M10 M - Funktionsmodelle im Sachkontext beurteilen

M10 M - Funktionsmodelle im Sachkontext beurteilen

Mini-Beschreibung: Interpretiere Parameter und Werte bekannter Funktionsmodelle und prüfe, in welchem Bereich das Modell sinnvoll ist. Du arbeitest auf M-Niveau Klasse 10 in Baden-Württemberg und bereitest dabei zentrale Modellierungs- und Begründungskompetenzen für den mittleren Abschluss vor.

Datei:Datenpunkte mit Regressionsfunktion.png

Einleitung

Ein Funktionsmodell übersetzt einen Sachverhalt in Mathematik. Entscheidend ist nicht nur, ob Du richtig rechnest, sondern ob Du erklären kannst, was die Zahlen bedeuten und wo das Modell noch sinnvoll ist.

$x⟶f(x)⟶\text{Deutung im Sachkontext}$

Im Kurs verwendest Du vor allem lineare, quadratische und exponentielle Modelle. Die Daten sind didaktisch vereinfacht und teilweise fiktiv. Digitale Werkzeuge helfen beim Rechnen und Zeichnen, ersetzen aber weder die Prüfung des Sachkontexts noch eine mathematische Begründung.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Parameter: Parameter in linearen, quadratischen und exponentiellen Modellen im Sachkontext deuten.
2. Funktionswert: Werte mit Einheit berechnen und sachgerecht interpretieren.
3. Definitionsbereich: Einen sinnvollen Bereich für ein Modell angeben und begründen.
4. Modellkritik: Interpolation und Extrapolation unterscheiden und unplausible Aussagen erkennen.
5. Darstellungswechsel: Tabelle, Term, Graph und Text miteinander verknüpfen.
6. Digitale Mathematikwerkzeuge: Ergebnisse digitaler Werkzeuge prüfen und begründet verwenden.

Vorwissen-Check

1. Linear: Gegeben ist $f(x)=3x+2$. Berechne $f(4)$.

Kontrolle: $f(4)=3\cdot 4+2=14$.

2. Prozentfaktor: Eine Größe wächst pro Schritt um $8\mathrm{\%}$. Welcher Faktor gehört dazu?

Kontrolle: $q=1+\mathrm{0,08}=\mathrm{1,08}$.

3. Parabel: Gegeben ist $g(x)=-2(x-3{)}^2+5$. Lies den Scheitelpunkt ab.

Kontrolle: $S(3\mid 5)$.

4. Bedeutung: Ein Graph passt rechnerisch gut zu Daten. Ist damit bewiesen, dass er auch außerhalb des Messbereichs richtig bleibt?

Kontrolle: Nein. Außerhalb des Datenbereichs entsteht eine Extrapolation, die sachlich geprüft werden muss.

Funktionsmodelle im Überblick

Modell	Grundform	Kennzeichen
Linear	$f(x)=mx+b$	konstante absolute Änderung
Quadratisch	$f(x)=a(x-d{)}^2+e$	Parabel mit Maximum oder Minimum
Exponentiell	$f(x)=a\cdot q^x$	konstanter Faktor pro Schritt

Linear: $m$ beschreibt die Änderung pro Einheit von $x$. $b=f(0)$ ist der Anfangswert bei $x=0$.

Quadratisch: In der Scheitelpunktform zeigt $S(d\mid e)$ direkt ein Maximum oder Minimum. Das Vorzeichen von $a$ bestimmt die Öffnungsrichtung.

Exponentiell: $a=f(0)$ ist der Anfangswert. Bei einem Faktor größer als 1 liegt Wachstum vor, bei einem Faktor zwischen 0 und 1 Abnahme.

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Modellieren als Prüfkette

Schritt	Leitfrage
Situation	Welche Größen werden beschrieben?
Variablen	Was bedeuten $x$ und $f(x)$, mit welcher Einheit?
Parameter	Welche reale Bedeutung haben die Konstanten?
Rechnung	Passt der berechnete Wert zu Term, Tabelle und Graph?
Bereich	Für welche Eingaben ist das Modell sachlich sinnvoll?
Urteil	Ist das Ergebnis plausibel oder nur mathematisch berechnet?

Merksatz: Ein mathematisch definierter Funktionswert muss im Sachkontext nicht sinnvoll sein.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Lineares Kostenmodell

Ein fiktiver E-Scooter-Tarif wird durch

$K(t)=\mathrm{1,50}+\mathrm{0,25}t$

modelliert. $t$ ist die Fahrzeit in Minuten, $K(t)$ der Preis in Euro. Für die Aufgabe gilt ein Modellbereich von 0 bis 120 Minuten.

Schritt	Rechnung oder Deutung
Startwert	$K(0)=\mathrm{1,50}$: Startgebühr $\mathrm{1,50}\text{€}$
Steigung	$m=\mathrm{0,25}$: pro Minute $\mathrm{0,25}\text{€}$ mehr
30 Minuten	$K(30)=\mathrm{1,50}+\mathrm{0,25}\cdot 30=\mathrm{9,00}$
Modellbereich	nur 0 bis 120 Minuten laut Aufgabenannahme

Beurteilung: $K(500)$ lässt sich berechnen, gehört aber nicht zum festgelegten Modellbereich. Eine Preisprognose für 500 Minuten wäre ohne neue Tarifinformation nicht begründet.

Beispiel 2: Quadratisches Höhenmodell

Der Bogen eines fiktiven Wasserstrahls wird modelliert durch

$h(x)=-\mathrm{0,25}(x-4{)}^2+4$

für waagerechte Entfernungen von 0 bis 8 Metern. Beide Größen werden in Metern gemessen.

Beobachtung	Mathematische Aussage
Start am Boden	$h(0)=0$
Höchster Punkt	$S(4\mid 4)$
Rückkehr zum Boden	$h(8)=0$
Außerhalb des Bereichs	$h(10)=-5$

Beurteilung: Der negative Wert bei $x=10$ zeigt nicht, dass Wasser „minus fünf Meter hoch“ ist. Er zeigt, dass das Modell dort nicht mehr den betrachteten Wasserstrahl beschreibt.

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Beispiel 3: Exponentielles Wachstum

Eine fiktive Kultur enthält zu Beginn 120 Einheiten. Unter idealisierten Bedingungen nimmt die Anzahl täglich um $25\mathrm{\%}$ zu:

$N(t)=120\cdot \mathrm{1,2}{5}^t$

Größe	Bedeutung
$120$	Anfangswert bei $t=0$
$\mathrm{1,25}$	Wachstumsfaktor pro Tag
$\mathrm{0,25}$	relative Zunahme $25\mathrm{\%}$
$N(5)\approx \mathrm{366,2}$	Modellwert nach fünf Tagen

Für $t=30$ liefert das Modell

$N(30)\approx \mathrm{96935,2}$.

Beurteilung: Die Rechnung ist mathematisch korrekt. Ob die Prognose realistisch ist, hängt von Nahrung, Platz, Temperatur und weiteren Bedingungen ab. Ein konstantes prozentuales Wachstum kann deshalb nur in einem begrenzten Zeitraum sinnvoll sein.

Dynamischer Graphencheck

Nutze den GeoGebra-Grafikrechner und untersuche Parameter direkt am Graphen.

1. Gib $g(x)=a\cdot x+b$ ein und verändere $a$ und $b$ mit Schiebereglern.
2. Gib $p(x)=c(x-d{)}^2+e$ ein und beobachte Scheitelpunkt und Öffnung.
3. Gib $z(x)=k\cdot q^x$ ein und vergleiche beispielsweise $q=\mathrm{0,8}$, $q=1$ und $q=\mathrm{1,2}$.

Prüffrage: Welche Änderung siehst Du im Graphen, und wie würdest Du dieselbe Änderung in einem Sachkontext formulieren?

Digitaler Gegencheck: Zoome weit aus dem ursprünglichen Datenbereich heraus. Ein sauber gezeichneter Graph ist noch keine Garantie dafür, dass die Modellannahme dort sinnvoll bleibt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Lineares Modell

Ein fiktiver Wassertank enthält zu Beginn $850$ Liter und verliert gleichmäßig $35$ Liter pro Minute.

Aufgabe: Stelle ein Modell auf, berechne den Inhalt nach 12 Minuten und bestimme einen sachlich sinnvollen Definitionsbereich.

Hilfestufe 1

Der Anfangswert ist der y-Achsenabschnitt. Die Abnahme führt zu einer negativen Steigung.

Hilfestufe 2

Nutze $V(t)=850-35t$. Der Tankinhalt darf im Sachmodell nicht negativ werden.

Feedback

$V(12)=430$. Der Tank ist nach etwa $\frac{850}{35}\approx \mathrm{24,3}$ Minuten leer. Ein sachlich sinnvoller Zeitbereich reicht daher von 0 bis etwa 24,3 Minuten. Negative Tankinhalte wären unsinnig.

Übung B: Quadratisches Modell

Die Höhe eines fiktiven Ballwurfs wird für die ersten 4 Sekunden beschrieben durch

$h(t)=-5(t-2{)}^2+20$.

Aufgabe: Deute den Scheitelpunkt und prüfe $h(5)$.

Hilfestufe 1

Lies den Scheitelpunkt direkt aus der Form $a(t-d{)}^2+e$ ab.

Hilfestufe 2

Der vorgegebene Zeitbereich endet bei $t=4$.

Feedback

$S(2\mid 20)$ bedeutet: Nach 2 Sekunden erreicht das Modell die maximale Höhe von 20 Metern. $h(5)=-25$ ist zwar berechenbar, liegt aber außerhalb des festgelegten Modellbereichs.

Übung C: Exponentielle Abnahme

Ein Messwert wird fiktiv modelliert durch

$M(t)=500\cdot \mathrm{0,}{9}^t$.

Aufgabe: Deute $\mathrm{0,9}$ und berechne $M(3)$.

Hilfestufe 1

Vergleiche $\mathrm{0,9}$ mit 1.

Hilfestufe 2

$\mathrm{0,9}=1-\mathrm{0,1}$.

Feedback

Pro Zeitschritt bleiben $90\mathrm{\%}$ übrig, also sinkt der Wert um $10\mathrm{\%}$. Es gilt $M(3)=500\cdot \mathrm{0,}{9}^3=\mathrm{364,5}$.

Daten, Regression und Modellwahl

Ein digitales Werkzeug kann aus Messpunkten eine passende Kurve bestimmen. Eine gute Anpassung ist nützlich, aber sie beantwortet nicht automatisch die Frage nach Ursache oder Gültigkeitsbereich.

Datei:Datenpunkte mit Regressionsfunktion.png

Datenmuster	Naheliegendes Modell
ungefähr gleiche Differenzen	linear
ungefähr gleicher Faktor	exponentiell
erst steigend, dann fallend mit Wendung zum Maximum	quadratisch möglich

Wichtig: Ein digital erzeugter Fit ist kein mathematischer Beweis dafür, dass ein Prozess tatsächlich diesem Gesetz folgt. Prüfe Datenqualität, Einheiten, Messbereich und Sachwissen.

Typische Fehler

Fehler	Gegencheck
Zahl ohne Einheit deuten	Einheit von Eingabe und Ausgabe ergänzen
$q=\mathrm{1,2}$ als $\mathrm{1,2}\mathrm{\%}$ lesen	korrekt: Zunahme um $20\mathrm{\%}$
jeden berechenbaren Wert akzeptieren	Definitionsbereich und Sachkontext prüfen
Graph außerhalb der Daten blind fortsetzen	Extrapolation ausdrücklich kennzeichnen
digitales Ergebnis ungeprüft übernehmen	mit Term, Tabelle und Plausibilität gegenprüfen
Scheitelpunkt nur nennen	beide Koordinaten mit Bedeutung und Einheit deuten

Selbstkontrolle

A: Ein lineares Modell geht durch $(0\mid 5)$ und $(4\mid 13)$. Bestimme $m$ und $b$.

B: Ein Faktor beträgt $\mathrm{0,92}$. Bestimme die prozentuale Änderung.

C: $p(x)=-3(x-2{)}^2+7$. Welches Extremum liegt vor?

D: Ein Modell wurde nur für Eingabewerte von 2 bis 10 aus Messwerten gewonnen. Wie heißt eine Vorhersage bei $x=15$?

Kontrollwerte: A: $m=2$, $b=5$. B: Abnahme um $8\mathrm{\%}$. C: Maximum bei $S(2\mid 7)$. D: Extrapolation.

Transfer

Transfer 1 – Mobilität: Eine Fahrtdauer kann in einem kurzen Bereich näherungsweise linear mit der Strecke zusammenhängen. Bei Stau, Pausen oder wechselnder Geschwindigkeit kann das lineare Modell versagen. Formuliere zwei Annahmen, die für ein lineares Modell gelten müssten.

Transfer 2 – Reichweite einer Prognose: Ein Wachstum von $15\mathrm{\%}$ pro Jahr wurde drei Jahre beobachtet. Entscheide, welche Zusatzinformationen Du brauchst, bevor Du daraus eine Prognose für 20 Jahre ableitest.

Kompetenzcheck

1. Parameter deuten: Ich kann Parameter mit Einheit und Bedeutung erklären.
2. Funktionswerte interpretieren: Ich kann einen berechneten Wert in einem vollständigen Sachsatz deuten.
3. Gültigkeitsbereich: Ich kann begründen, warum ein Modell nur in einem bestimmten Bereich sinnvoll ist.
4. Darstellungen verknüpfen: Ich kann Term, Graph, Tabelle und Text aufeinander beziehen.
5. Modellwahl: Ich kann zwischen linear, quadratisch und exponentiell begründet wählen.
6. Digitale Ergebnisse prüfen: Ich kann einen Rechner- oder KI-Vorschlag durch eigene Mathematik und Plausibilität kontrollieren.

Reflexion

1. Modellgrenze: Nenne ein Beispiel, bei dem eine mathematische Fortsetzung außerhalb des Datenbereichs unplausibel wird.
2. Begründung: Welche Information ist für Dich beim Beurteilen eines Modells wichtiger: guter Datenfit oder Sachwissen? Begründe differenziert.
3. KI und Mathematik: Beschreibe, wie Du eine von KI vorgeschlagene Funktionsgleichung kontrollieren würdest, bevor Du sie verwendest.

Folgekurs

Als nächster Lernschritt eignet sich M10 M - Daten modellieren und Prognosen bewerten. Dort kannst Du Modellwahl, Regression und die Aussagekraft von Prognosen weiter vertiefen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Parameter m in einem linearen Sachmodell f(x)=mx+b? (Die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe) (!Immer den Anfangswert) (!Immer den größten Funktionswert) (!Den prozentualen Restwert)

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer Zunahme um 8 Prozent pro Schritt? (1,08) (!0,08) (!0,92) (!8)

Was bedeutet ein Scheitelpunkt S(4|7) bei einer nach unten geöffneten Höhenparabel? (Bei der Eingabe 4 liegt im Modell die maximale Höhe 7) (!Bei der Eingabe 7 liegt immer die Höhe 4) (!Die Parabel wächst ab 4 exponentiell) (!Das Modell ist nur für negative Eingaben gültig)

Warum kann ein mathematisch berechenbarer Funktionswert im Sachkontext unbrauchbar sein? (Er kann außerhalb des sinnvollen Modellbereichs liegen) (!Jede Funktion ist nur bei ganzzahligen Eingaben erlaubt) (!Funktionswerte dürfen keine Einheiten besitzen) (!Graphen gelten nur am y-Achsenabschnitt)

Woran erkennst Du typischerweise exponentielle Entwicklung? (An einem ungefähr konstanten Faktor pro gleichen Schritt) (!An einer immer konstanten Differenz) (!An einem festen Scheitelpunkt) (!An einer waagerechten Geraden)

Wie heißt eine Vorhersage außerhalb des Bereichs der vorhandenen Daten? (Extrapolation) (!Interpolation) (!Substitution) (!Faktorisierung)

Welche Aussage zu einem digitalen Regressionsmodell ist richtig? (Ein guter Fit muss zusätzlich sachlich geprüft werden) (!Ein hoher Datenfit beweist immer die Ursache) (!Digitale Modelle gelten automatisch für alle Eingaben) (!Ein Regressionsgraph braucht keine Einheiten)

Was bedeutet bei N(t)=120 mal 1,25 hoch t der Wert 1,25? (Pro Schritt wird mit 1,25 multipliziert) (!Pro Schritt werden 1,25 Einheiten addiert) (!Der Anfangswert ist 1,25) (!Die Größe sinkt pro Schritt um 25 Prozent)

Welche Zusatzangabe ist für die Interpretation eines Funktionswertes besonders wichtig? (Die Einheit der betrachteten Größen) (!Die Farbe des Graphen) (!Die Schriftart der Tabelle) (!Die Reihenfolge der Taschenrechnertasten)

Welche Aussage beschreibt einen sinnvollen Umgang mit KI bei Modellierungsaufgaben? (KI-Ausgaben mit Rechnung Sachkontext und Plausibilität prüfen) (!Die erste KI-Antwort ohne Kontrolle übernehmen) (!Eine KI-Antwort als mathematischen Beweis behandeln) (!Einheiten weglassen wenn die KI sie nicht nennt)

Memory

Steigung	Änderung pro Eingabeeinheit
Y-Achsenabschnitt	Startwert bei Eingabe null
Wachstumsfaktor	Multiplikativer Faktor pro Schritt
Scheitelpunkt	Maximum oder Minimum einer Parabel
Definitionsbereich	Zulässige Eingabewerte
Extrapolation	Prognose außerhalb des Datenbereichs

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Konstante absolute Änderung	Lineares Modell
Konstanter prozentualer Faktor	Exponentielles Modell
Maximum oder Minimum möglich	Quadratisches Modell
Schätzung zwischen Messwerten	Interpolation
Fortsetzung außerhalb der Daten	Extrapolation

Kreuzworträtsel

Steigung	Welcher Parameter beschreibt bei einer linearen Funktion die Änderung pro Eingabeeinheit?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Extrapolation	Wie heißt eine Prognose außerhalb des Datenbereichs?
Definitionsbereich	Wie heißt die Menge der zulässigen Eingabewerte?
Wachstumsfaktor	Wie heißt der Multiplikator pro Schritt bei exponentiellen Modellen?
Plausibilitaet	Welcher Begriff bezeichnet die Prüfung, ob ein Ergebnis sachlich vernünftig erscheint?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem linearen Modell beschreibt die die konstante absolute Änderung pro Eingabeeinheit.

Bei einem exponentiellen Modell heißt der Multiplikator pro Schritt .

Ein Faktor von 1,12 entspricht einer Zunahme von .

Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel heißt .

Die Menge sachlich zulässiger Eingabewerte heißt .

Eine Schätzung innerhalb des beobachteten Datenbereichs heißt .

Eine Fortsetzung über den beobachteten Datenbereich hinaus heißt .

Ein digitales Ergebnis muss zusätzlich auf geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Parameterkarte: Erstelle eine Lernkarte zu $f(x)=mx+b$ und erkläre $m$ und $b$ an einem eigenen Sachbeispiel.
2. Graph lesen: Fotografiere keine Personen, sondern skizziere selbst einen Graphen zu einem fiktiven Alltagssachverhalt und beschrifte Achsen und Einheiten.
3. Prozentfaktor: Erfinde drei Wachstums- oder Abnahmefaktoren und übersetze sie jeweils in Prozentangaben.
4. Modellgrenze: Finde zu einem gegebenen Funktionsmodell eine Eingabe, die mathematisch möglich, aber sachlich unsinnig wäre, und begründe dies.

Standard

1. Datentabelle: Erstelle eine kleine fiktive Messreihe und entscheide begründet, ob ein lineares oder exponentielles Modell besser passt.
2. GeoGebra-Modell: Stelle ein Sachmodell im GeoGebra-Grafikrechner dar, variiere einen Parameter und dokumentiere die Wirkung in Term, Graph und Text.
3. Parabel im Kontext: Entwickle eine fiktive Wurf- oder Bogenaufgabe mit quadratischem Modell und gib einen sinnvollen Definitionsbereich an.
4. Modellvergleich: Modellier dieselben vier Datenpunkte mit zwei verschiedenen Funktionstypen und erkläre, welche zusätzlichen Daten für eine Entscheidung nötig wären.

Schwer

1. Extrapolationskritik: Untersuche, wie stark sich eine exponentielle Prognose verändert, wenn der Wachstumsfaktor nur geringfügig verändert wird.
2. Modellvalidierung: Entwirf einen Kriterienbogen mit mindestens fünf Prüffragen für Funktionsmodelle im Sachkontext und teste ihn an zwei Beispielen.
3. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI ein Modell zu selbst gewählten anonymen oder fiktiven Daten vorschlagen und überprüfe Rechnung, Einheiten, Modelltyp und Gültigkeitsbereich eigenständig.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du an einem Beispiel den Unterschied zwischen korrekter Rechnung und sinnvoller Modellinterpretation zeigst.

Lernkontrolle

1. Modellwahl begründen: Eine Messreihe zeigt zunächst nahezu konstante Differenzen, später aber deutliche Abweichungen. Erkläre, warum ein lineares Modell lokal brauchbar und langfristig ungeeignet sein kann.
2. Parameter im Kontext: Deute alle Parameter von $K(x)=\mathrm{4,50}+\mathrm{0,18}x$ für einen selbst gewählten, passenden Kostenkontext und gib zu jeder Größe eine Einheit an.
3. Gültigkeitsbereich bestimmen: Für $h(t)=-5(t-2{)}^2+20$ soll ein Ballflug modelliert werden. Begründe einen sachlich sinnvollen Zeitbereich und erkläre, warum negative Modellhöhen nicht übernommen werden.
4. Prognose bewerten: Ein Bestand wächst drei Perioden lang um $30\mathrm{\%}$. Beurteile, welche Annahmen erfüllt sein müssten, damit das Modell zehn weitere Perioden verwendet werden darf.
5. Darstellungen verknüpfen: Beschreibe, wie Du aus einer Tabelle erkennst, ob eher ein lineares oder exponentielles Modell passt, und welche Graphenmerkmale Deine Entscheidung stützen.
6. KI-Ergebnis prüfen: Eine KI liefert eine Funktionsgleichung ohne Einheiten und ohne Datenbereich. Formuliere einen Prüfplan, bevor Du das Ergebnis in einer Lösung verwendest.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Rechenweg: Funktionswerte nachvollziehbar berechnest und Zwischenschritte angibst.
2. Darstellung: Achsen, Tabellen und Graphen mit passenden Größen und Einheiten beschriftest.
3. Parameterdeutung: Parameter im Sachkontext vollständig interpretierst.
4. Begründung: Modellwahl und Gültigkeitsbereich fachlich begründest.
5. Transfer: Ein bekanntes Verfahren auf einen neuen Sachkontext überträgst.
6. Digitale Kontrolle: Ergebnisse von Taschenrechner, GeoGebra oder KI selbstständig prüfst.

Medienkompetenz und Datenschutz

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Prüfe bei einer eigenen Weiterverwendung die Lizenz- und Urheberangaben auf der jeweiligen Dateibeschreibungsseite. Eingebettete YouTube-Videos bleiben Inhalte der jeweiligen Anbieter. Für eigene Produkte solltest Du bevorzugt frei lizenzierte Medien verwenden und die Lizenz korrekt angeben.

Verwende für Aufgaben nur fiktive, anonymisierte oder ausdrücklich freigegebene Daten. Lade keine personenbezogenen Daten in digitale Werkzeuge oder KI-Systeme hoch.

KI-Regel: Eine KI kann Vorschläge für Terme, Rechenwege oder Erklärungen liefern. Du musst die Ergebnisse selbst prüfen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine sachliche Modellprüfung.

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