M10 E - Kegelprobleme mehrschrittig modellieren

M10 E - Kegelprobleme mehrschrittig modellieren

Mini-Beschreibung: Löse komplexere technische und geometrische Probleme mit Kegeln, bei denen mehrere Größen miteinander verknüpft werden. Du kombinierst Pythagoras, Kreisformeln, Trigonometrie und Körperformeln zu einem nachvollziehbaren Modell.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Einstieg

Ein Kegeldach soll geplant werden. Bekannt sind nur der Durchmesser der Grundfläche und der Neigungswinkel. Gesucht sind Höhe, Mantellinie, benötigte Materialfläche und das Volumen unter dem Dach.

Hier reicht keine einzelne Formel. Du musst Größen schrittweise miteinander verknüpfen.

$d\to r\to h\to s\to M\to V$

Leitfrage: Welche Größe kannst Du zuerst bestimmen – und welche Formeln werden danach möglich?

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Kegelgrößen aus Texten, Skizzen und technischen Angaben korrekt herauslesen.
2. mehrschrittige Modelle entwickeln und Abhängigkeiten zwischen Größen begründen.
3. Pythagoras, Trigonometrie, Kreis- und Körperformeln gemeinsam einsetzen.
4. Formeln nach unbekannten Größen umstellen und Herleitungen formal sicher darstellen.
5. Ergebnisse durch Einheiten, Überschläge, Gegenproben und digitale Werkzeuge kritisch prüfen.
6. allgemeine Beziehungen herleiten und unzulässige Daten durch Gegenbeispiele erkennen.

Vorwissen-Check

Berechne oder entscheide zunächst ohne Taschenrechner, soweit möglich.

1. Ein Kreis hat Durchmesser $d=10\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme $r$.
2. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt Katheten $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $8\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme die Hypotenuse.
3. Welche trigonometrische Funktion verbindet Gegenkathete und Ankathete?
4. Welche Einheit muss ein Volumen besitzen?
5. Ein Kegel hat $r=3$, $h=4$ und angeblich $s=6$. Prüfe die Daten.

Kurzfeedback: Wenn Du bei 1–4 unsicher bist, wiederhole Kreis, Satz des Pythagoras und Trigonometrie. Bei Aufgabe 5 gilt als Konsistenzbedingung $s^2=r^2+h^2$.

Werkzeugkasten

Für einen geraden Kreiskegel gelten:

$G=\pi r^2$

$U=2\pi r$

$s^2=r^2+h^2$

$M=\pi rs$

$O=G+M=\pi r^2+\pi rs$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Liegt der Winkel $\alpha$ zwischen Grundfläche und Mantellinie, dann gilt im Axialschnitt:

$\tan (\alpha )=\frac{h}{r}$

$\cos (\alpha )=\frac{r}{s}$

$\sin (\alpha )=\frac{h}{s}$

Liegt ein Winkel dagegen zwischen Achse und Mantellinie, ändern sich Gegen- und Ankathete. Deshalb gehört zu jeder Trigonometrie-Rechnung zuerst eine beschriftete Skizze.

Rotierbarer 3D-Kegel

Drehe den Körper, verändere Radius und Höhe und beobachte den Zusammenhang zwischen $r$, $h$ und $s$.

Denkfrage: Warum entsteht im Axialschnitt immer ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $r$, $h$ und $s$?

Vom Modell zur Rechnung

Ein sicherer Modellierungsweg besteht aus fünf Schritten:

1. Skizze: Trage gegebene und gesuchte Größen ein.
2. Teilproblem: Bestimme zuerst die Größe, die weitere Formeln öffnet.
3. Verknüpfung: Nutze Pythagoras oder Trigonometrie, danach Flächen- oder Volumenformeln.
4. Rechnung: Runde möglichst erst am Ende.
5. Prüfung: Kontrolliere Einheit, Größenordnung und geometrische Konsistenz.

= Interaktives Beispiel: Kegeldach

Ein kreisförmiges Silodach hat Durchmesser $d=8\mathrm{m}$. Die Mantellinie steigt gegenüber der waagerechten Grundfläche unter $\alpha =35^{\circ }$ an. Für Verschnitt werden $7\mathrm{\%}$ zusätzlich eingeplant. Eine Metallplatte deckt $\mathrm{1,5}{\mathrm{m}}^2$.

Gesucht: Höhe, Mantellinie, Mantelfläche, Materialbedarf, Plattenzahl und Volumen unter dem Dach.

Schritt 1 – Radius

$r=\frac{d}{2}=4\mathrm{m}$

Schritt 2 – Höhe mit Tangens

$\tan (35^{\circ })=\frac{h}{4}$

$h=4\tan (35^{\circ })\approx \mathrm{2,80}\mathrm{m}$

Schritt 3 – Mantellinie

$\cos (35^{\circ })=\frac{4}{s}$

$s=\frac{4}{\cos (35^{\circ })}\approx \mathrm{4,88}\mathrm{m}$

Kontrolle:

$s\approx \sqrt{4^2+\mathrm{2,8}{0}^2}\approx \mathrm{4,88}\mathrm{m}$

Schritt 4 – Mantelfläche

$M=\pi rs$

$M\approx \pi \cdot 4\cdot \mathrm{4,88}\approx \mathrm{61,3}{\mathrm{m}}^2$

Schritt 5 – Verschnitt

$A_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\mathrm{1,07}\cdot M\approx \mathrm{65,6}{\mathrm{m}}^2$

Schritt 6 – Plattenzahl

$n=\frac{\mathrm{65,6}}{\mathrm{1,5}}\approx \mathrm{43,7}$

Es müssen 44 ganze Platten eingeplant werden.

Schritt 7 – Volumen

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$V\approx \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot \mathrm{2,80}\approx \mathrm{46,9}{\mathrm{m}}^3$

Modellkritik: Die Rechnung setzt einen idealen geraden Kreiskegel voraus. Dachüberstände, Befestigungen, Materialstärke und reale Schnittverluste sind im mathematischen Modell nicht enthalten.

Visuelle Kontrolle des Kegelmantels

Beim Abwickeln wird die Mantelfläche zu einem Kreissektor mit Radius $s$. Seine Bogenlänge entspricht dem Umfang der Kegelgrundfläche:

$b=2\pi r$

E-Niveau: Formelketten herleiten

Gegeben seien Volumen $V$ und der Winkel $\beta$ zwischen Kegelachse und Mantellinie.

Dann gilt

$\tan (\beta )=\frac{r}{h}$

also

$r=h\tan (\beta )$.

Einsetzen in die Volumenformel:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$V=\frac{1}{3}\pi {(h\tan (\beta ))}^{2}h$

$V=\frac{1}{3}\pi h^3{\tan }^2(\beta )$

Damit folgt

$h^3=\frac{3V}{\pi {\tan }^2(\beta )}$

und schließlich

$h=\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi {\tan }^2(\beta )}}$.

Danach erhältst Du

$r=h\tan (\beta )$

und

$s=\sqrt{r^2+h^2}$.

E-Niveau-Frage: Begründe, warum diese Herleitung nur für einen geraden Kreiskegel mit passend definiertem Winkel gilt.

Gegenbeispiele und Konsistenz

Nicht jede Zahlenkombination beschreibt einen Kegel.

Für $r=3$, $h=4$ müsste gelten:

$s=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Die Angabe $s=6$ widerspricht daher dem Modell.

Ein digitales Werkzeug darf solche Daten darstellen oder weiterverarbeiten, aber die mathematische Konsistenz musst Du prüfen.

= Übung 1: Volumen gegeben

Ein Kegel hat $V=432\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ und $h=9\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme $r$, $s$ und $O$.

Hilfe 1:

$r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$

Hilfe 2: Berechne danach $s$ mit Pythagoras und erst dann $O$.

Feedback: Prüfe, ob für Deine Werte $s>r$ und $s>h$ gilt.

= Übung 2: Winkel gegeben

Ein Kegel besitzt $r=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Die Mantellinie bildet mit der Grundfläche einen Winkel von $52^{\circ }$. Bestimme $h$, $s$ und $V$.

Hilfe 1:

$\tan (52^{\circ })=\frac{h}{5}$

Hilfe 2: Für $s$ kannst Du Kosinus oder Pythagoras verwenden.

Feedback: Wenn Du den Winkel zur Achse statt zur Grundfläche benutzt hast, erhältst Du ein anderes Ergebnis. Markiere den Winkel in einer Skizze.

= Übung 3: Technischer Materialbedarf

Ein kegelförmiger Wetterschutz hat $r=\mathrm{1,8}\mathrm{m}$ und $h=\mathrm{2,4}\mathrm{m}$. Nur die Mantelfläche wird beschichtet. Die Beschichtung reicht für $4{\mathrm{m}}^2$ pro Dose. Plane $10\mathrm{\%}$ Reserve ein.

Hilfe 1: Bestimme zuerst $s$.

Hilfe 2: Berechne anschließend $M=\pi rs$ und multipliziere mit $\mathrm{1,10}$.

Feedback: Eine angebrochene zusätzliche Dose zählt bei der Bestellung als ganze Dose.

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= Übung 4: Modell entwickeln

Ein Unternehmen fordert einen geraden Kegel mit festem Volumen $V_0$. Der Radius wird verdoppelt.

1. Leite formal her, wie sich die Höhe ändern muss.
2. Untersuche, wie sich die Mantellinie verändert.
3. Entscheide, ob sich die Oberfläche ebenfalls mit einem festen Faktor ändert.
4. Begründe Deine Aussagen algebraisch und prüfe sie an einem Zahlenbeispiel.

Hilfe:

Aus

$V_0=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

und

$V_0=\frac{1}{3}\pi (2r{)}^2{h}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}$

kannst Du $h_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}$ bestimmen.

Dynamische Geometrie

Verändere Radius und Höhe und beobachte, welche Größen linear, quadratisch oder nichtlinear reagieren.

Forscherauftrag: Halte $h$ konstant und verdopple $r$. Prüfe die Veränderung von $G$, $M$ und $V$. Erkläre Unterschiede.

Typische Fehler

1. Durchmesser statt Radius: In $\pi r^2$ muss der Radius eingesetzt werden.
2. Mantel und Oberfläche verwechselt: $M=\pi rs$, aber $O=M+G$.
3. Falscher Winkel: Entscheide zuerst, welche Seite Gegenkathete und welche Ankathete ist.
4. Zu früh gerundet: Nutze möglichst ungerundete Zwischenwerte.
5. Einheiten verwechselt: Länge, Fläche und Volumen benötigen unterschiedliche Einheiten.
6. Modell nicht geprüft: Für einen geraden Kegel muss $s^2=r^2+h^2$ gelten.
7. Digitale Ausgabe ungeprüft übernommen: Taschenrechner, CAS, GeoGebra oder KI können Eingabe-, Modell- oder Interpretationsfehler nicht automatisch verhindern.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

GeoGebra, Tabellenkalkulation, CAS und KI können beim Variieren, Visualisieren und Gegenprüfen helfen.

Prüfregel: Eingabe → Modell → Rechnung → Plausibilität.

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis. Prüfe Formeln durch Herleitung, Einheiten und mindestens eine Gegenprobe. Gib in Lernwerkzeuge keine personenbezogenen Daten ein.

Selbstkontrolle

1. Kannst Du aus $V$ und $h$ den Radius herleiten?
2. Kannst Du entscheiden, wann Tangens günstiger ist als Pythagoras?
3. Kannst Du zwischen $M$ und $O$ unterscheiden?
4. Kannst Du einen Winkel im Axialschnitt korrekt zuordnen?
5. Kannst Du ein Ergebnis mit einer zweiten Methode überprüfen?
6. Kannst Du begründen, warum ein Datensatz geometrisch unmöglich ist?

Wenn Du mindestens fünf Fragen sicher mit Ja beantwortest und Deine Entscheidung begründen kannst, bist Du bereit für den Kompetenzcheck.

Transfer

Ein kegelförmiger Behälter wird so skaliert, dass alle Längen mit dem Faktor $k$ multipliziert werden.

Dann gilt:

$G_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{2}G$

$M_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{2}M$

$O_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{2}O$

$V_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^{3}V$

Begründe: Warum wachsen Flächen quadratisch, Volumina aber kubisch mit dem Skalierungsfaktor?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Beziehung gilt in jedem geraden Kreiskegel zwischen Radius, Höhe und Mantellinie? (s² = r² + h²) (!h² = r² + s²) (!r = h + s) (!s = r mal h)

Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kegels? (V = ein Drittel mal pi mal r² mal h) (!V = pi mal r² mal h) (!V = pi mal r mal s mal h) (!V = ein Halb mal pi mal r² mal h)

Welche Formel beschreibt die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels? (M = pi mal r mal s) (!M = pi mal r²) (!M = zwei mal pi mal r mal h) (!M = pi mal s²)

Der Winkel alpha liegt zwischen Grundfläche und Mantellinie. Welche Beziehung ist passend? (Tangens alpha = h durch r) (!Tangens alpha = r durch h) (!Tangens alpha = s durch r) (!Tangens alpha = s durch h)

Warum sollte in mehrschrittigen Rechnungen möglichst spät gerundet werden? (Um Rundungsfehler in Folgeschritten klein zu halten) (!Damit die Formeln kürzer werden) (!Damit keine Einheiten nötig sind) (!Damit Pythagoras ersetzt werden kann)

Welche Größe muss bei gegebenem Durchmesser zuerst bestimmt werden, wenn eine Formel den Radius benötigt? (Der Radius) (!Die Mantelfläche) (!Das Volumen) (!Der Neigungswinkel)

Welche Aussage zur Oberfläche eines Kegels ist richtig? (Sie ist die Summe aus Grundfläche und Mantelfläche) (!Sie ist nur die Mantelfläche) (!Sie ist das Dreifache der Grundfläche) (!Sie ist immer gleich dem Volumen)

Welche Prüfung erkennt einen widersprüchlichen Datensatz für Radius, Höhe und Mantellinie? (Prüfen ob das Quadrat der Mantellinie gleich der Summe der Quadrate von Radius und Höhe ist) (!Prüfen ob Radius plus Höhe gleich Mantellinie ist) (!Prüfen ob Radius Höhe und Mantellinie gleich sind) (!Prüfen ob Volumen und Mantelfläche gleich sind)

Was geschieht bei gleicher Höhe mit dem Kegelvolumen, wenn der Radius verdoppelt wird? (Es vervierfacht sich) (!Es verdoppelt sich) (!Es verdreifacht sich) (!Es bleibt gleich)

Welche Aussage zu KI- oder CAS-Ergebnissen ist mathematisch angemessen? (Sie müssen durch Modell Rechnung und Plausibilität geprüft werden) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie benötigen keine Einheitenkontrolle) (!Sie ersetzen eine mathematische Begründung)

Memory

Mantellinie	$s=\sqrt{r^2+h^2}$
Grundfläche	$G=\pi r^2$
Mantelfläche	$M=\pi rs$
Kegelvolumen	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Tangens	Gegenkathete durch Ankathete
Plausibilitätsprüfung	Größenordnung und Einheiten kontrollieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Radius bestimmen	Durchmesser halbieren
Höhe bestimmen	Trigonometrie im Axialschnitt
Mantellinie bestimmen	Pythagoras
Materialfläche bestimmen	Mantelfläche
Rauminhalt bestimmen	Volumenformel

Kreuzworträtsel

Mantellinie	Welche Strecke verbindet im Axialschnitt die Spitze mit dem Rand der Grundfläche?
Grundfläche	Wie heißt die kreisförmige Fläche unten am Kegel?
Pythagoras	Welcher Satz verbindet Radius, Höhe und Mantellinie?
Tangens	Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Ankathete?
Radius	Welche Kreisgröße ist halb so groß wie der Durchmesser?
Volumen	Welche Größe beschreibt den Rauminhalt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im Axialschnitt eines geraden Kegels bilden Radius und Höhe ein Dreieck. Die Mantellinie kann mit dem Satz des berechnet werden. Die Grundfläche besitzt den Flächeninhalt . Die Mantelfläche hängt von Radius und ab. Das Kegelvolumen ist ein des Volumens eines passenden Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Bei trigonometrischen Rechnungen muss zuerst die Lage des geklärt werden. In mehrschrittigen Rechnungen sollte möglichst erst am gerundet werden. Digitale Ergebnisse müssen zusätzlich auf Einheiten und geprüft werden.

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Musterlösung:

1. Ein gerader Kegel hat $s=13\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $r=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme $h$, $O$ und $V$.
2. Ein Kegel besitzt ein Volumen von $250\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ und Höhe $12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Leite $r$ formal her und bestimme anschließend $s$.
3. Ein technischer Kegel hat festen Radius. Zeige algebraisch, wie sich $V$ verändert, wenn $h$ mit dem Faktor $k$ skaliert wird.
4. Prüfe den Datensatz $r=7$, $h=24$, $s=25$ und vergleiche ihn mit $r=7$, $h=24$, $s=26$.
5. Entwickle selbst eine mehrschrittige Kegelaufgabe, in der mindestens drei der Werkzeuge Pythagoras, Trigonometrie, Kreisformel und Körperformel zwingend benötigt werden.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. An welcher Stelle einer Kegelaufgabe entscheidest Du über den Lösungsweg?
2. Welche Skizzeninformation verhindert bei Trigonometrie die meisten Fehler?
3. Welche Rechnung eignet sich als unabhängige Kontrolle?
4. Wann ist ein digital berechnetes Ergebnis trotz korrekter Eingabe mathematisch nicht überzeugend?
5. Welche allgemeine Formel oder Skalierungsregel kannst Du inzwischen selbst herleiten?

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kegelskizze: Zeichne einen geraden Kegel im Axialschnitt und markiere $r$, $h$, $s$ und einen geeigneten Winkel.
2. Formelkette: Erstelle ein Flussdiagramm, das von gegebenem Durchmesser und Höhe bis zu Oberfläche und Volumen führt.
3. Fehlersuche: Erfinde drei typische falsche Kegelrechnungen und korrigiere sie mit Begründung.
4. GeoGebra: Variiere in einem 3D-Modell Radius und Höhe und notiere drei beobachtete Zusammenhänge.

Standard

1. Kegeldach: Vermesse ein kegelförmiges Alltagsobjekt oder nutze selbst gewählte fiktive Maße und entwickle eine Materialbedarfsrechnung.
2. Vergleichsrechnung: Löse dieselbe Mantellinienaufgabe einmal mit Pythagoras und einmal mit Trigonometrie.
3. Skalierung: Untersuche rechnerisch, was bei Verdopplung aller Längen mit Oberfläche und Volumen geschieht.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einer mehrschrittigen Kegelaufgabe, ohne personenbezogene Daten zu zeigen.

Schwer

1. Formelherleitung: Leite $h=\sqrt[3]{\frac{3V}{\pi {\tan }^2(\beta )}}$ vollständig her und erkläre jede Umformung.
2. Gegenbeispiel: Entwickle zwei Datensätze, von denen nur einer einen geraden Kegel beschreibt, und beweise Deine Entscheidung.
3. Optimierungsfrage: Vergleiche mehrere Kegel mit gleichem Volumen, aber unterschiedlichen Radien und untersuche die Oberfläche rechnerisch.
4. Modellkritik: Entwickle ein technisches Kegelmodell mit Sicherheitszuschlag, Rundungsregel und mindestens einer realistischen Modellgrenze.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Zu einer technischen Beschreibung eines Kegels liegen Durchmesser, Winkel und Materialpreis vor. Entwickle einen vollständigen Rechenplan, ohne sofort Zahlen einzusetzen.
2. Begründung: Erkläre, warum aus $V$ und $h$ der Radius eindeutig bestimmt werden kann, und leite die Formel her.
3. Transfer: Ein Kegel und ein Zylinder besitzen gleichen Radius und gleiche Höhe. Begründe das Verhältnis ihrer Volumina und übertrage es auf eine Skalierung mit Faktor $k$.
4. Fehleranalyse: Eine Rechnung benutzt $\tan (\alpha )=\frac{r}{h}$, obwohl $\alpha$ zwischen Grundfläche und Mantellinie liegt. Analysiere den Fehler und korrigiere den Ansatz.
5. Plausibilität: Ein digitales Werkzeug liefert für $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ die Mantellinie $s=4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Widerlege das Ergebnis.
6. Verallgemeinerung: Zeige, wie sich die Höhe bei konstantem Volumen ändern muss, wenn der Radius mit Faktor $k$ multipliziert wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du

1. eine technische oder geometrische Situation in einen beschrifteten Axialschnitt überträgst,
2. gegebene und gesuchte Größen eindeutig benennst,
3. mehrere Formeln in sinnvoller Reihenfolge verknüpfst,
4. Umformungen nachvollziehbar notierst,
5. Einheiten korrekt führst,
6. Rundungen begründest,
7. mindestens eine unabhängige Kontrolle durchführst,
8. Annahmen und Grenzen des Modells nennst,
9. digitale Ergebnisse kritisch prüfst,
10. bei anspruchsvollen Aufgaben eine allgemeine Beziehung herleitest oder durch ein Gegenbeispiel widerlegst.

Medien und OER

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien werden über ihre Dateibeschreibungsseiten mit Urheber- und Lizenzangaben nachgewiesen. Verwende freie Medien nicht nur dekorativ, sondern als Teil Deiner mathematischen Argumentation.

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Folgekurs

Als nächstes bietet sich ein Kurs zu Kegelstümpfen, zusammengesetzten Körpern, Ähnlichkeit im Raum oder zu weiterführenden Modellierungsproblemen an.

Für den Übergang in weiterführende Bildungsgänge ist besonders wichtig, Formeln nicht nur einzusetzen, sondern aus geometrischen Beziehungen herzuleiten, Parameter systematisch zu variieren und Behauptungen durch Beweise oder Gegenbeispiele zu prüfen.

Verknüpfte Lernbereiche

M10 E - Kegelprobleme mehrschrittig modellieren Kegel Satz des Pythagoras Trigonometrie Kreis Körperberechnung Modellieren Skalierung GeoGebra