsch:

$(e^{x^{2}})^{'} = e^{x^{2}}$ .

Richtig:

$(e^{x^{2}})^{'} = e^{x^{2}} \cdot 2 x$ .

Fehler 5: Graph als Beweis missverstanden

Ein dynamischer Graph kann eine Vermutung sehr gut stützen oder ein Gegenbeispiel sichtbar machen. Ein Bild ersetzt jedoch keine algebraische oder analytische Begründung, wenn ein Beweis verlangt wird.

KI und digitale Werkzeuge kritisch nutzen

KI, CAS, GeoGebra oder Taschenrechner können beim Explorieren helfen. Für eine mathematische Prüfung gehst Du trotzdem systematisch vor:

Prüfe, ob innere und äußere Funktion richtig erkannt wurden.
Prüfe die Definitionsmenge unabhängig vom vorgeschlagenen Ergebnis.
Setze einen einfachen Wert ein und vergleiche Originalterm und zerlegte Verkettung.
Leite die Funktion selbst ab und kontrolliere anschließend.
Begründe Aussagen über Graphen zusätzlich am Term.
Behandle eine KI-Ausgabe als Vorschlag, nicht als Beweis.

Ausblick: Auch automatische Differentiation in moderner Software zerlegt Rechnungen in elementare Rechenschritte und nutzt dabei systematisch lokale Ableitungen und die Kettenregel.

Abiturbezug Baden-Württemberg

Für den Prüfungsjahrgang 2027 gilt im Leistungsfach Mathematik der Bildungsplan 2016 als Grundlage. Das Erkennen und Bilden von Verkettungen sowie das Untersuchen zusammengesetzter Funktionen sind dort ausdrücklich verankert; ebenso die Produkt- und Kettenregel.

Die schriftliche Prüfung im Leistungsfach hat 2027 eine Bearbeitungszeit von 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit. Der amtliche Facherlass unterscheidet Aufgaben ohne Hilfsmittel und Aufgaben mit den zugelassenen Hilfsmitteln.

Für diesen Kurs gilt: GeoGebra, YouTube, LearningApps und andere Online-Werkzeuge sind Lernwerkzeuge. Ihre Nutzung hier bedeutet nicht, dass sie in der schriftlichen Abiturprüfung zugelassen sind. Prüfe für Deinen Jahrgang immer den aktuellen Facherlass.

Abitur-Mini-Aufgabe

Gegeben ist

$p (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

Gib eine innere und eine äußere Funktion an.
Begründe die Definitionsmenge von $p$ .
Bestimme $p^{'} (x)$ .
Untersuche mithilfe der Struktur der inneren Funktion die Symmetrie des Graphen.
Erkläre, warum ein Graphikprogramm Deine Begründung kontrollieren, aber nicht ersetzen kann.

<details> <summary>Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle</summary> Innen ist $g (x) = 1 + x^{2}$ , außen $f (u) = \ln (u)$ . Da $1 + x^{2} > 0$ für alle reellen $x$ , ist $D_{p} = ℝ$ . Es gilt $p^{'} (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ . Wegen $g (- x) = g (x)$ ist auch $p (- x) = p (x)$ , also ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. </details>

Selbstkontrolle

Ich kann …	Kurztest
Verkettungen lesen	Wer ist innen bei $f (g (x))$ ?
Reihenfolgen unterscheiden	Vergleiche $f \circ g$ und $g \circ f$ .
Definitionsmengen prüfen	Welche Bedingung fordert $\ln (g (x))$ ?
Kettenregel nutzen	Wo erscheint $g^{'} (x)$ ?
Graphen begründen	Was folgt aus $g (- x) = g (x)$ ?
Modelle verketten	Welche Zwischengröße verbindet Ein- und Ausgabe?

Wenn Du bei mindestens zwei Punkten unsicher bist, wiederhole zuerst Funktionsmaschine, Definitionsmenge und Graphvergleich.

Kompetenzcheck

Sicher: Ich kann zu einem verschachtelten Term eine sinnvolle Zerlegung angeben.
Sicher: Ich kann die Definitionsmenge von $f (g (x))$ aus beiden Funktionen ableiten.
Sicher: Ich kann mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass Verkettung im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Sicher: Ich kann eine mehrstufige Kettenregel ohne ausgelassene innere Ableitung anwenden.
Sicher: Ich kann einen Graphvergleich mit algebraischen Argumenten erklären.
Sicher: Ich kann eine reale Prozesskette als Verkettung modellieren und Einheiten interpretieren.

Reflexion

Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Funktionsmaschine, Term, Graph oder Modell?
Bei welchem Schritt entstehen Deine Fehler häufiger: Zerlegen, Definitionsmenge oder Ableiten?
Wie kannst Du künftig erkennen, ob ein digitales Ergebnis nur plausibel aussieht oder tatsächlich begründet ist?

Folgekurs

Geeignete nächste Themen sind ABI LF - Kettenregel anwenden, ABI LF - Produkt- und Kettenregel kombinieren, ABI LF - Funktionen untersuchen, ABI LF - Umkehrfunktionen, ABI LF - Funktionsscharen und ABI LF - Modellieren mit Ableitungen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

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Welche Funktion ist bei $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ die innere Funktion? (g) (!f) (!f mal g) (!f plus g)

Es gilt $f (u) = u^{2}$ und $g (x) = x + 1$ . Was ist $(f \circ g) (x)$ ? (x plus 1 zum Quadrat) (!x Quadrat plus 1) (!2x plus 1) (!x Quadrat plus x)

Welche Aussage gilt im Allgemeinen für Funktionsverkettungen? (f nach g ist nicht zwingend gleich g nach f) (!f nach g ist immer gleich g nach f) (!Verkettungen sind nur mit linearen Funktionen möglich) (!Verkettungen verändern nie die Definitionsmenge)

Für welche Werte ist $\sqrt{3 - x}$ definiert? (x kleiner oder gleich 3) (!x größer als 3) (!nur x gleich 3) (!für alle reellen x)

Welche Ableitung gehört zu $h (x) = f (g (x))$ ? (f Strich von g von x mal g Strich von x) (!f Strich von x plus g Strich von x) (!f Strich von x mal g von x) (!f von g Strich von x)

Welche Funktion ist bei $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ die äußere Funktion? (g) (!f) (!x) (!f mal g)

Es gilt $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ . Was ist $(f \circ g) (x)$ ? (e hoch x Quadrat) (!e hoch 2x) (!x Quadrat mal e) (!2x mal e hoch x)

Es gilt $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ . Welche Verkettung ergibt $(x - 2)^{2}$ ? (f nach g) (!g nach f) (!f plus g) (!f mal g)

Ein Radius $r (t)$ wird in die Flächenfunktion $A (r)$ eingesetzt. Welche Größe ist die innere Funktion? (r von t) (!A von r) (!die Ableitung von A) (!Pi)

Welche Aussage zu GeoGebra und anderen Übungswerkzeugen ist für die Abiturvorbereitung richtig? (Übungswerkzeuge sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel) (!Jedes Onlinewerkzeug ist im Abitur zugelassen) (!Ein Graph ersetzt jeden Beweis) (!KI Ergebnisse müssen nicht geprüft werden)

Memory

Komposition	Hintereinanderausführung
Innenfunktion	zuerst angewendete Funktion
Außenfunktion	zuletzt angewendete Funktion
Definitionsmenge	zulässige Eingaben
Kettenregel	äußere Ableitung mal innere Ableitung
Graphvergleich	Reihenfolge sichtbar machen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Innere Funktion	g bei f von g von x
Äußere Funktion	f bei f von g von x
Definitionsbedingung	innerer Wert muss für außen zulässig sein
Kettenregel	äußere Ableitung mal innere Ableitung
Modellkette	Eingabe über Zwischengröße zur Ausgabe

Kreuzworträtsel

Verkettung	Wie heißt die Hintereinanderausführung zweier Funktionen?
Innenfunktion	Welche Funktion wird bei einer Komposition zuerst angewendet?
Außenfunktion	Welche Funktion verarbeitet den Wert der inneren Funktion?
Kettenregel	Welche Ableitungsregel gehört zur Komposition?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge der zulässigen Eingaben?
Modellierung	Wie heißt das Übersetzen einer Realsituation in Mathematik?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Funktionsmaschine: Zeichne für $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = 2 x - 3$ eine zweistufige Funktionsmaschine und berechne drei selbst gewählte Eingaben.
Verkettung erkennen: Sammle fünf verkettete Funktionsterme und markiere jeweils innere und äußere Funktion.
Graphvergleich: Skizziere $(x - 2)^{2}$ und $x^{2} - 2$ und erkläre den Unterschied ohne digitales Werkzeug.
Fehlerkarte: Erstelle eine Lernkarte zu einem typischen Fehler bei der Funktionsverkettung mit falschem Beispiel, Diagnose und Korrektur.

Standard

Definitionsmenge: Entwickle drei Aufgaben, bei denen Wurzel, Logarithmus oder Nenner die Definitionsmenge einer Verkettung einschränken, und löse sie vollständig.
GeoGebra-Projekt: Erstelle einen dynamischen Graphvergleich für $f \circ g$ und $g \circ f$ und dokumentiere mindestens zwei Beobachtungen algebraisch.
Kettenregel erklären: Produziere eine einminütige Bildschirmaufnahme oder Animation, in der Du den Weg von der Verkettung zur Ableitung schrittweise erklärst.
Modellkette: Finde einen realen Prozess mit mindestens zwei aufeinanderfolgenden Abhängigkeiten und formuliere ihn als Funktionsverkettung.

Schwer

Nichtkommutativität: Formuliere und beweise mit einem Gegenbeispiel, dass Funktionsverkettung im Allgemeinen nicht kommutativ ist, und finde zusätzlich ein Funktionspaar, das dennoch kommutiert.
Mehrfachverkettung: Untersuche $h (x) = e^{\sin (x^{2})}$ hinsichtlich Zerlegung, Ableitung, Symmetrie und ausgewählter Grapheneigenschaften.
Kettenregel begründen: Rekonstruiere die Kettenregel aus dem Differenzenquotienten und kennzeichne Voraussetzungen sowie die Stelle des Grenzübergangs.
Abitur-Modellierung: Entwickle eine mehrschrittige Modellierungsaufgabe mit Funktionskette, Parameter, Änderungsrate, Einheiteninterpretation und begründetem Plausibilitätscheck.

Lernkontrolle

Struktur begründen: Gegeben ist $h (x) = \sqrt{1 + e^{2 x}}$ . Zerlege $h$ in elementare Funktionen und begründe die Reihenfolge der Verkettung.
Definitionsbereich übertragen: Untersuche $p (x) = \ln (4 - g (x))$ allgemein. Formuliere eine Bedingung an $g (x)$ , damit $p$ definiert ist.
Gegenbeispiel entwickeln: Finde zwei einfache Funktionen, für die $f \circ g \neq g \circ f$ gilt, und erkläre den Unterschied zusätzlich am Graphen.
Modell bewerten: Ein Modell verwendet $A (t) = π (r (t))^{2}$ . Erkläre, welche Annahmen darin stecken und wie sich ein Fehler im Radius auf die Fläche auswirken kann.
Beweis prüfen: Eine Lösung behauptet aus drei passenden Graphpunkten, zwei Funktionen seien identisch. Erkläre, warum das kein Beweis ist, und nenne eine geeignete Alternative.
Verfahren wählen: Entscheide bei einer selbst gewählten zusammengesetzten Funktion, welche Ableitungsregeln in welcher Reihenfolge nötig sind, und begründe Deine Wahl.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

die Schreibweisen $f (g (x))$ und $f \circ g$ sicher deutest.
innere und äußere Funktion formal korrekt identifizierst.
die Definitionsmenge einer Verkettung begründest.
die Reihenfolge von Verkettungen algebraisch und grafisch vergleichst.
die Kettenregel aus der Verkettungsstruktur ableitest und korrekt anwendest.
mehrstufige Funktionen strukturiert zerlegst.
Funktionsketten in Modellierungssituationen aufstellst und Einheiten interpretierst.
digitale Ergebnisse kritisch prüfst und Begründungen von bloßen Beobachtungen unterscheidest.
mathematische Argumente nachvollziehbar dokumentierst.

OERs zum Thema

Weitere offene beziehungsweise frei zugängliche Lernressourcen:

Verknüpfte Lernbereiche

Funktionsverkettung

aiMOOC-Projekte

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