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M9 G - Möglichkeiten systematisch zählen

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M9 G - Möglichkeiten systematisch zählen

Mini-Beschreibung: Du bestimmst mögliche und günstige Ergebnisse durch systematisches Auflisten, Tabellen und einfache Baumdiagramme. Du lernst, Doppelzählungen zu vermeiden und Deine Zählwege nachvollziehbar zu begründen.

Zielgruppe: Klasse 9, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau. Der Kurs arbeitet kleinschrittig, anschaulich und mit Selbstkontrolle. Er unterstützt die Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss.

Einleitung

Wie viele Outfits kannst Du aus zwei Oberteilen und drei Hosen zusammenstellen? Wie viele Menüs entstehen aus zwei Hauptgerichten und zwei Getränken? Solche Fragen löst Du nicht durch Raten, sondern durch systematisches Zählen.

Ein vollständiger Zählweg soll zeigen:

Welche Entscheidungen gibt es?
Welche Möglichkeiten gehören zu jeder Entscheidung?
Wurde jede Möglichkeit genau einmal gezählt?

Für eine Ergebnismenge verwenden wir zum Beispiel: $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse nennen wir hier $m$ . Die Anzahl der für eine Fragestellung günstigen Ergebnisse nennen wir $g$ .

Bei einem fairen Würfel und gleich wahrscheinlichen Ergebnissen kann zusätzlich gelten: $P (A) = \frac{g}{m}$

Wichtig: Dieser Kurs behandelt vor allem das systematische Zählen. Wahrscheinlichkeiten werden nur dort ergänzt, wo sie direkt aus möglichen und günstigen Ergebnissen verständlich werden.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

Möglichkeiten vollständig und ohne Doppelzählung auflisten.
eine kleine Tabelle als Zählhilfe verwenden.
ein einfaches Baumdiagramm lesen und erstellen.
bei mehrstufigen Entscheidungen die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen.
mögliche und günstige Ergebnisse unterscheiden.
einen Zählweg mit Rechnung, Darstellung und kurzer Begründung erklären.
digitale Ergebnisse kontrollieren und Fehler in automatischen oder KI-erzeugten Listen erkennen.

Vorwissen-Check

Aufgabe A: Wie viele Zahlen stehen in ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ?

Lösung anzeigen: Es sind $6$ Zahlen.

Aufgabe B: Rechne $2 \cdot 3$ .

Lösung anzeigen: $2 \cdot 3 = 6$ .

Aufgabe C: Welche Liste ist vollständig, wenn Du eine Münze einmal wirfst: Kopf, Zahl oder Kopf, Kopf, Zahl?

Lösung anzeigen: Kopf, Zahl. Jedes mögliche Ergebnis steht genau einmal in der Liste.

Grundidee: vollständig und ohne Doppelzählung

Systematisch zählen bedeutet: Du verwendest eine Ordnung, mit der nichts fehlt und nichts doppelt vorkommt.

Ein guter Kontrollsatz lautet:

Jede Möglichkeit genau einmal.

Eine Zählhilfe kann eine geordnete Liste, eine Tabelle oder ein Baumdiagramm sein.

Beispiel 1: Würfel – mögliche und günstige Ergebnisse

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen.

$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

Damit gilt: $m = 6$

Gesucht ist das Ereignis: Augenzahl größer als 4.

Die günstigen Ergebnisse sind: $A = {5, 6}$

Damit gilt: $g = 2$

Bei einem fairen Würfel: $P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Prüfschritt	Ergebnis
Alle möglichen Ergebnisse	$1, 2, 3, 4, 5, 6$
Bedingung	größer als $4$
Günstige Ergebnisse	$5, 6$
Anzahl	$g = 2, m = 6$

Datei:Dice-rolling-slowmotion-2018-9.webm

Selbstkontrolle: Hast Du nur Ergebnisse ausgewählt, die wirklich zur Bedingung passen?

Beispiel 2: Kleidung – Tabelle statt Raten

Du hast zwei Oberteile: Rot und Blau. Dazu gibt es drei Hosen: Jeans, Schwarz und Grau.

Oberteil	Hose	Outfit
Rot	Jeans	Rot + Jeans
Rot	Schwarz	Rot + Schwarz
Rot	Grau	Rot + Grau
Blau	Jeans	Blau + Jeans
Blau	Schwarz	Blau + Schwarz
Blau	Grau	Blau + Grau

Die Tabelle enthält $6$ verschiedene Outfits.

Rechnung: $2 \cdot 3 = 6$

Begründung: Zu jedem der $2$ Oberteile passen $3$ Hosen.

Hilfestufe 1: Beginne mit einem Oberteil und kombiniere es mit allen Hosen.

Hilfestufe 2: Wiederhole das gleiche Vorgehen mit dem zweiten Oberteil.

Feedback: Wenn Du sechs verschiedene Zeilen hast und keine Zeile doppelt vorkommt, ist Deine Liste vollständig.

Beispiel 3: Menü – einfaches Baumdiagramm

Es gibt zwei Hauptgerichte: Pasta und Salat. Dazu gibt es zwei Getränke: Wasser und Saft.

Start
├─ Pasta
│  ├─ Wasser
│  └─ Saft
└─ Salat
   ├─ Wasser
   └─ Saft

Die Enden des Baums sind die vollständigen Menüs:

$2 \cdot 2 = 4$

Vier Möglichkeiten: Pasta + Wasser, Pasta + Saft, Salat + Wasser, Salat + Saft.

Hilfestufe: Zähle nur vollständige Wege vom Start bis zum Ende.

Feedback: Wenn Du einen halben Weg wie „Pasta“ schon als fertiges Menü zählst, ist die Zählung falsch.

Beispiel 4: Übungscode – Reihenfolge beachten

Ein Übungscode besteht aus einem Buchstaben aus ${A, B}$ und einer Ziffer aus ${1, 2, 3}$ .

Keine echten Passwörter, PINs oder personenbezogenen Daten verwenden.

Die Codes sind:

$A 1, A 2, A 3, B 1, B 2, B 3$

Also: $2 \cdot 3 = 6$

Kontrolle: $A 1$ und $1 A$ sind nicht dasselbe. Die vorgegebene Reihenfolge lautet hier: zuerst Buchstabe, dann Ziffer.

Merksatz: Produktregel in einfacher Form

Wenn eine Entscheidung $a$ Möglichkeiten hat und danach eine zweite Entscheidung jeweils $b$ Möglichkeiten hat, entstehen:

$a \cdot b$

Gesamtmöglichkeiten.

Beispiel: $3 \cdot 4 = 12$

MSA-Brücke, nur als Hinweis: Dieses Zählprinzip wird später auch bei umfangreicheren mehrstufigen Situationen genutzt. In diesem G-Kurs bleiben wir bei überschaubaren Beispielen.

Visueller Rechenweg

Schritt	Frage	Beispiel Kleidung
1	Erste Auswahl?	$2$ Oberteile
2	Zweite Auswahl?	$3$ Hosen
3	Jede erste Auswahl mit jeder zweiten?	Ja
4	Rechnen	$2 \cdot 3 = 6$
5	Prüfen	sechs verschiedene Outfits

Visuelle Selbstkontrolle: Die Rechnung und die Anzahl der Tabellenzeilen müssen übereinstimmen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Würfel

Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht sind gerade Zahlen.

Bestimme $m$ und $g$ .

Hilfestufe 1: Schreibe zuerst alle möglichen Ergebnisse auf.

Hilfestufe 2: Markiere daraus $2, 4, 6$ .

Feedback: $m = 6$ und $g = 3$ . Bei einem fairen Würfel gilt zusätzlich $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Übung 2: Kleidung

Drei T-Shirts werden mit zwei Hosen kombiniert. Wie viele Outfits sind möglich?

Hilfestufe 1: Zeichne drei Zeilen für die T-Shirts.

Hilfestufe 2: Zu jedem T-Shirt gibt es zwei Hosen.

Feedback: $3 \cdot 2 = 6$ .

Übung 3: Menü

Es gibt drei Hauptgerichte und zwei Getränke.

Hilfestufe 1: Zeichne für jedes Hauptgericht zwei Äste.

Hilfestufe 2: Zähle die vollständigen Pfade.

Feedback: $3 \cdot 2 = 6$ Menüs.

Übung 4: Code

Ein Übungscode besteht aus einem Symbol aus ${X, Y, Z}$ und einer Ziffer aus ${1, 2}$ .

Hilfestufe 1: Beginne mit $X$ und kombiniere es mit beiden Ziffern.

Hilfestufe 2: Wiederhole das mit $Y$ und $Z$ .

Feedback: $X 1, X 2, Y 1, Y 2, Z 1, Z 2$ . Das sind $6$ Codes.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Korrektur
Möglichkeit fehlt	Blau + Grau wurde vergessen	systematisch Zeile für Zeile prüfen
Doppelzählung	Rot + Jeans steht zweimal	jede Kombination nur einmal notieren
unvollständiger Pfad	nur „Pasta“ wird als Menü gezählt	bis zum Ende des Baums gehen
falsche Reihenfolge	Codepositionen werden vertauscht	Aufgabenregel zuerst lesen
unkritisches Digitalergebnis	Tool nennt sieben statt sechs Outfits	mit Tabelle oder Rechnung gegenprüfen

KI-Hinweis: Eine KI kann Listen erzeugen, aber auch Ergebnisse auslassen oder doppelt nennen. Prüfe eine KI-Ausgabe immer mit einer eigenen systematischen Darstellung. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung.

Selbstkontrolle

Markiere für Dich:

Ich kann eine Ergebnismenge vollständig aufschreiben.
Ich kann günstige Ergebnisse markieren.
Ich kann eine Tabelle zum Zählen verwenden.
Ich kann ein einfaches Baumdiagramm zeichnen.
Ich kann eine Rechnung wie $2 \cdot 3 = 6$ begründen.
Ich prüfe digitale Ergebnisse auf fehlende oder doppelte Einträge.

Wenn Du bei mindestens zwei Punkten unsicher bist, wiederhole zuerst die Beispiele zu Kleidung und Menü.

Transfer

Ein Fahrradshop bietet $3$ Rahmenfarben und $2$ Sattelfarben an.

Stelle alle Möglichkeiten in einer Tabelle dar.
Berechne die Gesamtzahl mit einer Multiplikation.
Erkläre, warum keine Möglichkeit doppelt gezählt wurde.
Prüfe, ob Deine Rechnung zur Tabelle passt.

Erwartete Gesamtzahl: $3 \cdot 2 = 6$

Kompetenzcheck

Du beherrschst das G-Niveau dieses Kurses, wenn Du eine neue Alltagssituation in drei Schritten bearbeiten kannst:

Darstellen: Liste, Tabelle oder einfaches Baumdiagramm erstellen.
Rechnen: passende Anzahl bestimmen.
Begründen: erklären, warum vollständig und ohne Doppelzählung gezählt wurde.

Kurztest: Zwei Brotsorten werden mit drei Belägen kombiniert. Erwartet werden $2 \cdot 3 = 6$ Kombinationen. Zeige mindestens eine passende Darstellung.

Reflexion

Beantworte kurz:

Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Liste, Tabelle oder Baumdiagramm?
Woran erkennst Du eine Doppelzählung?
Wann ist eine Multiplikation schneller als vollständiges Auflisten?
Wie kontrollierst Du ein Ergebnis aus einer App oder KI?

Folgekurs

Passender Folgekurs auf G-Niveau: Wahrscheinlichkeit mit günstigen und möglichen Ergebnissen.

Optional gekennzeichnete MSA-Brücke: zweistufige Baumdiagramme und Pfadregeln werden später vertieft. Sie sind nicht Bestandteil dieses G-Kurses.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was bedeutet systematisches Zählen? (Jede Möglichkeit wird genau einmal erfasst) (!Man zählt nur besonders auffällige Möglichkeiten) (!Man schätzt die Anzahl) (!Man zählt einige Ergebnisse doppelt)

Welche Ergebnismenge gehört zu einem normalen sechsseitigen Würfel? (1 bis 6) (!0 bis 5) (!1 bis 5) (!2 bis 7)

Welche Zahlen sind beim Würfeln günstig für das Ereignis größer als 4? (5 und 6) (!4 und 5) (!1 und 2) (!3 und 4)

Zwei Oberteile und drei Hosen ergeben wie viele Outfits? (6) (!5) (!8) (!9)

Welche Darstellung eignet sich gut für zwei aufeinanderfolgende Entscheidungen? (Baumdiagramm) (!Kreisumfang) (!Zahlengerade) (!Koordinatensystem)

Was zählt man am Ende eines einfachen Baumdiagramms? (Vollständige Pfade) (!Nur die erste Verzweigung) (!Nur die Überschrift) (!Nur doppelte Wege)

Drei Hauptgerichte und zwei Getränke ergeben wie viele Menüs? (6) (!3) (!5) (!8)

Was ist eine Doppelzählung? (Dieselbe Möglichkeit wird mehrfach gezählt) (!Eine Möglichkeit wird gar nicht gezählt) (!Zwei Zahlen werden addiert) (!Ein Ergebnis wird markiert)

Welche Rechnung passt zu drei Symbolen und zwei Ziffern? (3 mal 2) (!3 plus 2 plus 2) (!3 minus 2) (!3 geteilt durch 2)

Wie sollst Du ein von KI erzeugtes Zählergebnis behandeln? (Mit eigener Darstellung prüfen) (!Ohne Prüfung übernehmen) (!Nur die größte Zahl auswählen) (!Doppelte Einträge stehen lassen)

Memory

Ergebnisraum	alle möglichen Ergebnisse
günstiges Ergebnis	passt zur Bedingung
Tabelle	geordnete Zählhilfe
Baumdiagramm	verzweigte Übersicht
Doppelzählung	derselbe Fall mehrfach
Produktregel	Möglichkeiten multiplizieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ergebnisraum	Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse
günstiges Ergebnis	Ergebnis erfüllt die gesuchte Bedingung
Tabelle	systematische Darstellung in Zeilen und Spalten
Baumdiagramm	Darstellung aufeinanderfolgender Entscheidungen
Doppelzählung	dieselbe Möglichkeit wurde mehrfach erfasst

Kreuzworträtsel

Würfel	Welches Zufallsgerät hat meist sechs Seiten?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Kombinationen in Zeilen und Spalten?
Baumdiagramm	Welche verzweigte Darstellung zeigt mehrere Entscheidungen?
Ergebnisraum	Wie heißt die Menge aller möglichen Ergebnisse?
Doppelzählung	Wie heißt der Fehler, wenn derselbe Fall mehrfach erfasst wird?
Produktregel	Wie heißt die Regel, bei der Möglichkeiten aufeinanderfolgender Entscheidungen multipliziert werden?

LearningApps

Lückentext

Beim systematischen Zählen soll jede Möglichkeit genau

vorkommen.

Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt

.

Eine geordnete Darstellung in Zeilen und Spalten ist eine

.

Aufeinanderfolgende Entscheidungen lassen sich mit einem

darstellen.

Bei zwei Oberteilen und drei Hosen entstehen

Outfits.

Ein Ergebnis, das eine gesuchte Bedingung erfüllt, heißt

.

Wird derselbe Fall mehrfach erfasst, liegt eine

vor.

Digitale Ergebnisse sollen mit einer eigenen Darstellung

werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Würfel: Liste alle sechs möglichen Ergebnisse eines Würfelwurfs auf und markiere die geraden Zahlen.
Kleidung: Zeichne eine Tabelle für zwei Oberteile und zwei Hosen.
Menü: Erstelle ein Baumdiagramm für zwei Speisen und zwei Getränke.
Code: Erfinde mit zwei Buchstaben und zwei Ziffern ein ungefährliches Übungssystem und liste alle Kombinationen auf. Nutze keine echten Zugangsdaten.

Standard

Systematisches Zählen: Vergleiche Liste und Tabelle an demselben Beispiel und erkläre, welche Darstellung übersichtlicher ist.
Baumdiagramm: Zeichne ein Baumdiagramm für drei Hauptgerichte und zwei Getränke und kontrolliere mit einer Multiplikation.
Doppelzählung: Erstelle absichtlich eine fehlerhafte Liste mit einer Doppelzählung und verbessere sie anschließend.
Digitale Mathematik: Lass ein digitales Werkzeug eine kleine Kombinationsliste erzeugen und prüfe jeden Eintrag mit Deiner eigenen Tabelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

Transfer: Plane eine Kombination aus drei Fahrradfarben und drei Korbfarben. Stelle alle Möglichkeiten dar und begründe die Vollständigkeit.
Fehleranalyse: Eine Person behauptet, zwei Oberteile und drei Hosen ergäben fünf Outfits. Widerlege die Aussage mit zwei verschiedenen Darstellungen.
Modellieren: Finde eine Alltagssituation mit zwei aufeinanderfolgenden Entscheidungen und beschreibe sie mathematisch.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Video, in dem Du einen Zählweg mit Tabelle oder Baumdiagramm erklärst. Zeige keine persönlichen Daten und verwende nur eigenes oder frei lizenziertes Material.

Lernkontrolle

Darstellungswechsel: Stelle dieselbe Situation zuerst als Tabelle und danach als Baumdiagramm dar. Begründe, warum beide Darstellungen dieselbe Anzahl liefern.
Fehler finden: Untersuche eine Liste mit fehlenden und doppelten Kombinationen. Beschreibe eine Methode, mit der Du beide Fehlerarten sicher findest.
Transfer Kleidung Menü: Erkläre, warum die Rechnung $2 \cdot 3$ sowohl zu zwei Oberteilen mit drei Hosen als auch zu zwei Speisen mit drei Getränken passen kann.
Günstige Ergebnisse: Formuliere bei einem Würfel selbst ein Ereignis mit genau drei günstigen Ergebnissen und begründe Deine Auswahl.
Digitales Prüfen: Beurteile eine automatisch erzeugte Kombinationsliste. Zeige mit Rechnung und Darstellung, ob das Ergebnis stimmt.
Begründung: Erkläre in eigenen Worten, warum „jede Möglichkeit genau einmal“ die zentrale Kontrollidee beim systematischen Zählen ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig:

Du kannst mögliche und günstige Ergebnisse unterscheiden.
Du kannst kleine Ergebnismengen vollständig angeben.
Du kannst Listen, Tabellen und einfache Baumdiagramme sinnvoll einsetzen.
Du kannst eine Multiplikation wie $3 \cdot 2 = 6$ aus einer Situation heraus erklären.
Du vermeidest Doppelzählungen.
Du kannst Deinen Rechenweg und Deine Darstellung nachvollziehbar begründen.
Du kontrollierst digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse selbstständig.
Du verwendest bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten.

Medien zum Weiterlernen

Datei:Six-sided 3D dice.stl

Die 3D-Darstellung des Würfels kann gedreht werden, sofern Dein Gerät und die Wiki-Darstellung dies unterstützen. Nutze sie, um die sechs verschiedenen Würfelseiten als mögliche Ergebnisse zu erkennen.

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien wurden wegen ihrer freien Lizenz ausgewählt. Prüfe für Weiterverwendung jeweils die Lizenz- und Namensnennungsangaben auf der Dateiseite.

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