M10 M - Trigonometrie in Vielecken anwenden

M10 M - Trigonometrie in Vielecken anwenden

Mini-Beschreibung: Zerlege Vielecke sinnvoll in Dreiecke und berechne unbekannte Seiten, Winkel oder Flächen mithilfe trigonometrischer Beziehungen.

Ausrichtung: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, M-Niveau. Du rechnest selbstständig, verknüpfst Darstellungen, modellierst Sachsituationen und begründest die Wahl eines passenden Verfahrens.

Einleitung

Viele reale Flächen sind keine einfachen Dreiecke: Grundstücke, Dachflächen, Wege, Fassaden oder Grundrisse können als Vielecke modelliert werden. Der zentrale Trick lautet:

Vieleck → geeignete Diagonalen → Dreiecke → Trigonometrie → Ergebnisse wieder zusammensetzen.

Eine Zerlegung eines Vielecks in Dreiecke heißt Triangulierung. Für die Berechnung nutzt Du je nach Datenlage Pythagoras, Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz, Kosinussatz oder die trigonometrische Flächenformel.

Lernziele

1. Du zerlegst konvexe und einfache konkave Vielecke in geeignete Dreiecke.
2. Du erkennst, welche Größen in den Teildreiecken gegeben und gesucht sind.
3. Du wählst begründet zwischen Pythagoras, Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz und Kosinussatz.
4. Du berechnest Seiten, Winkel und Flächen und setzt Teilergebnisse korrekt zusammen.
5. Du prüfst Ergebnisse durch Skizze, Größenordnung, Einheit und digitale Gegenrechnung.
6. Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung so, dass andere ihn nachvollziehen können.

Vorwissen-Check

Check 1: Rechtwinkliges Dreieck

Gegeben sind Katheten mit $a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=8\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$

Check 2: Trigonometrisches Verhältnis

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen Winkel $\alpha$:

$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Check 3: Winkelsumme

Im Dreieck gilt:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Wenn Du diese drei Grundlagen sicher anwenden kannst, bist Du bereit für die Triangulierung.

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Vielecke sinnvoll triangulieren

Grundidee

Ein Vieleck wird durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt. Bei einem konvexen Vieleck kannst Du häufig von einer Ecke Diagonalen zu nicht benachbarten Ecken ziehen.

Für ein konvexes $n$-Eck entstehen dabei:

$n-2$ Dreiecke.

Beispiel:

$5-2=3$

Ein Fünfeck lässt sich also in drei Dreiecke zerlegen.

Wichtig: Es gibt oft mehrere mögliche Triangulierungen. Für Rechnungen ist diejenige günstig, bei der möglichst viele bekannte Seiten und Winkel direkt nutzbar sind.

Triangulierungsanimation

Beobachte in der Animation, wie sich durch die Wahl einer anderen Diagonale eine andere Dreieckszerlegung ergibt.

Für Klasse 10 ist nicht der dargestellte Algorithmus entscheidend, sondern die Idee: Eine andere Diagonale verändert die Teildreiecke und damit den Rechenweg.

Dynamische Geometrie

Nutze GeoGebra und konstruiere selbst ein Fünfeck. Ziehe verschiedene Diagonalen ein und vergleiche die entstehenden Dreiecke.

Arbeitsauftrag: Verändere einen Eckpunkt. Prüfe, welche Triangulierung für eine Flächenberechnung günstig bleibt und welche ungünstig wird.

Werkzeugkasten der Trigonometrie

Rechtwinklige Teildreiecke

Wenn ein Teildreieck rechtwinklig ist, reichen oft Pythagoras und die drei Grundverhältnisse:

$a^2+b^2=c^2$

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

$\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$

Sinussatz

Im allgemeinen Dreieck gilt:

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$

Der Sinussatz ist besonders günstig, wenn Du ein Gegenüber-Paar aus Seite und Winkel kennst.

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Kosinussatz

Für die Seite $c$ gilt:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )$

Für den Winkel $\gamma$ kannst Du umstellen:

$\cos (\gamma )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt:

$A=\frac{1}{2}ab\sin (\gamma )$

Entsprechend gelten auch:

$A=\frac{1}{2}bc\sin (\alpha )$

$A=\frac{1}{2}ca\sin (\beta )$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Strategie

Schritt 1: Skizze

Zeichne das Vieleck und beschrifte bekannte Größen.

Schritt 2: Triangulieren

Ziehe eine oder mehrere Diagonalen so, dass gut berechenbare Dreiecke entstehen.

Schritt 3: Daten markieren

Markiere in jedem Teildreieck bekannte Seiten und Winkel.

Schritt 4: Verfahren wählen

Prüfe zuerst: rechtwinklig? Dann Pythagoras oder Sinus/Kosinus/Tangens.

Falls nicht rechtwinklig:

Bekanntes Seite-Winkel-Gegenüber-Paar → Sinussatz

Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel → Kosinussatz

Drei Seiten → Kosinussatz für einen Winkel

Schritt 5: Rechnen

Rechne in Gradmaß und runde erst am Ende sinnvoll.

Schritt 6: Zusammensetzen

Flächen addieren oder bei Aussparungen subtrahieren.

Schritt 7: Prüfen

Passt das Ergebnis zur Zeichnung, zur Einheit und zur Größenordnung?

Interaktives Beispiel 1: Viereck als Planungsfläche

Ein Viereck $ABCD$ wird entlang der Diagonale $AC$ geteilt.

Im Dreieck $ABC$ gilt:

$AB=6\mathrm{m}$

$BC=8\mathrm{m}$

$AC=10\mathrm{m}$

Damit ist $ABC$ rechtwinklig.

Im Dreieck $ACD$ gilt:

$AC=10\mathrm{m}$

$AD=7\mathrm{m}$

$\mathrm{\angle }CAD=40^{\circ }$

Gesucht: $CD$ und die Gesamtfläche.

Schritt 1: Unbekannte Seite

Mit dem Kosinussatz:

$C{D}^2=10^2+7^2-2\cdot 10\cdot 7\cos (40^{\circ })$

$CD\approx \mathrm{6,46}\mathrm{m}$

Schritt 2: Fläche des ersten Dreiecks

$A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24{\mathrm{m}}^2$

Schritt 3: Fläche des zweiten Dreiecks

$A_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 7\sin (40^{\circ })$

$A_{ACD}\approx \mathrm{22,50}{\mathrm{m}}^2$

Schritt 4: Gesamtfläche

$A_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=24+\mathrm{22,50}\approx \mathrm{46,50}{\mathrm{m}}^2$

Rückmeldung: Die Diagonale $AC$ ist hier günstig, weil sie ein rechtwinkliges und ein direkt mit dem Kosinussatz bearbeitbares Dreieck erzeugt.

Interaktives Beispiel 2: Winkel bestimmen

In einem Teildreieck eines Geländemodells gelten:

$a=7\mathrm{m}$

$b=9\mathrm{m}$

$c=11\mathrm{m}$

Gesucht ist der Winkel $\gamma$ gegenüber von $c$.

$\cos (\gamma )=\frac{7^2+9^2-11^2}{2\cdot 7\cdot 9}$

$\cos (\gamma )=\frac{9}{126}=\frac{1}{14}$

$\gamma =\arccos \left(\frac{1}{14}\right)\approx \mathrm{85,}{9}^{\circ }$

Plausibilitätscheck: Die längste Seite ist $c=11\mathrm{m}$. Deshalb muss $\gamma$ der größte Winkel sein.

Interaktives Beispiel 3: Sinussatz

In einem Teildreieck sind bekannt:

$a=8\mathrm{m}$

$\alpha =35^{\circ }$

$\beta =70^{\circ }$

Gesucht ist $b$.

$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}$

$b=\frac{8\sin (70^{\circ })}{\sin (35^{\circ })}$

$b\approx \mathrm{13,11}\mathrm{m}$

Kontrolle: Da $\beta >\alpha$, muss auch $b>a$ gelten. Das Ergebnis passt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Diagonale berechnen

Ein Viereck wird durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. In einem Teildreieck sind zwei Seiten $9\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $12\mathrm{c}\mathrm{m}$ sowie der eingeschlossene Winkel $60^{\circ }$ bekannt. Berechne die gegenüberliegende Seite $d$.

Hilfe 1: Gesucht ist eine Seite, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt.

Hilfe 2: Nutze

$d^2=9^2+12^2-2\cdot 9\cdot 12\cos (60^{\circ })$

Feedback:

$d^2=117$

$d=\sqrt{117}\approx \mathrm{10,82}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Übung 2: Teilfläche berechnen

Zwei Seiten eines Teildreiecks sind $14\mathrm{m}$ und $9\mathrm{m}$ lang. Der eingeschlossene Winkel beträgt $38^{\circ }$. Berechne den Flächeninhalt.

Hilfe 1: Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel sind bekannt.

Hilfe 2:

$A=\frac{1}{2}ab\sin (\gamma )$

Feedback:

$A=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 9\sin (38^{\circ })\approx \mathrm{38,79}{\mathrm{m}}^2$

Übung 3: Geeignete Triangulierung begründen

Ein Fünfeck kann mit zwei verschiedenen Diagonalensystemen zerlegt werden. Variante A erzeugt drei Dreiecke, in denen jeweils zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Variante B erzeugt zunächst ein Dreieck mit nur einer bekannten Seite.

Auftrag: Begründe, welche Variante für eine direkte Berechnung günstiger ist.

Hilfe: Prüfe nicht die Form der Zeichnung, sondern die verfügbaren Daten.

Feedback: Variante A ist rechnerisch günstiger, weil in jedem Dreieck sofort der Kosinussatz oder die Flächenformel eingesetzt werden kann.

Typische Fehler

1. Falsche Zuordnung von Seite und Winkel: Im Sinussatz müssen jeweils gegenüberliegende Seite und Winkel zusammengehören.
2. Falscher Kosinussatz: Der Winkel im Term $-2ab\cos (\gamma )$ liegt zwischen $a$ und $b$.
3. Gradmaß: Der Taschenrechner muss bei Schulaufgaben mit Gradangaben im DEG-Modus stehen.
4. Zu frühes Runden: Zwischenergebnisse möglichst ungerundet weiterverwenden.
5. Flächen verwechseln: Teilflächen bei einer Zerlegung addieren, Aussparungen dagegen subtrahieren.
6. Unplausibles Ergebnis: Eine berechnete Länge darf nicht negativ sein; Winkel im Dreieck müssen zusammen $180^{\circ }$ ergeben.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

GeoGebra, Taschenrechner und KI können beim Prüfen helfen. Sie ersetzen aber keine nachvollziehbare mathematische Begründung.

1. Gib nur notwendige mathematische Daten ein und keine personenbezogenen Daten.
2. Prüfe, ob das digitale Werkzeug Gradmaß oder Bogenmaß verwendet.
3. Vergleiche digitale Ergebnisse mit Skizze und Größenordnung.
4. Übernimm keine KI-Ausgabe ungeprüft.
5. Ein KI-Ergebnis ist kein mathematischer Beweis. Entscheidend sind Rechenweg, Darstellung und Begründung.

Selbstkontrolle

Prüfe vor dem Abgeben:

1. Habe ich eine beschriftete Skizze?
2. Ist meine Triangulierung nachvollziehbar?
3. Habe ich das gewählte Verfahren begründet?
4. Stimmen gegenüberliegende Seiten und Winkel?
5. Habe ich Einheiten angegeben?
6. Habe ich erst am Ende sinnvoll gerundet?
7. Habe ich das Ergebnis auf Plausibilität geprüft?

Transfer: Planungsaufgabe

Ein unregelmäßiger Schulhof soll neu gepflastert werden. Du erhältst einen maßstäblichen Plan mit Seitenlängen, einzelnen Winkeln und möglichen Diagonalen.

Dein Auftrag:

1. Wähle eine günstige Triangulierung.
2. Berechne fehlende Seiten oder Winkel.
3. Bestimme die Gesamtfläche.
4. Begründe, warum Deine Zerlegung rechnerisch sinnvoll ist.
5. Prüfe das Ergebnis mit einem digitalen Geometriewerkzeug.

Zusatz: Bei Pflastersteinen muss in einer realen Planung zusätzlich mit Verschnitt gerechnet werden. Trenne deshalb mathematisch berechnete Fläche und praktische Materialplanung klar voneinander.

Kompetenzcheck

Sicher: Du kannst ein Vieleck selbstständig triangulieren, Verfahren begründet auswählen und Ergebnisse prüfen.

Fast sicher: Du kannst rechnen, brauchst aber gelegentlich Hilfe bei der Wahl des Verfahrens.

Noch üben: Du erkennst noch nicht zuverlässig, welche Daten zu welchem trigonometrischen Verfahren passen.

Ziel auf M-Niveau: Du sollst nicht nur Formeln einsetzen, sondern Darstellungen verknüpfen, Sachsituationen modellieren und Deine Wahl des Rechenwegs begründen.

Reflexion

1. Welche Triangulierung fandest Du am übersichtlichsten und warum?
2. Bei welchem Datentyp erkennst Du den Sinussatz besonders schnell?
3. Wann ist der Kosinussatz günstiger?
4. Welche Kontrolle hat Dir am häufigsten geholfen, einen Fehler zu entdecken?
5. Welche Information müsste ein Plan mindestens enthalten, damit Du seine Fläche bestimmen kannst?

Folgekurs

Vertiefe anschließend Trigonometrie, Sinussatz, Kosinussatz, Vermessung und die Anwendung in räumlichen Situationen, zum Beispiel in M10 M - Trigonometrie in Körpern anwenden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der erste sinnvolle Schritt bei einem komplizierten Vieleck? (Das Vieleck in geeignete Dreiecke zerlegen) (!Alle Seiten addieren) (!Alle Winkel halbieren) (!Sofort den Sinussatz einsetzen)

Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Fächertriangulierung eines konvexen Sechsecks? (4) (!3) (!5) (!6)

Welches Verfahren passt bei zwei bekannten Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines allgemeinen Dreiecks? (Kosinussatz) (!Sinussatz ohne weitere Daten) (!Strahlensatz) (!Mitternachtsformel)

Welches Verfahren ist besonders passend, wenn ein bekanntes Seite-Winkel-Gegenüber-Paar vorliegt? (Sinussatz) (!Binomische Formel) (!Satz des Thales) (!Prozentrechnung)

Welche Formel berechnet die Fläche eines Dreiecks aus zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel? (A gleich ein halb mal a mal b mal Sinus gamma) (!A gleich a plus b plus gamma) (!A gleich a mal b mal gamma) (!A gleich a Quadrat plus b Quadrat)

Was muss bei Winkelangaben in Grad am Taschenrechner eingestellt sein? (DEG Modus) (!RAD Modus) (!STAT Modus) (!HEX Modus)

Warum sollte man erst am Ende runden? (Damit Rundungsfehler klein bleiben) (!Damit die Skizze größer wird) (!Damit Winkel immer ganzzahlig sind) (!Damit Einheiten entfallen)

Welche Aussage ist beim Sinussatz richtig? (Gegenüberliegende Seite und Winkel gehören zusammen) (!Benachbarte Seiten müssen gleich lang sein) (!Alle Dreiecke müssen rechtwinklig sein) (!Der größte Winkel liegt immer bei der kürzesten Seite)

Was geschieht mit den Flächen der Teildreiecke bei einer Zerlegung ohne Überlappung? (Sie werden zur Gesamtfläche addiert) (!Sie werden immer multipliziert) (!Sie werden immer halbiert) (!Sie werden ignoriert)

Wie sollte ein digital berechnetes Ergebnis behandelt werden? (Durch Skizze Größenordnung und Rechenweg prüfen) (!Ungeprüft übernehmen) (!Nur auf viele Dezimalstellen achten) (!Ohne Einheit notieren)

Memory

Triangulierung	Zerlegung eines Vielecks in Dreiecke
Sinussatz	Gegenüberliegende Seite-Winkel-Paare
Kosinussatz	Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
Flächenformel	Ein halb mal zwei Seiten mal Sinus des eingeschlossenen Winkels
Plausibilitätsprüfung	Kontrolle von Skizze Größenordnung und Einheit
Diagonale	Verbindung zweier nicht benachbarter Eckpunkte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Pythagoras	Rechtwinkliges Dreieck mit zwei bekannten Seiten
Sinussatz	Bekanntes Gegenüber-Paar aus Seite und Winkel
Kosinussatz	Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
Trigonometrische Flächenformel	Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel für die Fläche
Triangulierung	Zerlegung eines Vielecks in berechenbare Dreiecke

Kreuzworträtsel

Diagonale	Wie heißt die Verbindung zweier nicht benachbarter Ecken eines Vielecks?
Sinussatz	Welcher Satz nutzt gegenüberliegende Seite-Winkel-Paare?
Kosinussatz	Welcher Satz verknüpft drei Seiten mit einem Winkel?
Dreieck	In welche Grundform zerlegst Du das Vieleck?
Flaeche	Welche Größe entsteht durch Addition der Teilflächen?
Gradmass	Welche Winkeleinstellung wird bei Winkelangaben in Grad benötigt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Vieleck wird für trigonometrische Berechnungen häufig durch in Dreiecke zerlegt. Diese Zerlegung nennt man . In einem rechtwinkligen Dreieck kann der Satz des verwendet werden. Liegt ein bekanntes Gegenüber-Paar aus Seite und Winkel vor, ist häufig der geeignet. Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, kann der genutzt werden. Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks kann mit zwei Seiten und dem des eingeschlossenen Winkels berechnet werden. Teilflächen einer lückenlosen Zerlegung werden zur addiert. Der Taschenrechner muss bei Gradangaben im Modus stehen. Gerundet wird möglichst erst am . Digitale Ergebnisse müssen durch Rechenweg und geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Triangulierungs-Skizze: Zeichne drei verschiedene Fünfecke und trianguliere jedes auf mindestens zwei Arten.
2. Formelkarte Trigonometrie: Gestalte eine kompakte Lernkarte mit Pythagoras, Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz, Kosinussatz und Flächenformel.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen typischen Fehler beim Sinussatz und erkläre, wie man ihn erkennt.
4. GeoGebra-Vieleck: Konstruiere ein Fünfeck, ziehe Diagonalen ein und dokumentiere mit zwei Screenshots eine günstige und eine ungünstige Zerlegung.

Standard

1. Schulhof-Modell: Entwirf einen unregelmäßigen Schulhofplan mit realistischen Maßen, trianguliere ihn und berechne seine Fläche.
2. Zwei Rechenwege: Löse eine Vieleckaufgabe mit zwei unterschiedlichen Triangulierungen und vergleiche Aufwand und Übersichtlichkeit.
3. Erklärvideo Triangulierung: Produziere ein kurzes Video, in dem Du einen vollständigen Rechenweg erklärst. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Messprojekt: Vermesse eine geeignete Fläche auf dem Schulgelände mit sicheren, zulässigen Methoden und erstelle ein mathematisches Modell.

Schwer

1. Planungsauftrag Pflasterung: Berechne für eine unregelmäßige Fläche den mathematischen Flächenbedarf und ergänze getrennt eine begründete Materialreserve.
2. Optimale Diagonale: Untersuche bei einem Fünfeck mehrere Triangulierungen und begründe, welche bei den gegebenen Daten am effizientesten ist.
3. Digitale Gegenprüfung: Löse eine komplexere Aufgabe von Hand, kontrolliere sie mit GeoGebra und analysiere mögliche Abweichungen.
4. KI-Prüfauftrag Mathematik: Lass eine KI einen Rechenweg zu einer selbst erstellten Vieleckaufgabe vorschlagen und prüfe jeden mathematischen Schritt unabhängig. Dokumentiere Fehler oder unbegründete Aussagen.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl begründen: Du erhältst drei unterschiedlich beschriftete Teildreiecke. Entscheide jeweils, welches Verfahren geeignet ist, und begründe Deine Wahl ohne zu rechnen.
2. Triangulierung vergleichen: Vergleiche zwei Zerlegungen desselben Fünfecks und erkläre, welche Daten in den entstehenden Dreiecken direkt nutzbar sind.
3. Fehleranalyse: Analysiere einen Rechenweg, in dem beim Sinussatz eine Seite dem falschen Winkel zugeordnet wurde. Korrigiere und begründe.
4. Modellierung Schulhof: Übertrage einen beschriebenen Grundriss in eine beschriftete Skizze, ergänze sinnvolle Diagonalen und formuliere einen vollständigen Lösungsplan.
5. Plausibilität: Ein digitales Werkzeug liefert für eine Grundstücksfläche $8400{\mathrm{m}}^2$, obwohl die längsten Seiten nur etwa $20\mathrm{m}$ messen. Erkläre, warum das Ergebnis kritisch geprüft werden muss und nenne mögliche Fehlerquellen.
6. Transfer: Entwickle eine Sachsituation, in der eine andere Triangulierung denselben Flächeninhalt liefern muss, aber einen deutlich anderen Rechenweg erzeugt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Eine saubere, beschriftete Skizze des Vielecks.
2. Eine nachvollziehbare Triangulierung.
3. Die korrekte Zuordnung von Seiten und Winkeln.
4. Eine begründete Wahl trigonometrischer Verfahren.
5. Vollständige Rechenwege mit sinnvoller Rundung und Einheiten.
6. Das korrekte Zusammensetzen von Teilflächen.
7. Eine Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses.
8. Eine kurze Reflexion darüber, warum die gewählte Zerlegung zweckmäßig ist.

Medien und weiterführende Visualisierung

Die Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateibeschreibungsseiten mit Urheber- und Lizenzangaben verknüpft. Die YouTube-Inhalte werden eingebettet und nicht neu hochgeladen.

Verknüpfte Lernbereiche

Trigonometrie Vieleck Dreieck Polygon-Triangulierung Sinus Kosinus Tangens Sinussatz Kosinussatz Flächeninhalt Modellieren